Chuyên đề ôn tập Đại số Lớp 7 - Chuyên đề 4: Biểu thức đại số - Chủ đề 8: Nghiệm của đa thức một biến

 CHỦ ĐỀ 8. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
• Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x = a) là một nghiệm của đa 
thức đó.
• Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm,... hoặc không có 
nghiệm.
• Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức không) không vượt quá số bậc của đa thức đó.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1= Kiểm tra xem x = a có là nghiệm của đa thức P(x) hay không
Phương pháp giải:
Ta tính P(a), nếu P (a) = 0 thì a là nghiệm của đa thức P(x).
1A. Cho đa thức: P(x) = x3+ 2x2 - 3x. Số nào sau đây là nghiệm của đa thức P(x): 0; l; -l; -3.
1B. Mỗi số x= 1 ;x = -3 có phải là một nghiệm của đa thức 
P(x) = x2 + 2x - 3 hay không?
 3
2A. Cho đa thức P(x) = 2x2 + x - 3 . Chứng tỏ rằng x = l; x = - là hai nghiệm của đa thức 
 2
đó.
2B. Cho đa thức P(x) = x2 + 5x + 6 . Chứng tỏ rằng x = -2; x = -3 là hai nghiệm của đa thức 
đó.
3A. Cho đa thức: f (x) = (2x2 - 3x + 1) - (x2 - 7x - 2).
a) Thu gọn đa thức f (x).
b) Chứng minh rằng -1 và -3 là các nghiệm của f (x).
3B. Cho đa thức: f (x) = 2(x2 - 3) - (x2 +5x).
a) Thu gọn đa thức f (x).
b) Chứng minh rằng -1 và 6 là các nghiệm của f (x)
Dạng 2. Tìm nghiệm của đa thức
Phương pháp giải:
Để tìm nghiệm của đa thức P(x), ta tìm các giá trị của x sao cho P(x) = 0.
4A. Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a) x - 10; b) 2x + 8; c) 3x + 8; d) 16 - x2
e) 4x2 - 9; f) 2x2 - 6; g) 3x2+6x; h) 4x3 + 9x 
 4B. Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a) x + 5; b) 9 - 3x; c) -4x + 7; d) x2 - 25
e) 9x2 - 4; f) 5x2 - 10; g) x2 + 2x; h) x3 + x
5A. Tìm nghiệm của các đa thức sau:
 a) (2x - 4)(x + 9); b) x2 + 4x + 3;
c) x2 + 7x +12; d) x2 - x - 6;
e) 2x2 + 5x + 3; f) 3x2 + 5x - 2.
5B. Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a) (x - 5) (7 + x); b) x2 + 3x + 2;
c) x2 +7x + 10; d) x2 + 3x - 4; e) 2x2 - 5x + 3; f) 3x2 + 5x - 2.
6A. Cho hai đa thức:
 f (x) = 3x3 + 4x2 - 2x - l - 2x3 và g(x) = x3 + 4x2 + 3x - 2.
a) Thu gọn đa thức f (x).
b) Tính h(x) = f (x) - g(x).
c) Tìm nghiệm của đa thức h(x).
6B. Cho hai đa thức:
 f (x) = 5x2 - 3x3 + 6x - 8 + 4x3 - 2x2 và g(x) = - x3 - 3x2.
a) Thu gọn đa thức f (x).
b) Tính h(x) = f (x) + g(x).
c) Tìm nghiệm của đa thức h(x)
7A. Cho hai đa thức:
A(x) = 2x (x - 2) - 5(x + 3) + 7x3
B(x) = -x (x + 5) - (2x - 3) + x (3x2 - 2x).
a) Thu gọn các đa thức trên.
b) Tìm nghiệm của đa thức C(x) = A(x) - B(x) - x2 (4x + 5)
7B. Cho hai đa thức:
A(x) = 6x3 - x (x + 2) + 4 (x + 3);
B(x) = -x (x + l)- (4 - 3x) + x2 (x - 2).
a) Thu gọn các đa thức trên.
 b) Tìm nghiệm của đa thức C(x) = A(x) + B(x) - x2 (7x - 4).
