Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chuyên đề 5: Tỉ lệ thức. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

 Buổi 7
Ngày soạn: Ngày dạy: 
 Chuyên đề : TỈ LỆ THỨC. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
I. MỤC TIÊU :
1. Kiến thức: 
- Biết định nghĩa và các t/c của tỉ lệ thức của tỉ lệ thức, số hạng (trung tỉ, ngoại tỉ) của tỉ lệ thức. 
- Củng cố các tính chất của tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 
2. Kĩ năng:
- Nhận biết được tỉ lệ thức và các số hạng của tỉ lệ thức đặc biệt là ngoại tỉ, trung tỉ, bước đầu vận dụng 
các tính chất của nó vào giải bài tập
- Rèn luyện kỹ năng nhận dạng tỉ lệ thức, tìm số hạng chưa biết của tỉ lệ thức 
- Rèn luyện kỹ năng tìm x trong tỉ lệ thức, giải các bài toán về chia tỉ lệ.
3. Thái độ: Tập trung chú ý
4. Năng lực hình thành:
- Năng lực chung: Năng lực phát hiện, ghi nhớ và tính toán
- Năng lực chuyên biệt: Năng lực nhân, chia số hữu tỉ.
II. CHUẨN BỊ
1. Giáo viên: Giáo án, SGK
2. Học sinh: ôn khái niệm tỉ số của hai số hữu tỉ ; định nghĩa hai phân số bằng nhau 
III. TIẾN TRÌNH TIẾT DẠY:
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa. Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
 a c
 • Dạng tổng quát : hoặc a :b c :d
 b d
Các số a và d gọi là ngoại tỉ ; các số b và c gọi là trung tỉ.
2. Tính chất của tỉ lệ thức
 a c
 • Tính chất cơ bản : ad bc b,d 0 
 b d
 • Tính chất hoán vị: Từ một tỉ lệ thức ta có thể:
 Đổi chỗ hai ngoại tỉ cho nhau;
 Đổi chỗ hai trung tỉ cho nhau;
 Vừa đổi chỗ hai ngoại tỉ, vừa đổi chỗ hai trung tỉ.
 a c e a c e a c e a c e
3. Từ dãy tỉ số ta suy ra : 
 b d f b d f b d f b d f
 (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) a b c
4. Khi có dãy tỉ số , ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5.
 2 3 5
 Ta cũng viết a :b :c 2 : 3 : 5
B. Một số ví dụ
 x y
Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết và 2x 3y 36
 3 4
 Giải
✓ Tìm cách giải. Để tìm x,y trong dãy tỉ số bằng nhau và biết thêm điều kiện rằng buộc. Ta có thể:
 • Cách 1. Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ
 • Cách 2. Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
 • Cách 3. Biểu diễn x theo y từ tỉ lệ thức (hoặc y theo x)
✓ Trình bày lời giải
+ Cách 1 : (Đặt ẩn phụ)
 x y
Đặt k suy ra : x 3k , y 4k
 3 4
Theo giả thiết : 2x 3y 36 6k 12k 36 18k 36 k 2
Do đó : x 3.2 6;y 4.2 8
Kết luận x 6, y 8
+ Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):
 x y 2x 3y 36
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có : 2
 3 4 2.3 3.4 18
 x
Do đó : 2 x 6
 3
 y
 2 y 8
 4
Kết luận : x 6, y 8
+ Cách 3: (phương pháp thế)
 x y 3y
Từ giả thiết x 
 3 4 4
 3y
Mà 2x 3y 36 3y 36 9y 72 y 8
 2
 3.8
Do đó : x 6
 4
Kết luận x 6, y 8
 x y y z
Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết : , và 2x 3y z 6
 3 4 3 5
 Giải
✓ Tìm cách giải. Từ hai tỉ lệ thức của giả thiết ,ta cần nối lại tạo thành dãy tỉ số bằng nhau. Quan sát 
 hai tỉ lệ thức ta thấy chúng có chung y vì vậy khi nối cần tạo thành phần chứa y giống nhau. Sau đó 
 vẫn ý tưởng như ví dụ trên, chúng ta có 3 cách giải. • Cách 1. Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ. Biểu thị x, y, z theo hệ số tỉ lệ k.
