Bồi dưỡng năng lực tự học Toán 7 - Phần B: Hình học - Chương III

 Bồi dưỡng năng lực tự học Toán Lớp 7
 Bài 8 : QUAN HỆ GIỮA CẠNH VÀ GÓC ĐỐI DIỆN TRONG TAM GIÁC
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm. So sánh Bµ và Cµ .
Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm. So sánh µA và Cµ .
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 10cm, AC = 12cm. So sánh µA và Bµ .
Bài 4: Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm; BC = 5cm. So sánh các góc 
của tam giác ABC
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm; BC = 7cm. So sánh các góc 
của tam giác ABC
Bài 6: Cho tam giác ABC có Bµ 600 ; Cµ 400 . So sánh các cạnh của tam giác 
ABC
Bài 7: Cho tam giác ABC có AB = 5cm; AC = 12cm, BC =13cm
1) Tam giác ABC là tam giác gì?
2) So sánh các góc của tam giác ABC
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tác ở A có AB = 6cm; BC = 10cm
1) Tính AC
2) So sánh các góc của tam giác ABC.
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông ở A có Bµ 500 . So sánh các cạnh của tam giác 
ABC
Bài 10: Cho tam giác ABC cân ở A có µA 500 . So sánh các cạnh của tam giác 
ABC
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 10cm; AC = 24cm. So sánh các 
góc của tam giác ABC
Bài 12: Cho tam giác ABC cân ở A có Bµ 700 . So sánh các cạnh của tam giác 
ABC
Bài 13: Cho tam giác ABC cân ở A có Bµ 400 . So sánh các cạnh của tam giác 
ABC
Bài 14: Cho tam giác ABC cân ở A có góc ngoài đỉnh µA 1000 . So sánh các cạnh 
của tam giác ABC
Bài 15: Cho tam giác ABC có µA 600 ; Bµ 800 và có phân giác AD
1) Tính ·ADB
2) So sánh các cạnh của tam giác ABD
3) So sánh các cạnh của tam giác ADC
Bài 16: Cho tam gác ABC có góc ngoài đỉnh µA 1200;Bµ 700 . Kẻ phân giác BE
1) Tính ·AEB
2) So sánh các cạnh của tam giác ABE
3) So sánh các cạnh của tam giác BEC
Bài 17: Cho tam giác ABC vuông tại A có Bµ 600 . Kẻ phân giác BD
1) Tính ·ADB và B· DC
2) So sánh các cạnh của tam giác ABD
 1 Bồi dưỡng năng lực tự học Toán Lớp 7
3) So sánh các cạnh của tam giác BDC
Bài 18: Cho tam giác ABC vuông tại A có Cµ 400 và phân giác CE
1) Tính ·AEC và B· EC
2) So sánh các cạnh của tam giác AEC
3) So sánh các cạnh của tam giác BEC
Bài 19: Cho tam giác ABC vuông tại A có Bµ 450
1) Chứng minh Cµ 450
2) So sánh các cạnh của tam giác AEC
3) So sánh các cạnh của tam giác BEC
Bài 20: Cho tam giác ABC vuông ở B. Kéo dài trung tuyến AM lấy MD = MA
1) So sánh CD với AB, CD với AC
2) So sánh B· AM với M· AC
Bài 21: Cho tam giác ABC có AB < AC < BC
1) So sánh các góc cua tam giác ABC
2) Chứng minh Cµ 600
Bài 22: Cho tam giác ABC cân ở A có Bµ 600
1) Chứng minh µA 600
2) So sánh các cạnh của tam giác ABC
Bài 23: Cho tam giác ABC vuông tại A có Bµ 450
1) So sánh Bµ và Cµ
2) So sánh các cạnh của tam giác ABC
Bài 24: Cho tam giác ABC vuông tại A có Cµ 450
1) So sánh Bµ và Cµ
2) So sánh các cạnh của tam giác ABC
Bài 25: Cho tam giác ABC vuông tại A có µA 600
1) Chứng minh Bµ 600
2) Chứng minh AB > BC và AC > BC
Bài 26: Cho tam giác ABC đều. Lấy điểm D bất kì trên cạnh BC
1) Chứng minh ·ADB 600
2) Chứng minh: AB > AD
3) So sánh các cạnh của tam giác ABD
Bài 27: Cho tam giác ABC đều. Lấy điểm I bất kì trên cạnh BC
1) Chứng minh ·AIC 600
2) Chứng minh AC > AI
3) So sánh các cạnh của tam giác AIC
Bài 28: Cho tam giác ABC có phân giác AD
 1
1) Chứng minh: ·ADC ·ABC B· AC
 2
2) So sánh AC và DC
Bài 29: Cho tam giác ABC có phân giác AD
 2 Bồi dưỡng năng lực tự học Toán Lớp 7
 1
1) Chứng minh: ·ADB ·ACB B· AC
 2
2) So sánh AB và BD
Bải 30: Cho tam giác ABC có phân giác BD
 1 1
1) Chứng minh ·ADC ·ABC ·ABC và B· DC B· AC ·ABC
 2 2
2) So sánh BC và DC
3) So sánh AB và AD
 3 Bồi dưỡng năng lực tự học Toán Lớp 7
 Bài 9: QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC ĐƯỜNG XIÊN – HÌNH 
 CHIẾU
 ĐƯỜNG XIÊN VÀ ĐƯỜNG VUÔNG GÓC
Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ AH  BC tại H
1) Chứng minh: AC > AH
2) Chứng minh: AB > AH
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A
1) Chứng minh AB < BC
2) Chứng minh: AC < BC
Bài 3: Chứng minh rằng trong tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC là cạnh lớn 
nhất
Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ AH BC tại H.
