Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chương I: Số hữu tỉ. Số thực - Chuyên đề 2: Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

 Chuyờn đề 2. CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA
 SỐ HỮU TỈ
A. Kiến thức cần nhớ
 a b
1. Với x = , y = (a,b,m ẻ Z,m > 0) ta cú:
 m m
 a b a + b a b a- b
x + y = + = ;x - y = - = .
 m m m m m m
 a c
2. Với x = ;y = ta cú:
 b d
 a c ac a c a.d
x.y = . = ;x : y = : = (với y ạ 0).
 b d bd b d b.c
3. Cỏc phộp toỏn trong Q cũng cú những tớnh chất giao hoỏn, kết hợp và phõn phối của phộp nhõn đối với 
phộp cộng như trong tập hợp Z. Ngoài ra cỏc quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế cũng như trong tập 
hợp Z.
B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1. Thực hiện cỏc phộp tớnh:
 1 ổ 1 1 1ử 1 - 1 1 1
a) - ỗ- - - ữ; b) - + + ;
 18 ốỗ 9 6 3ứữ 2 3 23 6
 Giải
✓ Tỡm cỏch giải. Khi thực hiện cỏc phộp tớnh chỉ cú phộp cộng và trừ, ta cú thể thực hiện trong 
ngoặc trước, thực hiện từ trỏi qua phải. Tuy nhiờn nếu cú nhiều dấu (-) ta cú thể giảm bớt dấu (-) bằng 
cỏch bỏ ngoặc. Ngoài ra cú thể dựng tớnh chất giao hoỏn và kết hợp nhằm giải bài toỏn được nhanh hơn.
✓ Trỡnh bày lời giải.
 1 ổ 1 1 1ử 1 1 1 1 1 2 3 6 12 2
a) - ỗ- - - ữ= + + + = + + + = = ;
 18 ốỗ 9 6 3ứữ 18 9 6 3 18 18 18 18 18 3
 1 - 1 1 1 1 1 1 1 ổ1 1 1ử 1 1 1
b) - + + = + + + = ỗ + + ữ+ = 1+ = 1
 2 3 23 6 2 3 23 6 ốỗ2 3 6ứữ 23 23 23
Vớ dụ 2. Thực hiện cỏc phộp tớnh
 ổ1 13ử 5 ổ 2 1ử 5 ổ 3 5 ử 2 ổ 1 8 ử 2
a) ỗ - ữ: - ỗ- + ữ: ; b) ỗ- + ữ: - ỗ2 - ữ:
 ốỗ2 14ứữ 7 ốỗ 21 7ứữ 7 ốỗ 4 13ứữ 7 ốỗ 4 13ứữ 7
 Giải
✓ Tỡm cỏch giải. Vỡ phộp chia là phộp nhõn số bị chia với số nghịch đảo của số chia nờn ta cú thể 
vận dụng tớnh chất phõn phối:
a : m + b : m = (a + b): m
a : m- b : m = (a- b): m
✓ Trỡnh bày lời giải
 ổ1 13 2 1ử 5 10 7 - 2
a) ỗ - + - ữ: = - . =
 ốỗ2 14 21 7ứữ 7 21 5 3
 ổ 3 5 1 8 ử 2 7
b) ỗ- + - 2 + ữ: = (- 2). = - 7
 ốỗ 4 13 4 13ứữ 7 2
Vớ dụ 3. Tỡm x.
 1 3 - 3 ổ2 4ửổ1 - 4 ử
a) x + x = ; b) ỗ x - ữỗ + : xữ= 0;
 2 5 65 ốỗ9 9ứữốỗ3 7 ứữ
 x + 5 x + 6 x + 7 x + 8 x + 9
c) + + + + = - 5;
 2015 2014 2013 2012 2011
 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 360
d) + + + + = 0 .
 338 337 336 335 5
 Giải ✓ Tỡm cỏch giải. Khi tỡm x ta cú thể vận dụng cỏc tớnh chất sau:
• ax + bx = (a + b)x
 k 1 k k k ổ1 1 1ử
• = k. nờn + + = k.ỗ + + ữ
 a a a b c ốỗa b cứữ
• A.B = 0 thỡ A = 0 hoặc B = 0
✓ Trỡnh bày lời giải.