 • Cách 2. Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
 • Cách 3. Biểu diễn x, y theo z từ dãy tỉ số bằng nhau.
✓ Trình bày lời giải
 x y x y
+ Cách 1. Từ giả thiết : 1 
 3 4 9 12
 y z y z
 2 
 3 5 12 20
 x y z
Từ (1) và (2) , suy ra : * 
 9 12 20
 x y z
Ta đặt k suy ra x 9k ;y 12k ;z 20k
 9 12 20
Theo giả thiết : 2x 3y z 6 18k 26k 20k 6 2k 6 k 3
Do đó: x 27, y 36,z 60 .
+ Cách 2. Chúng ta biến đổi giả thiết như cách 1 đến (*)
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
x y z 2x 3y z 2x 3y z 6
 3
 9 12 20 18 36 20 18 36 20 2
 x
Do đó: 3 x 27
 9
 y
 3 y 36
 12
 z
 3 z 60
 20
Kết luận : x 27, y 36,z 60 .
+ Cách 3. (phương pháp thế : ta tính x, y theo z)
 3z
 3.
 y z 3z x y 3y 9z
Từ giả thiết : y ; x 5 
 3 5 5 3 4 4 4 20
 9z 3z z
Mà 2x 3y z 6 2. 3. z 6 60 z 60
 20 5 10
 3.60 9.60
Suy ra : y 36,x 27
 5 20
Kết luận : x 27, y 36,z 60
 x y
Ví dụ 3: Tìm hai số x và y biết và xy 24
 2 3
 Giải x y
Đặt k suy ra : x 2k , y 3k
 2 3
Theo giả thiết : xy 24 2k .3k 24 k 2 4 k 2
+ Với k 2 thì x 4;y 6
+ Với k 2 thì x 4;y 6
Kết luận. Vậy x ;y là 4; 6 , 4;6 .
✓ Nhận xét. Trong ví dụ này có thể chúng ta mắc sai lầm sau :
+ Thứ nhất trong lời giải trên thiếu trường hợp k 2
 x y xy 24
+ Thứ hai chúng ta vận dụng tính chất : 4! Chúng ta lưu ý rằng tính chất dãy tỉ số 
 2 3 2.3 6
bằng nhau không cho phép nhân (hoặc chia) tử thức với nhau. Do vậy gặp điều kiện về phép nhân hoặc 
lũy thừa giữa các biến, chúng ta nên đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ
 bz cy cx az ay bx
Ví dụ 4:Với a, b, c, x, y, z khác 0 , biết 
 a b c
 a b c
Chứng minh rằng : 
 x y z
 Giải
✓ Tìm cách giải. Quan sát phần kết luận ta cần biến đổi đưa về : ay bx ,bz cy ,az cx hay cần 
 chứng minh ay bx 0,bz cy 0,az cx 0 . Vì vậy từ giả thiết ta cần chứng minh
 bz cy cx az ay bx
 0 . Với suy nghĩ đó , chúng ta cần nhân mỗi tỉ số với một số thích 
 a b c
 hợp vào tử và mẫu số sao cho khi vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì được kết quả bằng 0. 
 bz cy cx az
 Quan sát tỉ số và ta thấy bz và az ; để triệt tiêu được, chúng ta cần nhân cả tử và 
 a b
 mẫu của tỉ số thứ nhất với a; nhân cả tử và mẫu của tỉ số thứ hai với b. Tương tự như vậy với tỉ số 
 thứ ba.
