Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chương I: Số hữu tỉ. Số thực - Chuyên đề 3: Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ. Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân

 Chuyờn đề 3. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ.
 CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ THẬP PHÂN
A. Kiến thức cần nhớ
1. Giỏ trị tuyệt đối của số hữu tỉ x, kớ hiệu x là khoảng cỏch từ điểm x tới điểm 0 trờn trục số.
 ùỡ x nếu x ³ 0
• Ta cú: x = ớù
 ợù - x nếu x < 0
• Với mọi x ẻ Q , ta luụn cú: x ³ 0; x = - x ; x ³ x .
2. Để cộng, trừ, nhõn, chia cỏc số thập phõn, ta cú thể viết chỳng dưới dạng phõn số thập phõn rồi làm 
theo quy tắc cỏc phộp tớnh đó biết về phõn số.
B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1.Tỡm x, biết:
a) 1,74- 3,5- x = 1,24 ; b) 2x - 5 - 0,12 = 1,88 ;
 1 2 3 4
c) 3,54x - 2 = - 1,6 ; d) x + - = .
 2 3 4 5
 Giải
✓ Tỡm cỏch giải. Khi tỡm x chứa dấu giỏ trị tuyệt đối, ta lưu ý:
 • A = m > 0 thỡ A = m hoặc A = - m .
 • A = 0 thỡ A = 0.
 • A = m < 0 thỡ khụng tồn tại.
✓ Trỡnh bày lời giải
a) 1,74- 3,5- x = 1,24 Û 3,5- x = 0,5
suy ra 3,5- x = 0,5 hoặc 3,5- x = - 0,5
do đú x ẻ {3;4} .
b) 2x - 5 - 0,12 = 1,88 Û 2x - 5 = 2 Û 2x - 5 = 2 hoặc 2x - 5 = - 2 .
 ùỡ 7 3ùỹ
Vậy x ẻ ớù ;- ýù
 ợù 2 2ỵù
c) 3,54x - 2 = - 1,6 < 0 suy ra khụng tồn tại x.
 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
d) x + - = Û x + - = hoặc x + - = -
 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5
 1 2 31 1 2 1
Û x + = hoặc x + = .
 2 3 20 2 3 20 1 2 31 1 2 31 1 2 31
- Trường hợp 1. x + = Û x + = hoặc x + = -
 2 3 20 2 3 20 2 3 20
 53 - 133
x = hoặc x =
 30 30
 1 2 1 1 2 1 1 2 1
- Trường hợp 2. x + = Û x + = hoặc x + = -
 2 3 20 2 3 20 2 3 20
 37 43
x = - x = -
 30 30
 ùỡ 53 - 133 - 43 - 37ùỹ
Vậy x ẻ ớù ; ; ; ýù .
 ợù 30 30 30 30 ỵù
Vớ dụ 2. Tỡm x; y; z thỏa món:
 2 5 1 1
a) 3x + 9 + 5y- 7 = 0 ; b) x - 1 + 4y + + 3 - .z = 0
 3 6 4 2
 Giải
✓ Tỡm cỏch giải. Khi tỡm x;y mà tổng cỏc giỏ trị tuyệt đối bằng 0 ta lưu ý:
A + B = 0 thỡ A = 0 và B = 0 .
 ✓ Trỡnh bày lời giải
a) Ta cú 3x + 9 ³ 0; 5y- 7 ³ 0 nờn từ 3x + 9 + 5y- 7 = 0
suy ra 3x + 9 = 0 và 5y- 7 = 0 ị 3x + 9 = 0 và 5y- 7 = 0
 7
suy ra x = - 3;y = .
 5
 2 5 1 1
b) Ta cú x - 1 ³ 0; 4y + ³ 0; 3 - .z ³ 0 ;
 3 6 4 2
 2 5 1 1
nờn từ x - 1 + 4y + + 3 - .z = 0
 3 6 4 2
 2 5 1 1
suy ra x - 1 = 0; 4y + = 0; 3 - .z = 0
 3 6 4 2
 2 5 1
do đú: x = 1 ;y = - ;z = 6 .