 1 3 - 3 ổ1 3ử - 3 11 - 3 - 3 11
a) x + x = Û ỗ + ữ.x = ị .x = ị x = :
 2 5 65 ốỗ2 5ứữ 65 10 65 65 10
 - 6
ị x =
 143
 ổ2 4ửổ1 - 4 ử 2 4 1 - 4
b) ỗ x - ữỗ + : xữ= 0 Û x - = 0 hoặc + : x = 0 suy ra
 ốỗ9 9ứữốỗ3 7 ứữ 9 9 3 7
2 4 - 4 - 1 12
 x = hoặc : x = ị x = 2 hoặc x = .
9 9 7 3 7
 ùỡ 12ùỹ
Vậy x ẻ ớù 2; ýù
 ợù 7 ỵù
 x + 5 x + 6 x + 7 x + 8 x + 9
c) + 1+ + 1+ + 1+ + 1+ + 1= 0
 2015 2014 2013 2012 2011
 x + 2020 x + 2020 x + 2020 x + 2020 x + 2020
Û + + + + = 0
 2015 2014 2013 2012 2011
 ổ 1 1 1 1 1 ử
Û (x + 2020).ỗ + + + + ữ= 0
 ốỗ2015 2014 2013 2012 2011ứữ
 1 1 1 1 1
Vỡ + + + + > 0 nờn x + 2020 = 0
 2015 2014 2013 2012 2011
ị x = - 2020
 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 360
d) + 1+ + 1+ + 1+ + 1+ - 4 = 0
 338 337 336 335 5
 x + 340 x + 340 x + 340 x + 340 x + 340
Û + + + + = 0
 338 337 336 335 5
 ổ1 1 1 1 1ử
Û (x + 340)ỗ + + + + ữ= 0
 ốỗ338 337 336 335 5ứữ
 1 1 1 1 1
Mà + + + + ạ 0. Suy ra x = - 340 .
 338 337 336 335 5
 5 y 1
Vớ dụ 4. Tỡm số nguyờn x, y biết: + =
 x 4 8
 Giải
✓ Tỡm cỏch giải. Đối với dạng toỏn này, chỳng ta chỳ ý ab = k(a,b ẻ Z,b ạ 0) thỡ a ẻ Ư(k), b ẻ Ư(k).
Do vậy chỳng ta quy đồng mẫu số, chuyển x, y về một vế, vế cũn lại là một số nguyờn.
✓ Trỡnh bày lời giải.
5 y 1 5 1 y 5 1- 2y
 + = Û = - Û = Û (1- 2y).x = 40
x 4 8 x 8 4 x 8
Vỡ x;y ẻ Z ị 1- 2y là ước lẻ của 40 mà ước lẻ của 40 là: 1; 5; -1; -5 nờn ta cú bảng giỏ trị:
 1- 2y 1 5 -1 -5
 y 40 8 -40 -8
Từ đú suy ra (x;y)ẻ {(40;0),(8;- 2),(- 40;1),(- 8;3)}
Vớ dụ 5. Rỳt gọn biểu thức: 5 5 5 6 6 6
 5- + - + -
a) A = 13 19 27 + 101 123 134 ;
 11 11 11 11 11 11
 11- + - + -
 3 19 27 101 123 134
 1 1 1
 - +
b) B = 6 39 51
 1 1 1
 - +
 8 52 68
 Giải
✓ Tỡm cỏch giải. Những biểu thức phức tạp, nếu thực hiện theo thứ tự sẽ dài và cú thể dẫn đến sai 
lầm. Quan sỏt kĩ, ta thấy cú những phần giống nhau cả số và dấu vỡ vậy ta nờn vận dụng tớnh chất phõn 
phối
k k k ổ1 1 1ử
 + + = k.ỗ + + ữ để rỳt gọn.
a b c ốỗa b cứữ
✓ Trỡnh bày lời giải.