1) Chứng minh AH < AB và AH < AC
 1
2) Chứng minh AH (AB AC)
 2
Bài 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ BD AC tại D, CE AB tại E.
1) Chứng minh AB > BD
2) Chứng minh AC > CE
3) Chứng minh AB + AC > BD + CE
Bài 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ BD AC tại D, CE AB tại E.
1) Chứng minh BC > BD
2) Chứng minh: BC > CE
 BD CE
3) Chứng minh: BC 
 2
Bài 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ BD AC tại D, CE AB tại E.
1) Chứng minh: AB + AC > BD + CE
 BD CE
2) Chứng minh: BC 
 2
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao.
1) Chứng minh: AC > AH và AC < BC
2) Chứng minh AH < BC
Bài 9: Cho tam giác ABC, D nằm giữa A và C (BD không vuông góc với AC). Gọi 
E và F là chân đường vuông góc hạ từ A và C đến đường thẳng BD.
1) Chứng minh AE < AD
2) Chứng minh: AE + CF < AC
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông ở A có đường phân giác BD. Kẻ DH BC ở H.
1) So sánh tam giác ABD và tam giác HBD.
 4 Bồi dưỡng năng lực tự học Toán Lớp 7
2) Chứng minh DA < DC
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ AH  BC tại H. Trên BC lấy K sao 
cho BK = BA, trên AC lấy I sao cho AI = AH
1) Chứng minh tam giác ABK cân
2) Chứng minh: B· AH ·ACB
3) Chứng minh: H· AK K· AI
4) Chứng minh: AC KI
5) Chứng minh: BC – AB > AC – AH
6) Chứng minh: AH + BC > AB + AC
Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi E và F là 
chân vuông góc vẽ từ A và C đến đường thẳng BM.
1) Chứng minh: ME = MF 3) Chứng minh: AB < BM
 BE BF
2) Chứng minh: BE + BF = 2MB 4) Chứng minh: AB
 2
Bài 13: Cho tam giác DEF, I là trung điểm của EF. Từ E và F kẻ EH  DI tại H; 
FK DI tại K
1) Chứng minh: IH = IK
2) Chứng minh: DE + DF > DH + DK
3) Chứng minh: DH + DK = 2DI
4) Chứng minh: DE + DF > 2DI
Bài 14: Cho tam giác ABC cân ở A. Lấy D bất kì AB và E tia đối của tia CA 
sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK cùng vuông góc đường thẳng BC ở H và K
1) So sánh tam giác BHD và tam giác CKE
2) Chứng minh BC = HK
3) Chứng minh BC < DE
Bài 15: Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC và đường cao AE. Tia phân giác của 
góc B cắt AE ở H. Kẻ HF AB ở F
1) So sánh HF và HE 2) Chứng minh HC > HF
Bài 16: Cho x· Oy 600 và tia phân giác Oz. Lấy M Ox và N Oy. Kẻ MH và 
NK Oz ở H và K.
1) Chứng minh OM + ON = 2(MH + NK)
2) So sánh OM + ON với 2MN
Bài 17: Cho tam giác ABC nhọn có AB > AC. Kẻ đường cao BD và CE. Lấy F 
thuộc AB với AF = AC
1) So sánh FI và CE
2) Kẻ FH BD ở H. Chứng minh FI = HD
3) Chứng minh AB – AC > BD - CE
 5 Bồi dưỡng năng lực tự học Toán Lớp 7
Bài 18: Cho tam giác ABC đều, trên BC lấy D, trên AC lấy E sao cho BD CE . 
Kẻ Cx là phân giac của Cµ và từ D, E kẻ DH  Cx tại H; kẻ EK  Cx tại K.
 1) Chứng minh: tam giác DHC, tam giác EKC là nửa tam giác đều.
 2) Chứng minh: CD 2DH ; CE 2EK . 
