Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chuyên đề 10: Tỉ lệ thức - Nguyễn Văn Ma

 CHUYÊN ĐỀ: TỈ LỆ THỨC
 Dạng 1: TÌM X
Bài 1: Tìm x biết:
 x 3 5 7 x 1 44 x x 12
a, b, c, 
 x 5 7 x 1 9 3 5
HD:
 a, 7 x 3 5 x 5 2x 46 x 23
 b, x 1 x 1 7.9 8 1 8 1 x 8
 c, 5 44 x 3 x 12 8x 256 x 32
Bài 2: Tìm x biết:
 x 4 5 x y 3 x x 1 x 2
a, b, ( tìm ) c, 
 20 x 4 x 2y 4 y x 2 x 3
HD:
 a, x 4 2 100 102 x 4 10
 x
 b, 4x 4y 3x 6y x 10y 10
 y
 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 3 3 5
 c, 1 1 
 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3
 1
 3 x 3 5 x 2 2x 1 x 
 2
Bài 3: Tìm x, y, z biết:
 15 20 40 40 20 28
a, và x.y=1200 b, và x.y.z = 22400
 x 9 y 12 z 24 x 30 y 15 z 21
HD:
 x 9 y 12 z 24 x 3 y 3 z 3
 a, Từ gt 
 15 20 40 15 5 20 5 40 5
 x y z x 15k
 k , Mà x.y 1200 k 2
 15 20 40 y 20k
 x 40k
 x 30 y 15 z 21 x y z 
 b, Từ gt k y 20k
 40 20 28 40 20 28 
 z 28k
 x 40
 Mà: x.y.z 22400 y 20
 z 28
Bài 4: Tìm x, y, z biết: 
 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3
a, và 2x 3y z 50 b, và x - 2y +3z =14 
 2 3 4 2 3 4
HD :
 x 1 y 2 z 3 2 x 1 3 y 2 z 3 2x 3y z 5
 a, 5
 2 3 4 4 9 4 9
 x 1 y 2 z 3 x 1 2 y 2 3 z 3 x 2y 3z 6
 b, 1
 2 3 4 2 6 12 8
 Nguyễn Văn Ma 1 Bài 5: Tìm x, y, z biết:
 x 1 y 3 z 5 4 3 2
a, và 5z 3x 4y 50 b, và x y z 10
 2 4 6 3x 2y 2z 4x 4y 3z
HD :
 x 1 y 3 z 5 5 z 5 3 x 1 4 y 3 5z 3x 4y 34
 a, Từ : = 
 2 4 6 30 6 16 8
 4 3 2 3x 2y 2z 4x 4y 3z
 b, Từ : => 
 3x 2y 2z 4x 4y 3z 4 3 2
 4 3x 2y 3 2z 4x 2 4y 3z 12x 8y 6z 12x 8y 6z 
 0 
 16 9 2 27
 3x 2y
 x y z x y z
 2z 4x 10
 2 3 4 2 3 4
 4y 3z
 7 3 5
Bài 6: Tìm ba số x, y, z biết : và x y z 17 
 2x 2 2y 4 z 4
Bài 7: Tìm các số x,y,z biết chúng thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau : 3x 2y z 169 và 
3x 25 2y 169 z 144
 144 25 169
HD :
 3x 25 2y 169 z 144 3x 2y z 25 169 144 169 1
 Từ : 
 144 25 169 338 338 2
 144 47
 3x 25 72 x , Tương tự cho y và z 
 2 3
Bài 8: Tìm x, y, z biết: 
 x y z
a, và x2 y2 z2 585 b, x:y:z=3:4:5 và 2x2 2y2 3z2 100
 5 7 3
HD:
 x2 y2 z2 x2 y2 z2
 a, 9
 25 49 9 25 49 9
 x y z x2 y2 z2 2x2 2y2 3z2 100
 b, 4
 3 4 5 9 16 25 18 32 75 25
Bài 9: Tìm x, y, z biết:
 a b c
a, và a2 b2 2c2 108 b, x : y : z 3: 4 :5 và 5z2 3x2 2y2 594
 2 3 4
HD:
 a b c a2 b2 c2 a2 b2 2c2 108
 a, 4
 2 3 4 4 9 16 4 9 32 27
 x y z x2 y2 z2 5z2 3x2 2y2 594
 b, 9
 3 4 5 9 16 25 125 27 32 66
Bài 10: Tìm các số x, y, z biết: 
 x3 y3 z3 x3 y3 z3
a, và x2 y2 z2 14 b, và x2 2y2 3z2 650
 8 64 216 8 27 64
HD :
 3 3 3
