Đề thi Olympic môn Toán 7 (Có đáp án) - Năm học 2016-2017 - Trường THCS Tam Hưng

THCS TAM HƯNG
ĐỀ THI OLYMPIC
MÔN TOÁN LỚP 7
Năm học 2016-2017
Bài 1. (3đ) Tìm sao cho:
Bài 2. (4đ) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn:
Bài 3. (4d)
Cho là 4 số khác 0 và thỏa mãn các điều kiện sau:
 và . Chứng minh: 
Cho 
Chứng minh : 
Bài 4.(4đ)
Cho đa thức 
Tính giá trị của đa thức tại 
Cho đa thức 
Chứng tỏ rằng: nếu 
Bài 5. (5đ)
Cho tam giác đường cao Vẽ ra phía ngoài của tam giác các tam giác vuông cân 
Qua vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng tại K. Chứng minh vuông góc với 
Chứng minh ba đường thẳng đồng quy
Cho 2 điểm và C nằm trên đoạn thẳng sao cho Lấy điểm tùy ý trong mặt phẳng. Chứng minh rằng: 
ĐÁP ÁN
Bài 1.
Chỉ rõ được 
Lý luận để có 
Xét đủ 2 trường hợp:
Trường hợp có 1 số âm tính được 
Trường hợp có 3 số âm tính được: 
Bài 2.
b) Biến đổi được 
Giải từng trường hợp, suy ra kết luận
Bài 3.
Từ giả thiết suy ra 
Lập phương các tỉ số trên và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để có: 
, mặt khác ta có: 
Suy ra được điều phải chứng minh 
Cộng vế với vế suy ra điều cần chứng minh
Bài 4.
Thay ta được:
Tính được kết quả và kết luận 
b) 
Bài 5.
Vẽ hình và chứng minh đến đúng hết
Chỉ ra được là ba đường cao của 
Xét 2 trường hợp 
*Trường hợp điểm thì ta có: 
*Trường hợp 
Gọi là trung điểm của 
Trên tia đối của tia lấy điểm N sao cho 
Vì 
Chứng minh được 
Điểm nằm trong chứng minh được 
Chứng minh