 5 5 5 6 6 6
 5- + - + -
a) Ta cú: A = 13 19 27 + 101 123 134
 11 11 11 11 11 11
 11- + - + -
 3 19 27 101 123 134
 ổ 1 1 1 ử ổ1 1 1 ử
 5ỗ1- + - ữ 6ỗ + - ữ
 ốỗ 13 19 27ứữ ốỗ101 123 134ứữ
 = +
 ổ 1 1 1 ử ổ1 1 1 ử
 11ỗ1- + - ữ 11ỗ + - ữ
 ốỗ 3 19 27ứữ ốỗ101 123 134ứữ
 5 6
ị A = + = 1
 11 11
 1 1 1 1ổ1 1 1 ử
 - + ỗ - + ữ
 3ốỗ2 13 17ứữ 1 1 4
b) Ta cú: B = 6 39 51 = = : =
 1 1 1 1 ổ1 1 1 ử 3 4 3
 - + ỗ - + ữ
 8 52 68 4ốỗ2 13 17ứữ
Vớ dụ 6. Cho 2021 số nguyờn dương a1;a2 ;...a2021 thỏa món:
1 1 1
 + + ...+ = 1011. Chứng minh rằng tồn tại ớt nhất 2 trong số 2021 số nguyờn dương đó cho 
a1 a2 a2021
bằng nhau.
 Giải
✓ Tỡm cỏch giải. Dạng toỏn này chỳng ta khụng chỉ ra được cụ thể tường minh đú là hai giỏ trị nào, 
mà chỉ cần chỉ ra tồn tại ớt nhất hai số trong cỏc số đó cho bằng nhau mà thụi. Đối với dạng toỏn này 
thụng thường chỳng ta dựng phương phỏp phản chứng:
 • Bước 1. Phủ định kết luận. Tức là giả sử khụng cú hai số nguyờn dương nào bằng nhau.
 • Bước 2. Lập luận logic, chứng tỏ mõu thuẫn với đề bài đó cho hoặc một điều hiển nhiờn.
 • Bước 3. Chứng tỏ giả sử là sai. Vậy kết luận của đề bài là đỳng.
✓ Trỡnh bày lời giải.
Giả sử trong 2021 số nguyờn dương a1;a2 ;...a2021 thỏa món: khụng cú hai số nào bằng nhau.
 1 1 1 1 1 1
Khi đú + + ...+ Ê + + ...+
 a1 a2 a2021 1 2 2021
 1 1 1 1
< 1+ + + ...+ = + 1010 = 1011 mõu thuẫn với đề bài.
 2 2 2 1
Vậy cú ớt nhất 2 trong số 2021 số nguyờn dương đó cho bằng nhau ✓ Nhận xột. Trong lời giải bài toỏn trờn, sau khi giả sử 2021 số nguyờn dương khỏc nhau chỳng ta 
đó so sỏnh chỳng với 2021 số nguyờn dương nhỏ nhất. Từ đú nhận thấy 2021 số nguyờn dương nhỏ nhất 
cũng khụng thỏa món đầu bài. Suy ra 2021 số nào đú cũng khụng thỏa món đề bài và dẫn đến mõu thuẫn 
với giả thiết. 
 1 1 1 1
Vớ dụ 7. Cho a + b + c = 2070 và + + =
 a + b b + c c + a 90
 a b c
Tớnh giỏ trị: S = + +
 b + c c + a a + b
 Giải
✓ Tỡm cỏch giải. Với điều kiện đề bài, chỳng ta khụng thể tớnh được giỏ trị của a, b, c. Do vậy 
 1 1 1
chỳng ta cần biến đổi S nhằm xuất hiện a + b + c và + + . Quan sỏt kỹ chỳng ta thấy 
 a + b b + c c + a
 a b c
phần kết luận + + , mỗi phõn số đều cú tổng tử và mẫu bằng nhau và bằng a + b + c . 
 b + c c + a a + b
Do đú chỳng ta cộng mỗi phõn số với 1, và cú lời giải sau:
✓ Trỡnh bày lời giải.
 a b c
Ta cú S = + 1+ + 1+ + 1- 3
 b + c c + a a + b
 a + b + c a + b + c a + b + c
Û S = + + - 3
 b + c c + a a + b
 ổ 1 1 1 ử
Û S = (a + b + c)ỗ + + ữ- 3
 ốỗb + c c + a a + bứữ
 1
Û S = 2070. - 3 = 23- 3 = 20
 90
Vớ dụ 8. Tỡm x, biết:
a) (x - 1)(x - 2)> 0 ; b) (2x - 4)(9- 3x)> 0
 Giải
✓ Tỡm cỏch giải. Đối với dạng toỏn này chỳng ta chỳ ý kiến thức sau:
 • A.B > 0 Û A và B cựng dấu.
 • A.B < 0 Û A và B khỏc dấu.
✓ Trỡnh bày lời giải
a) (x - 1)(x - 2)> 0 Û x - 1 và x - 2 cựng dấu.
mà x - 2 0 hoặc x - 1 2 hoặc x < 1.
