Bài tập Đại số 7 - Chuyên đề: Đa thức

CHUYÊN ĐỀ: ĐA THỨC LỚP 7
Dạng 1: XÁC ĐỊNH ĐA THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ
Bài 1: Cho đa thức: , Xác định các hệ số a,b,c biết: 
Bài 2: Cho đa thức: , Xác dịnh a, b, c biết: và a là số lớn hơn c ba đơn vị
Bài 3: Cho đa thức bậc hai: , biết rằng P(x) thỏa mãn cả hai điều kiện sau: 
	, CMR: a+b+c=0 và xác định đa thức P(x)
Bài 4: Cho hàm số thỏa mãn: , 
Xác định giá trị a, b, c và d
Bài 5: Xác định đa thức: , biết: 
Bài 6: Cho hàm số: cho biết f(0)=2010, f(1)=2011, f(-1)=2012, Tính f(-2)
HD: 
Theo gt ta có: , 
và =>a=, b khi đó hàm số có dạng => f(2)=2017
Bài 7: Cho đa thức (a, b, c là các hệ số)
a, Hãy tính biết a+c=b - 8
b, Tìm a, b, c biết: 
Bài 8: Cho đa thức: và 
a, Tìm a biết -1 là 1 nghiệm của f(x)
b, Với a tìm được ở câu a, Tìm nghiệm còn lại của f(x) và tính g(2)
Bài 9: Cho hàm số và biết , 
Tính 
HD:
Ta có: 
, khi đó: 
Bài 10: Xác định a,b,c để hai đa thức sau là hai đa thức sau đồng nhất:
 và 
Bài 11: Xác định các hệ số a, b của đa thức : trong mỗi trường hợp sau :
a, f(0) = 4 và f(x) nhận x = 1 là nghiệm của nó
b, Các nghiệm của đa thức g(x) = (x+1)(x-2) cũng là nghiệm của f(x)
Bài 12: Cho và , trong đó a,b,c là các hằng số
Xác định a,b,c để f(x)=g(x)
Bài 13: Cho hai đa thức: và , Tìm m để 
Bài 14: Cho hai đa thức: , 
Tìm m biết rằng : p(2) = q(-2) 
Bài 15: Cho hai biểu thức :, . Tìm số a sao cho 
Câu 16: Cho hàm số có đồ thì đi qua điểm 
a, Tìm a
b, Với a vừa tìm được, tính giá trị của x thỏa mãn: 
HD:
a, Đồ thị hàm số y=ax+4 đi qua điểm nên ta có: 
=>. Vậy a=-2 thì đồ thị hàm số đi qua điểm A
b, Với a=-2 ta có hàm số và 
Để 
Bài 17: Cho và , Trong đó a, b, c là các hằng số, Xác định a, b, c để 
HD :
	Ta có : 
	Và 
	Do nên ta có : 
Bài 18: Tìm đa thức bậc hai sao cho : . Áp dụng tính tổng : 
HD :
Vì đa thức là bậc hai nên có dạng 
Ta có : 
Và 
Vậy đa thức cần tìm là : , c là hằng số
Áp dụng : Với 
Với 
Với 
=> 
Bài 19: Cho đa thức xác định với mọi x thuộc R, Biết rằng với mọi x ta đều có:
Tính f(2)
HD: 
Ta có: (1) và => (2)
Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có: do đó: 
Bài 20: Cho , Tính 
Bài 21: Cho đa thức:
, Tính giá trị của khi 
Bài 22: Tính giá trị của đa thức sau biết x+y=0
a, 
b, 
Bài 23: Cho , Tính giá trị của biểu thức : 
Bài 24: Tính giá trị của biểu thức: , tại x=-1, y=-1, z=-1
HD :
Ta có 
Thay y=-1, z=-1 vào ta được: 
Thay xyz=-1 vào ta được : 
Bài 25: Cho đa thức:.Tính giá trị của A khi x=4, Tìm x để A=2015
Bài 26: Cho đa thức: 
a, Tìm bậc của A
b, Tính A nếu 15x-2y=1004z
HD: 
Thu gọn 
Bài 27: Tính giá trị của biểu thức: khi 
Bài 28: Tính giá trị của biểu thức: tại x=2008
Bài 29: Tính giá trị của biểu thức: , biết 
Bài 30: Cho đa thức: , 
a, CMR: x=-1 là nghiệm của A(x)	b, Tính giá trị của A(x) tại 
HD:
a, A(-1)= -1+1-1+1-....-1+1=0 nên -1 là 1 nghiệm của A, hoặc 
b, Với 
Bài 31: Tính giá trị của đa thức: , Tại 
HD:
	Ta có: 
	Thay vào ta được: 
	Thay 
Bài 32: Cho biểu thức: (a,b )
Lương nói: Giá trị của biểu thức M tại x=23 là 2009
Minh nói: Giá trị của biểu thức M tại x=18 là: 1458
CMR trong hai bạn trên có ít nhất 1 bạn nói sai !
