Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chương III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Các đường đồng quy của tam giác - Chuyên đề 18: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

 Chuyờn đề 18. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Đường trung tuyến của tam giỏc là đoạn thẳng nối một 
đỉnh của tam giỏc với trung điểm của cạnh đối diện.
2. Ba đường trung tuyến của một tam giỏc cựng đi qua một 
điểm (điểm này gọi là trọng tõm của tam giỏc).
 2
Trọng tõm cỏch mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường 
 3
trung tuyến đi qua điểm đú (h.18.1).
B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1: Cho tam giỏc ABC, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Trờn tia GB và GC lấy cỏc 
điểm F và E sao cho G là trung điểm của FM đồng thời là trung điểm của EN. Chứng minh rằng ba đường 
thẳng AG, BE và CF đồng quy.
 Giải (h.18.2)
* Tỡm cỏch giải.
Để chứng minh ba đường thẳng AG, BE và CF đồng quy ta 
cú thể chứng minh chỳng là ba đường trung tuyến của tam 
giỏc GBC.
* Trỡnh bày lời giải.
Gọi D là giao điểm của AG và BC. Vỡ G là trọng tõm của 
 ABC nờn AD là đường trung tuyến, suy ra DB DC.
 1 1
Ta cú GF GM BM ;GE GN CN.
 3 3
 1 1 
Do đú GF FB BM ;GE EC CN .
 3 3 
Xột GBC cú GD, BE, CF là ba đường trung tuyến nờn chỳng đồng quy suy ra ba đường thẳng AD, BE, 
CF đồng quy.
Vớ dụ 2: Cho tam giỏc ABC. Trờn nửa mặt phẳng bờ AB khụng chứa C vẽ tia Bx // AC . Lấy điểm 
D Bx và điểm E thuộc tia đối của tia CA sao cho BD = CE. Chứng minh rằng ABC và ADE cú cựng 
một trọng tõm.
 Giải (h.18.3)
* Tỡm cỏch giải
Tam giỏc ABC và ADE cú chung đỉnh A nờn muốn chứng minh chỳng cú cựng một trọng tõm, chỉ cần 
chứng minh chỳng cú chung một đường trung tuyến xuất phỏt từ đỉnh A.
* Trỡnh bày lời giải.
Vỡ Bx // AC nờn Cã Bx Bã CE (so le trong). Gọi M là trung điểm của BC.
Ta cú BMD CME (c.g.c).
Suy ra MD ME 1 và Bã MD Cã ME.
Ta cú Bã ME Cã ME 180o (kề bự).
Do đú Bã ME Bã MD 180o D, M, E thẳng hàng. (2)
Từ (1) và (2) suy ra M là trung điểm của DE.
 ABC và ADE chung đỉnh A, chung đường trung tuyến 
AM nờn trọng tõm G của hai tam giỏc này trựng nhau.
* Nhận xột: Để chứng minh hai tam giỏc cú cựng trọng tõm ta cú thể chứng minh chỳng cú chung một 
đỉnh và chung đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Vớ dụ 3: Cho tam giỏc ABC, đường trung tuyến AD. Trờn tia đối của tia DA lấy điểm K sao cho 
 1
DK AD.Qua B vẽ một đường thẳng song song với CK cắt AC tại M. Chứng minh rằng M là trung 
 3
điểm của AC.
 Giải (h.18.4)
* Tỡm cỏch giải.
Để chứng minh M là trung điểm của AC ta chứng minh BM là đường trung tuyến. Muốn vậy, chỉ cần 
chứng minh BM đi qua trọng tõm G.
* Trỡnh bày lời giải.
Gọi G là giao điểm của BM và AD.
Ta cú BDG CDK (g.c.g).
 1
Suy ra DG DK AD.
 3
Xột ABC cú điểm G nằm trờn đường trung tuyến AD mà 
 1
GD AD nờn G là trọng tõm. Suy ra BM là đường trung tuyến do đú MA MC.
 3
Vớ dụ 4: Chứng minh rằng ba đường trung tuyến của một tam giỏc cú thể là ba cạnh của một tam giỏc 
khỏc.
 Giải (h.18.5)
* Tỡm cỏch giải.
Để chứng minh ba đường trung tuyến của tam giỏc này cú thể là ba cạnh của một tam giỏc khỏc, ta chứng 
minh ba đường trung tuyến đú tỉ lệ với ba cạnh của một tam giỏc.