Vậy với x > 2 hoặc x 0
b) 2x - 4 và 9- 3x cựng dấu, nờn ta cú trường hợp sau:
 ùỡ 2x - 4 > 0 ùỡ 2x > 4 ùỡ x > 2
 • Trường hợp 1: ớù Û ớù Û ớù ;
 ợù 9- 3x > 0 ợù 3x > 9 ợù x < 3
 ùỡ 2x - 4 < 0 ùỡ x < 2 ùỡ x < 2
 • Trường hợp 2: ớù Û ớù Û ớù loại.
 ợù 9- 3x 9 ợù x > 3
Vậy với 2 0
✓ Nhận xột. Ngoài cỏch giải trờn của cõu b, chỳng ta cú thể lập luận theo cỏch sau:
(2x - 4)(9- 3x)> 0 Û - 6(x - 2)(x - 3)> 0 Û (x - 2)(x - 3)< 0
Û x - 2 và x - 3 khỏc dấu.
Mà x - 3 0 và x - 3 2 và x < 3 .
Vậy với 2 0
Vớ dụ 9. Chứng tỏ rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1- + - + ...+ - = + + ...+ +
 2 3 4 199 200 101 102 199 200
 Giải
 1 1 1 1 1
Xột vế trỏi, ta cú: 1- + - + ...+ -
 2 3 4 199 200
 1 1 1 1 1 ổ1 1 1 ử
= 1+ + + + ...+ + - 2ỗ + + ...+ ữ
 2 3 4 199 200 ốỗ2 4 200ứữ
 1 1 1 1 1 1 1
= 1+ + + + ...+ + - 1- - ...-
 2 3 4 199 200 2 100
 1 1 1 1
= + + ...+ + .
 101 102 199 200
Vế trỏi bằng vế phải; Điều phải chứng minh.
✓ Nhận xột. Nếu vận dụng so sỏnh số hữu tỷ, ta cú:
 1 1 1 1 1 1 1 1
= + + ...+ + > + + ...+ = . Từ đú bạn cú thể giải được bài toỏn sau: 
 101 102 199 200 200 200 200 2
Chứng tỏ rằng:
 1 1 1 1 1 1
1- + - + ...+ - >
 2 3 4 199 200 2
C. Bài tập vận dụng
 - 14
2.1. Viết số hữu tỉ thành:
 45
a) tớch của hai số hữu tỉ theo sỏu cỏch khỏc nhau.
b) thương của hai số hữu tỉ theo sỏu cỏch khỏc nhau.
2.2. Thực hiện phộp tớnh (tớnh nhanh nếu cú thể).
 ổ 1 2ử ổ 1 3 5ử ổ 2 1 ử
a) ỗ5+ - ữ- ỗ2- - 2 + ữ- ỗ8+ - ữ;
 ốỗ 5 9ứữ ốỗ 23 35 6ứữ ốỗ 7 18ứữ
 1 3 ổ 3ử 1 2 1 1
b) - - ỗ- ữ+ - - + ;
 3 4 ốỗ 5ứữ 64 9 36 15
 5 ổ 5 ử 13 1 ổ 5ử 3 ổ 2ử
c) - - ỗ- ữ+ + + ỗ- 1 ữ+ 1 - ỗ- ữ;
 7 ốỗ 67ứữ 30 2 ốỗ 6ứữ 14 ốỗ 5ứữ
 3 ổ- 1 1ử 3 ổ- 1 1 ử
d) :ỗ - ữ+ :ỗ - 1 ữ;
 5 ốỗ15 6ứữ 5 ốỗ 3 15ứữ
 7 5 5 ổ 2 ử 5 18
e) . - .ỗ- ữ- . .
 13 9 9 ốỗ 13ứữ 9 13
2.3. Thực hiện cỏc phộp tớnh sau:
 ộ- 54 ổ1 8 ử - 1ự - 81
a) = ờ - ỗ : ữ: ỳ: ;
 D ỗ ữ
 ởờ64 ố9 27ứ 3 ỷỳ 128
 ộ193 ổ2 3 ử 11ự ộổ 7 11 ử1931 9ự
b) = ờ ỗ - ữ+ ỳ: ờỗ + ữ + ỳ.
