Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chương II: Hàm số và đồ thị - Chuyên đề 18: Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số

 Chuyên đề 18
 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
 CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Cho hàm số f x xác định trên tập hợp D :
a) Nếu f x m mà m là một hằng số và f x m tại x x0 D thì giá trị nhỏ nhất của f x là m , 
đạt được tại x x0 . 
Ta viết min f x m tại x x0 .
b) Nếu f x n mà n là một hằng số và f x n tại x x0 D thì giá trị lớn nhất của f x là n , đạt 
được tại x x0 . Ta viết max f x n tại x x0 .
B. Một số ví dụ
1. Dạng bài đưa biểu thức về dạng f x m hoặc f x n 
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A x 19x 5 2 1890 ;
b) B x 3x 15x 10 ;
c) C x 30 4x 1975 ;
 2019
d) D x x2018 x2020 2019 . 
 Tìm cách giải: Tìm giá trị nhỏ nhất của f x ta tìm hằng số m trong tập xác định D của f x mà 
f x m . Sau đó tìm x x0 D để f x0 m .
a) 19x 5 2 là bình phương của một biểu thức nên giá trị của nó luôn không âm x . Do đó tìm được 
 19x 5 2 1890 ? . Dấu “=” xảy ra khi nào? tại x ? 
b), c) Điều kiện để biểu thức có nghĩa?
Lưu ý: Căn bậc hai không âm của a được kí hiệu là a . Khi viết a phải có a 0 .
d) Nhận xét về bậc của các lũy thừa của x và giá trị của cả biểu thức. 
 Giải
a) Do 19x 5 2 0,x nên 19x 5 2 1890 1890,x .
 2 5
A x 1890 19x 5 0 x .
 19
 5
Ta có A x 1890,x ; dấu “=” xảy ra x .
 19 5
Vậy minA x 1890 tại x .
 19
b) Điều kiện để 15x có nghĩa: x 0 .
Ta có: B x 3x 15x 10 10 do x 0 và 15x 0 nên
B x 10 với x 0 ; dấu “=” xảy ra x 0 .
Vậy min B x 10 tại x 0 .
c) Điều kiện để 30 4x có nghĩa: 30 4x 0 x 7,5 
Ta có: C x 30 4x 1975 1975 do 30 4x 0 nên
C x 1975 . Lại có C 7,5 1975
Do đó C x 1975 với x 7,5; dấu “=” xảy ra x 7,5.
Vậy min C x 1975 tại x 7,5 .
 2019
d) Ta có x2018 0; x2020 0,x nên x2018 x2020 2019 20192019 ,x . Lại có D 0 20192019 .
Do đó D x 20192019 x ; dấu “=” xảy ra x 0 .
Vậy min D x 20192019 tại x 0 . 
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) E y 1945 2y 9 2 ;
 2016
b) F y . 
 y 5 2 9
 Tìm cách giải: Tìm giá trị lớn nhất của f(y) ta tìm hằng số n trong tập xác định D của f(y) mà 
f y n . Sau đó tìm y y0 D để f y0 n .
a) 2y 9 2 là bình phương của một biểu thức nên giá trị của nó luôn không âm y . Do đó 
1945 2y 9 2 sẽ như thế nào? Dấu “=” xảy ra khi nào?
Lưu ý 2y 9 0 2y 9 y 4,5.
 2016
b) Trước hết xét F y .
 y 5 2 9
 2 1 1
Ta có: y 5 9 9 y 
 y 5 2 9 9 1 1
(theo tính chất lấy nghịch đảo: Cho hai số dương a và b, nếu a b thì ). Từ đó suy ra 
 a b
 2016 2016
 224 . 
 y 5 2 9 9
 Giải
a) E y 1945 2y 9 2
Ta có 2y 9 2 0,y nên 1945 2y 9 2 1945,y .
Do đó E y 1945,y . Mặt khác, E 4,5 1945 nên E y 1945,y ; dấu “=” xảy ra y 4,5 . 
Vậy max E( y) 1945 tại y 4,5 .
 2016 2 2
b) F y , y , ta có: y 5 0 y 5 9 9 
 y 5 2 9
 1 1
 .
 y 5 2 9 9
 2016 2016 2016 2016
Từ đó suy ra: . Mặt khác, F 5 224
 y 5 2 9 9 5 5 2 9 9
Nên F y 224y ; dấu “=” xảy ra y 5 .
Vậy max F y 224 tại y 5 . 
