Bài giảng Toán Lớp 7 Sách KNTT - Chương IX, Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI BUỔI HỌC NGÀY HÔM NAY! 
KHỞI ĐỘNG 
Hình 9.26 mô phỏng một miếng bìa hình tam giác ABC đặt thăng bằng trên giá nhọn tại điểm G. 
Điểm đó được xác định như thế nào và có gì đặc biệt? 
CHƯƠNG IX. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG MỘT TAM GIÁC 
BÀI 34: SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN, BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG MỘT TAM GIÁC 
NỘI DUNG BÀI HỌC 
1 
Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác 
2 
Sự đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác 
1. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác 
Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC, gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC) của tam giác ABC (H.9.27) 
Đ ư ờng trung tuyến của tam giác 
1. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác 
Mỗi tam giác có mấy đường trung tuyến? 
? 
Thảo luận nhóm đôi 
Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến. 
Trả lời: 
Sự đồng quy của ba đường trung tuyến 
HĐ 1: 
Hãy lấy một mảnh giấy hình tam giác, gấp giấy đánh dấu trung điểm của các cạnh. Sau đó, gấp giấy để được các nếp gấp đi qua đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện (tức là các đường trung tuyến của tam giác). Mở tờ giấy ra, quan sát và cho biết ba nếp gấp (ba đường trung tuyến) có cùng đi qua một điểm không (H.9.28 ). 
Kết quả: 
 Ba nếp gấp đi qua cùng một điểm. 
HĐ 2: 
Trên mảnh giấy kẻ ô vuông, mỗi chiều 10 ô, hãy đếm dòng , đánh dấu các đỉnh A,B,C rồi vẽ tam giác ABC ( H.9,29).Vẽ hai đường trung tuyến BN, CP, chúng cắt nhau tại G, tia AG cắt cạnh BC tại M. 
AM có phải đường trung tuyến của tam giác ABC không ? 
Hãy xác định các tỉ số 
Giải 
Ta có: MB = MC và M nằm giữa B và C 
 M là trung điểm của BC. 
 AM có là đường trung tuyến của tam giác ABC (định nghĩa ) 
Ta có: 
KẾT LUẬN 
Chú ý: 
Điểm đồng quy của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm tam giác. 
! 
Định lí 1: 
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi một điểm (hay đồng quy tại một điểm). Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. 
Ví dụ 1 (SGK – tr73) 
Cho tam giác ABC với AM là trung tuyến và G là trọng tâm tam giác. 
a) Chứng minh GA = 2GM. 
b) Biết GM = 2 cm, tính GA. 
Giải 
a) Vì G là trọng tâm của tâm giác ABC 
hay 
Ta có : 
Vậy 
Ví dụ 1 (SGK – tr73) 
Cho tam giác ABC với AM là trung tuyến và G là trọng tâm tam giác. 
a) Chứng minh GA = 2GM. 
b) Biết GM = 2 cm, tính GA. 
Giải 
b) Ta có : 
Khi GM = 2 cm thì GA = 4 cm. 
LUYỆN TẬP 1 
Trong tam giác ABC ở Ví dụ 1, cho trung tuyến BN và GN = 1 cm. Tính GB và NB. 
Vì G là trọng tâm của ABC (gt ) 
Giải 
hay 
Ta có : 
 NB = 3 cm 
 GB = 2 cm 
TRANH LUẬN 
Cách 1: Tìm giao điểm của 2 đường trung tuyến. 
Cách 2: Vẽ 1 đường trung tuyến. Lấy điểm G cách đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó 
 Ta được G là trọng tâm tam giác. 
VẬN DỤNG 1 
Trong tình huống mở đầu, người ta chứng minh được G chính là trọng tâm của tam giác ABC. Em hãy cắt một mảnh bìa hình tam giác. Xác định trọng tâm của tam giác và đặt mảnh bia đó lên một giá nhọn tại trọng tâm vừa xác định. Quan sát xem mảnh bìa có thăng bằng không. 
Kết quả: 
Cắt mảnh bìa hình tam giác . 
 Kẻ 2 đường trung tuyến của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại G. 
Đặt mảnh bìa đó lên một giá nhọn tại trọng tâm G 
 T a thấy mảnh bìa thăng bằng. 
2. Sự đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác 
Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D thì đoạn thẳng AD được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC (H.9.32) 
Đường phân giác của tam giác 
Mỗi tam giác có mấy đường phân giác ? 
? 
Thảo luận nhóm đôi 
Mỗi tam giác có 3 đường phân giác. 
(Vì từ mỗi đỉnh của tam giác, ta kẻ được 1 đường phân giác của tam giác nên mỗi tam giác có 3 đường phân giác). 