 E ỗ ữ ỗ ữ
 ởờ- 17ố193 386ứ 34ỷỳ ởờố1931 3862ứ 25 2ỷỳ
 ổ3 2 1 ử ổ3 2 1 ử
2.4. Rỳt gọn: A = ỗ - + ữ:ỗ - + ữ.
 ốỗ2 5 10ứữ ốỗ2 3 12ứữ
(Đề thi chọn học sinh giỏi mụn Toỏn, lớp 7, tỉnh Bắc Giang, năm học 2012 - 2013)
2.5. Tỡm x, biết:
 3 7 3 ổ 5ử 8
a) + x = - ; b) - ỗx - ữ= ;
 5 13 2 ốỗ 6ứữ 9 ổ - 7 ử x + 5 x + 6 x + 7 x + 8
c) (4x - 9)ỗ2,5+ xữ= 0 ; d) + = + .
 ốỗ 3 ứữ 2015 2014 2013 2012
2.6. Tớnh:
 1 1 1 1
P = 1+ (1+ 2)+ (1+ 2 + 3)+ (1+ 2 + 3+ 4)+ ...+ (1+ 2 + 3+ ...+ 16)
 2 3 4 16
 1 1 1
2.7. Tỡm giỏ trị nguyờn dương của x và y , sao cho: + =
 x y 5
2.8. Tỡm số nguyờn x, y biết:
 1 1 y x 1 1 x 1 3
a) = + ; b) - = ; c) - = .
 x 6 3 6 y 2 4 y 4
2.9. Tớnh tổng M = x + y + z , biết:
 19 19 19 7x 7y 7z 133
 + + = + + =
x + y y + z z + x y + z z + x x + y 10
 1 1 1
2.10. Tỡm cỏc số hữu tỉ x, y,z thỏa món: x + y = ;y + z = ;z + x =
 2 3 6
 1 1 1 1
2.11. Cho biểu thức A = + + + ...+ . Chứng minh rằng:
 1.2 3.4 5.6 99.100
 1 1 1 1 1 7 5
a) A = + + + ...+ + ; b) < A <
 51 52 53 99 100 12 6
2.12. Cho 100 số hữu tỉ, trong đú tớch 3 số bất kỡ là một số õm. Chứng minh rằng:
a) Tớch của 100 số đú là một số dương.
b) Tất cả 100 số đú đều là số õm.
2.13. Cho 20 số nguyờn khỏc 0: a1,a2 ,a3,...,a20 cú cỏc tớnh chất sau:
+ a1 là số dương.
+ Tổng của ba số viết liền nhau bất kỡ là một số dương.
+ Tổng của 20 số đú là số õm.
Chứng minh rằng: a1.a14 + a14a12 < a1.a12
 1 ổ 1 1 1 ử
2.14. Đặt A = .ỗ1+ + + ...+ ữ và 
 1011 ốỗ 3 5 2019ứữ
 1 ổ1 1 1 1 ử
 B = .ỗ + + + ...+ ữ
 1010 ốỗ2 4 6 2020ứữ
So sỏnh A và B.
 1 1 1 101
2.15. Cho 100 số tự nhiờn a1;a2 ;...;a100 thỏa món + + ...+ = .
 a1 a2 a100 2
Chứng minh rằng ớt nhất hai trong 100 số tự nhiờn trờn bằng nhau.
(Thi học sinh giỏi toỏn 7, huyện Yờn Lạc, Vĩnh Phỳc 2012 - 2013)
2.16. Cho ba số a, b, c thỏa món: 0 Ê a Ê b + 1Ê c + 2 và a + b + c = 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của c.
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
2.1.
 - 17 - 1 - 1 - 1 - 7 - 1 - 1
a) = + = + = +
 60 30 4 20 30 12 5
 - 17 - 1 ổ 1 ử - 11 ổ 1ử - 1 ổ - 13ử
b) = - ỗ- ữ= - ỗ- ữ= - ỗ- ữ
 60 3 ốỗ 20ứữ 30 ốỗ 4ứữ 2 ốỗ 60 ứữ
 - 17 - 1 1 - 2 7 - 9 1
c) = + = + = +
 60 3 20 15 60 20 6
 - 17 - 1 7 - 2 1 - 1 1
d) = - = - = -
 60 6 60 5 12 4 30 2.2.
