Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chương II: Tam giác - Chuyên đề 12: Vẽ hình phụ để giải toán

 Chuyên đề 12. VẼ HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN
A. Kiến thức cần nhớ
Trong một số bài toán ở các chuyên đề trước, chúng ta đã phải vẽ thêm hình phụ thì mới giải được. Trong 
chuyên đề này, chúng ta hệ thống một vài kỹ thuật về hình phụ để giải toán.
1. Mục đích của việc vẽ thêm hình phụ
Khi vẽ thêm đường phụ, chúng ta thường nhằm các mục đích sau đây:
- Đem những điều kiện đã cho của bài toán và những hình có liên quan đến chứng minh tập hợp (ở một 
hình mới) làm cho chúng có liên quan đến nhau.
- Tạo nên đoạn thẳng thứ ba (hoặc góc thứ ba) làm cho hai đoạn thẳng (hoặc hai góc) cần chứng mình trở 
lên có mối quan hệ với nhau.
 1
- Tạo nên đoạn thẳng (hay góc) bằng tổng, hiệu gấp đôi hay bằng đoạn thẳng (hay góc) cho trước để 
 2
đạt được chứng minh của bài tập hình học.
- Tạo nên những đại lượng mới (đoạn thẳng hay góc) bằng nhau, thêm vào những đại lượng bằng nhau 
mà đề bài đã cho để giúp cho việc chứng minh.
- Tạo nên một hình mới, để có thể áp dụng một định lý nào đó.
- Biến đổi kết luận, hình vẽ làm cho bài toán trở lên dễ chứng minh hơn.
2. Các loại đường phụ thường vẽ
- Kéo dài một đoạn thẳng cho trước với một độ dài tùy ý hoặc cắt một đường thẳng khác.
- Nối hai điểm cho trước hoặc cố định
- Từ một điểm cho trước dựng đuờng thẳng song song với một đường thẳng cho trước.
- Dựng đường phân giác của một góc cho trước.
- Dựng đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với đường thẳng khác một góc bằng một góc 
cho trước.
* Chú ý: Khi vẽ đường phụ phải có mục đích không vẽ tùy tiện.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ= 100°. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D.
Chứng minh BC = AD+ BD.
 Giải
* Tìm cách giải. Đây là bài toán khó tuy nhiên nếu bạn biết lưu tâm đến giả thiết của bài toán và phương 
pháp kẻ đường phụ thì bài toàn trở nên đơn giản. Phân tích kết luận, chúng ta có hai hướng vẽ đường phụ 
cho bài toán này.
- Vì A, D, B không thẳng hàng, mà kết luận AD+ BD = BC , do vậy chúng ta vẽ thêm hình phụ sao cho 
AD+ BD bằng một đoạn thẳng. Sau đó chứng minh đoạn thẳng đó bằng BC. - Phân tích kết luận, chúng ta cũng có thể nghĩ tới việc tách BC thành tổng hai đoạn thẳng mà trong đó có 
một đoạn thẳng bằng BD (hoặc AD) và chứng minh đoạn thẳng còn lại bằng AD (hoặc BD).
Trong hai hướng suy nghĩ trên, chúng ta lưu ý đến giả thiết là tam giác cân và biết số đo góc để tính tất cả 
các góc có thể. 
* Trình bày lời giải
- Cách vẽ 1. Trên tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho DA = DK . Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho
BE = BA .
DABC cân tại A có Aµ= 100° nên Bµ= Cµ= 40°.
Ta có: DABD = DEBD (c.g.c)Þ AD = DE ,
· · ¶ ¶ ¶
BED = BAD = 100° Þ D1 = D2 = D3 = 60°
 µ ¶
Mà BD là tia phân giác của góc B nên B1 = B2 = 20°
 · ¶
Mặt khác: BDC = 120° Þ D4 = 60°. Từ đó ta có:
DKDC = DEDC (c.g.c) Þ D·KC = D· EC = 180° —100° = 80°
Þ K·CB = 80° Þ DBKC cân tại B Þ BC = BK = BD+ DK = BD+ AD
Vậy BC = BD+ AD.
- Cách vẽ 2. Trên tia BC lấy điểm M sao cho BM = BA , lấy điểm N sao cho BN = BD .
Ta có: DABD = DMBD (c.g.c) Þ AD = DM(*), Aµ= B·MD = 100°.
