Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chương III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Các đường đồng quy của tam giác - Chuyên đề 19: Tính chất tia phân giác của một góc. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

 Chương 
Chuyờn đề 19. TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GểC. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG 
PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Điểm nằm trờn tia phõn giỏc của một gúc thỡ cỏch đều hai cạnh của 
gúc đú (h.19.1).
2. Đảo lại, điểm nằm bờn trong một gúc và cỏch đều hai cạnh của gúc thỡ 
nằm trờn tia phõn giỏc của gúc đú. 
3. Ba đường phõn giỏc của một tam giỏc cựng đi qua một điểm. Điểm 
này cỏch đều ba cạnh của tam giỏc đú (h.19.2).
4. Trong một tam giỏc, hai đường phõn giỏc của hai gúc ngoài và đường phõn giỏc của gúc trong khụng 
kề cựng đi qua một điểm (h.19.3).
B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn nửa mặt phẳng bờ AC khụng chứa B vẽ tia Ax / /BC. Lấy 
điểm O trờn tia Ax, điểm M trờn AB và điểm N trờn AC sao cho ãAMO ãANO. Chứng minh rằng OMN 
là tam giỏc cõn.
 Giải (h.19.4)
* Tỡm cỏch giải.
Ta cú Ax / /BC nờn dễ thấy Ax là tia phõn giỏc của gúc ngoài tại đỉnh A của tam giỏc ABC. Vỡ điểm O 
nằm trờn tia phõn giỏc này nờn ta vẽ OH  AB, OK  AC để vận dụng tớnh chất cỏch đều hai cạnh của 
điểm O. Từ đú dựng phương phỏp tam giỏc bằng nhau để chứng minh OM ON. 
* Trỡnh bày lời giải. Ta cú Ax / /BC nờn àA1 Bà (cặp gúc đồng vị); àA2 Cà (cặp gúc so le trong).
Mặt khỏc, Bà Cà (hai gúc ở đỏy của tam giỏc cõn) nờn àA1 àA2. 
Vẽ OH  AB, OK  AC ta được OH OK (tớnh chất điểm nằm trờn tia phõn giỏc).
Ta chứng minh được HOM KON (g.c.g). Suy ra OM ON, do đú OMN cõn.
Vớ dụ 2. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AB AC. Trờn cạnh AC lấy điểm D sao cho AD AB. Gọi E 
là một điểm nằm giữa A và D sao cho tia BD là tia phõn giỏc của gúc CBE. Vẽ EH  BC. Tớnh số đo của 
gúc CHD.
 Giải (h.19.5)
* Tỡm cỏch giải.
Vẽ hỡnh chớnh xỏc, ta dự đoỏn Cã HD 45. Do đú cần chứng minh HD là đường phõn giỏc của gúc CHE. 
Muốn vậy phải chứng minh EC là đường phõn giỏc ngoài tại đỉnh E của tam giỏc EBH. 
* Trỡnh bày lời giải.
Ta cú Eà 1 ãABC (cựng phụ với gúc C). Do đú Eà 1 ãABD Bà 1. (1)
 ả ả ả
Lại cú E2 D1 B2 (2) (tớnh chất gúc ngoài của EBD). 
 ã ả à à à à
Mặt khỏc, ABD D1 45 và B1 B2 nờn E1 E 2. 
Xột EBH cú D là giao điểm của đường phõn giỏc gúc B với đường phõn giỏc gúc ngoài tại đỉnh E nờn 
HD là đường phõn giỏc gúc ngoài tại đỉnh H.
Suy ra Cã HD 90 : 2 45. 
Vi dụ 3. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Vẽ AH  BC. Tia phõn giỏc của gúc HAC cắt BC tại K. Cỏc 
đường phõn giỏc của gúc BAH và gúc BHA cắt nhau tại O. Gọi M là trung điểm của AK. Chứng minh ba 
điểm B, O, M thẳng hàng.
 Giải (h.19.6)
* Tỡm cỏch giải.
