Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chương I: Đường thẳng vuông góc. Đường thẳng song song - Chuyên đề 2: Hai đường thẳng vuông góc

 Chương I. ĐƯỜNG THẲNG VUễNG GểC. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
Chuyờn đề 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUễNG GểC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Hai đường thẳng AB, CD cắt nhau và trong cỏc gúc tạo thành cú một gúc 
vuụng được gọi là hai đường thẳng vuụng gúc.
Trong hỡnh 2.1 ta cú AB  CD .
2. Cú một và chỉ một đường thẳng a đi qua O và vuụng gúc với đường thẳng a 
cho trước (h.2.2).
3. Đường thẳng vuụng gúc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nú được 
gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
Trong hỡnh 2.3, đường thẳng xy là đường trung trực của AB.
B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1: Cho gúc bẹt AOB và tia OM sao cho ãAOM 60 . Vẽ tia ON nằm trong gúc BOM sao cho 
 1
ON  OM . Chứng tỏ rằng BãON ãAOM .
 2
 Giải (h.2.4)
* Tỡm cỏch giải
Muốn so sỏnh hai gúc BON và AOM ta cần tớnh số đo của chỳng. 
Đó biết số đo của gúc AOM nờn chỉ cần tớnh số đo của gúc BON.
* Trỡnh bày lời giải
Hai gúc AOM và BOM kề bự nờn ãAOM BãOM 180
 BãOM 180 60 120 . Vỡ OM  ON nờn Mã ON 90 .
Tia ON nằm trong gúc BOM nờn BãON Mã ON BãOM
 1 1
 BãON 120 90 30 . Vỡ 30 .60 nờn BãON ãAOM .
 2 2
Vớ dụ 2: Cho gúc bẹt AOB. Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ cỏc tia OE, OF sao cho 
ãAOE BãOF 90 . Vẽ tia phõn giỏc OM của gúc EOF. Chứng tỏ rằng OM  AB .
 Giải (h.2.5) * Tỡm cỏch giải
Để chứng tỏ OM  AB ta cần chứng tỏ gúc AOM (hoặc gúc BOM) cú số 
đo bằng 90 . 
* Trỡnh bày lời giải
Ta cú ãAOE BãOF;Mã OE Mã OF (đề bài cho)
 ãAOE Mã OE BãOF Mã OF . (1)
Tia OE nằm giữa hai tia OA, OM; tia OF nằm giữa hai tia OB, OM nờn từ (1) suy ra ãAOM BãOM . Mặt 
khỏc, ãAOM BãOM 180 (hai gúc kề bự) nờn ãAOM 180 : 2 90 , suy ra OM  OA . Do đú 
OM  AB .
Vớ dụ 3: Cho gúc tự AOB. Vẽ vào trong gúc này cỏc tia OM, ON sao cho OM  OA,ON  OB . Vẽ tia 
OK là tia phõn giỏc của gúc MON. Chứng tỏ rằng tia OK cũng là tia phõn giỏc của gúc AOB.
 Giải (h.2.6)
* Tỡm cỏch giải
Muốn chứng tỏ tia OK là tia phõn giỏc của gúc AOB ta cần chứng tỏ 
ãAOK BãOK . Muốn vậy cần chứng tỏ ãAON NãOK BãOM Mã OK .
* Trỡnh bày lời giải
Ta cú OM  OA ãAOM 90;ON  OB BãON 90 .
Tia ON nằm giữa hai tia OA, OM nờn ãAON NãOM ãAOM 90 ;
Tia OM nằm giữa hai tia OB, ON nờn BãOM Mã ON BãON 90 .
Suy ra ãAON BãOM (cựng phụ với Mã ON ).
Tia OK là tia phõn giỏc của gúc MON nờn NãOK Mã OK .
Do đú ãAON NãOK BãOM Mã OK . (1)
Vỡ tia ON nằm giữa hai tia OA, OK và tia OM nằm giữa hai tia OB, OK nờn từ (1) suy ra ãAOK BãOK . 
Mặt khỏc, tia OK nằm giữa hai tia OA, OB nờn tia OK cũng là tia phõn giỏc của gúc AOB.