HD: 
Giả sử cả hai bạn cùng đúng, ta có:
23a+b=2009 và 18a+b=1458 do đó: 
( Vô lý) vậy có ít nhất 1 bạn nói sai
Bài 33: Tính giá trị của biểu thức : , tại x thỏa mãn :
Bài 34: Cho đa thức: 
a, Cho biết: 5a+b+2c=0, CMR: 
b, Cho A(x) =0 với mọi x, CMR: a=b=c
c, Nếu 13a-b+2c=0 thì 
Bài 35: Cho đa thức: 
a, Cho biết 5a+b+2c=0, CMR: 
b, Cho , Chứng minh rằng a=b=c=0
Bài 36: Cho đa thức: 
a, CMR nếu: thì 
b, CMR: Nếu thì 
Bài 37: Cho , CMR nếu: thì 
HD: 
Ta có : vậy 
Bài 38: Cho đa thức : , CMR nếu 5x-b+2c=0 thì P(1).P(-2)0
HD : 
Ta có : nên P(1)= -P(-2)
Bài 39: Cho đa thức có giá trị nguyên, CMR:
a, a+b+c, 2a, 2b đều là các số nguyên
b, là số nguyên với mọi giá trị nguyên của n
Bài 40: Cho đa thức , trong đó a, b, c là các số nguyên, biết rằng giá trị của với mọi giá trị nguyên của x, CMR a,b,c đều cho 3
Bài 41: Cho , CMR: nếu x-y=z thì P+Q=0
Bài 42: Cho đa thức bậc nhất : f(x)=a.x+b, Hãy tìm điều kiện của hằng số b để thỏa mãn hệ thức : 
Bài 43: Cho đa thức biết rằng f(0),f(1),f(2) có giá trị nguyên, CMR: 
a, a+b+c, c, 2a, 2b đều là các số nguyên
b, f(n) là số nguyên với mọi giá trị của n
Bài 44: Cho , Trong đó a, b, c là các số nguyên, biết rằng giá trị của f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x, CMR a, b, c đều chia hết cho 3
Bài 45: Cho đa thức: , Biết Q(x) chia hết cho 3 với mọi số nguyên x, CMR: các hệ số a,b,c,d đều chia hết cho 3 
Bài 46: Cho hàm số : . Biết f(1) chia hết cho 3, f(0) chia hết cho 3,
 và f(-1) cũng chia hết cho 3, CMR a,b,c đều chia hết cho 3
HD: 
Ta có f(0)=c, f(1)= a+b+c, f(-1)=a-b+c, Vì f(0) 3 nên c3, Vì f(-1) 3 nên a+b+c3=>a+b3 (1)
và f(-1)3 nên a-b+c3 => a-b3 (2), Từ (1) và (2) nên (a+b)+(a-b)3 =>2a3=>a3=>b3
Bài 47: Cho , CMR : f(a+b)=f(a)+f(b)
Bài 48: Cho đa thức : với mọi giá trị của x, CMR : a=b=c=0
HD: 
Vì đa thức với mọi x, Ta cho x nhận các giá trị x=0, x=1 và x=-1
Ta có : c=0, a+b+c=0 và a-b+c=0=> a=b=c=0
Bài 49: Cho đa thức: , CMR nếu f(x) nhân 1 và -1 là nghiệm thì a và c là hai số trái dấu
HD: 
Ta có 1 là nghiệm của f(x) nên f(1)=0 hay a+b+c=0, và -1 là nghiệm nên a-b+c=0
Cộng theo vế ta được: 2a+2c=0=> a =-c, vậy a và c là hai số đối nhau
Bài 50: Cho nhận giá trị nguyên với mọi giá trị nguyên của x, CMR : 2a, a+b và c là các số nguyên
HD: 
Ta có : và 
Bài 51: Cho đa thức với P(0) và P(1) là 1 số lẻ, CMR : P(x) không thể có nghiệm là 1 số nguyên 