Do B·MD = 100° Þ D·NM = 80° (1)
Mặt khác DBDN cân tại B nên 
B·DN = B·ND = 80° (2)
Từ (1) (2) ta có: DMDN cân tại D 
nên DM = DN (**)
Ta có: N·DC = N·CD = 40°
Þ DDNC cân tại N, nên NC = ND (***)
Từ (*)(**)(***) Þ AD = NC Þ BC = BN + NC Þ BC = BD+ AD.
- Cách vẽ 3. Trên cạnh BC lấy điểm 
F sao cho BF = BD, trên cạnh AB 
lấy điểm K sao cho AK = AD. Ta
sẽ chứng minh được tam giác BKD
cân tại K nên KB = KD, mà KB = DC
nên KD = DC do đó DAKD = DFDC (g.c.g)Þ AD = FC
Þ BC = BF + FC = BD+ AD. Vậy BC = BD+ AD.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D và E thuộc BC sao cho D· AE = 45° (D nằm giữa 
B và E). Chứng minh rằng BD2 + CE2 = DE2 .
 Giải
* Tìm cách giải.
Từ kết luận, để nhận thấy BD, CE, DE thỏa mãn định lý Py-ta-go. Do vậy ta sẽ tạo ra một tam giác vuông 
có ba cạnh bằng BD, CE, DE trong đó DE là độ dài cạnh huyền. Do BD, CE, DE cùng nằm trên một 
đường thẳng. Do vậy cần kẻ thêm đường phụ. Từ C kẻ CK ^ BC và lấy CK = BD (K và A cùng phía đối 
với BC). Chỉ cần chứng minh KE = DE.
* Trình bày lời giải. 
Từ C kẻ CK ^ BC và lấy CK = BD
(K và A cùng phía đối với BC). Ta
 ¶ µ µ
có C2 = 90° — C1 = 90° — 45° = B,
CK = BD (theo cách dựng)
AC = AB (giả thiết)
Do đó DACK = DABD (c. g. c), 
 ¶ µ
suy ra AK = AD, A4 = A1
 ¶ µ ¶
Ta lại có A2 = 45° (giả thiết) nên A1 + A3 = 45°suy ra:
· ¶ ¶ ·
EAK = A4 + A3 = 45° = EAD
Xét DEAK và DEAD có AD = AK , AE là cạnh
chung, E·AK = E·AD(= 45°)Þ DEAK = DEAD 
(c.g.c), suy ra KE = DE . Từ đây, hiển nhiên ta có
điều phải chứng minh.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, Cµ= 15°.
Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2AC .
Chứng minh rằng OBC cân.
 Giải
* Tìm cách giải. Trong bài toán trên, vì phát hiện thấy 
Cµ= 15° suy ra Bµ= 75° , mà 75°- 15° = 60° là số đo của mỗi 
góc trong tam giác đều.
Điều này gợi ý cho chúng ta vẽ tam giác đều BCM như hình 
vẽ. Nhờ các cạnh của tam giác đều bằng nhau, các góc của tam giác đều là 60° , chúng ta chứng minh được 
DHMB = DABC (c.g.c); DMOB = DMOC (c.g.c) dẫn tới 
DOBC cân tại O. Do đó nên nghĩ tới việc vận dụng vẽ thêm 
tam giác đều vào giải toán.
* Trình bày lời giải
Ta có: DABC; Aµ= 90°; Cµ= 15°(gt)Þ Bµ= 75°.
Vẽ tam giác đều BCM.
(M và A cũng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC)
Ta có: O·BM = A·BC- M· BC = 75°- 60° = 15°
 1
Gọi H là trung điểm của OB Þ HO = HB = OB
 2
 1
Mặt khác BO = 2AC (gt) nên AC = OB từ đó ta có AC = BH
 2
Xét DHMB và DABC có: BH = AC (cmt) H·BM = A·CB (= 15°);
MB = BC (cạnh D đều BMC)
Do đó DHMB = DABC (c.g.c) Þ Hµ= Aµ= 90° Þ MH ^ OB
DMBH và DMOH có M· HB = M· HO = 90° , BH = HO, MH chung
Þ DMBH = DMOH Þ O·BM = B·OM Þ O·BM = B·OM = 15° .
Þ B·MO = 180°- 2.15° = 150°
Từ đó MB = MC, C·MO = B·MO(= 150°), OM là cạnh chung
Do đó DMOB = DMOC (c- g - c)Þ OB = OC.