C. Bài tập vận dụng
 Tớnh số đo gúc
2.1. Cho hai đường thẳng AB và CD vuụng gúc với nhau tại O. Vẽ tia OK là 
tia phõn giỏc của gúc AOC. Tớnh số đo gúc KOD và KOB.
 Hướng dẫn giải (h.2.9) 
Vỡ AB  CD nờn ãAOC 90 .
 ả ả
Vỡ tia OK là tia phõn giỏc của gúc AOC nờn O1 O2 45 .
 ã ả
Ta cú KOD O1 180 (hai gúc kề bự) KãOD 180 45 135 .
ã ả
KOB O2 180 (hai gúc kề bự)
 KãOB 180 45 135 .
2.2. Cho gúc AOB và tia OC nằm trong gúc đú sao cho ãAOC 4BãOC . Vẽ tia phõn giỏc OM của gúc 
AOC. Tớnh số đo của gúc AOB nếu OM  OB .
 Hướng dẫn giải (h.2.10)
 1
Tia OM là tia phõn giỏc của gúc AOC nờn Mã OC ãAOC mà
 2
ãAOC 4BãOC nờn Mã OC 2BãOC . 
Nếu OM  OB thỡ Mã OB 90.
Ta cú Mã OC BãOC 90 do đú 2BãOC BãOC 90 BãOC 30.
Vậy ãAOC 4.30 120.
2.3. Cho gúc tự AOB, ãAOB m . Vẽ vào trong gúc này cỏc tia OC, OD sao cho OC  OA;OD  OB .
a) Chứng tỏ rằng ãAOD BãOC .
b) Tỡm giỏ trị của m để ãAOD DãOC CãOB .
 Hướng dẫn giải (h.2.11)
a) Ta cú OC  OA nờn ãAOC 90 ; OD  OB nờn BãOD 90.
Tia OD nằm trong gúc AOB nờn ãAOD BãOD ãAOB .
 ãAOD ãAOB BãOD m 90 (1)
Tia OC nằm trong gúc AOB nờn ãAOC BãOC ãAOB 
 BãOC ãAOB ãAOC m 90 (2)
Từ (1) và (2), suy ra: ãAOD BãOC m 90 .
b) Tia OC nằm giữa hai tia OB và OD. Suy ra BãOC DãOC BãOD 90 .
Nếu BãOC DãOC thỡ DãOC 90 : 2 45 .
Do đú ãAOD DãOC CãOD ãAOB 3.DãOC 3.45 135 m 135 .
 Chứng tỏ hai đường thẳng vuụng gúc
2.4. Trong hỡnh 2.7 cú gúc MON là gúc bẹt, gúc AOC là gúc vuụng. Cỏc tia OM, ON lần lượt là cỏc tia 
phõn giỏc của cỏc gúc AOB và COD. Chứng tỏ rằng OB  OD .
 Hướng dẫn giải (h.2.7)
 ã ả ả ã
Vỡ MON là gúc bẹt nờn O1 O3 AOC 180 (1) ả ả ã
O2 O4 BOD 180 (2)
 ả ả ả ả ã ã
Mặt khỏc, O1 O2 ;O3 O4 (đề bài cho) nờn từ (1) và (2) suy ra AOC BOD .
Vỡ ãAOC 90 nờn BãOD 90 OB  OD .
2.5. Cho gúc nhọn AOB. Trờn nửa mặt phẳng bờ OA cú chứa tia OB, vẽ tia OC  OA. Trờn nửa mặt 
phẳng bờ OB cú chứa tia OA vẽ tia OD  OB . Gọi OM và ON lần lượt là cỏc tia phõn giỏc của cỏc gúc 
AOD và BOC. Chứng tỏ rằng OM  ON .
 Hướng dẫn giải (h.2.12)
Ta cú OC  OA ãAOC 90. OD  OB BãOD 90 .
Tia OB nằm giữa hai tia OA, OC.
Do đú ãAOB BãOC 90. (1) 
Tương tự, ta cú ãAOB ãAOD 90 . (2)
Từ (1) và (2) BãOC ãAOD (cựng phụ với ãAOB ).