Xột tam giỏc ABH cú O là giao điểm của hai đường phõn giỏc nờn O nằm trờn đường phõn giỏc của gúc 
B. Để chứng minh ba điểm B, O, M thẳng hàng ta chỉ cần chứng minh M cũng nằm trờn đường phõn giỏc 
của gúc B. Muốn thế ta phải chứng minh tam giỏc BAK cõn tại B.
* Trỡnh bày lời giải. Ta cú: Bã AK Kã AC 90 (vỡ Bã AC 90) ; 
Bã KA Kã AH 90 (vỡ ãAHK 90). 
Mặt khỏc, Kã AC Kã AH nờn Bã AK Bã KA, suy ra BAK cõn tại B.
Xột ABH cú O là giao điểm của hai đường phõn giỏc của gúc A và gúc H. Suy ra BO là đường phõn 
giỏc của gúc B.
Xột BAK cõn tại B cú BO là đường phõn giỏc nờn đồng thời là đường trung tuyến, do đú BO đi qua 
trung điểm M của AK.
Vậy ba điểm B, O, M thẳng hàng.
C. Bài tập vận dụng
• Tớnh gúc đo, tớnh độ dài
19.1. Cho tam giỏc ABC. Gọi K là giao điểm của đường phõn giỏc gúc B với đường phõn giỏc gúc ngoài 
tại đỉnh C.
Cho biết ãAKC 65, tớnh số đo của gúc ABC.
19.2. Cho tam giỏc ABC. Ba đường phõn giỏc AD, BE, CF cắt nhau tại O. Cho biết Bã OC 150, tớnh số 
đo của gúc EDF.
19.3. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Cỏc tia phõn giỏc của gúc B, gúc C cắt nhau Tại O. Cho biết 
OA 8cm. 
Tớnh khoảng cỏch từ O đến ba cạnh của tam giỏc.
19.4. Cho tam giỏc ABC, AB 3cm, AC 5cm, BC 6cm. Gọi O là giao điểm cỏc đường phõn giỏc của 
gúc B, gúc C. Vẽ OH  BC. 
Tớnh cỏc độ dài HB và HC.
• Chứng minh tia phõn giỏc
19.5. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Vẽ tam giỏc OBC vuụng tại O sao cho O và A thuộc hai nửa mặt 
phẳng đổi nhau bờ BC.
Chứng minh rằng tia OA là tia phõn giỏc của gúc BOC.
19.6. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm N nằm giữa M và C. Vẽ 
BH  AN. Chứng minh rằng khi điểm N di động thỡ tia phõn giỏc của gúc BHN luụn đi qua một điểm cố 
định. 19.7. Cho tam giỏc ABC. Trờn tia đổi của tia BC lấy điểm M, trờn tia đổi của tia CB lấy điểm N sao cho 
BM BA và CN CA. Vẽ BH  AM , CK  AN. Hai đường thẳng BH và CK cắt nhau tại O.
Chứng minh rằng tia AO là tia phõn giỏc của gúc BAC.
19.8. Cho tam giỏc ABC, àA 120. Cỏc đường phõn giỏc của gúc B, gúc C cắt nhau tại O. Vẽ tia Bx sao 
cho BA là tia phõn giỏc của gúc OBx. Vẽ tia Cy sao cho CA là tia phõn giỏc của gúc OCy. Hai tia Bx và 
CA cắt nhau tại E; hai tia Cy và BA cắt nhau tại D. Chứng minh rằng:
a) Tam giỏc ODE là tam giỏc đều;
b) Tia OA là tia phõn giỏc của gúc DOE.
19.9. Cho tam giỏc ABC. Nếu cỏch vẽ đoạn thẳng MN / /BC M AB, N AC sao cho 
BM CN BC. 
19.10. Cho tam giỏc ABC, àA 105, Bà 40. Vẽ điểm D, điểm M trờn cạnh BC sao cho AD  AC và 
AD là đường phõn giỏc của gúc BAM.
Chứng minh rằng AB AM BC. 
• Chứng minh thẳng hàng, đồng quy
19.11. Cho tam giỏc ABC. Gọi D, E, F lần lượt là cỏc điểm nằm trờn cỏc cạnh BC, CA và AB sao cho 
BF BD và CE CD. Đường thẳng qua B và vuụng gúc với DF cắt đường thẳng qua C và vuụng gúc 
với DE tại I. Đường thẳng qua B và song song với DF cắt đường thẳng qua C và song song với DE tại K. 
