Bài giảng Toán Lớp 7 Sách KNTT - Chương IX, Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Chào cả lớp! 
Chào mừng các em 
tới buổi học này . 
K HỞI ĐỘNG 
Có thể coi ba ngôi nhà của ba anh em trong một khu vườn là ba đỉnh của một tam giác (không tù). Họ muốn khoan một giếng chung trong vườn cách đều ba ngôi nhà (H9.36). 
Em có thể giúp họ chọn địa điểm để khoan giếng không? 
BÀI 35: SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC 
CHƯƠNG IX. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG MỘT TAM GIÁC 
NỘI DUNG BÀI HỌC 
1. Sự đồng quy của ba đường trung trực trong một tam giác 
2. Sự đồng quy của ba đường cao trong một tam giác 
1. Sự đồng quy của ba đường trung trực trong một tam giác 
Đ ư ờng trung trực của tam giác 
Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác . Trên hình 9.37, d là đường trung trực ứng với cạnh BC của tam giác ABC . 
? 
Mỗi tam giác có mấy đường trung trực? 
Thảo luận nhóm đôi 
Mỗi tam giác có 3 đường trung trực. 
Trả lời: 
HĐ 1: 
Vẽ tam giác ABC ( không tù) và ba đường trung trực của các đoạn BC, CA, AB. Quan sát hình và cho biết ba đường trung trực đó có cùng đi qua một điểm hay không? 
Trả lời: 
Ba đường trung trực DP, DQ, DR cùng cắt nhau tại điểm D. 
Sự đồng quy của ba đường trung trực 
HĐ 2: 
Dùng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, hãy lập luận để suy ra tính chất nói ở HĐ1 bằng cách trả lời các câu hỏi sau: 
Cho O là giao điểm các đường trung trực của hai cạnh BC và CA (H.9.38) 
a) Tại sao OB = OC , OC = OA 
b) Điểm O có nằm trên đường trung trực của AB không? 
Giải 
a) Gọi M là giao điểm của BC với đường trung trực của BC 
 OM là đường trung trực của BC, OM ⊥ BC 
Xét ∆OBM và ∆ OCM ta có: 
MB = MC (M là trung điểm của CB) 
 = 90 o ( Vì OM ⊥ BC ) 
OM chung 
 ∆OBM = ∆ OCM (c.g.c) 
 OB = OC (2 cạnh tương ứng) 
Giải 
Gọi N là giao điểm của AC với đường trung trực của AC 
 ON là đường trung trực của AC, ON ⊥ AC 
CMTT , ta có ∆OAN = ∆ OCN OC = OA 
b) Ta có: 
OB = OC ; OA = OC (cmt) OB = OA 
 O cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng AB. 
 O thuộc đường trung trực của AB (t/c đường trung trực của đoạn thẳng) 
KẾT LUẬN 
Định lí 1: 
Vì giao điểm O của ba đường trung trực trong tam giác ABC cách đều ba đỉnh của tam giác đó (OA = OB = OC) nên có một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A, B, C. 
Ví dụ (SGK – tr78) 
Các đường trung trực d, m, n đồng quy tại O và OA = OB = OC. 
NHẬN XÉT 
Vì giao điểm O của ba đường trung trực trong tam giác ABC cách đều ba đỉnh của tam giác đó (OA = OB = OC) nên có một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A , B, C. (H.9.40) 
Ví dụ 1 (SGK – tr78) 
Giải 
Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường trung tuyến AI của tam giác ABC. 
a) Chứng minh Al là đường trung trực của cạnh BC. 
b) Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC có nằm trên Al không? 
a) 
GT 
KL 
 ABC, AB = AC 
AI là đường trung tuyến 
AI là đường trung trực của cạnh BC. 
Giải 
Xét AIB và AIC có: 
AB = AC (gt) 
IB = IC (do AI là trung tuyến) 
cạnh AI chung 
Mà + = 180 o (2 góc kề bù) = = 90 o 
 AI là trung trực của cạnh BC. 