✓ Trình bày lời giải
 abz acy bcx abz acy bcx
Từ đề bài ta có : 
 a2 b 2 c 2
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
abz acy bcx abz acy bcx abz acy bcx abz acy bcx
 0
 a2 b 2 c 2 a2 b 2 c 2
Suy ra ay bx 0,bz cy 0,bz cx 0
 a b c
 ay bx ,bz cy ,bz cx 
 x y z Ví dụ 5: Một khu đất hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài tỉ lệ với 5 và 8. Diện tích bằng 
1960m 2 . Tính chu vi hình chữ nhật đó.
 Giải
✓ Trình bày lời giải
Đặt chiều rộng và chiều dài khu đất là x và y (mét; x,y > 0)
 x y
Theo đề bài , ta có : và xy 1960
 5 8
 x y
Đặt k (điều kiện k > 0 ) , suy ra : x 5k , y 8k
 5 8
Theo giả thiết : xy 1960 5k .8k 1960 k 2 49 k 7 (vì k 0 )
Từ đó ta tìm được : x 35;y 56
Suy ra chu vi hình chữ nhật là : 35 56 .2 182 m 
Ví dụ 6: Cho a, b, c, d khác 0 và không đối nhau từng đôi một, thỏa mãn dãy tỷ số bằng nhau :
2021a b c d a 2021b c d a b 2021c d a b c 2021d
 a b c d
 a b b c c d d a
Tính M 
 c d d a a b b c
 Giải
Từ giả thiết suy ra :
 a b c d a b c d a b c d a b c d
2021 2021 2021 2021 
 a b c d
 a b c d a b c d a b c d a b c d
 a b c d
+ Trường hợp 1: Xét a b c d 0 a b c d ;b c d a 
 c d d a c d d a
Suy ra M 
 c d d a c d d a 
M 1 1 1 1 4
+ Trường hợp 2 :Xét a b c d 0
 a a a a a a
Suy ra a b c d M 1 1 1 1 4
 a a a a a a
 21a 10b 21c 10d
Ví dụ 7: Cho a, b, c, d khác 0 ,thỏa mãn tỉ lệ thức 
 a 11b c 11d
 a c
Chứng minh rằng 
 b d
 Giải 21a 10b a 11b
Từ . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :
 21c 10d c 11d
 21a 10b a 11b 21a 231b 21a 10b 21a 231b 241b b
Từ 1 
 21c 10d c 11d 21c 231d 21c 10d 21c 231d 241d d
 231a 110b 10a 110b 231a 110b 10a 110b 241a a
Từ 2 
 231c 110d 10c 110d 231c 110d 10c 110d 241c c
 a b a c
Từ (1) và (2) , suy ra : hay 
 c d b d
Ví dụ 8: Độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với nhau như thế nào, biết nếu cộng lần lượt từng độ 
dài hai đường cao của tam giác đó thì các tổng này tỉ lệ với 7; 6 ; 5.
 Giải
Đặt độ dài ba cạnh tam giác là a, b, c. Độ dài ba đường cao tương ứng là ha ;hb ;hc . Theo đề bài ta có : 
h h h h h h
 a b b c c a và ah bh ch 1 
 7 6 5 a b c
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
h h h h h h h h h h
 a b b c c a a b b c h h
 7 6 5 7 6 a c
 h h
 h h 5h 5h 2h 3h a c 2 
 c a a c a c 3 2
 h h h h 2h 2h h h 3h 2h h h
Mặt khác a b b c a b b c c b b c
 7 6 14 6 14 6
 h h
 3 3h 2h 7 h h 9h 6h 7h 7h 2h h c b 3 
 c b b c c b b c c b 2 4
 h h h
Từ (2),(3) suy ra : a b c
 3 4 2
 h h h
Đặt a b c k k 0 h 3k ;h 4k ;h 2k
 3 4 2 a b c
 a b c
Kết hợp với (1), ta có : 3a 4b 2c 
 4 3 6
Vậy độ dài ba cạnh tỉ lệ với 4; 3; 6.