Vậy DOBC cân tại O. (điều phải chứng minh)
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC cân tại A, đường phân giác BD. Trên tia BA lấy điểm E sao cho BE = 2CD. 
Chứng minh rằng E·DB = 90°.
 Giải
* Tìm cách giải. Từ giả thiết BE = 2CD, gợi ý cho chúng ta vẽ 
trung điểm F của BE. Muốn chứng minh E·DB = 90° mà FB = 
FE, nên chúng ta chỉ cần chứng minh BF = FD = FE.
* Trình bày lời giải
- Cách 1. Gọi F là trung điểm của BE thì FB = CD 
 1
(cùng bằng BE ). Mà AB = AC (tam giác ABC cân 
 2
tại A) nên AF = AD. Suy ra tam giác AFD cân tại A. 180°- B·AC
Từ đó A·FD = A·BC (cùng bằng ).
 2
Suy ra DF // BC (hai góc đồng vị bằng nhau), 
nên F·BD = F·DB (cùng bằng D· BC ). Điều này
dẫn đến tam giác FBD cân tại F, hay
 1
FD = FB = BE.
 2
 1
Tam giác BDE có F là trung điểm cạnh BE và DF = BE nên tam giác BDE vuông tại D hay 
 2
E·DB = 90° (điều phải chứng minh).
- Cách 2. Từ D kẻ DF / /BC (F Î AB). Suy ra F·DB = C·BD (so le trong)
Þ F·DB = F·BD Þ DFBD cân tại F Þ BF = FD
Mặt khác, DAFD và DABC cân tại A, suy ra AF = AD, AB = AC
Þ BF = CD.
Từ đó suy ra BF = FD = FE Þ tam giác BDE vuông tại D hay E·DB = 90° (điều phải chứng minh).
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC (AB < AC),
kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi 
M là trung điểm của BC. Biết rằng
AH và AM chia góc A thành 3 góc 
bằng nhau. Chứng minh rằng:
a) Tam giác ABC vuông. 
b) Tam giác ABM là tam giác đều.
 Giải
* Tìm cách giải. Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳng vuông góc 
với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy ra AB ^ AC và suy ra Aµ= 90° .
* Trình bày lời giải.
a) Vẽ MI vuông góc với AC. 
DAHM và DAIM có A·HM = A·IM = 90° , AM là cạnh chung, H·AM = I·AM
Þ DMAI = DMAH(c.h- g.n) Þ MI = MH
DAHM và DAHB có A·HM = A·HB = 90°, AH là cạnh chung,
H·AM = H· AB Þ DAHM = DAHB(g.c.g)Þ BH = MH
 1 1
Þ BH = MH = BM Þ MI = MC Þ Cµ= 30°;H· AC = 60°
 2 2 Vậy B·AC = (60°.3): 2 = 90° Þ Tam giác ABC vuông tại A.
 1
b) Ta có Cµ= 30° Þ Bµ= 60°;AM = BM = BC Þ tam giác ABM cân có một góc bằng 60° Þ tam giác 
 2
ABM đều.
* Nhận xét: Trong bài toán trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tưởng chừng như rất khó giải, tuy nhiên, 
chỉ bằng một đường vẽ thêm ( MI ^ AC ) thì bài toán lại trở nên rất dễ dàng, qua đó càng thấy rõ vai trò 
của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học.
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC với B·AC = 40° và A·BC = 60°. Gọi D và E theo thứ tự là các điểm nằm trên 
cạnh AB và AC sao cho D· CB = 70° và E·BC = 40°; F là giao điểm của DC và EB. Chứng minh rằng AF 
vuông góc với BC.
 Giải
Trên AC lấy điểm N sao cho A·BN = 40° . 
Ta có A·BN = B·AN = 40° nên DABN cân 
tại N, suy ra B·NC = 80° (tính chất góc 
ngoài của tam giác). Do đó 
B·NC = B·CN = 80° suy ra DBCN cân tại 
B Þ BN = BC (1) 
DBFC có F·BC = 40°,F·CB = 70° nên 
B·FC = 70°
Vậy DBFC cân tại B Þ BC = BF (2).
Từ (1) và (2) suy ra BN = BF (3). Kéo dài BC lấy điểm M sao cho BM = BA
Þ DABM đều.