* Trỡnh bày lời giải.
Gọi AD, BE, CF là ba đường trung tuyến của ABC . Ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Trờn tia đối 
của tia DG lấy điểm H sao cho DH DG. Ta cú CDG BDH (c.g.c) GC HB.
Theo tớnh chất ba đường trung tuyến của ABC ta cú:
 3 3 3 3 3
AD GA GH; BE GB;CF GC BH.
 2 2 2 2 2
 AD BE CF 3
Suy ra .
 GH GB BH 2
Vậy ba đường trung tuyến AD, BE, CF tỉ lệ với ba cạnh của 
tam giỏc GHB, do đú ba đường trung tuyến này cú thể là ba 
cạnh của một tam giỏc.
C. Bài tập vận dụng
• Chứng minh đồng quy, thẳng hàng
18.1. Chứng minh rằng trong một tam giỏc cú hai cạnh khụng bằng nhau thỡ đường trung tuyến ứng với 
cạnh lớn hơn sẽ nhỏ hơn đường trung tuyến ứng với cạnh bộ.
18.2. Cho tam giỏc nhọn ABC. Vẽ AH  BC.Cho biết AB 10cm, AC 13cm, và AH 3cm.Gọi O 
là một điểm trờn AH sao cho AO 2cm.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và HC.
Chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng.
• Chứng minh trọng tõm
18.3. Cho tam giỏc ABC. Gọi D và E là hai điểm trờn cạnh BC sao cho BD DE EC.Vẽ đường trung 
tuyến AO của tam giỏc ABC. Trờn tia đối của tia OA lấy điểm F sao cho OF OA.
a) Chứng minh rằng D là trọng tõm của tam giỏc BAF; E là trọng tõm của tam giỏc CAF.
b) Tia AD cắt BF tại N, tia FE cắt AC tại M. Chứng minh rằng tam giỏc ABC và tam giỏc AMN cú cựng 
 trọng tõm.
18.4. Cho tam giỏc ABC. Qua A vẽ đường thẳng a // BC.Qua B vẽ đường thẳng b // AC và qua C vẽ 
đường thẳng c // AB.Cỏc đường thẳng b và c cắt nhau tại A’ và cắt đường thẳng a lần lượt tại C’ và B’.
Chứng minh rằng ABC và A B C cú cựng một trọng tõm.
18.5. Cho gúc xOy và một điểm G ở trong gúc đú. Hóy xỏc định điểm A Ox;B Oy sao cho G là trọng 
tõm của tam giỏc AOB.
• Tớnh độ dài cỏc đường trung tuyến
18.6. Cho tam giỏc ABC cõn tại A, AB 3 41cm, BC 24cm.
Tớnh độ dài đường trung tuyến BM.
18.7. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Cỏc đường trung tuyến BE, CF cắt nhau tại G. Biết 
GB 4 61cm,GC 2 601cm.Tớnh chu vi tam giỏc ABC.
18.8. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AB2 2AC 2.
Chứng minh rằng cỏc đường trung tuyến AM và CN vuụng gúc với nhau. 3
18.9. Chứng minh rằng tổng ba đường trung tuyến của một tam giỏc thỡ lớn hơn chu vi của tam giỏc đú.
 4
• Chứng minh trung tuyến, trung điểm
18.10. Tam giỏc ABC cú hai đường trung tuyến BE và CF bằng nhau. Gọi G là trọng tõm của tam giỏc 
ABC. Chứng minh rằng AG  BC.
 2
18.11. Cho tam giỏc ABC. Trờn cạnh AC lấy điểm D sao cho AD AC.Trờn tia đối của tia CB lấy 
 3
điểm E sao cho CE CB. Tia BD cắt AE tại điểm M. Trờn tia CM lấy điểm N sao cho M là trung điểm 
của NC. Chứng minh rằng AN BC.
18.12. Cho tam giỏc ABC và trọng tõm G của nú. Chứng minh rằng tam giỏc ABC là tam giỏc cõn khi và 
chỉ khi AB GB AC GC.
18.13. Cho tam giỏc ABC, đường trung tuyến AM.
 1
Chứng minh rằng AM BC khi và chỉ khi àA 90o.