HD : 
P(0)=d lẻ và P(1)=a+b+c+d lẻ, do đó - P(1) là 1 số lẻ
Giả sử P(x) có 1 nghiệm nguyên là m ta có P(m)=0 => lẻ
=> lẻ => m chẵn=> P(m) lẻ, Điều này mâu thuẫn
Bài 52: Cho có tính chất f(1),f(4),f(9) là các số hữu tỉ, CMR khi đó a,b,c là các số hữu tỉ
HD: 
 , và 
Từ (1) và (2) => do đó 
Từ (2) và (3) => 
Nên 
Khi thì và 
Bài 53: Cho đa thức bậc hai thỏa mãn : , CMR : với mọi x
HD : 
Giải sử : ,
 ta có : Vậy 
Do vậy 
Bài 54: Cho hàm số , CMR : nếu a,b là hai số thỏa mãn : a+b=1 thì 
HD :
Ta có : 
=
Bài 55: Cho đa thức bậc 4 đối với biến x và P(1)=P(-1), P(2)=P(-2), CMR : P(x)=P(-x) với mọi x
HD : 
P(x) là đa thức bậc 4 nên có dạng : 
Ta có : P(1)=P(-1) và P(2)=P(-2) => d+b= - d - b 2d+8b=-2d-8b=> b=d=0
Vậy và =P(x)
Bài 56: Cho đơn thức : , Tìm t thỏa mãn : 
a, Đơn thức dương với mọi x,y khác 0	b, Âm với mọi x,y khác 0
HD : 
a, mà và 
Bài 57: Cho , x và y khác 0. Với giá trị nào của m thì :
a, A dương với mọi x,y 	b, A âm với mọi x,y khác 0
Bài 58: Cho đã thức: và ,CMR P và Q không thể cùng có giá trị âm
HD : 
Xét tổng luôn dương
Bài 59: Cho hai đa thức : và , CMR: A và B không thể có cùng giá trị âm
Bài 60: Cho đa thức: và , CMR: Trong ba số P(1), P(2),P(-1) có ít nhất một số không âm, ít nhất một số không dương
Bài 61: Cho đa thức: , CMR: P(x) luôn dương với mọi giá trị của x thuộc P
Bài 62: Cho hai đa thức: , CMR không tồn tại giá trị nào của x và y để hai đa thức cùng có giá trị âm
Bài 63: Cho các đa thức : , và 
CMR A ,B ,C không thể cùng âm
Bài 64: Cho các đã thức: và , CMR: M, N không thể cùng có giá trị dương
Bài 65: Cho hai đa thức: CMR không tồn tại giá trị nào của x và y để hai đa thức này có cùng giá trị âm
Bài 66: Cho hai đã thức : , , CMR trong hai đã thức trên có 1 đa thức có giá trị dương
HD: 
Xét tổng bằng dương
Bài 67: Cho hai đa thức : và , CMR: không tồn tại giá trị nào của x để đa thức P(x) và Q(x) cùng có giá trị không dương
HD: 
Xét tổng bằng dương
Bài 68: Cho 3 đơn thức: , CMR ba đơn thức này không thể có cùng giá trị dương
Bài 69: Cho hai đa thức: và chứng minh rằng không tồn tại giá trị nào của x và y để hai đa thức cùng có giá trị âm
Bài 70: Cho đa thức và , CMR A và B không thể cùng có giá trị âm
Bài 71: Cho , CMR: P và Q không thể có cùng giá trị dương