Xét DABN và DMBF có AB = MB, BN = BF (do (3)), A·BN = F·BM = 40° , do đó 
DABN = DMBF (c.g.c). Mà DABN cân tại N, suy ra DMBF cân tại F. Từ AB = AM (do DABM đều), 
FB = FM Þ DABF = DAMF (c.c.c ), suy ra B·AF = M· AF .
Mặt khác, DABM đều nên AF vuông góc với BC.
* Nhận xét:
- Bài toán này tương đối khó vì phải vẽ thêm nhiều đường phụ.
- Ngoài cách giải trên đây, có thể dựng thêm tam giác đều BCK hoặc tam giác đều AFH, cũng đi đến kết 
luận của bài toán.
C. Bài tập vận dụng
12.1. Cho DABC (AB = AC), trên cạnh AB lấy điểm D, trên phần kéo dài của cạnh AC lấy điểm E sao 
Cho BD = CE. Gọi F là giao điểm của DE và BC. Chứng minh DF = FE 12.2. Cho DABC có Bµ= 45°;Aµ= 15°.Trên tia đối của tia CB lấy D sao cho CD = 2.CB. Tính A·DB
 1
12.3. Ở trong góc nhọn x·Oy vẽ Oz sao cho x·Oz = y·Oz . Qua điểm A thuộc Oy vẽ AH vuông góc Ox 
 2
cắt Oz ở B. Trên tia Bz lấy D sao cho BD = OA. Chứng minh tam giác AOD cân.
12.4. Cho DABC có A·BC = 50°;B·AC = 70° . Tia phân giác góc ACB cắt AB tại M. Trên MC lấy điểm N 
sao cho M· BN = 40° . Chứng minh rằng: BN = MC
12.5. Cho tam giác đều ABC. Trên tia đối của tia CB, lấy điểm D sao cho C·AD = 15° . Đường vuông góc 
với BC tại C cắt AD ở E. Tia phân giác của góc B cắt AD ở K. Chứng minh rằng AK = ED.
12.6. Cho tam giác ABC với trung điểm M của BC. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là đường thẳng 
AB kẻ đoạn thẳng AE vuông góc với AB sao cho AB = AE. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là 
đường thẳng AC kẻ đoạn thẳng AF = AC và AF vuông góc với AC. Chứng minh rằng EF = 2AM và 
EF ^ AM .
12.7. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi E là trung điểm của cạnh AC. Qua A kẻ đường thẳng 
vuông góc với BE cắt BC tại D. Chứng minh rằng AD = 2ED.
12.8. Về phía ngoài của tam giác ABC, dựng tam giác XBC cân tại X có góc BXC bằng 120° và các tam 
giác YCA, ZAB đều. Chứng minh XA vuông góc với YZ.
12.9. Cho tam giác ABC vuông tại A và A·BC = 54° .Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng AM và 
đường phân giác trong CD của tam giác cắt nhau tại E. Chứng minh rằng CE = AB.
12.10. Cho DABC vuông tại A, AB < AC. Vẽ AH vuông góc với BC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho 
AD = AB. Gọi I là trung điểm của BD. Chứng minh rằng B·IH = A·CB HƯỚNG DẪN GIẢI
12.1. Cách 1. Từ D kẻ DH / / AC(H Î BC) suy ra D·HB = A·CB , mà 
A·BC = A·CB Þ D·HB = A·BC Þ DDHB cân tại D Þ DH = DB
Þ DH = CE
DDHF và DECF có D·HF = E·CF, DH = CE, H·DF = C·EF
Suy ra DDHE = DECF(g.c.g)Þ DF = FE
- Cách 2. Từ E kẻ EK / / AB(K Î BC)
Þ A·BC = C·KE , mà A·BC = A·CB
Þ A·CB = C·KE Þ E·CK = C·KE
Þ DECK cân tại E Þ CE = KE Þ BD = KE
DBDF và DKEF có D· BF = E·KF, BD = KE ,
B·DF = K·EF
Suy ra DBDF = DKEF(g.c.g)Þ DF = FE
- Cách 3. Hạ DH ^ BC, EK ^ BC (H, K Î BC)
DBDH và DCEK có B·HD = C·KE = 90° ,
BD = CE, D·BH = K·CE
Suy ra DDBH = DECK (cạnh huyền, góc nhọn)
Þ DH = EK. 
DHDF và DKEF có D·HF = E·KF = 90°,
DH = KE, D·FH = K·FE
Suy ra DDHF = DEKF (g.c.g)Þ DF = FE.