 x y z x y z x2 y2 z2 x2 y2 z2 14 1
 a, Từ GT ta có : 
 2 4 6 2 4 6 4 16 36 4 16 36 56 4
 Nguyễn Văn Ma 2 x y z x2 y2 z2 x2 2y2 3z2 650
 b, 25
 2 3 4 4 9 16 26 26
 x3 y3 x3 2y3
Bài 11: Tìm x, y biết: và x6.y6 64
 6 4
HD :
 3 3 3 3 3 3 3 3
 x y x 2y 2 x y x 2y 3y3 3x3
 Ta có : GT 
 6 4 12 4 2 16
 x3 x6 x6 64k
 y3 y6 k 1
 6
 8 64 y k
 3x 3y 3z
Bài 12: Tìm x, y, z biết: và 2x2 2y2 z2 1
 8 64 216
HD :
 x y z x2 y2 z2 2x2 2y2 z2 1
 Từ GT ta có : ( Vô lý)
 8 64 216 64 4096 46656 8320 46656 38336
 Vậy không tồn tại x, y, z thỏa mãn :
Bài 13: Tìm x, y, z biết:
 2x 3y 4z 6 9 18
a, và x+y+z=49 b, x y z và x y z 120
 3 4 5 11 2 5
HD:
 x y z x y z x y z
 a, 1
 3.6 4.4 5.3 18 16 15 49
 x y z x y z x y z 120
 b, 5
 11.3 2.2 5 33 4 5 24 24
Bài 14: Tìm x, y, z biết:
 6 9 18
a, 2x 3y 5z và x y z 95 b, x y z và x z 196
 11 2 5
HD :
 x y z 95
 a, Từ : x y z 95 
 x y z 95
 x y z x y z 95
 Nên 2x 3y 5z 
 15 10 6 15 10 6 19
 6 9 18 x y z x z 196
 b, Từ : x y z => 
 11 2 5 33 4 5 33 5 28
 x y z
Bài 15: Tìm x,y,z biết: x y z
 y z 1 x z 2 x y 3
HD :
 x y z y z 1 x z 2 x y 3
 Từ : 
 y z 1 x z 2 x y 3 x y z
 y z 1 x z 2 x y 3 2 x y z 
 2 x y z
 x y z x y z
 y z 1 2x x y z 3x 1 2 x 1
 4
 => x z 2 2y x y z 3y 2 2 y 
 3
 1
 => x y 3 2z x y z 3z 3 2 z 
 3
 Nguyễn Văn Ma 3 y x 1 x z 2 z y 3 1
Bài 16: Tìm x, y, z biết : 
 x y z x y z
HD :
 2 x y z 1 1
 Từ giả thiết => Cộng tử với tử ta được : GT 2 x y z 
 x y z x y z 2
 1 5
 Khi đó : x z 2 2y x y z 3y 2 y 
 2 6
 5 13
 Và z y 3 2z z y 3 3 x 
 6 6
 y z 1 x z 2 x y 3 1
Bài 17: Tìm x, y, z biết: 
 x y z x y z
HD :
 2x 2y 2z 1 1
 Từ GT => Tử + Tử + Tử =GT 2 x y z 
 x y z x y z 2
 1 3 1
 Khi đó : y z 1 2x x y z 3x 1 3x x 
 2 2 2
 Tượng tự để tìm ra y, z
 y z 2 x z 3 x y 5 1
Bài 18: Tìm x, y, z biết: 
 x y z x y z
HD :
 2 x y z 1 1
 Từ GT=> Tử + Tử + Tử =>GT 2 x y z 
 x y z x y z 2
 1 5
 Khi đó : y z 2 2x x y z 3x 2 x . Làm tương tự cho y và z
 2 6
 x y z
Bài 19: Tìm x, y, z biết: x y z
 y z 1 z x 1 x y 2
HD :
 x y z 1
 Ta có : GT x y z
 2 x y z 2
 1 1
 Khi đó : 2x y z 1 x y z 3x 1 x . Tương tự cho y và z
 2 2
 2x 1 3y 2 2x 3y 1
Bài 20: Tìm x, y biết: 
 5 7 6x
HD :
 2x 1 3y 2 2x 3y 1 5 3y 2
 Từ GT x 2 y 3
 12 6x 5 7
 2x 1 4y 5 2x 4y 4
Bài 21: Tìm x, y biết: 
 5 9 7x
HD :
 2x 1 4y 5 2x 4y 4
 Từ GT x 2 , Thay vào tìm được y
 5 9 7x
 1 2y 1 4y 1 6y
Bài 22: Tìm x, biết: 
 18 24 6x
HD :
 2 1 2y 1 1 4y 1 2y 1 4y 1 6y 1 1
 Ta có : GT x 5, 
 36 24 18 24 6x 12 42 6x
 Thay vào tìm được y
 Nguyễn Văn Ma 4 5x 1 7y 6 5x 7y 7