2. Dạng bài mà biến số có giá trị nguyên (hoặc tự nhiên)
Ví dụ 3: Tìm số nguyên x để:
 2015
a) Biểu thức A đạt giá trị lớn nhất với A ;
 2019 x
 1930
b) Biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất với B . 
 x 5
 Tìm cách giải: Với x Z thì A và B là những phân số.
Với các phân số dương có tử số dương không đổi thì phân số có giá trị lớn nhất khi mẫu số dương nhỏ 
nhất.
Với các phân số âm có tử số dương không đổi thì phân số có giá trị nhỏ nhất khi đối của phân số đó có 
giá trị lớn nhất.
 Giải
a) Điều kiện x 2019 . Ta xét hai trường hợp sau:
* Nếu x 2019 thì 2019 x 0 , mà 2015 0 nên A 0 .
* Nếu x 2019 thì 2019 x 0 , mà 2015 0 nên A 0.
Do đó muốn Amax thì phải chọn x sao cho A 0 , tức là chọn x 2019 . Khi đó A khi và chỉ khi 2019 x do 2015 là hằng số dương. Ta có 2019 x 0 mà x Z nên 
 max min
 2019 x 2019 x 1 hay x 2018 .
 min
 2015
Vậy A đạt giá trị lớn nhất là 2015 x 2018 .
 2019 x
b) Điều kiện x 5 . Ta xét hai trường hợp sau:
* Nếu x 5 thì x 5 0, mà 1930 0 nên B 0.
* Nếu x 5 thì x 5 0 , mà 1930 0 nên B 0 . 
Do đó muốn Bmin phải chọn x sao cho B 0, tức là chọn x 5 .
 1930 
Khi đó B khi số đối của B hay 5 x do 1930 là hằng số dương.
 min max min
 5 x max
Ta có 5 x 0 mà x Z nên 5 x 5 x 1 hay x 4 .
 min
 1930
Vậy B đạt giá trị nhỏ nhất là 1930 x 4 . 
 x 5
Ví dụ 4: Tìm số nguyên y để:
 58 3y
a) Biểu thức C đạt giá trị lớn nhất với C ;
 19 y
 59 2y
b) Biểu thức D đạt giá trị nhỏ nhất với D . 
 y 25
 Tìm cách giải: Với y Z thì C và D là những phân số. Ta biến đổi
 57 3y 1 3 19 y 1 1
C 3 3 E 
 19 y 19 y 19 y
 9 50 2y 9 2 y 25 9
D 2 F 2 
 y 25 y 25 y 25
và lý luận tương tự ví dụ 3. 
 Giải
a) Điều kiện y 19 ta có:
 57 3y 1 3 19 y 1 1 1
C 3 3 E với E .
 19 y 19 y 19 y 19 y
* Nếu y 19 thì 19 y 0 mà 1 0 nên E 0 .
* Nếu y 19 thì 19 y 0 mà 1 0 nên E 0 .
Ta có Cmax Emax . Muốn Emax thì phải chọn y sao cho E 0 tức là chọn y 19 . Khi đó 
E 19 y (do 1 là hằng số dương).
 max min
Ta có 19 y 0; y Z nên 19 y 19 y 1 y 18.
 min
Ta có max C 4 khi và chỉ khi y 18 . b) Điều kiện y 25 , ta có:
 9 50 2y 9 2 y 25 9
D 2 F 2 .
 y 25 y 25 y 25
Ta xét hai trường hợp sau:
* Nếu y 25 thì y 25 0 mà 9 0 nên F 0 .
* Nếu y 25 thì y 25 0 mà 9 0 nên F 0 .
Do đó muốn Fmin phải chọn y sao cho F 0 , tức là chọn y 25.
 9 
Khi đó F khi số đối của F hay 25 y do 9 là hằng số dương.
 min max min
 25 y max
Ta có 25 y 0 mà y Z nên 25 y 25 y 1 hay y 24 .
 min
 59 2y
Vậy D đạt giá trị nhỏ nhất là 11 y 24. 
 y 25
3. Dạng tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức chứa nhiều biến.
Ví dụ 5:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M x, y, z x 1 2 y 2 2 z 3 2 4 ;
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 2016
P x, y ;
 x 2018 2 y 2019 2 224
c) Tìm giá trị lớn nhất của Q x, y xy biết rằng 3 x y 2 5xy 180 . 
 Tìm cách giải:
a) Biểu thức có ba biến, xác định với mọi giá trị của x,y và z.
Lưu ý: x 1 2 0,x R; y 2 2 0,y R 
và z 3 2 0z R .
b) Lưu ý tính chất nghịch đảo của số dương. Với a và b là hai số dương:
 1 1
Nếu a b thì .
 a b
c) Từ 3 x y 2 5xy 180 tìm hệ thức Q x, y nhỏ hơn hoặc bằng một hằng số.