Dạng 3. Chứng minh đa thức không có nghiệm 
Phương pháp giải:
Để chứng minh đa thức P(x) không có nghiệm, ta chứng minh P(x) nhận giá trị khác 0 với 
mọi giá trị của x.
8A. Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm: 
a) x2+5; b) 3x2 + 7; c) 3x4 + l0.
8B. Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm:
 a) x2 +1; b) 2x2 + 1; c) x4 + 2.
9A. Chứng tỏ đa thức sau không có nghiệm: x2 + x + 2.
9B. Chứng tỏ đa thức sau không có nghiệm: x2 + x + 1.
10A. Chứng tỏ đa thức sau không có nghiệm:
 f (x) = 3 (x + 1)2 + 2(x - l)2 + 1
10B. Chứng tỏ đa thức sau không có nghiệm: x2 + (x + 1)2 + 1.
Dạng 4. Tìm đa thức một biến có nghiệm cho trước
Phương pháp giải: Để tìm đa thức P(x) biết x = x 0 là một nghiệm của P(x) ta cần chú ý rằng P 
(x0) = 0.
11A. Cho đa thức P(x) = 2x + a - l. Tìm a để P (x) có nghiệm: 
a) x = 0; b) x = 1; c) x = -2.
11B. Cho đa thức P(x) = 4x + a. Tìm a để P(x) có nghiệm:
 1
a) x = 0; b) x = -2; c) x= -
 2
12A. Cho đa thức P(x)= 2ax + a - 6. Tìm a để P(x) có nghiệm: 1
a) x = 1; b) x = -5; c) x= -
 2
12B. Cho đa thức P(x) = ax + a + 5. Tìm a để P(x) có nghiệm:
a) x = 1; b) x = -5; c) x = -1
13A. Hãy xác định hệ số a và b để đa thức f (x) = x2 + 2ax + b nhận các số 0; 2 làm nghiệm.
13B. Hãy xác định hệ số a và b để đa thức f (x) = x2 + ax + b + 1 nhận các số 0; -2 làm 
nghiệm.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
 1
14. Kiểm tra xem l; 2; -2; có phải là các nghiệm của đa thức: 
 2
P(x) = x3 - x2 - 4x + 4 hay không?
15. Cho đa thức Q(x) = x5 + 2x4 +2x3 - 2x2 - x5 - x4 + x2 - 5
Số 1 có phải là nghiệm của Q(x) hay không?
16. Tìm nghiệm của các đa thức sau:
 1
a) x + 7; b) x - 4; c) - 8x + 20; d) x2 -100;
 2
e) 4x2 -81; f) x2 - 7; g) x2 - 9x; h) x3 + 3x.
17. Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a) (x2 - 9)(x + l); b) x2 + 4x - 5;
c) x2+ 9x + 20; d) x2 - x - 20;
e) 2x2 +7x + 6; f) 3x2 + x - 4.
18. Cho hai đa thức P(x) = x2 + 2x - 5 và Q(x) = x2 - 9x + 5.
a) Tính M(x) = P(x) + Q(x) và N(x) = P(x) - Q(x).
b) Tìm nghiệm của các đa thức M(x) và N(x).
19. Cho đa thức f (x) = x2 + mx + 2.
a) Xác định m để đa thức f (x) nhận x = - 2 làm một nghiệm.
b) Với m tìm được ở câu a), tìm tập hợp nghiệm của đa thức f (x).
20. Cho hai đa thức:
 f (x) = 2x4 + 3x2 - x + l - x2 - x4 - 6x3; 
g(x) = 10x3 + 3 - x4 - 4x3 + 4x - 2x2.
a) Thu gọn đa thức f (x), g(x) và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo lũy thừa giảm 
dần của biến.
b) Tính h(x) = f (x) + g(x).
c) Tìm nghiệm của đa thức h(x).