 ãAOD
Tia OM là tia phõn giỏc của gúc AOD Oả Oả .
 1 2 2
 BãOC
Tia ON là tia phõn giỏc của gúc BOC Oả Oả .
 3 4 2
 ã ã ả ả ả ả
Vỡ AOD BOC nờn O1 O2 O3 O4 .
 ã ã ã ả ả ã ả ả
Ta cú AOB BOC 90 AOB O3 O4 90 AOB O3 O2 90 .
Do đú Mã ON 90 OM  ON .
 2.6. Cho gúc bẹt AOB. Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ cỏc tia OM và ON sao cho 
ãAOM BãON m(90 m 180) . Vẽ tia phõn giỏc OC của gúc MON.
a) Chứng tỏ rằng OC  AB .
b) Xỏc định giỏ trị của m để OM  ON .
 Hướng dẫn giải (h.2.13)
a) Ta cú ãAON BãON 180; BãOM ãAOM 180 (hai gúc kề bự) mà ãAOM BãON (đề bài cho) nờn 
ãAON BãOM .
Mặt khỏc, tia OC là tia phõn giỏc của gúc MON nờn CãON CãOM . 
Do đú ãAON CãON BãOM CãOM (1)
Ta cú tia ON nằm giữa hai tia OA, OC; tia OM nằm giữa hai tia OB, OC 
nờn từ (1) suy ra ãAOC BãOC 180 : 2 90 . Vậy OC  AB . b) Tia OM nằm giữa hai tia OB và ON nờn BãOM Mã ON BãON m (1).
Mặt khỏc BãOM 180 ãAOM 180 m (2).
Từ (1) và (2) suy ra: 180 m 90 m 2m 270 m 135 .
Vậy m 135 .
 Chứng minh một tia là tia phõn giỏc, là tia đối
2.7. Cho gúc AOB cú số đo bằng 120 . Vẽ tia phõn giỏc OM của gúc đú. Trờn nửa mặt phẳng bờ OM cú 
chứa tia OA, vẽ tia ON  OM . Trong gúc AOB vẽ tia OC  OB . Chứng tỏ rằng:
a) Tia OC là tia phõn giỏc của gúc AOM;
b) Tia OA là tia phõn giỏc của gúc CON.
 Hướng dẫn giải (h.2.14)
a) Tia OM là tia phõn giỏc của gúc AOB nờn ãAOM BãOM 120 : 2 60 . 
Ta cú OC  OB BãOC 90.
Tia OM nằm giữa hai tia OB, OC nờn BãOM CãOM BãOC
 CãOM 90 60 30 .
Tia OC nằm giữa hai tia OA, OB nờn ãAOC BãOC ãAOB
 ãAOC 120 90 30 .
Vậy ãAOC CãOM 30 . (1)
Tia OC nằm giữa hai tia OA, OM nờn từ (1) suy ra tia OC là tia phõn giỏc của gúc AOM.
b) Ta cú OM  ON Mã ON 90 .
Tia OA nằm giữa hai tia ON, OM nờn ãAON ãAOM Mã ON .
Suy ra ãAON Mã ON ãAOM 90 60 30 .
Vậy ãAON ãAOC 30 (2)
Tia OA nằm giữa hai tia ON, OC nờn từ (2) suy ra tia OA là tia phõn giỏc của gúc CON.
2.8. Cho gúc bẹt AOB, tia OC  AB . Vẽ tia OM và ON ở trong gúc BOC sao cho 
 1
BãOM CãON BãOC . Tỡm trong hỡnh vẽ cỏc tia là tia phõn giỏc của một gúc.
 3
 Hướng dẫn giải (h.2.15)
Ta cú OC  AB nờn ãAOC BãOC 90 (1)
Tia OC nằm giữa hai tia OA, OB. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tia OC là tia phõn giỏc của gúc AOB. 1
Ta cú BãOM CãON BãOC 30 .
 3
Tia ON nằm trong gúc BOC nờn BãON CãON BãOC . 