 Giải
a) M x, y, z x 1 2 y 2 2 z 3 2 4 .
Do x 1 2 0,x R; y 2 2 0,y R; z 3 2 0,z R .
Nên x 1 2 y 2 2 z 3 2 4 4,x R,y R,z R . M 1; 2;3 1 1 2 2 2 2 3 3 2 4 4 .
Do đó M x, y, z 4,x R,y R,z R dấu “=” xảy ra x 1; y 2; z 3.
Vậy min M x, y, z 4 tại x 1; y 2; z 3 .
b) x R,y R ta có x 2018 2 y 2019 2 224 224 
 2016 2016
do đó P x, y .
 x 2018 2 y 2019 2 224 224
Mặt khác
 2016 2016
P 2018;2019 9 . 
 2018 2018 2 2019 2019 2 224 224
 2016
Ta có P x, y 9x R,y R .
 224
 Dấu “=” xảy ra x 2018; y 2019 . 
 2 3 2
c) Do 3 x y 5xy 180 nên Q x, y xy 36 x y 
 5
 3 2 3 2
Do x R,y R ta có x y 0 nên Q x, y 36 x y 36 
 5 5
Và Q x, y xy 36 khi và chỉ khi x y 6 hoặc x y 6.
Vậy maxQ x, y 36 tại x y 6 hoặc x y 6.
 1 1 7
Ví dụ 6: Cho a,b là các số tự nhiên khác 0. Biết 1 .
 a b 10
 2020
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . 
 a b
 Tìm cách giải: A là phân số dương có tử số là 2020 không đổi. Vì vậy muốn A đạt giá trị lớn nhất thì 
 a b phải đạt giá trị nhỏ nhất. Để tìm a b ta phải tìm các giá trị có thể có của a và b rồi tìm các 
 min
 1 1
giá trị nhỏ nhất của a và b. Ta thấy ngay từ 1 a;b 1. Chú ý tính chất nghịch đảo của hai số tự 
 a b
 1 1
nhiên m,n khác 0: m n thì 
 m n
 Giải
 1 1
Do 1 a;b 1 không mất tổng quát giả sử 1 a b 
 a b
 1 1 1 1 1 1 7 2 6
 1 . Ta có hay a 2 
 a b a b a a 10 a 7
Do a N và a 1 nên a 2 (1) 7 1 1 1 1 1
Với a 2 ta có 1 b 3;4 (2)
 10 2 b 5 b 2
Từ (1) và (2), ta có: min a b 2 3 5 
 2020
Vậy max A 404 . 
 5
C. Bài tập vận dụng
1. Dạng bài đưa biểu thức về dạng f x m hoặc f x n 
18.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) f x 1,5x 4,5 2 12 ;
b) g x 2x 3 3x 6 16 ;
c) h x 64 2x 23 ;
 2015
d) p x x2 x4 x6 ... x98 x100 2 22015 . 
18.2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) A y 15 30 2y 2 ;
 2015
b) B y ;
 4 5y 2 2018
 2 4 6 ... 198 200
c) C y ;
 10y 5 2 1 3 5 ... 17 19 2 100
 2
d) D y 5 2y 4 6 . 
18.3.
 5x2 4x2 10
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S ;
 x4 2
 2x4 4x2 8
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T ;
 x4 4
c) Cho a là hằng số và a 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 8y8 2a y 3 2 2a2
M . 
 4y8 a2
2. Dạng bài mà biến số có giá trị nguyên (hoặc tự nhiên)
18.4. Tìm số nguyên x để:
 16
a) Biểu thức A đạt giá trị lớn nhất với A ;
 6 x
 1945
b) Biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất với B . 
 x 1930 18.5. Tìm số nguyên y để:
 36 3y
a) Biểu thức C đạt giá trị lớn nhất với C ;
 11 y
 21 y
b) Biểu thức D đạt giá trị nhỏ nhất với D ;
 y 2
 11n 47
18.6. Tìm giá trị của số tự nhiên n để phân số P có giá trị lớn nhất.
 2n 9
3. Dạng tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức chứa nhiều biến.
18.7. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) f x, y x 2 2 2y 1 2 25 ; 
b) g x, y x y 1 2 y 3 2 4 ;
 2
c) h x, y ;
 6 2x y 2 x 1 2
d) k x, y, z x y 2z 2 x y 3 4 y 1 6 5. 