21. Cho các đa thức:
A(x) = x - 5x3 - 2x2 + 9x3 - (x - l) - 2x2 ;
B(x) = -4x3 -2(x2 + 1) + 6x + 2x2 - 9x + 2x3;
C (x) = 2x - 6x2 - 4 + x3.
a) Thu gọn các đa thức trên và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính A(x) + B(x) - C(x).
c) Tìm nghiệm của đa thức P(x) biết P(x) = C(x) - x3 + 4.
22. Cho các đa thức:
 f (x) = x3 (3x -1) - x (l + 3x4);
g(x) = x2 (x2 + 2) - x (-x4 + 2x2 +7)+ 3;
 1
h(x) = x3 (- 2 + 2x - x2 ) - (5x - 3 - 2x2)
 2 a) Thu gọn rồi sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính A(x) = f (x) + g(x) - 2h(x).
c) Tìm nghiệm của đa thức A (x).
23. Cho các đa thức:
A(x) - 4x2 - 2x - 8 + 5x3 - 7x2 +1;
B(x) = -3x3 + 4x2 + 9 + x - 2x - 2x3.
a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính M(x) = A(x) + B(x), N(x) = A(x) - B(x).
c) Chứng tỏ x = 2 là nghiệm của đa thức M(x) nhưng không phải là nghiệm của đa thức N(x).
d) Tìm các nghiệm của đa thức M(x)
 HƯỚNG DẪN
1A. Thay x = 0 vào đa thức P(x) ta được P(0) = 03 + 2.02 - 3.0 = 0 
=> x = 0 là nghiệm của đa thức P(x).
Thay x = -1 vào đa thức P(x) ta được
P(-l) = (-1)3 + 2.(-1)2 - 3.(-l) = 6=>x = - l không là nghiệm đa thức P(x).
Tương tự các số 1;- 3 là nghiệm của đa thức P(x).
1B. Tương tự 1A.
 3 3
2A. Tính được P(1) = P = 0 nên x = 1; x là nghiệm của P(x).
 2 2
2B. Tương tự 2A.
3A. a) f (x) = x2 + 4x + 3.
b) Tính được f (-1) = f (-3) = 0 nên -1 và -3 là các nghiệm của f (x).
3B. Tương tự 3A.
4A. Tìm các giá trị của x để cho mỗi đa thức có giá trị bằng 0 ta được:
 8
a) x = 10; b) x = -4; c) x = d) x = 4
 3
 3
e) x = ± ; f) x = ± 3 ; g) x = 0,x = -2 h) x = 0
 2
4B. Tương tự 3A.
5A. Tìm các giá trị của x để cho mỗi đa thức có giá trị bằng 0 ta được:
a) x = 2, x = -9 b) x = -1, x = -3 c) x = -3, x = -4
 3 1
d) x = 3, x = -2 e) x = -1, x = - f) x = -2, x = 
 2 3
5B. Tương tự 5A
a) x = 5, x = -7 b) x = -1, x = -2 c) x = -2, x = -5
 3 1
d) x = 1, x = -4 e) x = 1, x = f) x = 2, x = -
 2 3
6A. a) f (x) = x3+ 4x2 - 2x - l.
 b) h(x) = -5x + 1
 1
c) Cho -5x +1 = 0 ta tìm được x = là nghiệm của h(x).
 5
6B. Tương tự 6A.
a) f (x) = x3 + 3x2 + 6x - 8. b) h(x) = 6x - 8.
 4
c) Nghiệm của h(x) là x = 
 3
7A. a) A(x) = 7x3 + 2x2 - 9x - 15; B(x) = 3x3 - 3x2 - 7x + 3.
b) C(x) = -2x - 18.
Nghiệm của C(x) là x = -9.
7B. Tương tự 7A.
a) A(x) = 6x3 - x2 + 2x +12; B (x) = x3 - 3x2 + 2x - 4.
b) C(x) = 4x + 8.
Nghiệm của C(x) là x = -2.
8A. a) Do x2 0 nên x2 + 5 > 0 vói mọi x.
Vậy x2 + 5 không có nghiệm.
b) Tương tự câu a.
c) Tương tự câu a. Chú ý rằng x4 0 .
8B. Tương tự 8A.