 3 24 2
Vớ dụ 3. Tỡm x , biết: 
 1 2 3 2020
x + + x + + x + + ...+ x + = 2021x
 2021 2021 2021 2021
 Giải ✓ Tỡm cỏch giải. Đối với dạng toỏn A(x) + B(x) + ...+ C(x) = D(x) (1), chỳng ta nhận thấy rằng 
vế trỏi là tổng cỏc giỏ trị tuyệt đối. Do vậy cú điều kiện: D(x)³ 0 từ đú chỳng ta bỏ dấu giỏ trị tuyệt đối. 
Khi đú (1) trở thành: A(x)+ B(x)+ ...+ C(x)= D(x). Và lời giải trở nờn đơn giản.
✓ Trỡnh bày lời giải.
Điều kiện x ³ 0 suy ra:
 1 2 3 2020
x + + x + + x + + ...+ x + = 2021x
 2021 2021 2021 2021
 1+ 2 + 3+ 2020
Û 2020x + = 2021x
 2021
 2020.2021
Û 2020x + = 2021x Û x = 1010
 2.2021
Vớ dụ 4. Tỡm x , biết:
 1 2 3 5 1 5 7 8
a) x + = x + ; b) x + - x - = 0
 2 3 4 6 2 6 8 9
 Giải
✓ Tỡm cỏch giải. Chỳng ta biết rằng hai số bằng nhau hoặc đối nhau thỡ cú giỏ trị tuyệt đối bằng 
nhau và ngược lại. Do vậy giải dạng toỏn này, chỳng ta lưu ý: A = B Û A = B hoặc A = - B .
✓ Trỡnh bày lời giải.
 1 2 3 5 1 2 3 5 1 2 3 5
a) x + = x + Û x + = x + hoặc x + = - x -
 2 3 4 6 2 3 4 6 2 3 4 6
 1 2 3 5 1 3 5 2
- Trường hợp 1. Giải x + = x + Û x - x = -
 2 3 4 6 2 4 6 3
 - 1 1 2
Û x = Û x = -
 4 6 3
- Trường hợp 2. Giải:
1 2 3 5 1 3 5 2 5 - 3 6
 x + = - x - Û x + x = - - Û x = Û x = -
2 3 4 6 2 4 6 3 4 2 5
 ùỡ 2 - 6ùỹ
Vậy x ẻ ớù - ; ýù
 ợù 3 5 ỵù
 1 5 7 8 1 5 7 8 1 5 7 8
b) x + - x - = 0 Û x + = x - Û x + = x -
 2 6 8 9 2 6 8 9 2 6 8 9
 1 5 7 8
hoặc x + = - x +
 2 6 8 9
 1 5 7 8
- Trường hợp 1. Giải x + = x -
 2 6 8 9 1 7 8 5 - 3 - 31 124
Û x - x = - - Û x = Û x =
 2 8 9 6 8 18 27
- Trường hợp 2. Giải:
1 5 7 8 1 7 8 5
 x + = - x + Û x + x = -
2 6 8 9 2 8 9 6
 11 1 4
Û x = Û x =
 8 18 99
 ùỡ 124 4 ùỹ
Vậy x ẻ ớù ; ýù
 ợù 27 99ỵù
Vớ dụ 5. Tỡm x biết:
a) 3x - 5 + 3x + 1 = 6 ; b) x + 1 + 2x - 3 = 3x - 2 ;
 Giải
✓ Tỡm cỏch giải. Để giải dạng toỏn tổng giỏ trị tuyệt đối, chỳng ta cú thể:
 • Hướng 1. Xột dấu, bỏ dấu giỏ trị tuyệt đối.
 • Hướng 2. Vận dụng bất đẳng thức A ³ A , dấu bằng xảy ra khi A ³ 0 .