C. Bài tập vận dụng
Bài 1. Tìm x, y biết :
 1 2y 1 4y 1 6y 1 3y 1 5y 1 7y
a) ; b) 
 18 24 6x 12 5x 4x
Hướng dẫn:
 1 2y 1 4y
 a) Vì 24 1 2y 18 1 4y 24 48y 18 72y
 18 24 1
 24y 6 y . Thay vào đề bài ta có :
 4
 1 1 3 5
 1 2. 1 6.
 3 5
 4 4 2 3 .6x 18. 18x 90 x 5
 18 6x 18 6x 2 3
 1 3y 1 5y 1 7y 4 20y 5 35y
b) Ta có : 
 12 5x 4x 20x 20x
 1 3y 4 20y 5 35y 12y
 y
 12 20x 20x 12
 1
 1 3y 12y y 
 15
 1
 1 5.
 1
 Thay vào đề bài ,ta được : 15 x 2
 5x 15
 1
 Vậy x 2 và y 
 15
 2x 1 3y 2 2x 3y 1
Bài 2. Cho x, y thỏa mãn . Tìm x, y
 5 7 6x
Hướng dẫn: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
2x 1 3y 2 2x 1 3y 2 2x 3y 1
 5 7 5 7 12
 2x 3y 1 2x 3y 1
Kết hợp với đề bài suy ra: 
 12 6x
✓ Trường hợp 1: Xét 2x 3y 1 0
 2x 1 3y 2 1 2
suy ra: 0 2x 1 0;3y 2 0 x ;y 
 5 7 2 3
✓ Trường hợp 2: Xét 2x 3y 1 0 suy ra 6x 12 x 2
 2.2 1 3y 2 3y 2
Thay vào đề bài ta có : 1 3y 2 7 y 3
 5 7 7
Vậy x 2;y 3
Nhận xét. bài này dễ bỏ sót trường hợp 1
Bài 3. Tìm các số x, y, z biết rằng:
a) x : y : z 3 : 4 : 5 và 5z 2 3x 2 2y 2 594
b) 3 x 1 2 y 2 ;4 y 2 3 z 3 và 2x 3y z 50
 2x 3y 4z
c) và x y z 38
 3 4 5
 x y z
Hướng dẫn: a) Đặt k x 3k ;y 4k ;z 5k
 3 4 5 Mà 5z 2 3x 2 2y 2 594 5.25k 2 3.9k 2 2.16k 2 594
 66k 2 594 k 2 9 k 3
+ Với k 3 suy ra x 9;y 12;z 15
+ Với k 3 suy ra x 9;y 12;z 15
b) 3 x 1 2 y 2 6 x 1 4 y 2 suy ra 6 x 1 4 y 2 3 z 3 
 6 x 1 4 y 2 3 z 3 x 1 y 2 z 3
 12 12 12 2 2 4
 x 1 y 2 z 3
Đặt k x 2k 1;y 3k 2;z 4k 3
 2 3 4
Mà 2x 3y z 50 2 2k 1 3 3k 2 4k 3 50
 4k 2 9k 6 4k 3 50 9k 45 k 5
Vậy x 2.5 1 11;y 3.5 2 17;z 4.5 3 23
 2x 1 3y 1 4z 1 x y z
c) Ta có : . . . 