9A. Biến đổi f (x), ta có:
 1 1 1 1
 f (x) x2 x 2 x2 x x 
 2 2 4 7
 1 1 1 7
 x x x 
 2 2 2 4
 2
 1 1 7 1 7 7
 x x x 
 2 2 4 2 4 4
Với  x ta có f (x) 0. Vậy f (x) không có nghiệm
9B. Tương tự 9A.
10A. Chú ý rằng bình phương của một biểu thức luôn nhận giá trị 
không âm. Do đó 3(x +1)2 0,2 (x - 1)2 0 với mọi x.
Suy ra f (x) 1 vói mọi x.
Vậy với  x ta có f (x) 0, Vậy f (x) không có nghiệm.
10B. Tương tự 10A.
11A. a) Ta có: P(0) = 0  2.0 + a - 1 = 0  a = 1.
b) a = -1.
c) a = 5.
11B. Tương tự 11A.
a) a = 0.
b) a = 8.
c) a = 2.
12A. a) Ta có: P(l) = 0  2a + a - 6 = 0  a = 2.
 6
b) a = - c) Không có a thỏa mãn.
 11
12B. Tương tự 12A.
 5 5
a) a =- b) a = c) Không có a thỏa mãn.
 2 4
13A. Do f (x) nhận x = 0 là nghiệm, thay x = 0 vào f (x) ta được f (0) = 02 + 2.a.0 + b = 0 => b = 0.
Thay x = 2 vào f (x) ta được f (2) = 22 + 2.a.2 + b = 0 
=>4a + b = -4: mà b = 0 => a = -1.
13B. Tương tự 13A.
Ta tìm được b = -1 và a = 2.
14. Tương tự 1A.
15. Tương tự 1A
16. Tương tự 4A
 5
a) x = -7; b) x = 8; c) x = d) x = ±10
 2
 9
e) x = ± ; f) x = ± 7 g) x = 0, x = 9; h) x = 0.
 2
17. Tương tự 5A.
a) x = ±3, x= -1; b) x = 1, x = -5; 
c) x = - 4, x = -5 d) x = 5 , x= -4
 3 4
e) x = - 2. x = - ; f) x = 1, x = -
 2 3
18. a) M (x) = 2x2 - 7x ; N(x0 = 11x - 10
 7
b) m (x) có nghiệm x = 0 , x = 
 2
 10
N (x) có nghiệm x = 
 11
19. a) Do f (x) nhận x = -2 làm một nghiệm nên f (-2) = 0. Từ đó tìm 
được m = 3.
b) Với m = 3 thì f (x) = x2 + 3x + 2 có tập hợp nghiệm là {-1; -2}.
20. a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức, ta được: 
 f (x) = x4 - 6x3 + 2x2 - x +1;
g (x) = - x4 + 6x3 - 2x2 + 4x + 3.
b) h (x) = 3x + 4.
 4
c) Nghiệm của h(x) là x = -
 3
21. a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức, ta được: 
A (x) = 4x3 - 4x2 +1;
B (x) = -2x3 - 3x - 2;
C (x) = x3 - 6x2 + 2x - 4.
b) A(x) + B(x) - C(x) = x3 4- 2x2 - 5x + 3.
 1
c) P(x) = -6x2 + 2x có nghiệm x = 0, x = 
 3
22. a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức, ta được: 
 f (x) = -3x5 + 3x4 - x3 - x;
g (x) = x5 + x4 - 2x3 + 2x2 - 7x + 3;
 5 3
h (x) = - x5 +2x4 - 2x3 + x2 - x + 
 2 2
b) A(x) = x3 -3x. c) Nghiệm của A(x) là x = 0,x = 3.
23. a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức, ta được:
A (x) = 5x3 - 3x2 - 2x - 7; B(x) = -5x3 + 4x2 - x + 9.
b) M(x) = x2 -3x + 2; N(x) = 10x3 - 7x2 - x - 16.
c) Tính được M(2) - 0 nên x = 2 là nghiệm của M(x).
Tính được N(x) = 34 0 nên x = 2 không là nghiệm của N(x).
d) M(x) có nghiệm x = 2, x = 1
.............................................................................................................................................................