Bài 72: Cho đa thức : Cho biết 9a-b=-3c, CMR : Trong ba số P(-1) ; P(-2) ; P(2) có ít nhất 1 số âm, ít nhất 1 số không dương
HD : 
Ta có : P(-1)+P(-2)+P(2)=9a-b+3c=0 do đó trong ít nhất ba số trên có 1 số không âm, ít nhất 1 số không dương
Bài 73: Tính tổng các hệ số của đa thức sau khi bỏ dấu ngoặc : 
HD: 
Sau khi bỏ ngoặc ta được : với 
Thay x=1, thì giấ trị của bằng tổng các hệ số của P(x)
Ta có 
Bài 74: Tính tổng các hệ số của đa thức F(x) sau khi thu gọn: 
Bài 75: Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức:
Dạng 2. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
Bài 1: Chứng minh rằng đa thức sau không có nghiệm với mọi x: 
Bài 2: Chứng minh rằng đa thức: không có nghiệm.
Bài 3: CMR đa thức không có nghiệm
Bài 4: CMR: đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm nếu: với mọi x	
Bài 5: CMR: đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm nếu: với mọi x
Bài 6: CMR đa thức P(x) có ít nhất hai nghiệm, biết : 
HD : 
Vì với mọi x nên
Khi x=6 thì => 2 là nghiệm của P(x)
Khi x=-1 thì 
=> -1 là nghiệm của P(x)
Bài 7: Cho đa thức P(x) thỏa mãn: , CMR đa thức có ít nhất ba nghiệm
HD: 
Xét x=0, x=3 và x= -3
Bài 8: Cho đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện : CMR đa thức trên có ít nhất hai nghiệm
Bài 9: Cho đa thức thỏa mãn điều kiện , CMR đa thức có ít nhất hai nghiệm
Bài 10: Cho đa thức thỏa mãn điều kiện, CMR đa thức có ít nhất 3 nghiệm
Bài 11: Tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn: với mọi giá trị của x, biết 
Bài 12: Tìm 1 đa thức có bậc nhỏ nhất nhận 19; 5 và 2017 làm nghiệm
HD : 
Bài 13: Tìm 1 đa thức có bậc nhỏ nhất nhân 1 ; 3 ; 5 ; ... ;2019 làm nghiệm
Bài 14: Cho đa thức : (m là hằng số). Tìm các nghiệm của Q(x), biết rằng Q(x) có 1 nghiệm là -3
Bài 15: Cho hàm số : , CMR không thể đồng thời có f(17)=71, f(12)=35
Bài 16: Xét hai đa thức và là hai số khác nhau. CMR nếu P(x) và Q(x) cùng nhận làm nghiệm thì P(x) = Q(x)
HD : 
Ta có :	 
	 Nên 
Do đó : và => Vậy P(x)=Q(x)
Bài 17: Cho đa thức: 
a, Tìm bậc của q(x)
b, Tính 
c, CMR: đa thức q(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên
Bài 18: Cho hàm số , có tính chất 
Hãy CMR: 	a 	b, 
Bài 19: Cho hàm số xác định với mọi x thuộc R, biết rằng với mọi x ta đều có: 
 , Tính 
HD:
	Ta có: 
	Và 
Bài 20: Cho đa thức thỏa mãn: , với mọi x
CMR: có ít nhất 4 nghiệm.