 AIB = AIC (c.c.c) 
 = 
b) Theo câu a, do điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC nằm trên đường trung trực của BC. 
 Điểm đó nằm trên trung tuyến AI 
LUYỆN TẬP 1 
Giải 
Chứng minh rằng trong tam giác đều ABC, trọng tâm G cách đều 3 đỉnh của tam giác đó. 
G là trọng tâm của tam giác ABC 
 G là giao của 3 đường trung tuyến AN, CM, BP. 
Xét ∆ ANB và ∆ ANC, có: 
 AN chung 
NB = NC (t/c đường trung tuyến) 
AB= AC (vì ∆ ABC đều ) 
 ∆ ANB = ∆ ANC (c.c.c) 
Giải 
 = (2 góc tương ứng) 
 AN hay AG là đường phân giác của 
 Tương tự BP hay BG là đường phân giác của 
 G cách đều 3 cạnh AB, AC, BC mag G là trọng tâm 
 G là giao điểm của 3 đường trung trực 
 G cách đều 3 đỉnh A,B,C 
VẬN DỤNG 1 
Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu 
Có thể coi ba ngôi nhà của ba anh em trong một khu vườn là ba đỉnh của một tam giác (không tù). Họ muốn khoan một giếng chung trong vườn cách đều ba ngôi nhà (H9.36). 
Em có thể giúp họ chọn địa điểm để khoan giếng không? 
Kết quả: 
Ba ngôi nhà không thẳng hàng nên tạo thành 1 tam giác, ta gọi là tam giác ABC . 
Điểm khoan giếng cách đều 3 ngôi nhà khi và chỉ khi điểm khoan giếng là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC 
 Vậy , ta cần vẽ 2 đường trung trực của tam giác ABC, chúng cắt 
 nhau tại đâu thì đó là điểm cần khoan giếng . 
Thử thách nhỏ. 
Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng, hãy giải thích nếu điểm Q cách đều ba đỉnh của tam giác ABC thì Q phải là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. 
Kết quả: 
Vì Q cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC nên GA= GB = GC 
Vì QA = QB nên Q nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng ). 
Kết quả: 
Vì QA = QC nên Q nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng ). 
Vì QB = QC nên Q nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng). 
Vậy Q là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC. 
2 . Sự đồng quy của ba đường cao trong một tam giác 
Đường cao của tam giác 
Trong hình 9.42, đoạn thẳng AI kẻ từ đỉnh A, vuông góc với cạnh đối diện BC là một đường cao của tam giác ABC. Ta còn nói AI là đường cao xuất phát từ đỉnh A (hay đường cao ứng với cạnh BC). 
? 
Mỗi tam giác có mấy đường cao? 
Thảo luận nhóm đôi 
( Vì từ mỗi đỉnh của tam giác, ta kẻ được 1 đường cao của tam giác nên mỗi tam giác có 3 đường cao). 
Trả lời: 
Mỗi tam giác có 3 đường cao. 
HĐ 3: 
Vẽ tam giác ABC và ba đường cao của nó. Quan sát hình và cho biết, ba đường cao đó có cùng đi qua một điểm không. 
Trả lời: 
Ba đường cao AN, BP, CM cùng đi qua điểm H. 
Sự đồng quy của ba đường cao 
KẾT LUẬN 
Định lí 2: 
Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm. 
Các đường cao AI, BJ, CK đồng quy tại H . 
CHÚ Ý 
a) Điểm đồng quy của ba đường cao của một tam giác gọi là trực tâm của tam giác đó. 
b) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC (H.9.44), ta có: 
Khi ABC là tam giác nhọn thì H nằm bên trong tam giác. 
CHÚ Ý 
Khi ABC là tam giác vuông tại A thì H trùng với A (kí hiệu là H A ) 
 Khi ABC là tam giác tù thì H nằm bên ngoài tam giác. 
Ví dụ 2 (SGK – tr80) 
Chứng minh trong tam giác đều, trực tâm của nó cách đều ba đỉnh của tam giác 
Giải 
GT 
KL 
 ABC, AB = AC 
AI là đường trung tuyến 
AI là đường trung trực của cạnh BC. 