 • Hướng 3. Vận dụng bất đẳng thức A + B ³ A+ B , dấu bằng xảy ra khi AB ³ 0 .
✓ Trỡnh bày lời giải.
a) Ta cú: 3x - 5 = 5- 3x ³ 5- 3x; 3x + 1 ³ 3x + 1 nờn
3x - 5 + 3x + 1 ³ 5- 3x + 3x + 1= 6
 5 1
Do vậy dấu bằng chỉ xảy ra khi 5- 3x ³ 0 và 3x + 1³ 0 Û x Ê ;x ³ - .
 3 3
 1 5
Vậy - Ê x Ê .
 3 3
b) Ta cú: x + 1 + 2x - 3 ³ x + 1+ 2x - 3 = 3x - 2 . Dấu bằng chỉ xảy ra khi 
 3
(x + 1)(2x - 3)³ 0 Û x Ê - 1 hoặc x ³ .
 2
Vớ dụ 6. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = x - 2019 + x - 2020 + y- 2021 + x - 2022 + 2016
 Giải
Ta cú: x - 2019 ³ x - 2019, x - 2022 = 2022- x ³ 2022- x
Suy ra x - 2019 + 2022- x ³ x - 2019+ 2022- x = 3
Mặt khỏc, ta cú: x - 2020 ³ 0; y- 2021 ³ 0
Suy ra: A ³ 2016 + 3 = 2019
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là 2019 khi x = 2020;y = 2021 Vớ dụ 7. Thực hiện phộp tớnh một cỏch hợp lớ.
 3 3
 - + +
 0,375 0,3 1,5+ 1- 0,75
A = 11 12 + ;
 5 5 5
 - 0,625+ 0,5- - 2,5+ - 1,25
 11 12 3
 1 1 1 1
 - - - +
 0,25 0,2 6
B = 3 7 13 ´ 3 +
 2 2 2 1
 - - 1 - 0,875+ 0,7 7
 3 7 13 6
 Giải
✓ Tỡm cỏch giải. Khi thực hiện cỏc phộp tớnh cú biểu thức chứa cỏc số thập phõn và phõn số, ta nờn 
viết chỳng dưới dạng phõn số rồi thực hiện cỏc phộp tớnh. Quan sỏt kĩ sau khi viết dưới dạng phõn số, ta 
thấy cú những phần giống nhau cả số và dấu vỡ vậy ta nờn vận dụng tớnh chất phõn phối 
k k k ổ1 1 1ử
 + + = k.ỗ + + ữ để rỳt gọn.
a b c ốỗa b cứữ
✓ Trỡnh bày lời giải
 3 3 3 3 3 3 3
 - + + + -
A = 8 10 11 12 + 2 3 4
 - 5 5 5 5 5 5 5
 + - - + -
 8 10 11 12 2 3 4
 ổ1 1 1 1 ử ổ1 1 1ử
 3ỗ - + + ữ 3ỗ + - ữ
 ốỗ8 10 11 12ứữ ốỗ2 3 4ứữ
A = +
 ổ1 1 1 1 ử ổ1 1 1ử
 - 5ỗ - + + ữ 5ỗ + - ữ
 ốỗ8 10 11 12ứữ ốỗ2 3 4ứữ
 - 3 3
A = + = 0
 5 5
 ổ1 1 1 ử 1 1 1
 1ỗ - - ữ - +
 ốỗ3 7 13ứữ 6
B = ´ 3 4 5 +
 ổ1 1 1 ử 7 7 7 7
 2ỗ - - ữ - +
 ốỗ3 7 13ứữ 6 8 10
 ổ1 1 1 ử
 2ỗ - + ữ
 1 ốỗ6 8 10ứữ 6 1 6
B = ´ + = + = 1
 2 ổ1 1 1 ử 7 7 7
 7ỗ - + ữ
 ốỗ6 8 10ứữ
Vớ dụ 8. Tớnh bằng cỏch hợp lớ:
 ộ ự ộ ự
a) (- 4,135)+ ở(- 21,5)+ (+ 4,135)ỷ; b) (+ 45,13)+ ở(+ 7,87)+ (- 2110)ỷ;
 Giải
✓ Tỡm cỏch giải. Tớnh tổng cỏc số thập phõn ta cú thể vận dụng tớnh chất giao hoỏn và kết hợp để 
tớnh hợp lớ hơn. ✓ Trỡnh bày lời giải
a) (- 4,135)+ (+ 4,135)+ (- 21,5)= - 21,5;
b) (+ 45,13)+ (+ 7,87)+ (- 2110)= 53+ (- 2110)= - 2057
C. Bài tập vận dụng
3.1. Tỡm x , biết:
 9 1 11 3 1 7
a) 6,5- : x + = 2 ; b) + : 4x - = ;
 4 3 4 2 5 2
 15 3 1 21 x 2
c) - 2,5: x + = 3 ; d) + 3: - = 6 .