Bài 23: Tìm x biết 
 3 5 4x
HD: 
 5x 1 7y 6 5x 7y 7 5x 7y 7
 =>
 3 5 8 4x
 1 6
 Nếu 5x-7y-7 # 0 thì x 2 , Thay vào ta được y=3. Nếu 5x-7y-7=0=> 5x-1=0=> x ; y 
 5 7
 1 3y 1 5y 1 7y
Bài 24: Tìm x, y biết: 
 12 5x 4x
HD :
 1 3y 1 5y 1 5y 1 7y 
 Ta có : GT 
 12 5x 5x 4x
 2y 2y
 12 5x x 6x 12 x 2 . Thay vào tìm được y
 12 5x x
 7x 3y 12 y 2z x
Bài 25: Tìm x,y,z biết : 
 2y z 3y 2 y
 3x y x y 2 xz2 yz2
Bài 26: Tìm x, y, z biết : x 0 
 47 17 x2 z2 1
 a b c
Bài 27: Cho và a b c 0,a 2012 . Tính b, c
 b c a
HD :
 a b c a b c
 Từ : 1 a b c 2012 
 b c a b c a
 a b c
Bài 28: Cho và a b c 0,a 2017 . Tính b, c
 b c a
HD:
 a b c a b c
 Ta có: 1 a b c 2017
 b c a a b c
 a b 10
Bài 29: Tìm a, b biết: ,a b 10
 b 10 a
HD:
 a b 10 a b 10
 Ta có: 1 a b 10
 b 10 a a b 10
 x y z
Bài 30: Tìm ba số thức x, y, z khác 0 biết : và x2018 y2019 0 
 y z x
 a b c
Bài 31: Cho 3 số hữu tỉ bằng nhau: ; ; và a b c 0 , Tính giá trị của mỗi tỉ số đó
 b c c a a b
HD :
 a b c a b c 1
 b c c a a b 2 a b c 2
 a b c
Bài 32: Tìm x biết : x , và các tỉ số đều có nghĩa
 b c c a a b
HD : 
 a b c
 Nếu a+b+c=0 thì b+c= -a, a+c= -b, a+b= -c khi đó x 1
 a b a
 a b c a b c 1
 Nếu a+b+c 0 thì x 
 b c c a a b 2 a b c 2
 Nguyễn Văn Ma 5 x x
Bài 33: Tìm x, biết: 2 , 16
 y2 y
HD :
 x x 1 1
 Ta có : 2 . 2 16. 2 y 8 x 16.8
 y2 y y y
 x y z 94
Bài 34: Tìm x, y, z biết: 
 3x 4 y 5z
 a b c 260
Bài 35: Tìm a, b, c biết: 
 a 3b 0,3(b c)
HD:
 a b a b c a b c 260 60
 Từ a 3b , và 200 a 60,b 20 c
 3 1 0,3 1 1,3 1,3 3
Bài 36: Tìm a, b, c biết: (a+b) : ( 8 – c): (b+c) : (10 +c)=2:5:3:4
HD :
 a b 8 c b c 10 c
 Từ GT t
 2 5 3 4
 a b 2t
 mà 4 8 c 5 10 c c 2 t 2 b 8,a 4
 b c 3t
 a b c b c a
Bài 37: Tìm các số a, b, c Z biết : a b c 3
 b c a a b c
HD :
 a b c b c a a c b a c b 
 Ta có : GT 6 6
 b c a a b c b b c c a a 
 a b c a b c a b c 1 1 1
 9 , Vì a b c 3 3
 a b c a b c
 1 1 1 1 1 1
 Do a,b,c nguyên nên 1. 1. 1 3 a b c 1
 a b c a b c
 x y x y xy
Bài 38: Tìm x, y biết: 
 3 13 200
HD:
 x y x y x y x y x x xy
 GT 
 3 13 16 8 8 200
 x 0
 =>8xy 200x 0 x 8y 200 0 
 y 25
 TH1: x 0 y 0
 TH2: y 25 x 40
 3a 2b 2c 5a 5b 3c
Bài 39: Tìm ba số a,b,c biết: và a+b+c=-50
 5 3 2
HD :
 5 3a 2b 3 2c 5a 6c 10b 5b 3c 5b 3c
 Ta có : GT 0
 25 9 34 17 2
 3a 2b
 a b c a b c
 => 2c 5a 5
 2 3 5 10
 5b 3c
 Nguyễn Văn Ma 6 4z 10y 10x 3z 3y 4x
Bài 40: Tìm x,y,z biết : và 2x+3y-z=40
 3 4 10
HD:
 4z 10y 10x 3z 3 4z 10y 4 10x 3z 
 Ta có: GT 
 3 4 9 16
 4z 10y
 40x 30y 30y 40x 
 0 10x 3z
 13 100 
 3y 4x
 x y z 2x 3y z 40
 => 5