 1 2 1 3 5 2 1
a) 5+ - - 2 + + 2 - - 8- +
 5 9 23 35 6 7 18
 ổ1 3 2ử ổ1 2 5ử 1
= (5- 2 + 2- 8)+ ỗ + - ữ+ ỗ - - ữ+
 ốỗ5 35 7ứữ ốỗ18 9 6ứữ 23
 1 22
= - 3+ 0- 1+ = - 3
 23 23
 1 3 3 1 2 1 1
b) - + + - - +
 3 4 5 64 9 36 15
 ổ1 3 1 ử ổ3 2 1 ử 1 1 1
= ỗ + + ữ- ỗ + + ữ+ = 1- 1+ =
 ốỗ3 5 15ứữ ốỗ4 9 36ứữ 64 64 64
 5 5 13 1 5 3 2
c) - + + + - 1 + 1 +
 7 67 30 2 6 14 5
 ổ13 1 5 2ử ổ3 5ử 5
= ỗ + - + ữ+ (1- 1)+ ỗ - ữ+
 ốỗ30 2 6 5ứữ ốỗ14 7ứữ 67
 1 ổ 1ử 5 5
= + 0+ ỗ- ữ+ =
 2 ốỗ 2ứữ 67 67
 3 - 7 3 - 7 3 - 30 3 - 5 3 ổ- 30 - 5ử 3
d) : + : = . + . = .ỗ + ữ= .(- 5) = - 3
 5 30 5 5 5 7 5 7 5 ốỗ 7 7 ứữ 5
 5 ổ7 2 18ử 5 - 9 - 5
e) .ỗ + - ữ= . =
 9 ốỗ13 13 13ứữ 9 13 13
2.3.
 ộ 27 ổ1 27ử - 1ự - 81
a) = ờ- - ỗ . ữ: ỳ:
 D ỗ ữ
 ởờ 32 ố9 8 ứ 3 ỷỳ 128
 ộ 27 3 3 ự 128
D = ờ- - . ỳ.
 ởờ 32 8 - 1ỷỳ- 81
 ộ- 27 9ự 128
D = ờ + ỳ.
 ởờ32 8ỷỳ- 81
 ộ- 27+ 36 128 ự 9 128 - 4
D = ờ . ỳ= . =
 ởờ 32 - 81ỷỳ 32 - 81 9
 ộ193 ổ2 3 ử 11ự ộổ 7 11 ử1931 9ự
b) = ờ ỗ - ữ+ ỳ: ờỗ + ữ + ỳ
 E ỗ ữ ỗ ữ
 ởờ- 17ố193 386ứ 34ỷỳ ởờố1931 3862ứ 25 2ỷỳ
 ộ- 2 3 11ự ộ7 11 9ự
E = ờ + + ỳ: ờ + + ỳ
 ởờ17 34 34ỷỳ ởờ25 50 2ỷỳ
 ộ- 2 7 ự ộ14 11 9ự
E = ờ + ỳ: ờ + + ỳ
 ởờ17 17ỷỳ ởờ50 50 2ỷỳ
 5 ộ1 9ự 5 1
E = : ờ + ỳ= : 5 =
 17 ởờ2 2ỷỳ 17 17
 ổ3 2 1 ử ổ3 2 1 ử
2.4. A = ỗ - + ữ:ỗ - + ữ
 ốỗ2 5 10ứữ ốỗ2 3 12ứữ
 ổ15 4 1 ử ổ18 8 1 ử 12 11 6 12 72
A = ỗ - + ữ:ỗ - + ữ= : = . =
 ốỗ10 10 10ứữ ốỗ12 12 12ứữ 10 12 5 11 55
2.5. 
 - 7 3 - 35 39 - 74
a) x = - Û x = - =
 13 5 65 65 65 3 5 8 3 5 8 27 15 16 26 13
b) - x + = Û + - = x Û x = + - = =
 2 6 9 2 6 9 18 18 18 18 9
 - 7
c) 4x - 9 = 0 hoặc 2,5+ = 0
 3
 - 7
suy ra 4x = 9 hoặc x = - 2,5
 3
 9 - 5 - 7 15
x = hoặc x = : =
 4 2 3 14
 ùỡ 9 15ùỹ
Vậy x ẻ ớù ; ýù
 ợù 4 14ỵù
 x + 5 x + 6 x + 7 x + 8
d) + 1+ + 1= + 1+ + 1
 2015 2014 2013 2012
 x + 2020 x + 2020 x + 2020 x + 2020
Û + = +
 2015 2014 2013 2012
 x + 2020 x + 2020 x + 2020 x + 2020
Û + - - = 0
 2015 2014 2013 2012
 ổ 1 1 1 1 ử
Û (x + 2020)ỗ + - - ữ= 0
 ốỗ2015 2014 2013 2012ứữ
 1 1 1 1
Mà + - - < 0 nờn x + 2020 = 0 hay x = - 2020
 2015 2014 2013 2012
 n(n + 1)
2.6. Theo cụng thức: 1+ 2 + 3+ ...+ n =
 2
 1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 16.17
Suy ra: P = 1+ . + . + . + ...+ .