 4 4 2 5 4 3
3.2. Tỡm x , biết:
 1 3 1
a) 2x - 1 + = ; b) x2 + 3 x - = x2 + 3 .
 2 4 2
3.3. Tỡm x , biết:
 3 1 5 7 5 3
a) x + = 4x - 1 ; c) x - - x + = 0;
 2 2 4 2 8 5
 7 1 4 1 7 5 1
b) x + = x - ; d) x + - x + 5 = 0 .
 5 2 3 4 8 6 2
3.4. Tỡm x, y thỏa món:
 2 2 2 1 3 3 3
a) 5- x + y- 4 = 0 ; b) - + x + 1,5- - y = 0
 3 3 3 2 4 4 2
 21
c) x - 2020 + y- 2021 = 0 d) x - y + y + = 0
 10
3.5. Tỡm x , biết:
 1 1 1 1
a) x + + x + + x + + ...+ x + = 2020x ;
 1.2 2.3 3.4 2019.2020
 1 1 1 1
b) x + + x + + x + + ...+ x + = 100x ;
 1.3 3.5 5.7 197.199
 1 1 1 1 1
c) x + + x + + x + + x + + ...+ x + = 11x .
 2 6 12 20 110
3.6. Tỡm cặp số nguyờn (x, y) thỏa món:
a) x + 4 + y- 2 = 3; b) 2x + 1 + y- 1 = 4 .
c) 3x + y + 5 = 5 ; d) 5x + 2y + 3 = 7 .
3.7. Tỡm x , biết:
 2 3 1
a) x + 5 + 4- x = 9 ; b) x - + x - = ;
 3 4 12 c) 2 x - 3 + 2x + 5 = 11; d) x - 3 + 5- x + 2 x - 4 = 2 .
3.8. Tỡm cặp (x, y) thỏa món: x - 1 + x - 2 + y- 3 + x - 4 = 3 .
3.9. Tỡm cỏc cặp số nguyờn (x, y) thỏa món:
a) (2- x)(x + 1)= y + 1 ; b) (x + 3)(1- x)= y ;
c) (x - 2)(5- x)= 2y + 1 + 2 .
3.10. Tỡm cỏc cặp số nguyờn (x, y) thỏa món:
 12 10
a) x - 5 + 1- x = ; b) x - 2y- 1 + 5 = ;
 y + 1 + 3 y- 4 + 2
 16 6
c) x + 3 + x - 1 = ; d) x - 1 + 3- x = .
 y- 2 + y + 2 y + 3 + 3
3.11. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
 2 3 5 21
a) A = + - x ; b) B = x + - ;
 3 4 6 10
 11 9 9 73
c) C = + - x ; d) D = 3x + - ;
 12 10 10 79
 15 21
e) E = 4x - 3 + 5y + +
 16 10
3.12. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = x - 2019 + x - 2020 + x - 2021
3.13. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x + 1000 + 2x - 2020 với x là số nguyờn.