Tóm lại: Chứng minh DF = EF dựa vào cặp tam giác bằng nhau, do đó cần tạo ra cặp tam giác bằng nhau.
12.2. Tìm cách giải. Dễ thấy D· CA = 60° mà CD = 2.BC nên ta nghĩ tới tam giác vuông có góc nhọn 60° .
Ta hạ DE ^ AC Þ CD = 2.CE Þ CE = CB.
Dễ thấy DBED và DBEA cân tại E
Þ DEAD cân tại E.
Từ đó tính được:
A·DE = 45°,E·DB = 30° Þ A·DB = 75°
12.3. Đặt x·Oz = a Þ y·Oz = 2a
Lấy điểm E trên Bz sao cho OE = OA DAEO cân tại O 180°- 2a
Þ A·EB =
 2
A·EB = 90°- a;A·BE = O·BH = 90°- a
Þ A·EB = A·BE
Þ A·ED = A·BO;OB = ED;AE = AB
Þ DAOB = DADE(c.g.c)Þ AO = AD
Þ DAOD cân.
12.4. DABC có Aµ= 50°;Bµ= 70° Þ Cµ= 60°.
CM là tia phân giác của Cµ nên M· CA = M· CB = 30° .
Ta có: N·BC = Bµ- M· BN = 50° — 40° = 10°.
Ta có: M· NB = M· CB + N·BC = 30°+ 10° = 40°
(góc ngoài củaDNBC )
Þ DMNB cân tại M
 1
Từ M vẽ MH ^ BC ta có MH = MC (1)
 2
 1
Từ M vẽ MK ^ BN Þ BK = KN = BN (2)
 2
Xét DMKB và DBHM có B·HM = B·KM(= 90°), BM là cạnh chung,
M· BK = B·MH = 40° Þ DMKB = DBHM (cạnh huyền, góc nhọn)
Þ MH = KB (3)
Từ (1), (2) và (3) Þ BN = MC (điều phải chứng minh).
12.5. Kẻ BH ^ AD; CI ^ AD .
DBDK có A·KB = K·BD+ K·DB = 30°+ 45°
Þ A·KB = 75°
DABK có B·AK = A·KB(= 75°),
BH ^ AK nên AH = KH
BH là tia phân giác của A·BK nên
 1
A·BH = A·BK = 15°
 2
DCDE có E·CD = 90°;C·DE = 45° nên DCDE vuông cân tại C.
Kẻ CI ^ ED suy ra EI = ID = CI suy ra ED = 2.CI.
DAHB và DCIA có A·HB = C· IA(= 90°);AB = AC;A·BH = C· AI(= 15°) nên DAHB = DCIA (cạnh huyền - góc nhọn) suy ra AH = CI. Từ đó suy ra AK = ED.
12.6. Trường hợp B·AC = 90°, kết quả là hiển nhiên.
Ta chứng minh cho trường hợp B·AC < 90° .
Trường hợp B·AC > 90° , cách chứng minh 
hoàn toàn tương tự.
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho
MA = MD.
Nối B với D. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc 
với AB cắt AD tại G.
Xét hai tam giác AMC và DMB có AM = MD;
A·MC = D·MB;BM = MC
Nên DAMC = DDMB (c.g.c), suy ra C·AM = B·DM (1) và BD = AC.
Ta có AE ^ AB;BG ^ AB nên BG // AE suy ra E·AM = B·GA (so le trong) (2)
Mà B·GA = G·BD+ B·DM và E·AM = E·AC + C·AM (3)
Nên từ (1) và (2), (3) suy ra E·AC = G·BD .
Ta có AE = AB; E·AF = A·BD = 180°- B·AC ;
BD = AF (=AC).
Do đó DEAF = DABD (c.g.c)
Suy ra EF = AD,
Mà AD = 2.AM (cách vẽ) nên EF = 2AM.
Do DEAF = DABD nên A·EF = B·AD
Mà B·AD+ D· AE = 90° nên A·EF + D· AE = 90°
Suy ra AM ^ EF (điều phải chứng minh).
12.7.
Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia AD ở F. 
Do AB = AC, A·BE = C·AF (cùng phụ với góc AEB);
B·AE = A·CF = 90° nên
DBAE = DACF(g.c.g)Þ AE = CF
Þ CE = CF.
Suy ra DCED = DCFD(c.g.c)
Trên tia DE lấy điểm G sao cho EG = ED,
DAEG và DCED có AE = CE,