Chứng minh rằng ba điểm A, I, K thẳng hàng.
19.12. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, tam giỏc DBC vuụng tại D trong đú A và D thuộc cựng một nửa 
mặt phẳng bờ BC. Vẽ tia Ax sao cho AC là tia phõn giỏc của gúc DAx. Vẽ tia Dy sao cho DB là tia phõn 
giỏc của gúc ADy. Hai tia Ax và Dy cắt nhau tại K.
Chứng minh rằng ba điểm B, K, C thẳng hàng.
19.13. Hóy nếu cỏch vẽ một đường thẳng chứa tia phõn giỏc của một gúc cú đỉnh nằm ngoài tờ giấy
19.14. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Qua A vẽ đường thẳng xy / /BC. Cỏc đường phõn giỏc của gúc B, gúc 
C cắt nhau tại O và cắt xy lần lượt tại D và E.
Chứng minh rằng cỏc đường thẳng BE, CD và AO cựng đi qua một điểm.
 Hướng dẫn giải
19.1. (h.19.7)
Xột ABC cú đường phõn giỏc của gúc B và đường phõn giỏc ngoài tại đỉnh C cắt nhau tại K. Suy ra AK 
là đường phõn giỏc ngoài tại đỉnh A.
 ã ã à
Ta đặt ABC x (độ) thỡ CAx x C1; 
ã à
ACy x A1. 
 ã ã à à
Do đú CAx ACy x C1 x A1 x 180. Cã Ax ãACy x
Suy ra 90 
 2 2
 ã ã
 ã CAx ACy x x
Xột AKC cú AKC 180 180 90 90 
 2 2 2
 x
Vỡ ãAKC 65 nờn 90 65 x 50. 
 2
19.2. (h.19.8)
 Bà Cà
Xột BOC cú Bã OC 180 
 2
 180 Bã AC Bã AC
 180 90 
 2 2
 Bã AC
Mà Bã OC 150 nờn 90 150 
 2
 Bã AC 120 
Vẽ cỏc tia Ax, Ay lần lượt là tia đối của cỏc tia AB, AC.
 à à à à
Dễ thấy A1 A2 A3 A4 60. 
Xột ABD cú AC là đường phõn giỏc ngoài tại đỉnh A; BO 
là đường phõn giỏc trong khụng kề. Hai đường phõn giỏc này cắt nhau tại E, suy ra DE là đường phõn 
giỏc gúc ngoài tại đỉnh D của ABD
Chứng minh tương tự ta được DF là đường phõn giỏc gúc ngoài tại đỉnh D của ACD. 
Suy ra DE  DF (hai đường phõn giỏc của hai gúc kề bự), do đú Eã DF 90. 
19.3. (h.19.9)
Vỡ O là giao điểm cỏc đường phõn giỏc của gúc B, gúc C nờn AO 
là đường phõn giỏc gúc A, do đú
Oã AB Oã AC 45. 
Vẽ OH  AC thỡ HAO vuụng cõn tại H, suy ra AH OH. 
Áp dụng định lớ Py-ta-go, ta cú:
 2
AH 2 OH 2 OA2 2OH 2 8 8 OH 2 4 OH 2. 
Vậy khoảng cỏch từ O tới mỗi cạnh của tam giỏc là 2cm. 
19.4. (h.19.10) 
Vẽ thờm OK  AB; OI  AC. 
 AOK AOI (cạnh huyền, gúc nhọn) AK AI. 
Chứng minh tương tự ta được BK BH; CI CH. Suy ra BK CI BH CH BC 6cm. 
Do đú AK AI 3 5 6 2cm mà AK AI nờn AK AI 1 cm. Vậy 
BK 3 1 2cm BH 2cm và CH 6 2 4cm. 
19.5. (h.19.11)
Vẽ AH  OB, AK  OC, ta được
à BH à CK (hai gúc cú cạnh tương ứng vuụng 
gúc).