 BC
 Chứng minh: DE . 
 2
 Xác định vị trí của D, E để độ dài DE đạt giá trị nhỏ nhất.
 ĐƯỜNG XIÊN – HÌNH CHIẾU
Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ AH  BC tại H, biết rằng HC HB
. Chứng minh AC AB .
Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB AC . Kẻ AH  BC tại H, trên 
AH lấy điểm D. Chứng minh BH CH, BD CD .
Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AC AB . Kẻ AH  BC tại H, trên 
AH lấy điểm D.
1) Chứng minh BH CH .
2) Chứng minh BD CD .
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, trên tia đối của tia AC lấy D sao cho 
 AD AC .
1) Tìm hình chiếu của BC và BD lên đoạn thẳng AC.
2) So sánh BC và BD.
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB AC . Kẻ AE  BC tại E, tia phân giác của Bµ 
cắt AE tại H. Kẻ HF  AB ở F. Chứng minh HC HF .
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A, H là trung điểm của BC, M nằm giữa H và B.
1) Chứng minh AH  BC .
2) Chứng minh AH AC .
3) Chứng minh AM AM .
4) Chứng minh AH AM AC .
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông ở A. Lấy D AB và E AC ( D A và B, 
 E A và C)
1) Tìm hình chiếu của DE, DC lên AC; của CD, CB lên AB.
2) So sánh: DE và DC; DE và BC.
Bài 8: Cho tam giác ABC có điểm D trong tam giác và AD AB . Tia BD cắt đoạn 
AC ở I. H là trung điểm của BD.
Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn, gọi B lớn hơn góc C. AH đường cao thuộc cạnh 
BC, M là điểm thuộc đoạn HB, N là điểm nằm trên tia đối của tia BC. Chứng 
minh:
1) HB HC 
 6 Bồi dưỡng năng lực tự học Toán Lớp 7
2) AM AB AN .
Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A có H là trung điểm của BC.
1) Tính số đo góc ·AHB .
2) Lấy điểm M trên đoạn thẳng HB và điểm N trên đoạn thẳng HC sao cho 
 HM HN . So sánh các đoạn AB, AM và AN.
Bài 11: Cho tam giác ABC nhọn có Bµ Cµ . H là hình chiếu của điểm A lên đường 
thẳng BC.
1) So sánh HB và HC.
2) Lấy điểm M trên tia đối của tia BC và điểm N trên đoạn thẳng HC. So sánh AM 
và AN.
Bài 12: Tam giác ABC vuông ở A có đường phân giác BD. Lấy điểm E trên tia đối 
của tia AC sao cho AE AC .
1) Tam giác BCE là tam giác gì?
2) So sánh BE với BD.
3) So sánh DA với DC.
Bài 13: Tam giác ABC vuông ở A có đường phân giác BD. Kẻ DH  BC ở H.
1) So sánh DA với DH.
2) Chứng minh DA DC .
3) Lấy điểm E trên tia đối của tia AC sao cho AE AD . So sánh BE với BC.
Bài 14: Cho tam giác ABC nhọn có Bµ Cµ và điểm H là hình chiếu của điểm A lên 
đường thẳng BC. Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho HD HA.
1) Tam giác BAD và tam giác CAD là tam giác gì?
2) So sánh BH với CH và DC với DB.
Bài 15: Tam giác ABC cân ở A có H là trung điểm của BC. Lấy điểm D trên đoạn 
HB và E trên đoạn HC sao cho BD CE .
1) Chứng minh HD HE .
2) So sánh ·ADE với ·AED .
Bài 16: Tam giác ABC vuông ở A. Lấy điểm D bất kì trên đoạn thẳng AC và điểm 
E trên tia đối của tia AC sao cho AE AC .
1) So sánh AE với AD.
2) Chứng minh B· DE B· ED .
Bài 17: Cho tam giác ABC nhọn có điểm H là hình chiếu của điểm A lên đường 
thẳng BC và Bµ Cµ .
1) Chứng minh HB HC .
2) Lấy điểm D bất kì trên tia đối của tia HA. So sánh D· BC với D· CB.
Bài 18: Cho tam giác ABC nhọn có Bµ Cµ . Gọi M là trung điểm của BC và H là 
hình chiếu của điểm A lên BC.
1) So sánh BH với HC.
 7 Bồi dưỡng năng lực tự học Toán Lớp 7
2) Chứng minh điểm H nằm giữa hai điểm B và M. 
Bài 19: Cho tam giác ABC nhọn có Bµ Cµ . Gọi M là trung điểm của BC và H là 
hình chiếu của điểm A lên BC.
1) So sánh BH với HC.
2) Chứng minh điểm H nằm giữa hai điểm C và M. 