Suy ra BãON 90 30 60 .
Tia OM nằm giữa hai tia OB, ON. (3)
Do đú BãOM Mã ON BãON Mã ON 60 30 30 .
Vậy BãOM Mã ON CãON 30 (4)
Từ (3) và (4) suy ra tia OM là tia phõn giỏc của gúc BON.
Tia ON nằm giữa hai tia OM và OC (5)
Từ (4) và (5) suy ra tia ON là tia phõn giỏc của gúc COM.
Túm lại, cỏc tia OC, OM, ON lần lượt là cỏc tia phõn giỏc của cỏc gúc AOB, BON và COM.
2.9. Cho hai tia OM và ON vuụng gúc với nhau, tia OC nằm giữa hai tia đú. Vẽ cỏc tia OA và OB sao cho 
tia OM là tia phõn giỏc của gúc AOC, tia ON là tia phõn giỏc của gúc BOC. Chứng tỏ rằng hai tia OA, OB 
đối nhau.
 Hướng dẫn giải (h.2.16)
Ta cú OM  ON Mã ON 90 .
Tia OM là tia phõn giỏc của gúc AOC nờn ãAOM Mã OC .
Tia ON là tia phõn giỏc của gúc BOC nờn BãON NãOC .
Xột tổng
ãAOC BãOC 2Mã OC 2NãOC 2 Mã OC NãOC 2Mã ON 2.90 180 .
Hai gúc kề AOC và BOC cú tổng bằng 180 nờn hai tia OA, OB đối nhau.
 Đường trung trực – Hai gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc
2.10. Cho đoạn thẳng AB 2a . Lấy cỏc điểm E và F nằm giữa A và B sao cho AE BF . Chứng tỏ rằng 
hai đoạn thẳng AB và EF cựng cú chung một đường trung trực.
 Hướng dẫn giải (h.2.17)
 Trường hợp AE BF a :
Gọi M là trung điểm của AB. Khi đú MA MB a .
Điểm E nằm giữa hai điểm A và M, điểm F nằm giữa hai điểm B và M. 
Do đú ME MA AE a AE ; MF MB BF a BF .
Vỡ AE BF nờn ME MF . Vậy M là trung điểm chung của hai đoạn 
thẳng AB và EF. Qua M vẽ xy  AB thỡ xy là đường trung trực chung 
của AB và EF.
 Trường hợp AE BF a : Chứng minh tương tự. 2.11. Cho bốn điểm M, N, P, Q nằm ngoài đường thẳng xy. Biết MN  xy ; PQ  xy và xy là đường 
trung trực của đoạn thẳng NP. Chứng tỏ rằng bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.
 Hướng dẫn giải (h.2.18)
Ta cú MN  xy; NP  xy (vỡ xy là đường trung trực của NP). Qua 
điểm N chỉ vẽ được một đường thẳng vuụng gúc với xy, suy ra ba 
điểm M, N, P thẳng hàng. (1) 
Ta cú NP  xy; PQ  xy . Qua điểm P chỉ vẽ được một đường 
thẳng vuụng gúc với xy, suy ra ba điểm N, P, Q thẳng hàng. (2)
Từ (1) và (2) suy ra cỏc điểm M, N, P, Q thẳng hàng vỡ chỳng 
cựng thuộc đường thẳng NP.
2.12. Hai gúc gọi là cú cạnh tương ứng vuụng 
gúc nếu đường thẳng chứa mỗi cạnh của gúc 
này tương ứng vuụng gúc với đường thẳng 
chứa một cạnh của gúc kia. 
Xem hỡnh 2.8 (a, b) rồi kể tờn cỏc gúc nhọn 
(hoặc tự) cú cạnh tương ứng vuụng gúc.
 Hướng dẫn giải
Trờn hỡnh 2.8a) cú AH  Ox, AK  Oy nờn cỏc gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc là: gúc HAK và gúc 
xOy; gúc HAt và gúc xOy.
Trờn hỡnh 2.8b) cú AB  AC và AH  BC nờn cỏc gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc là: gúc BAH và 
gúc C; gúc CAH và gúc B.