Trả lời: 
Sự đồng quy của ba đường phân giác 
HĐ 3: 
Cắt một tam giác bằng giấy. Hãy gấp tam giác vừa cắt để được ba đường phân giác của nó. Mở tờ giấy ra, hãy quan sát và cho biết ba nếp gấp đó có cùng đi qua một điểm không (H.9.33). 
Kết quả: 
 Ba nếp gấp đi qua cùng một điểm. 
KẾT LUẬN 
Định lí 2 : 
Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó. 
Ví dụ (SGK – tr75) 
Trong tam giác ABC, các đường phân giác AD, BE, CF đồng quy tại I và IH = IK = IL. 
Ví dụ 2 (SGK – tr75) 
Chứng minh rằng trong tam giác ABC cân tại A, giao điểm của ba đường phân giác nằm trên đường trung tuyến xuất phát tử đỉnh A (H.9.35) 
GT 
KL 
 ABC, AB = AC 
I là giao điểm của ba đường phân giác 
AI là đường trung tuyến của ABC. 
Giải 
Gọi M = AI BC. 
Xét ABM và ACM có: 
AB = AC (gt) 
AM chung 
( do AI là đường phân giác của ) 
 ABM = ACM (c.g.c) 
 BM = CM hay M là trung điểm của BC. 
Vậy AI là đường trung tuyến của ABC 
LUYỆN TẬP 2 
Cho tam giác ABC có hai đường phân giác AM, BN cắt nhau tại điểm I. Hỏi CI có là đường phân giác của góc C không ? 
Giải 
Xét tam giác ABC có: 
AM là phân giác 
BN là phân giác 
AM BN = {I} 
 CI cũng là đường phân giác của tam giác. (t/c đồng quy của 3 đường phân giác). 
VẬN DỤNG 2 
Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba cạnh của tam giác là trọng tâm của tam giác đó. 
Giải 
Vì ΔABC đều AB = AC = BC 
 ( tính chất tam giác đều) 
Vì I là điểm cách đều 3 cạnh của tam giác 
 I là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABC . 
VẬN DỤNG 2 
Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba cạnh của tam giác là trọng tâm của tam giác đó. 
Giải 
Áp dụng ví dụ 2, ta được, AI là đường trung tuyến của ΔABC 
Tương tự, ta cũng được BI, CI là đường trung tuyến của ΔABC 
Vậy I là giao điểm của ba đường đường trung tuyến của ΔABC nên I là trọng tâm của ΔABC. 
CHÚ Ý 
Tam giác đều là tam giác cân tại mỗi đỉnh của nó. 
Trong tam giác đều, hai điểm đồng quy của các đường trung tuyến và của các đường phân giác 
LUYỆN TẬP 
Bài 9.20 (Tr76) 
Cho tam giác ABC với hai đường trung tuyến BN,CP và trọng tâm G. Hãy tìm số thích hợp đặt vào dấu ''?'' để được các đẳng thức: 
BG = ? BN, CG = ? CP; BG = ? GN, CG = ? GP 
Giải 
G là trọng tâm của tam giác ABC 
Tương tự : 
LUYỆN TẬP 
Bài 9.21 (Tr76) 
Chứng minh rằng: 
a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau. 
b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân. 
a) 
Giải 
a) 
Ta có: ∆ ABC cân tại A 
BD và CE là trung tuyến với E là trung điểm của AB, 
D là trung điểm của AC 
Xét ∆ ABD và ∆ ACE ta có: 
AE=AD (cmt) 
 chung 
AB= AC (cmt ) 
 AB = AC 
Có : 
 AE = AD 
 BD = CE 
 ( 2 cạnh tương ứng ) 
 ∆ ABD = ∆ ACE (c.g.c) 
Giải 
b ) 
Gọi O là giao điểm của CE và BD 
 O sẽ là trọng tâm của tam giác ∆ ABC 
Ta có: CE và BD là 2 đường trung tuyến 
Giải 
Xét ∆ EOB và ∆ DOC ta có: 
BO = OC 
OD = OE 
 = ( 2 góc đối đỉnh ) 
 ∆ EOB = ∆ DOC 
b ) 
Có 
 ∆ ABC cân tại A 
LUYỆN TẬP 
Bài 9.22 (Tr76) 
Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Biết góc GBC lớn hơn góc GCB. Hãy so sánh BM và CN 
Giải 
Ta có: BM, CN là 2 đường trung tuyến cắt nhau tại G 
 G là trọng tâm của tam giác ABC 
Trong tam giác GBC: > 
(t/c trọng tâm) (1) 
LUYỆN TẬP 
Bài 9.22 (Tr76) 
Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Biết góc GBC lớn hơn góc GCB. Hãy so sánh BM và CN 
Giải 
Trong tam giác GBC: > 
 CG > GB 
 (ĐL quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác) (2) 
Từ (1) và (2) CN > BM 
LUYỆN TẬP 
Bài 9.23 (Tr76) 
Kí hiệu I là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác ABC. Tính góc BIC khi biết góc BAC = 120° 
Giải 
Có I là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác ABC 
 AI, BI, CI lần lượt là đường phân giác của 3 góc , , 
 = 120° + = 60° 
Giải 
Ta có : = 
 2 + 2 = 60° 
 + = 30° 
Xét trong tam giác IBC ta có: 
 + + = 180° 
 = 180° - 30°= 150° 
 = 
50:50 
50:50 
Key 
Câu 1. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm tam giác, N là trung điểm AC. Khi đó BG = BN. Số thích hợp điền vào chỗ trống là : 
A . 