 ABH ACK (cạnh huyền, gúc nhọn).
Suy ra AH AK. 
Điểm A ở trong gúc BOC và cỏch đều hai cạnh của 
gúc này nờn A nằm trờn tia phõn giỏc của gúc đú. 
Như vậy tia OA là tia phõn giỏc của gúc BOC.
19.6. (h.19.12)
Vẽ MD  BH, ME  AN. 
 DBM và EAM cú:
Dà Eà 90; 
 1 
BM AM BC ; 
 2 
à à à
B1 A1 (cựng phụ với N1). 
Do đú DBM EAM (cạnh huyền, gúc nhọn).
Suy ra MD ME. 
Điểm M cỏch đều hai cạnh của gúc BHN nờn HM là tia 
phõn giỏc của gúc BHN.
Núi cỏch khỏc tia phõn giỏc của gúc BHN luụn đi qua một điểm cố định là điểm M.
19.7. (h. 19.13)
 ABH MBH (cạnh huyền, cạnh gúc vuụng).
Suy ra à BH Mã BH. 
Chứng minh tương tự ta được à CK Nã CK. 
Xột ABC cú BH và CK là hai đường phõn giỏc ngoài tại đỉnh B 
và đỉnh C cắt nhau tại O nờn AO là đường phõn giỏc của gúc BAC.
19.8. (h.19.14) a) Xột ABC cú hai đường phõn giỏc gúc B, gúc C cắt nhau tại O. Suy ra tia AO là đường phõn giỏc thứ 
ba.
Từ đú ta được Bã AO Cã AO Cã AD 
 Bã AE 60. 
 BAE BAO g.c.g BE BO.
 CAD CAO g.c.g CD CO.
Do đú BDE BDO (c.g.c)
 DE DO. (1)
 CED CEO (c.g.c) DE OE. (2)
Từ (1) và (2) suy ra OD OE DE nờn ODE đều.
b) Ta cú Bã DE Bã DO (hai gúc tương ứng của hai tam giỏc bằng nhau).
Cã ED Cã EO (hai gúc tương ứng của hai tam giỏc bằng nhau).
Xột ODE cú hai đường phõn giỏc của gúc D, gúc E cắt nhau tại A, suy ra OA là đường phõn giỏc của 
gúc DOE.
19.9. (h.19.15)
• Tỡm cỏch giải
Giả sử đó vẽ được MN / / BC sao cho BM CN BC. 
Lấy điểm D BC sao cho BD BM, khi đú CD CN. 
 à à à à à à
 BMD cõn tại B M1 D1 mà M 2 D1 (cặp gúc so le trong) nờn M1 M 2 
 à à
Chứng minh tương tự ta được N1 N 2 . 
Xột AMN cú D là giao điểm của hai đường phõn giỏc gúc ngoài tại đỉnh M và N, suy ra AD là đường 
phõn giỏc của gúc A.
• Cỏch vẽ MN
- Vẽ đường phõn giỏc AD của ABC
- Trờn cạnh BA lấy điểm M sao cho BM BD; 
- Từ M vẽ MN / / BC N AC . 
Khi đú MN là đoạn thẳng cần vẽ.
• Chứng minh
 à à à à
Theo cỏch vẽ ta cú MN / / BC, do đú M 2 D1 (so le trong) mà M1 D1 (hai gúc ở đỏy của tam giỏc 
 à à
cõn) nờn M 2 M1 
Xột AMN cú D là giao điểm của đường phõn giỏc gúc A và đường phõn giỏc gúc ngoài tại đỉnh M nờn 
 à à
ND là đường phõn giỏc ngoài tại đỉnh N,do đú N1 N 2 . à à à à
Mặt khỏc, D2 N 2 (so le trong) nờn N1 D2 , suy ra CND cõn, dẫn tới CN CD. 
Vậy BM CN BD CD BC. 
19.10. (h.19.16)
Trờn tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AN AM. 
Xột ABM cú AD  AC mà AD là đường phõn giỏc trong của gúc A nờn AC là đường phõn giỏc ngoài 
tại đỉnh A.
Từ đú suy ra ANC AMC (c.g.c)
 ãANC Ã MC. 
