Kỳ thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp tỉnh môn Toán 7 (Có đáp án) - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN 7
Câu 1. (4,0 điểm)
Rút gọn : 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với là số tự nhiên
Câu 2. (5,0 điểm)
Tìm biết: 
Ba bạn An, Bình, Cường có tổng số viên bi là 74. Biết rằng số viên bi của An và Bình tỉ lệ với và 6; số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với và 5. Tính số viên bi của mỗi bạn
Câu 3. (4,0 điểm)
Cho là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng là hợp số
Cho là số tự nhiên có 2 chữ số. Tìm biết và đều là các só chính phương.
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác cân tại A và có cả ba góc đều là góc nhọn
Về phía ngoài của tam giác vẽ tam giác vuông cân ở B. Gọi H là trung điểm BC, trên tia đối của tia lấy điểm I sao cho Chứng minh hai tam giác và bằng nhau và 
Phân giác của các góc cắt lần lượt tại Phân giác của góc cắt tại N. Chứng minh 
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho và . Tính 
ĐÁP ÁN
Câu 1.
Vậy 
Nếu hoặc thì 
Nếu thì 
Nếu thì 
Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt được khi hoặc 
Câu 2.
Ta có:
Vậy là kết quả cần tìm
Gọi số viên bi của An, Bình, Cường lần lượt là Vì tổng số viên bi của ba bạn là 74 nên 
Vì số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6 nên 
Vì số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với và 5 nên 
Từ đó ta có: 
Suy ra 
Câu 3.
Vì là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 
Với 
Suy ra 
Với 
Suy ra 
Vậy là hợp số
Vì là số có hai chữ số nên 
Mặt khác là số chính phương chẵn nên có thể nhận các giá trị: ;
Với không là số chính phương
Với là số chính phương
Với không là số chính phương
Với không là số chính phương
Với không là số chính phương
Vậy số cần tìm là 
Câu 4.
Xét hai tam giác và có: ;
Góc là góc ngoài của nên:
Ta có: 
Do đó: 
Do 
Trong tam giác vuông vuông tại H có:
Do đó: 
Vậy vuông góc với 
Do tính chất của đường phân giác, ta có: 
Gọi là trung điểm của Ta có: 
Tam giác cân tại F nên 
(góc ngoài của tam giác)
Ta có: 
Do tam giác cân tại A nên 
Từ (1), (2), (3)hay tam giác cân tại D.
Do đó: 
Câu 5. Ta có:
Do đó