 ổ 1 ử 5
 ỗ0,34- ữ:
 ốỗ 25ứữ 2 ổ- 4ử
3.14. Thực hiện phộp tớnh: A = - (1,2.0,35):ỗ ữ.
 ổ4 ử ốỗ 5 ứữ
 0,8 :ỗ .1,25ữ
 ốỗ5 ứữ
3.15. Thực hiện phộp tớnh
a) 7,3.10,5+ 7,3.15+ 2,7.10,5+ 15.2,7 ;
b) 5,4- 1,5- (7,2- 1).
3.16. Tỡm x , biết:
 ổ 2ử 3 1 7 3
a) ỗx + ữ- = - - ;
 ốỗ 3ứữ 5 2 10 4
 5 ổ3 7 ử 1 1
b) - ỗ + - xữ= 10- - .
 6 ốỗ4 8 ứữ 3 2
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 9 1 9 1 1 1
3.1. a) 6,5- : x + = 2 Û : x + = 4,5 Û x + =
 4 3 4 3 3 2
 ộ 1 1 ộ 1
 ờx + = ờx =
 ờ 3 2 ờ 6
Û ờ Û ờ
 ờ 1 1 ờ 5
 ờx + = - ờx = -
 ởờ 3 2 ởờ 6
 ùỡ 1 5ùỹ
Vậy x ẻ ớù ;- ýù
 ợù 6 6ỵù
 11 3 1 7 3 1 3 1
b) + : 4x - = Û : 4x - = Û 4x - = 2
 4 2 5 2 2 5 4 5
 ộ 1 ộ 11
 ờ4x - = 2 ờx =
 ờ 5 ờ 20
Û ờ Û ờ
 ờ 1 ờ 9
 ờ4x - = - 2 ờx = -
 ởờ 5 ởờ 20
 ùỡ 11 9 ùỹ
Vậy x ẻ ớù ;- ýù
 ợù 20 20ỵù
 15 3 1 3 1 3 3 1 10
c) - 2,5: x + = 3 Û 2,5: x + = Û x + =
 4 4 2 4 2 4 4 2 3
 ộ3 1 10 ộ3 17 ộ 34
 ờ x + = ờ x = ờx =
 ờ4 2 3 ờ4 6 ờ 9
Û ờ Û ờ Û ờ
 ờ3 1 10 ờ3 23 ờ 46
 ờ x + = - ờ x = - ờx = -
 ởờ4 2 3 ởờ4 6 ởờ 9
 ùỡ 34 46ùỹ
Vậy x ẻ ớù ;- ýù
 ợù 9 9 ỵù
 ộx 2 5 ộx 7
 ờ - = ờ = ộ 28
 x 2 9 x 2 5 ờ4 3 3 ờ4 3 ờx =
d) 3: - = Û - = Û ờ Û ờ Û ờ 3
 4 3 5 4 3 3 ờx 2 5 ờx ờ
 ờ - = - ờ = - 1 ởờx = - 4
 ởờ4 3 3 ởờ4
 ùỡ 28 ùỹ
Vậy x ẻ ớù ;- 4ýù
 ợù 3 ỵù
3.2.
 1 3 1 3 1
a) 2x - 1 + = Û 2x - 1 + = (vỡ 2x - 1 + > 0 )
 2 4 2 4 2
 ộ 1 ộ 5 ộ 5
 ờ2x - 1= ờ2x = ờx =
 1 ờ 4 ờ 4 ờ 8
Û 2x - 1 = Û ờ Û ờ Û ờ
 4 ờ 1 ờ 3 ờ 3
 ờ2x - 1= - ờ2x = ờx =
 ởờ 4 ởờ 4 ởờ 8 ùỡ 5 3ùỹ
Vậy S = ớù ; ýù
 ợù 8 8ỵù
 1
b) x2 + 3> 0 , nờn suy ra: x2 + 3 x - = x2 + 3
 2
 ộ 1 ộ 3
 ờx - = 1 ờx =
 1 1 ờ 2 ờ 2
Û 3 x - = 3 Û x - = 1 Û ờ Û ờ
 2 2 ờ 1 ờ 1
 ờx - = - 1 ờx = -
 ởờ 2 ởờ 2
 ùỡ 3 1ùỹ
Vậy S = ớù ;- ýù
 ợù 2 2ỵù
3.3.