 8 Bồi dưỡng năng lực tự học Toán Lớp 7
 Bài 10: BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC
Bài 1: Dựa vào bất đăngt hức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba 
đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác. Trong 
những trường hợp còn lại hãy dựng tam giác có độ dài 3 cạnh như thế
1) 2cm; 3cm; 4cm.
2) 2cm; 4cm; 6cm.
3) 3cm; 4cm; 6cm.
Bài 2: Cho các bộ ba đoạn thẳng có đọ dài như sau:
1) 2cm; 3cm; 4cm.
2) 1cm; 2cm; 3,5cm.
3) 2,2cm; 2cm; 4cm.
Hãy vẽ tam giác có đọ dài ba cạnh lần lượt là một trong các bộ ba ở trên (nếu vẽ 
được). Trong trường hợp không vẽ được, hãy giải thích vì sao?
Bài 3: Có thể có tam giác nào có ba cạnh như sau không?
1) 6cm; 10cm; 8cm. 2) 6cm; 16cm; 8cm.
3) 6cm; 14cm; 8cm. 4) 5cm; 10cm; 12cm.
5) 1m; 2m; 3,3m. 6) 1,2m; 1m; 2,2m.
Bài 4: Cho tam giác ABC có BC 1cm, AC 7cm. Hãy tìm đọ dài AB, biết rằng 
độ dài này là một số nguyên. Tam giác ABC là tam giác gì?
Bài 5: Cho tam giác ABC cân có AB 3,9cm ; BC 7,9cm .
1) Tính AC.
2) Tam giác cân tại đỉnh nào?
3) Tính chu vi tam giác ABC.
Bài 6: Tính chu vi của tam giác cân ABC biết:
1) AB 5cm; AC 12cm .
2) AB 7cm; AC 13cm.
Bài 7: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Chứng minh 2AH BC AB AC .
Bài 8: Cho tam giác OBC cân ở O. Trên tia đối của tia CO lấy điểm A. Chứng 
minh AB AC .
Bài 9: Cho tam giác OBC cân ở O. Trên tia OC, lấy điểm A. . Chứng minh 
 AB AC .
Bài 10: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Trên tia đối cuartia MA 
lấy MD MA .
1) Chứng minh AMB DMC .
2) Chứng minh AB AC 2AM .
Bài 11: Cho tam giác ABC có AB AC .trên AC lấy F sao cho AC AF . Gọi 
AD là đường phân giác của tam giác ABC. Trên AD lấy điểm E tùy ý.
1) Chứng minh AEC AEF .
 9 Bồi dưỡng năng lực tự học Toán Lớp 7
2) Chứng minh AB AC BF .
3) Chứng minh BE EC BF .
Bài 12: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. 
 AB AC
Chứng minh AM 
 2
Bài 13: Cho tam giác ABC có M thuộc tia phân giác ngoài của Cµ . Trên tia đối của 
tia CA lấy CI CB.
1) So sánh MI với MB.
2) Chứng minh MA MA AC BC .
Bài 14: Cho tam giác ABC có x là tia đối của tia CB. Gọi Cy là phân giác ·ACx . 
Lấy M bất kỳ trên Cy. Trên x lấy N sao cho CN CA.
Bài 15: Cho tam giác ABC cân ở A có D AB . Kẻ DE / /BC (E AC) .
1) Tam giác ADElaf tam giác gì?
2) So sánh BC và CD.
3) BE cắt CD ở O. Chứng minh OB OC OCD OE DE BC .
4) Chứng minh 2BE BD EC .
Bài 16: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. 
Trên tia đối của tia DA lấy I sao cho D là trung điểm của AI.
1) So sánh AB và CI.
2) Chứng minh AB AC 2AD .
3) Chứng minh AB AC BC AD BE CF .
Bài 17: Cho tam giác ABC có AM là phân giác và AB AC . Lấy I AB sao cho 
 AI AC .
1) So sánh MC với MI.
2) Chứng minh MB MC AB AC 
Bài 18: Cho x· Oy 90o và tia phân giác Oz. Lấy điểm M trong x· Oz . Kẻ 
 MH  Ox ở H, MK  Oy ở K. MK cắt tia Oz ở A. Từ A kẻ AI  Ox ở I. 
 MH  Ox ở H, MK  Oy ở K. MK cắt tia Oz ở A. Từ A kẻ AI  Ox ở I.
1) So sánh AI và AK.
2) So sánh MH với MI; MI với MK.
3) Chứng minh MH MK .
Bài 19: Cho tam giác ABC có điểm M nằm trong tam giác. BM cắt AC ở D.
1) Chứng minh MB MC DB DC .
2) So sánh DB DC với AB AC .
3) Chứng minh MB MC AB AC .
4) So sánh MA MA MC với AB BC CA.
 10