 2 2 3 2 4 2 16 2
 3 4 5 17
P = 1+ + + + ...+
 2 2 2 2
 1 1
P = (1+ 2 + 3+ ...+ 17)-
 2 2
 1 17.18 1
P = . - = 76
 2 2 2
2.7. Vỡ x và y cú vai trũ như nhau, khụng giảm tớnh tổng quỏt, giả sử 
 1 1 1 1 1 2
x ³ y ³ 1ị + Ê + Û Ê Û y Ê 10
 x y x y 5 y
 1 1 1 1 1
Mặt khỏc + = ị 5 ị 5< y Ê 10 ị y ẻ {6;7;8;9;10}
 x y 5 y 5
 1 1 1 1 1 1 1
+ Với y = 6 ị + = ị = - = ị x = 30
 x 6 5 x 5 6 30
 1 1 1 1 1 1 3
+ Với y = 7 ị + = ị = - = loại.
 x 7 5 x 5 7 35
 1 1 1 1 1 1 3
+ Với y = 8 ị + = ị = - = loại.
 x 8 5 x 5 8 40
 1 1 1 1 1 1 4
+ Với y = 9 ị + = ị = - = loại.
 x 9 5 x 5 9 45
 1 1 1 1 1 1
+ Với y = 10 ị + = ị = - ị x = 10
 x 10 5 x 5 10
Vậy cặp (x;y) là (30;6);(6;30);(10;10) 2.8.
 1 1+ 2y
a) = Û x(1+ 2y)= 6
 x 6
vỡ x;y ẻ Z ị 1+ 2y là ước lẻ của 6 mà ước lẻ của 6 là: 1; 3; -1; -3 nờn ta cú bảng giỏ trị
 1+ 2y 1 3 -1 -3
 x 6 2 -6 -2
Từ đú suy ra (x;y)ẻ {(6;0),(2;1),(- 6;- 1),(- 2;- 2)}
 x 1 1 x 1 1 x - 3 1
b) - = Û - = Û = Û (x - 3).y = 6
 6 y 2 6 2 y 6 y
ị x - 3 và y là ước của 6, mà Ư(6)= {1;2;3;6;- 1;- 2;- 3;- 6}
Từ đú ta cú bảng sau:
 x - 3 1 2 3 6 -1 -2 -3 -6
 y 6 3 2 1 -6 -3 -2 -1
Từ đú suy ra (x;y)ẻ {(4;6),(5;3),(6;2),(9;1),(2;- 6),(1;- 3),(0;- 2),(- 3;- 1)}
 x 3 1 x - 3 1
c) - = Û = Û (x - 3)y = 4
 4 4 y 4 y
ị x - 3 và y là ước của 4, mà Ư(4)= {1;2;4;- 1;- 2;- 4} nờn ta cú bảng giỏ trị:
 x - 3 1 2 4 -1 -2 -4
 y 4 2 1 -4 -2 -1
Từ đú suy ra (x;y)ẻ {(4;4),(5;2),(7;1),(2;- 4),(1;- 2),(- 1;- 1)}
 1 1 1 133 17
2.9. Từ đề bài suy ra: + + = :19 =
 x + y y + z z + x 10 10
 x y z 133
Từ đề bài, ta cú: + + = : 7
 y + z z + x x + y 10
 x y z 19
ị + + =
 y + z z + x x + y 10
 x y z 19
ị + 1+ + 1+ + 1= + 3
 y + z z + x x + y 10
 x + y + z x + y + z x + y + z 49
ị + + =
 y + z z + x x + y 10
 ổ 1 1 1 ử 49
ị (x + y + z)ỗ + + ữ=
 ốỗy + z z + x x + yứữ 10
 7 49
(x + y + z). = ị x + y + z = 7 hay M = 7
 10 10
2.10. Ta cú:
 1 1 1 1
(x + y)+ (y + z)+ (z + x)= + + Û 2(x + y + z)= 1 Û x + y + z =
 2 3 6 2
 1 1 1 1 1 1
Suy ra: + z = ị z = 0 mà: y + z = ị y = ;z + x = ị x =
 2 2 3 3 6 6
 ổ1 1 ử
Vậy (x;y;z)= ỗ ; ;0ữ.