 3 1
a) x + = 4x - 1
 2 2
 3 1 3 1
✓ Trường hợp 1. x + = 4x - 1 Û x - 4x = - 1-
 2 2 2 2
 5 3 3
Û - x = - Û x =
 2 2 5
 3 1
✓ Trường hợp 2. x + = 1- 4x
 2 2
11x 1 1 ùỡ 1 3ùỹ
 = Û x = . Vậy S = ớù ; ýù
 2 2 11 ợù 11 5ỵù
 7 2 4 1
b) x + = x -
 5 3 3 4
 7 1 2 1 7 2 1 1
Trường hợp 1. x + = x - Û x - x = - -
 5 2 3 4 5 3 4 2
 11 3 45
Û x = - Û x = -
 5 4 44
 7 1 1 2 7 2 1 1
Trường hợp 2. x + = - x Û x - x = -
 5 2 4 3 5 3 4 2
31 1 15
 x = - Û x = -
15 4 124
 ùỡ 45 15 ùỹ
Vậy S = ớù - ;- ýù
 ợù 44 124ỵù
 5 7 5 3 5 7 5 3
c) x - - x + = 0 Û x - = x +
 4 2 8 5 4 2 8 5
 5 7 5 3 5 5 3 7
Trường hợp 1. x - = x + Û x - x = +
 4 2 8 5 4 8 5 2 5 41 164
Û x = Û x =
 8 10 25
 5 7 5 3 5 5 3 7
Trường hợp 2. x - = - x - Û x + x = - +
 4 2 8 5 4 8 5 2
 15 29 116
Û x = Û x =
 8 10 75
 ùỡ 164 116ùỹ
Vậy S = ớù ;- ýù
 ợù 25 75 ỵù
 7 5 1 7 5 1
d) x + - x + 5 = 0 Û x + = x + 5
 8 6 2 8 6 2
 7 5 1 7 1 5 100
Trường hợp 1. x + = x + 5 Û x - x = 5- Û x =
 8 6 2 8 2 6 9
 7 5 1 7 1 5 280
Trường hợp 2. x + = - x - 5 Û x + x = - 5- Û x = -
 8 6 2 8 2 6 66
 ùỡ 100 280ùỹ
Vậy S = ớù ;- ýù
 ợù 9 66 ỵù
3.4.
 2 2
a) Vỡ 5- x ³ 0; y- 4 ³ 0 nờn đẳng thức chỉ xảy ra khi:
 3 3
 2 2 2 2 15
5- x = 0; y- 4 = 0 Û x = 5, y = 4 Û x = , y = 6
 3 3 3 3 2
 ổ15 ử
Vậy (x;y)= ỗ ;6ữ
 ốỗ 2 ứữ
 2 1 3 3 3 1 3 3 3
b) - + x + 1,5- - y = 0 Û + x + - y = 0
 3 2 4 4 2 6 4 4 2
 1 3 3 3
Vỡ + x ³ 0, - y ³ 0 nờn đẳng thức chỉ xảy ra khi:
 6 4 4 2
1 3 3 3 3 1 3 3
 + x = 0; - y = 0 Û x = - , y =
6 4 4 2 4 6 2 4
 2 1 ổ 2 1ử
Û x = - ;y = . Vậy (x;y)= ỗ- ; ữ
 9 2 ốỗ 9 2ứữ
c) Vỡ x - 2020 ³ 0, y- 2021 ³ 0 nờn đẳng thức chỉ xảy ra khi:
x - 2020 = 0;y- 2021= 0 Û x = 2020;y = 2021
Vậy (x;y)= (2020;2021)
 21
d) Vỡ x - y ³ 0, y + ³ 0 nờn đẳng thức chỉ xảy ra khi:
 10