 2
18.14. Cho tam giỏc ABC trọng tõm G.
Chứng minh rằng nếu Bã GC 90o thỡ AB AC 3BC.
 Hướng dẫn giải
18.1. (h.18.6)
Xột tam giỏc ABC cú BE và CF là hai đường trung tuyến cắt nhau tại 
G.
Giả sử AC AB, ta phải chứng minh BE CF.
Ta vẽ thờm đường trung tuyến AD, theo tớnh chất ba đường trung 
tuyến ta cú AD đi qua G.
• Xột ADB và ADC cú:
 DB DC, AD chung và AB AC nờn ãADB ãADC (định lớ hai 
 tam giỏc cú hai cặp cạnh bằng nhau).
• Xột GDB và GDC cú: DB DC, GD chung và ãADB ãADC (chứng minh trờn) nờn GB GC, suy 
 2 2
 ra BE CF, do đú BE CF.
 3 3
18.2. (h.18.7)
Áp dụng định lớ Py-ta-go vào cỏc tam giỏc vuụng ABH và ACH ta tớnh được HB = 1cm, HC = 2cm.
Vỡ N là trung điểm của HC nờn HN NC 1cm.
Do đú HN HB 1cm. Vậy AH là đường trung tuyến của ABN.
 2
Mặt khỏc AH 3cm, AO 2cm nờn AO AH, suy ra O là trọng 
 3
tõm của ABN.
Ta cú NM là một đường trung tuyến của NAB, do đú NM phải đi 
qua trọng tõm O. Vậy ba điểm M, N, O thẳng hàng.
18.3. (h18.8)
a) Xột BAF cú OA OF nờn BO là đường trung tuyến.
 1 2
 Điểm D nằm trờn đường trung tuyến BO mà BD BC BO (vỡ BC 2BO ) nờn D là trọng tõm 
 3 3
 của BAF.
 Chứng minh tương tự ta được E là trọng tõm của CAF.
b) Vỡ D là trọng tõm của BAF nờn đường thẳng AD là một đường trung tuyến.
 1
 Vỡ AD cắt BF tại N nờn FN BN BF. 1 
 2
 1
 Chứng minh tương tự ta được AM MC AC. 2 
 2
 Ta cú OFB OAC (c.g.c).
 Suy ra BF AC 3 và Oã FB Oã AC.
 Từ (1), (2), (3) suy ra AM FN.
 AOM FON (c.g.c), suy ra OM ON 4 và ãAOM Fã ON.
 Ta cú ãAOM Fã OM 180o (kề bự).
 Suy ra Fã ON Fã OM 180o , do đú ba điểm M, O, N thẳng hàng. (5)
 Từ (4) và (5) suy ra O là trung điểm của MN do đú AO là đường trung tuyến của AMN.
 ABC và AMN cú chung đỉnh A, chung đường trung tuyến AO nờn cú cựng trọng tõm G.
18.4. (h.18.9)
Theo tinh chất đoạn chắn song song ta cú AB BC, AC BC suy 
ra AB AC .
Chứng minh tương tự ta được BC BA và CA CB .
Xột A B C , ba đường thẳng A A, B B,C C là ba đường trung 
tuyến nờn chỳng đồng quy tại một điểm G.
Gọi M là giao điểm của AA với BC; N là giao điểm của BB với 
AC; P là giao điểm của CC với AB.
Ta cú AMC A MB c.g.c suy ra MC MB. Vậy AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của ABC.
Chứng minh tương tự ta được BN, CP là đường trung tuyến tương ứng với cạnh AC, AB của ABC.
Ba đường trung tuyến AM, BN, CP của ABC gặp nhau tại một điểm. Mặt khỏc ba đường thẳng AM, 
BN, CP cũng là ba đường thẳng A A, B B,C C.Do đú trọng tõm G của A B C cũng là trọng tõm của 
 ABC.
18.5. (h.18.10)
• Tỡm cỏch giải
 Giả sử đó vẽ được tam giỏc AOB sao cho G là trọng tõm của nú. Tia OG cắt AB tại trung điểm M. 
 Trờn tia OG lấy điểm K sao cho OK 3OG.Ta chứng minh được 
 AMK BMO c.g.c ; AMO BMK c.g.c .
 Suy ra KA // Oy;KB // Ox. Do đú xỏc định được A và B.
• Trỡnh bày lời giải.