 ốỗ6 3 ứữ
2.11. a) Xột biểu thức ta cú:
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A = + + + ...+ = 1- + - + - + ...+ -
 1.2 3.4 5.6 99.100 2 3 4 5 6 99 100 1 1 1 1 1 1 ổ1 1 1 ử
= 1+ + + + + + ...+ - 2ỗ + + ...+ ữ
 2 3 4 5 6 100 ốỗ2 4 100ứữ
 1 1 1 1 1 1 1 1
= 1+ + + + + + ...+ - 1- - ...-
 2 3 4 5 6 100 2 50
 1 1 1 1
= + + + ...+
 51 52 53 100
Vế trỏi bằng vế phải. Điều phải chứng minh.
b) Ta cú:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 ... ... ... 
51 52 53 100 505050 757575 
 25 phân số 25 phân số 
 25 25 1 1 5 5
Hay A < + = + = ị A < (1)
 50 75 2 3 6 6
 ổ ử ổ ử
 ỗ ữ ỗ ữ
1 1 1 1 ỗ 1 1 1 ữ ỗ 1 1 1 ữ
 + + + ...+ > ỗ + + ...+ ữ+ ỗ + + ...+ ữ
51 52 53 100 ỗ75 75 75ữ ỗ100 100 100ữ
 ỗ144444442 44444443ữ ỗ1444444442 444444443ữ
 ốỗ 25 phân số ứữ ốỗ 25 phân số ứữ
 25 25 1 1 7 7
Hay A > + = + = ị A > (2)
 75 100 3 4 12 12
 7 5
Từ (1) và (2), suy ra: < A < . Điều phải chứng minh.
 12 6
2.12. Đặt 100 số hữu tỉ đú là a1;a2 ;a3;...;a100
a) Theo đề bài ta cú: a1.a2.a3 < 0 ị trong ba số a1;a2 ;a3 tồn tại ớt nhất một số õm.
Giả sử a1 < 0
Xột a1;a2 ;a3;...;a100 = a1 (a2.a3.a4 )(a5.a6.a7 )...(a98.a99.a100 )
Ta cú: a1 < 0 theo đề bài: a2a3a4 < 0;a5a6a7 < 0;...;a98a99a100 < 0
(cú 33 nhúm) nờn a1 (a2.a3.a4 )(a5.a6.a7 )...(a98.a99.a100 )> 0
b) Theo đề bài ta cú a2a3a4 < 0 ị trong ba số a2 ;a3;a4 tồn tại ớt nhất một số õm.
Giả sử a2 0 nờn a3 < 0
Xột a1.a2.ak 0 ị ak < 0
Vậy tất cả 100 số đú đều là số õm.
2.13. Ta cú:
a1 + (a2 + a3 + a4 )+ ...+ (a11 + a12 + a13)+ a14 + (a15 + a16 + a17 )+ (a18 + a19 + a20 )< 0
Mà a1 > 0;a2 + a3 + a4 > 0;...;a11 + a12 + a13 > 0;a15 + a16 + a17 > 0;a18 + a19 + a20 > 0 ị a14 < 0
Cũng như vậy: 
(a1 + a2 + a3 )+ ...+ (a10 + a11 + a12 )+ (a13 + a14 )+ (a15 + a16 + a17 )+ (a18 + a19 + a20 )< 0 ị a13 + a14 < 0
Mặt khỏc. a12 + a13 + a14 > 0 ị a12 > 0
Từ cỏc điều kiện a1 > 0;a12 > 0;a14 < 0 ị a1.a14 + a14.a12 < a1.a12 (điều phải chứng minh).
 1 1 1
2.14. Đặt C = 1011.A = 1+ + + ...+ ;
 3 5 2019
 1 1 1 1
D = 1010.B = + + + ...+
 2 4 6 2020
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ta cú C > 1+ + + + ...+ = + + + + ...+
 4 6 8 2020 2 2 4 6 2020