18.8. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) A x, y 2017 11y 7 2 x 100 2 ;
 2
b) B x, y 16 x y 2 2 y2 9 ;
 24
c) C x, y 2 2 ;
 3 2x3 y 1 x2 4 
 2 x 1 2 2 y 2 2 100
d) D x, y . 
 x 1 2 y 2 2 2
18.9.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M x, y, z x 1 2 2 y 2 2 3 2z 3 4 ;
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 15 5
N x, y, z ;
 2x 4 2 y 3 2 10 4z 2016 2 2
c) Tìm giá trị lớn nhất của P x, y 2xy biết rằng x y 2 0,1xy 10 . 
18.10. Cho a, b, c là các số nguyên. Biết a 5b;b 5c và c 25 . Tìm giá trị lớn nhất của tổng 
 a b c . 
18.11. Tìm giá trị lớn nhất của tỷ số giữa một số có ba chữ số với tổng các chữ số của nó. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
18.1.
a) min f x 12 x 3 .
b) Điều kiện để căn thức có nghĩa: x 2 
Ta có: g x 2x 3 3x 6 16 20 do x 2 và 3 3x 6 0 .
Dấu “=” xảy ra x 2. Vậy min g x 20 x 2 .
c) Điều kiện để căn thức có nghĩa: 64 2x 0 x 32
với x 32 thì 64 2x 0 . Ta có h x 64 2x 23 23 .
Dấu “=” xảy ra x 32 . Vậy min h x 23 x 32 .
d) Ta có x thì x2 0; x4 0; x6 0;...; x98 0; x100 0; 
 2015
nên p x x2 x4 x6 ... x98 x100 2 22015 22015 22015 22016 .
Dấu “=” xảy ra x 0 . 
Vậy min p x 22016 x 0
18.2.
a) max A y 15 tại y 15 .
b) y ta có 4 5y 2 0 4 5y 2 2018 2018 .
 2015 2015
Từ đó suy ra B y .
 4 5y 2 2018 2018
Dấu “=” xảy ra y 0,8
 2015
Vậy max B y y 0,8 .
 2018
c) Ta có 2 4 6 ... 198 200 2 200 .100 : 2 10100 
 2 2
 1 3 5 ... 17 19 100 1 19 .10 : 2 100 10100 
max C y 1 y 0,5 ;
d) Điều kiện để 2y 4 có nghĩa là 2y 4 0 y 2 .
 2
Ta có với y 2 thì 2y 4 6 0 
 2
Do đó 5 2y 4 6 5 . Dấu “=” xảy ra y 5 .
Vậy max D 5 tại y 5 . 
18.3. 4 2
 5x4 4x2 10 5 x 2 4x 4x2
a) S 5 5 .
 x4 2 x4 2 x4 2
Dấu “=” xảy ra x 0 .
Vậy min S 5 x 0 .
 4 2
 2x4 4x2 8 2 x 4 4x 4x2
 b) T 2 2 .
 x4 4 x4 4 x4 4
Dấu “=” xảy ra x 0 .
Vậy maxT 2 x 0 .
 2
 8y8 2a y 3 2 2a2 2 4y8 a2 2a y 3 2a y 3 2
c) M 2 
 4y8 a2 4y8 a2 4y8 a2
 2a y 3 2
Ta có a 0 và 4y8 a2 0;y nên 0 y M 2y 
 4y8 a2
Dấu “=” xảy ra y 3 
Vậy min M 2 y 3 .
18.4.
a) Điều kiện x 6 . Nếu x 6 thì 6 x 0 , mà 16 0 nên A 0 . Nếu x 6 thì 6 x 0 , mà 16 0 
nên A 0. Do đó muốn A thì phải chọn x 6 để A 0 . Khi đó A khi và chỉ khi 6 x mà 
 max max min
x Z nên 6 x 6 x 1 hay x 5. Vậy max A 16 x 5 .
 min
b) Điều kiện x 1930 . Nếu x 1930 thì x 1930 0 B 0 .
Nếu x 1930 thì x 2019 0 B 0 . Do đó muốn Bmin thì phải chọn x sao cho B 0, tức là chọn 
 1945 
x 1930. Khi đó B khi số đối của B hay 1930 x 1930 x 1 hay 
 min max min
 1930 x max
x 1929 .
Ta có B đạt giá trị nhỏ nhất là 1945 x 1929 . 
18.5.
a) Với y Z; y 11 thì C là một phân số và
 36 3y 3 11 y 3 3
C 3 
 11 y 11 y 11 y
Đáp số: max C 6 y 10 
 21 y 19 y 2 19
b) Điều kiện y 2 , ta có: D 1 
 y 2 y 2 y 2
Đáp số: min D 20 y 1.
18.6.