- Vẽ tia OG, trờn đú lấy điểm K sao cho OK 3OG.
- Từ K vẽ KA // Oy A Ox và KB // Ox B Oy 
- Vẽ đoạn thẳng AB cắt OK tại M. Khi đú G là trọng tõm của 
 AOB.
 Thực vậy, ta cú AK OB (tớnh chất đoạn chắn song song).
 AMK BMO g.c.g ,suy ra MA MB 1 và MK MO.
 3 2
 Vỡ OK 3OG nờn OM OG hay OG OM. 2 
 2 3
 Từ (1) và (2) suy ra G là trọng tõm của AOB.
18.6. (h.18.11)
Vẽ cỏc đường trung tuyến AD, BM cắt nhau tại G.
Ta cú ADB ADC c.c.c .Suy ra DB DC 12cm; ãADB ãADC 180o : 2 90o.
Áp dụng định lớ Py-ta-go vào ABD vuụng tại D ta được
AD2 AB2 BD2 (3 41)2 122 225 AD 15(cm)
 1
Vỡ G là trọng tõm của ABC nờn GD AD 5cm.
 3
Áp dụng định lớ Py-ta-go vào tam giỏc GBD vuụng tại D ta 
được 
GB2 GD2 BD2 52 122 169 GB 13 cm .
 3 3
Suy ra BM BG .13 19,5 cm .
 2 2
18.7. (h.18.12) Vỡ G là trọng tõm của ABC nờn
 3 3
BE BG .4 61 6 61 cm .
 2 2
 3 3
CF CG .2 601 3 601 cm .
 2 2
• Xột ABE vuụng tại A ta cú:
 AC 2 2
 BE 2 AB2 AE 2 AB2 6 61 2196. 1 
 4 
• Xột ACF vuụng tại A ta cú: 
 AB2 2
 CF 2 AF 2 AC 2 AC 2 3 601 5409. 2 
 4 
 5
 Từ (1) và (2), suy ra AB2 AC 2 7605.
 4
 Mặt khỏc AB2 AC 2 BC 2. 3 
 5
 Suy ra BC 2 7605 BC 2 6084 BC 78 cm .
 4
 AC 2 3AC 2
 Ta viết (3) thành AB2 6084. * 
 4 4
 AC 2
 Mà theo (1) thỡ AB2 2196. ** 
 4
 3
 So sỏnh (*) và (**) ta được AC 2 6084 2196 3888
 4
 AC 2 5184 AC 72 cm .
 Từ đú ta tớnh được AB2 BC 2 AC 2 6084 5184 900
 AB 30cm.
 Vậy chu vi ABC là: 78 72 30 180 cm .
18.8. (h.18.13)
Đặt AC b.Áp dụng định lớ Py-ta-go cho ABC vuụng tại A ta cú:
 2
BC 2 AB2 AC 2 2AC 2 AC 2 3AC 2 3b2 3b 
 1 3
 BC 3b AM BC b.
 2 2
Áp dụng định lớ Py-ta-go cho ACN vuụng tại A ta cú:
 2
 2 2 2
 2 2 2 2 AB 2 2AC 6b 6 6
CN AC AN AC AC b CN b.
 4 4 4 2 2
Gọi G là trọng tõm của ABC , ta cú 2 2 6 6 2
CG CN . .b b CG2 b2.
 3 3 2 3 3
 2 2 3 3 1
AG AM . .b b AG2 b2.
 3 3 2 3 3
 2 1
Xột GAC cú CG2 AG2 b2 b2 b2 mà
 3 3
AC 2 b2 nờn AC 2 CG2 AG2.
Do đú theo định lớ Py-ta-go đảo ta được GAC vuụng tại G. Suy ra AM  CN.
18.9. (h.18.14)
Xột ABC cú cỏc đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G.
 2
Xột GBC ta cú GB GC BC BE CF BC
 3
 3
 BE CF BC. 1 
 2
 3
Tương tự, ta cú CF AD CA; 2 
 2
 3
AD BE AB. (3)
 2
Cộng từng vế cỏc bất đẳng thức (1) (2) (3) ta được:
 3
2 BE CF AD BC CA AB .
 2
 3
Suy ra BE CF AD BC CA AB .