B. 
C. 3 
D. 2 
50:50 
Key 
Câu 2. Chọn câu đúng 
A. Trong một tam giác, đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện là đường trung tuyến của tam giác 
B. Các đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm 
D. Cả A, B, C đều đúng 
C. Trọng tâm của tam giác đó là giao của ba đường trung tuyến 
50:50 
Key 
 Câu 3. Điểm E nằm trên tia phân giác góc A của tam giác ABC ta có 
A. E nằm trên tia phân giác góc B 
D. EB = EC 
B. E cách đều hai cạnh AB, AC 
C. E nằm trên tia phân giác góc C 
50:50 
Key 
Câu 4. Cho tam giác ABC có = 70 ° , các đường phân giác của BE và CD của và cắt nhau tại I. Tính ? 
A. 125° 
B. 100° 
C. 105° 
D. 140° 
50:50 
Key 
Câu 5. Cho hình vẽ sau: 
A . 1,5 cm 
B. 3 cm 
C. 2,25 cm 
D. 1 cm 
Biết GS = 1,5 cm. Tính NG 
VẬN DỤNG 
Bài 9.24 (Tr76) 
Giải 
Gọi BE và CF là hai đường phân giác của tam giác ABC cân tại A. Chúng minh BE = CF. 
Có: ∆ABC cân tại A (gt) 
 AB = AC ; = (t/c tam giác cân) (1) 
BE là đường phân giác của (gt) 
 = (2) 
Giải 
CF là đường phân giác của (gt ) 
Từ (1), (2), (3) = 
Xét ∆ ABE và ∆ ACF, ta có: 
 chung 
AB = AC 
 = 
 = (3) 
 ∆ ABE = ∆ ACF (g.c.g) 
 BE = CF (2 cạnh tương ứng) 
VẬN DỤNG 
Bài 9.25 (Tr76) 
Trong tam giác ABC, hai đường phân giác của các góc B và C cắt nhau tại D. Kẻ DP vuông góc với BC, DQ vuông góc với CA, DR vuông góc với AB 
a) Hãy giải thích tại sao DP= DR 
b) Hãy giải thích tại sao DP= DQ 
c) Từ câu a và b suy ra DR= DQ. Tại sao D nằm trên tia phân giác của góc A 
Giải 
a) Ta có ∆ BPD và ∆ BRD đều là tam giác lần lượt vuông tại P và R (vì DR AB tại R; DP BC tại P) 
Xét ∆ vuông BRD và ∆ vuông BPD ta có: 
Cạnh BD chung 
 = ( BD là phân giác của hay ) 
 ∆ BRD = ∆ BPD (ch – gn) 
 DR = DP (2 cạnh tương ứng ) 
Giải 
b ) Ta có ∆ CPD và ∆ CQD đều là tam giác lần lượt vuông tại P và Q (vì DP BC tại P; DQ BC tại Q) 
Xét ∆ vuông CPD và ∆ vuông CQD ta có: 
Cạnh chung CD 
 = ( CD là phân giác của hay ) 
 ∆ CPD = ∆ CQD (ch – gn) 
 DR = DP (2 cạnh tương ứng ) 
Giải 
c ) Từ a và b ta có DR = DQ 
Xét ∆ vuông ARD và ∆ vuông AQD ta có: 
AD là cạnh chung 
DR = DQ 
 ∆ ARD = ∆ AQD (ch – gn) 
 = (2 góc tương ứng) 
 D nằm trên đường phân giác của 
HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ 
* Ghi nhớ 
kiến thức trong bài. 
* Hoàn thành các bài tập trong SBT. 
* Chuẩn bị trước 
“Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao của một tam giác” 
CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý 
LẮNG NGHE BÀI GIẢNG!