Giải 
Trong tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao Al. 
Xét tam giác vuông ABI và ACI có: 
AI chung 
AB = AC (gt ) 
 BI = CI. 
 ABI = ACI 
( cạnh huyền - cạnh góc vuông). 
Vậy đường cao AI là đường trung trực của cạnh BC. 
Vì tam giác đều cũng là tam giác cân tại mỗi đỉnh nên ba đường cao cũng là ba đường trung trực của nó. 
Vậy trực tâm H của tam giác đều cũng là giao điểm của ba đường trung trực nên nó cách đều ba đỉnh của tam giác . 
LUYỆN TẬP 2 
a) Chứng minh trong tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó 
Giải 
Kẻ đường trung trực của đoạn thẳng BC, cắt BC tại D 
Vì ∆ ABC cân (gt) ⇒ AB = AC (t/c tam giác cân) 
⇒ A thuộc đường trung trực của cạnh BC (t/c) 
Giải 
⇒ AD là đường trung trực của BC. 
Xét ∆ ADB và ∆ ADC, có: 
AB = AC (t/c tam giác cân) 
DB = DC (tính chất đường trung trực) 
AD chung 
 ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c) 
 (2 góc tương ứng ) 
Giải 
Mà + = 180 o 
 = = 90 o 
 AD vuông góc với BC 
 AD là đường cao. 
(*) AD là đường phân giác của tam giác ABC . 
Vậy tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó. 
LUYỆN TẬP 2 
b) Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác. 
Giải 
Giả sử G là điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác 
 ABC đều GA = GB = GC 
 Ta cần chứng minh: GM = GN = GP 
 ( GM, GN, GP là khoảng cách từ G đến AB, BC, AC ) 
Giải 
Xét ∆AGB và ∆ AGC, có: 
AG chung 
GB = GC (gt) 
AB= AC (t/c tam giác đều) 
 = 
 AG là đường phân giác của 
Tương tự ta có: CG là đường phân giác của 
 G là giao điểm của 2 đường phân giác AG và CG 
 G cách đều 3 cạnh AB, AC, BC (t/c sự đồng quy của 3 đường phân giác) 
 ∆AGB = ∆AGC (c.c.c) 
CHÚ Ý 
Trong tam giác cân tại A, đường cao xuất phát từ đỉnh A đồng thời là đường trung trực, đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác đó. 
LUYỆN TẬP 
Bài 9.26 ( Tr81) 
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác HBC, HCA, HAB 
Giải 
Xét ΔABC có: H là trực tâm của Δ (gt) 
 AH ⊥ BC tại N, BH ⊥ AC tại P, CH ⊥ AB tại M 
Trong ΔAHB, ta có: 
 AC ⊥ BH tại P 
 BC ⊥ AH tại N 
Mà AC BC tại C 
 C là trực tâm của Δ AHB (t/c trực tâm) 
Giải 
Trong ΔHAC, ta có: 
 AB ⊥ CH tại M 
 CB ⊥ AH tại N 
 Mà AB CB tại B 
Trong ΔHBC, ta có: 
 BA ⊥ HC tại M 
 CA ⊥ BH tại P 
 Mà BA CA tại A 
 B là trực tâm của ΔHAC 
 A là trực tâm của ΔHBC 
LUYỆN TẬP 
Bài 9.27 ( Tr81) 
Cho tam giác ABC có = 100° và trực tâm H. Tìm góc BHC 
Giải 
Gọi E là chân đường cao từ C xuống AB, D là chân đường cao từ B xuống AC 
 HC ⊥ BE tại E, HB ⊥ CD tại D 
Ta có + = 180° (2 góc kề bù) 
 100° + = 180° 
 = 80 ° 
Giải 
∆ ADB là tam giác vuông tại D 
 + = 90° 
 = 90°- 80° = 10° 
 = 10° 
∆BEH là tam giác vuông tại E 
 + = 90° 
 = 90°- 10° = 80° 
 = 80° 
LUYỆN TẬP 
Bài 9.28 ( Tr81) 
Xét điểm O cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu O nằm trên một cạnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông 
Giải 
O cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC 
 O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC 
 OA = OB = OC 
Giải 
 ∆OAB cân tại O = 
 ∆OAC cân tại O = 
Xét ∆ OAB ta có: + + = 180° 
 2 + = 180° 
 = 180° - 2 
Tương tự ta có = 180° - 2 
Giải 
O thuộc BC + = 180° 
 180° - 2 + 180° - 2 = 180° 
 360° - 180° = 2 + 2 
 180 ° = 2 ( + ) 
 = 90° 
 ∆ ABC vuông tại A 
Đáp án 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
Hết giờ 
10s 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 1 
Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực trong ∆ABC. Khi đó O là: 