 4
Nhận xột: Trong bài 17.7 ta đó chứng minh được AD + BE + CF lớn hơn nửa chu vi tam giỏc. Như vậy 
kết quả bài này “mạnh” hơn kết quả ở bài 17.7.
18.10. (h.18.15)
Xột ABC cú BE và CF là hai đường trung tuyến và 
BE CF.
 2 2
Vỡ G là trọng tõm nờn GB BE,GC CF do đú 
 3 3
GB GC;GE GF.
Ta cú GBF GCE c.g.c 
 BF CE, dẫn tới AB AC.
Gọi D là giao điểm của đường thẳng AG với BC.
Do G là trọng tõm nờn AG là đường trung tuyến. Suy ra DB DC.
Ta cú ADB ADC c.c.c , do đú ãADB ãADC 180o : 2 90o.Vậy AG  BC. 18.11. (h.18.16)
Xột ABE cú AC là đường trung tuyến. Mặt khỏc D AC và 
 2
AD AC nờn D là trọng tõm của ABE.
 3
Suy ra đường thẳng BD chứa đường trung tuyến ứng với cạnh AE, 
do đú MA ME.
Ta cú AMN EMC c.g.c AN EC.Do đú AN BC (vỡ BC EC ).
18.12. (h.18.17)
• Chứng minh mệnh đề nếu AB GB AC GC thỡ ABC cõn tại A.
 Ta chứng minh bằng phản chứng.
 Giả sử AB AC. 1 
 Vẽ tia AG cắt BC tại D.
 Khi đú AD là đường trung tuyến nờn DB DC.
 Xột ADB và ADC cú: AD chung; DB DC và 
 AB AC nờn ãADB ãADC (định lớ hai tam giỏc cú hai 
 cặp cạnh bằng nhau).
 Xột GDB và GDC cú: GD chung; DB DC và Gã DB Gã DC (chứng minh trờn) nờn 
 GB GC. 2 
 Từ (1) và (2) suy ra AB GB AC GC (trỏi giả thiết).
 Vậy điều giả sử AB AC là sai. (*)
 Nếu AB AC ta cũng đi đến mõu thuẫn vậy AB AC là sai (**)
 Từ (*) và (**) suy ra AB AC do đú ABC cõn tại A.
• Chứng minh mệnh đề nếu ABC cõn tại A thỡ AB GB AC GC.
 Gọi E là giao điểm của BG vơi AC; F là giao điểm của CG với AB.
 Khi đú EA EC; FA FB.
 2 2
 ABE ACF c.g.c BE CF , do đú BE CF, dẫn tới GB GC.
 3 3
 Suy ra AB GB AC GC.
18.13. (h.18.18)
 1
• Chứng minh mệnh đề nếu àA 90o thỡ AM BC.
 2
 Ta chứng minh bằng phản chứng.
 1
 Giả sử AM BC, khi đú àA 90o , trỏi giả thiết.
 2 1
 Giả sử AM BC,tức là AM BM và AM MC.
 2
 à à
 Xột ABM cú AM BM B A1.Xột ACM cú 
 à ả
 AM CM C A2.
 à à à ả ã
 Do đú B C A1 A2 BAC.
 180o
 Suy ra àA Bà Cà 2àA àA 90o trỏi giả thiết.
 2
 1
 Vậy nếu àA 90o thỡ AM BC.
 2
 1
• Chứng minh mệnh đề nếu AM BC thỡ àA 90o.
 2
 1
 Ta cú AM BC tức là AM BM và AM CM.
 2
 à à à ả
 Xột ABM cú AM BM B A1.Xột ACM cú AM CM C A2.
 180o
 Do đú Bà Cà àA ảA Bã AC.Suy ra àA Bà Cà 2àA àA 90o.
 1 2 2
18.14. (h.18.19)
Gọi D là giao điểm của tia AG với BC.
Ta cú DB DC do đú GD là đường trung tuyến của tam giỏc 
GBC.
 1
Xột GBC cú Bã GC 90o (giả thiết) suy ra GD BC (xem 
 2
 3
bài 17.13) do đú AD BC. 1 
 2
Trờn tia AD lấy điểm sao cho DK DA..
 ACD KBD c.g.c .Suy ra AC BK.
Xột ABK cú AB BK AK.
Do đú AB AC 2AD. 2 
 3
Từ (1) và (2), suy ra AB AC 2. .BC 3BC.
 2