 3 4 10 6 12 10 8
 12x 15y 20z 12x 15y 20z
Bài 41: Tìm x, y, z biết: và x+ y+ z=48
 7 9 11
HD:
 12x 15y 20z 12x 15y 20z 
 Ta có: GT 0
 7 9 11
 x y x y
 => 12x 15y 0 12x 15y 
 15 12 5 4
 x z x y z x y z 48
 làm tương tự ta được: 
 5 3 5 4 3 5 4 3 12
 5z 6y 6x 4z 4y 5x
Bài 42: Tìm x, y, z biết: và 3x 2y 5z 96 
 4 5 6
 x 3y 3y 9z 5z 15x
Bài 43: Tìm x, y,z biết: và x+y+2z= -31
 19 114 115
HD :
 x 3y y 3z z 3x
 Ta có : , Đặt a x 3y b y 3z c z 3x h x y 2z (1) 
 19 38 23
 x a 3c y b 3a z c 3b hx hy 2hz Đồng nhất ta được :
 a 3c h
 1 4 2
 b 3a h , Giả sử cho h=1 thì a ;b ;c , Như vậy để cho chẵn thì ta nen cho h =7
 7 7 7
 c 3b 2h
 Khi đó : a 1;b 4;c 2 
 Ta biến đổi (1) như sau :
 x 3y y 3z z 3x x 3y 4 y 3z 2 z 3x 7 x y 2z 7. 31 
 1 
 19 38 23 19 152 46 217 217
 x 3y 19
 y 3z 38 , Cộng theo vế ta được : 4 x y z 80 x y z 20 
 z 3x 23
 Mà x y 2z 31 20 z 31 z 11 
 3b 1 125a 3b
Bài 44: Tìm các cặp số a, b thỏa mãn: 1 125a 
 a2 4 6a 13
HD:
 13
 ĐKXĐ: a 2,a 
 6
 3b 1 125a 3b 1 125a 1 125a
 a2 4 6a 13 1 a2 6a 9
 Nguyễn Văn Ma 7 2 1 
 Suy ra: a 6a 8 0, a 
 125 
 a 2(l),a 4 , Với a 4 b 2004 
Bài 45: Tìm x,y,z biết : xy z ; yz 9x ; xz 16y
HD:
 x z x 16 z 16
 Ta có: GT và z2 9.16 144 z 2
 y 9 y z 9 z
 x 12 4 x 4k
 TH1: z 12 4k.3k 12 k 1
 y 9 3 y 3k
 TH2: z 12 làm tương tự
 a 1 a 2 a 100
Bài 46: Tìm các số: a ;a ;...a , biết: 1 2 .. 100 và a a a ... a 10100
 1 2 100 100 99 1 1 2 3 100
HD: 
 Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 a a ... a 1 2 ... 100 a a ... a 10100
 1 2 100 1 2 100 1 1 1
 100 99 ... 1 100 99 ... 1 5050
 a 1 a 2 a 3 a 9
Bài 47: Tìm a ,a ,a ,....,a , biết rằng : 1 2 3 ... 9 , và 
 1 2 3 9 9 8 7 1
a1 a2 a3 ... a9 90 
Bài 48: Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện: M a b c d e f biết: a, b, 
 a 14 c 11 e 13
c, d, e, f thuộc N* và ; ; 
 b 22 d 13 f 17
HD: 
 a 7 c 11 e 13 a b a b M
 Từ gt=> ; ; => 
 b 11 d 13 f 17 7 11 7 11 18
 c d c d M e f e f M
 Tương tự ta có: và khi đó M BC(18;24;30) , và M 
 11 13 24 24 13 17 13 17 30
 là số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số nên M=1080
 x 4 4
Bài 49: Tìm x,y biết: và x+y=22
 7 y 7
HD :
 x y x y
 Ta có : GT 7x 28 28 4y 2
 4 7 11
 3 2
Bài 50: Tìm x, y biết: x y và x2 y2 38
 5 3
HD:
 x y x2 y2 x2 y2
 Ta có: Gt 72
 5 3 25 9 19
 3 2 9 4 36
 Khi đó: x2 200 x 200 và y2 162 y 162
Bài 51: Tìm số hữu tỉ a,b biết : a-b=a :b và a-b=3(a+b)
HD:
 a
 Ta có: a b 3 a b 2a 4b a 2b 2
 b
 a
 Mà a b a b 2 a b 2 thay vào 
 b
 a b 3 a b 2 3 2b 2 6b 6 b =..