 3 12 4 12 5 12 18 16 15
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có : 
x y z x y z 38
 2
18 16 15 18 16 15 19
suy ra : x 36;y 32;z 30
Bài 4. Tìm x, y, z biết rằng:
a) 7x 10y 12z và x y z 685;
 x y 5 z y z 9 y
b) ;
 3 1 2 5
 y z 1 z x 2 x y 3
c) x y z
 x y z
 x y z
d) x y z ;
 y z 2 x z 5 x y 7
 xy 1 xz 2 yz 3
e) và xy yz zx 11
 9 15 27
 x y z
Hướng dẫn: a) Từ 7x 10y 12z 
 60 42 35
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :
x y z x y z 685
 5
60 42 35 60 42 35 137
Từ đó suy ra : x 120;y 210;z 175
b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : 5 z y z 9 y 5 z y z 9 y
 2
 1 2 5 1 2 5
 5 z 2 z 3;9 y 10 y 1;X y 6 x 5
c) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
 y z 1 z x 2 x y 3 x z 1 z x 2 x
 2
 x y x x y z
Kết hợp với đề bài, suy ra : x y z 2
Suy ra : y z 1 2x x y z 1 3x 1 2 3x x 1
 4
z x 2 2y x y z 2 3y 4 3y y 
 3
 1
x y 3 2z x y z 3 3z 2 3 3z z 
 2
 5 11 13
d) Giải tương tự câu c, ta được : x ;y ;z 
 6 6 6
e) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
xy 1 zx 2 yz 3 xy 1 zx 2 yz 3 17
 9 15 27 9 15 27 51
Suy ra : xy 1 3 xy 2 1 
 zx 2 5 zx 3 2 
 yz 3 9 yz 6 3 
 2
Từ (1) ,(2) và (3) nhân vế với vế : xyz 36 xyz 6
+ Trường hợp xyz 6
 Kết hợp với (1),(2) và (3) ta có : x 1;y 2;z 3
+ Trường hợp xyz 6
 Kết hợp với (1),(2) và (3) ta có: x 1;y 2;z 3
 a c
Bài 5. Cho . Chứng minh rằng:
 b d
a) a 2c . b d a c . b 2d ;
 2020
 a2020 b 2020 a b 
b) 2020 2020 2020
 c d c d 
 a c
Hướng dẫn: Đặt k a bk ,c dk
 b d
a) Xét a 2c b d bk 2dk b d k. b 2d . b d 1 
Xét a c b 2d bk dk b 2d k b d b 2d 2 Từ (1) và (2), suy ra : a 2c b d a c b 2d 
 2020 2020
 a2020 b 2020 b 2020 .k 2020 b 2020 b k 1 b 2020
b) Xét 1 
 c 2020 d 2020 d 2020 .k 2020 d 2020 d 2020 k 2020 1 d 2020
 2020 2020 2020
 a b bk b b 2020 k 1 b 2020
Xét 2020 2020 2020 2020 2 
 c d dk d d 2020 k 1 d
Từ (1) và (2) , suy ra điều phải chứng minh
 a c
Bài 6. Cho . Các số x, y, z, t thỏa mãn xa yb 0 và zc td 0
 b d
 xa yb xc yd
Chứng minh 
 za tb zc td
 a c
Hướng dẫn: Đặt k a bk ;c dk
 b d
 xa yb xbk yb b xk y xk y
Xét 1 
 za tb zbk tb b zk t zk t
 xc yd xdk yd d xk y xk y
Xét 2 
 zc td zdk td d zk t zk t
 xa yb xc yd
Từ (1) và (2) , suy ra : , điều phải chứng minh
 za tb zc td
 3x y 3 x
Bài 7. Cho tỉ lệ thức . Tính giá trị của tỉ số 
 x y 4 y
 3x y 3
Hướng dẫn: Từ suy ra : 4 3x y 3 x y 12x 4y 3x 3y
 x y 4
 x 7
 12x 3x 3y 4y 9x 7y 
 y 9
 x y y z
Bài 8. Chứng minh rằng : Nếu 2 x y 5 y z 3 z x thì 
 4 5
Hướng dẫn: Từ 2 x y 5 y z 3 z x suy ra : 
2 x y 5 y z 3 z x x y x z z x
 30 30 30 15 6 10
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
x y y z z x x y z x y z
 1 
 15 6 10 15 10 5
x y y z z x z x y z x y
 2 
 15 6 10 10 6 4