Bài tập Hình học 7 - Bài 4: Bài tập tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 4.BÀI TẬP TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
I. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
F Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. 
F Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến. Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. 
F Giao điểm của các đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác. 
Trong hình bên, ta có G là trọng tâm của tam giác ABC và: 
II. BÀI TẬP 
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A có đường phân giác AD. 
a) Chứng minh: Điểm D là gì? 
b) Chứng minh đường phân giác AD và 2 đường trung tuyến BE, CF của tam giác ABC đồng 
qui tại một điểm. 
Bài 2: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau ở G. D là trung điểm BC. Đường AD là đường gì và điểm G là điểm gì trong tam giác ABC? Chứng minh: A, G, D thẳng hàng. 
Bài 3: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau ở G. AG kéo dài cắt BC tại M. Chứng minh: 
Bài 4: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và CF cắt nhau ở G. AG kéo dài cắt BC tại H. 
a) So sánh và 
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của GA và GC. Chứng minh: AK, BD, CI đồng qui. 
Bài 5: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD và BE cắt nhau ở G. Kéo dài GD thêm một đoạn Chứng minh: G là trung điểm của AI. 
Bài 6: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và đường trung tuyến AD. Kéo dài GD thêm một đoạn Gọi E là trung điểm của AB. IE cắt BG tại M. Chứng minh: M là trọng tâm của tam giác ABI. 
Bài 7: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Kéo dài từ B đến A thêm một đoạn 
AC cắt DM ở G. BG kéo dài cắt CD ở I. 
a) Chứng minh: 
b) Đoạn BI là gì của tam giác BCD. 
Bài 8: Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. 
a) Tam giác ABD là tam giác gì? Tính AD. 
b) Trung tuyến BE cắt AD tại G. Tính AG. 
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có Trung tuyến AD cắt trung tuyến BE ở G. 
a) Tính AC và AE. 
b) Tính BE và BG. 
Kéo dài CG cắt AB tại K. Tính CK. 
Bài 10: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AO. Kéo dài từ A đến O thêm một đoạn Gọi H, K lần lượt là trung điểm của BD và CD. AH và AK lần lượt cắt BC ở E và F. 
a) Trong và điểm E và F được gọi là gì? 
b) So sánh EO với BO, OF với OC. Chứng minh: 
Bài 11: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD và BE cắt nhau ở K. Gọi I là trung điểm của AK. CI cắt KE tại G. 
a) Điểm G là gì của tam giác ACK. So sánh EG với EK. 
b) So sánh EK với EB và EG với EB. 
Bài 12: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BI và CK cắt nhau ở G. Kéo dài AG thêm một đoạn 
 và AD cắt BC tại M. 
a) Chứng minh: 
b) So sánh BD với CK. 
Bài 13: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD. Lấy điểm G trên đoạn AD sao cho Gọi E là trung điểm của AC. Chứng minh: và B, G, E thẳng hàng. 
Bài 14: Cho tam giác ABC, vẽ 2 đoạn BI và CK dài bằng nhau và cùng vuông góc với BC sao cho I và K ở hai bên đường thẳng BC. IK cắt BC ở D. 
a) Chứng minh: D là trung điểm của BC. 
b) Lấy G trên AD sao cho Điểm G là gì của tam giác ABC và tam giác AIK. 
Bài 15: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD. Trên AD lấy hai điểm I và G sao cho Gọi E là trung điểm của AC. 
a) Chứng minh: B, G, E thẳng hàng và so sánh BE và GE. 
b) CI cắt GE ở O. Điểm O là gì của tam giác ACG? Chứng minh: 
c) Cho tam giác ABC. Trên BC lấy T sao cho Kéo dài từ A đến C thêm một đoạn 
d) Điểm T là gì của tam giác ABD? 
e) DT cắt AB ở E. Chứng minh: E là trung điểm của AB. 
Bài 16: Cho tam giác ABC có M và G lần lượt là trung điểm của AB và AC. Kéo dài MG thêm một đoạn 
a) Điểm G là gì của tam giác ABD? 
b) BD cắt AC ở O. Chứng minh: O là trung điểm của BD và của GC. 
Bài 17: Cho hai tam giác ABC và ADC, có chung cạnh AC, hai đỉnh B, D nằm trong hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng AC và Gọi M, N, P là các trung điểm của các đoạn AD, DC, BC và E, F là giao điểm của BD với AP, CM. 
a) Chứng minh: A, F, N thẳng hàng. 
b) Chứng minh: 
Bài 18: Cho tam giác ABC. Trong nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC, có chứa điểm B, ta vẽ tia và trên một điểm D sao cho Trong nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC, không chứa điểm B, ta vẽ tia và trên Ax một điểm E sao cho Hai tia BD và EC cắt nhau tại điểm F. 
a) Chứng minh: 3 đường thẳng AF, BE, CD đồng qui tại một điểm G. 
b) Chứng minh: và có cùng trọng tâm. 
Bài 19: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM, BI cắt AC tại D. 
a) Chứng minh: 
b) Chứng minh: 
Bài 20*: Cho tam giác ABC, ba đường trung tuyến AD, BE, CF. Từ F kẻ đường thẳng song song với AD cắt ED tại I. 
a) Chứng minh và 
b) Cho biết chứng minh tam giác ICF là tam giác vuông và chu vi của tam giác này bằng tổng độ dài ba đường trung tuyến của tam giác ABC.