A. Điểm cách đều ba cạnh của ∆ABC 
B. Điểm cách đều ba đỉnh của ∆ABC 
C. Trọng tâm của ∆ABC 
D. Tất cả đáp án đều sai. 
Đáp án 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
Hết giờ 
10s 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 2 
Cho Δ ABC, hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H. Em chọn phát biểu đúng: 
A. H là trọng tâm của ΔABC 
B. H là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC 
C. CH là đường cao của ΔABC 
D. CH là đường trung trực của ΔABC 
Đáp án 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
Hết giờ 
10s 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 3 
Cho tam giác ABC có AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = AB. Các đường trung trực của BE và AC tại O. Chọn câu đúng: 
A. = 	B . = 
C. = 	D . = 
Đáp án 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
Hết giờ 
10s 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 4 
Cho Δ ABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chọn câu đúng 
A. AI > AK 	 B . AI < AK 
C. AI = 2AK 	 D . AI = AK 
Đáp án 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
Hết giờ 
10s 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 5 
Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H. Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AK = AH. Kẻ KD⊥AC(D∈BC). Chọn câu đúng 
A. AHD= AKD 
B. AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK 
C. AD là tia phân giác của góc HAK 
D. Cả A, B, C đều đúng 
VẬN DỤNG 
Bài 9.29 ( Tr81) 
a) Có một chi tiết máy (đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy. (H.9.46). Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này? 
b) Trên bản đồ, ba khu dân cư được quy hoạch tại điểm A, B, C không thẳng hàng. Hãy tìm trên bản đồ một điểm M cách đều A, B, C để quy hoạch một trường học 
Giải 
a) Lấy ba điểm phân biệt A, B, C trên đường viền ngoài chi tiết máy. 
Vẽ đường trung trực cạnh AB và cạnh BC. Hai đường trung trực này cắt nhau tại O. Khi đó O là tâm cần xác định. 
Bán kính đường tròn cần tìm là độ dài đoạn OB (hoặc OA hoặc OC). 
Ta có hình vẽ minh họa: 
Giải 
b) 
Vẽ đường trung trực của các đoạn AB, AC, BC 
3 đường trung trực này cắt nhau tại M. Khi đó MA = MB = MC 
M là điểm cần xác định 
Ta có hình minh họa: 
VẬN DỤNG 
Bài 9.30 ( Tr81) 
Cho hai đường thẳng không vuông góc b,c cắt nhau tại điểm A và cho điểm H không thuộc b và c (H.9.47). Hãy tìm điểm B thuộc b, điểm C thuộc c sao cho tam giác ABC nhận H làm trực tâm. 
Bước 1: từ H, kẻ HD ⊥ c tại điểm D, HD cắt b tại B 
Giải 
Bước 2: Từ H kẻ HE ⊥ b tại điểm E, HE cắt c tại C 
Giải 
Bước 3: Nối hai điểm B và C ta được ABC. 
HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ 
* Ghi nhớ 
kiến thức trong bài. 
* Hoàn thành các bài tập trong SBT. 
* Chuẩn bị trước 
“Luyện tập chung” 
CẢM ƠN CÁC EM 
ĐÃ LẮNG NGHE!