Ta cú Bã AD 105 90 15, do đú Bã AM 30. 
Xột ABM cú gúc AMC là gúc ngoài nờn 
à MC Bã AM Bà 70 suy ra Nà 70. 
Xột BCN cú Bã CN 180 Bà Nà 180 40 70 70. 
Vậy Bã CN Nà 70 , suy ra BCN cõn tại B.
Do đú BN BC, dẫn tới AB AN BC hay AB AM BC. 
19.11. (h.19.17)
 BDF và CDE là những tam giỏc cõn. Mặt khỏc, 
BI  DF, CI  DE nờn ta cú BI và CI lần lượt là cỏc đường phõn giỏc 
của gúc B và gúc C. Suy ra I nằm trờn đường phõn giỏc của gúc A. (1)
Ta cú BK / / DF mà BI  DF nờn BI  BK, do đú BK là đường phõn 
giỏc ngoài tại đỉnh B của ABC
Chứng minh tương tự ta được CK là đường phõn giỏc ngoài tại đỉnh C 
của ABC .
 Do đú K nằm trờn đường phõn giỏc của gúc A. (2)
Từ (1) và (2), suy ra ba điểm A, I, K thẳng hàng
19.12. (h.19.18) Xột ADK cú AC là đường phõn giỏc của gúc trong tại đỉnh A.
Mặt khỏc, AB  AC nờn AB là đường phõn giỏc gúc ngoài tại đỉnh A.
Xột ADK cú B là giao điểm của một đường phõn giỏc gúc trong và đường phõn giỏc gúc ngoài khụng 
kề nờn tia KB là đường phõn giỏc gúc ngoài tại đỉnh K.
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Xột ADK cú O là giao điểm của hai đường phõn giỏc nờn KO là đường phõn giỏc của gúc K.
Suy ra KO  KB (tớnh chất hai tia phõn giỏc của hai gúc kề bự). (1)
Chứng minh tương tự ta được KO  KC . (2) 
Từ (1) và (2), suy ra ba điểm B, K, C thẳng hàng. 
19.13. (H.19.19)
Giả sử gúc xOy cú đỉnh O nằm ngoài tờ giấy, cũn lại một 
phần của hai cạnh nằm trong tờ giấy. Ta vẽ đường thẳng 
chứa tia phõn giỏc của gúc xOy như sau:
- Lấy A Mx và B Ny; 
- Vẽ cỏc tia phõn giỏc của gúc MAB và NBA, chỳng cắt 
nhau tại I;
- Vẽ cỏc tia phõn giỏc của gúc BAx và ABy, chỳng cắt nhau 
tại K;
- Vẽ đường thẳng IK, đường thẳng này chứa tia phõn giỏc của gúc xOy. Thật vậy, xột OAB cú I là giao 
điểm của cỏc đường phõn giỏc của gúc A, gúc B. cũn 
K là giao điểm của cỏc đường phõn giỏc ngoài tại đỉnh 
A, đỉnh B. Do đú I, K cựng nằm trờn đường phõn giỏc 
của gúc xOy, tức là đường thẳng IK chứa tia phõn giỏc 
cỳa gúc xOy.
19.14. (h.19.20)
Điểm O là giao điểm hai đường phõn giỏc của gúc B 
và gúc C nờn AO là đường phõn giỏc của gúc A. Vẽ tia 
At là tia đối của tia AB. à ã
Vỡ xy / /BC nờn A1 ABC (cặp gúc đồng vị);
à ã
A2 ACB (cặp gúc so le trong)
 ã ã à à
mà ABC ACB nờn A1 A2 . 
Xột ABC cú D là giao điểm của đường phõn giỏc gúc B và đường phõn giỏc gúc ngoài tại đỉnh A nờn 
CD là đường phõn giỏc gúc ngoài tại đỉnh C. Chứng minh tương tự ta được BE là đường phõn giỏc gúc 
ngoài tại đỉnh B. Ba đường thẳng BE, CD, AO là hai đường phõn giỏc gúc ngoài và đường phõn giỏc của 
gúc trong khụng kề nờn chỳng cựng đi qua một điểm.