 Nguyễn Văn Ma 8 Bài 52: Hãy tìm tất cả các số có hai chữ số biết rằng tổng, hiệu, tích của các chữ số của số đó là ba số 
nguyên dương và tỉ lệ với 35: 210: 12
HD:
 Gọi số cần tìm là: ab a 0,a,b 0;1;2;...;9 , Giả sử : a>b
 a b a b ab a b 6 a b a.b
 Theo bài ra ta có : 
 35 210 12 35.6 6.35 12
 6a 6b a b 5a 7b , Vô lý vì a, b cùng dấu.
Bài 53: Tìm hai số hữu tỉ a,b biết hiệu a và b bằng thương của a và b và bằng 2 lần tổng của a và b,
HD:
 a a
 Theo bài ra ta có: a b 2 a b a b 2 a b 3
 b b
 9
 a b 3 a 
 4
 3 
 a b 3
 2 b 
 4
 2x y 3y 2z
Bài 54: Tìm x,y,z biết: , x z 2y
 5 15
HD :
 Từ x+y=2z ta có : x-2y+z=0 hay 2x-4y+2z=0 hay 2x-y-3y+2z=0 hay 2x-y=3y-2z
 2x y 3y 2z 1
 Mà nên 2x-y=3y-2z=0. Từ 2x-y=0=> x y
 5 15 2
 1 3 2
 Từ 3y-2z=0 và x+z=2y=> x+z+y-2z=0 hay y y z 0 hay y z 0 hay y z
 2 2 3
 1 1 2 
 => x z . Vậy các giá trị x,y,z cần tìm là x z, y z, z R 
 3 3 3 
 1
Bài 55: Tìm 3 phân số có tổng của chúng bằng 1 , các tử của chúng tỉ lệ với 3:4:5 và các mẫu số tương 
 70
ứng của chúng tỉ lệ với 5:1:2
HD :
 a b c a b c 1 a b c x y z
 Gọi 3 phân số cần tìm là ; ; thì ta có: 1 , và 
 x y z x y z 70 3 4 5 5 1 2
 a b c a b c 1
 1
 a x b y c z y x y z 1
 : : : x z 70 
 3 4 5 3 4 5 71
 3 5 4 1 5 2 7
 5 1 2 5 1 2 10
 a 3 b 4 c 5
 => ; ; đó là ba phân số cần tìm
 x 35 y 7 z 14
 2 1
Bài 56: Số M được chia làm 3 số tỉ lệ với 0,5;1 ;2 , tìm số M biết rẳng tổng bình phương của ba số đó 
 3 4
bằng 4660
HD :
 2 5 1 9 1 5 9 6 20 27
 Ta có : 0,5 : 1 : 2 nên ta có : : : : : 6 : 20 : 27
 3 3 4 4 2 3 4 12 12 12
 Giả sử M được chia thành 3 số là x ;y ;z.
 Theo bài ra ta có :
 x y z x2 y2 z2 x2 y2 z2 4660
 4 22
 6 20 27 62 202 272 62 202 272 1165
 => x2 122 x 12, y2 402 y 40, z2 542 z 54
 Vậy M=12+40+54=106 hoặc M=-106
 Nguyễn Văn Ma 9 Dạng 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d
Bài 1: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 
 a b c d
 a b b c c d d a
Tính giá trị biểu thức: M 
 c d d a a b b c
HD:
 Từ GT trừ đi 1 vào mỗi vế của tỉ số ta có: 
 a b c d a b c d a b c d a b c d
 a b c d
 TH1: Nếu a b c d 0 a b c d M 4
 TH2: Nếu a b c d 0 a b c d M 4
 y z x z x y x y z x y z 
Bài 2: Cho 3 số x, y, z khác 0 thỏa mãn: .Tính B 1 1 1 
 x y z y z x 
HD:
 Từ GT cộng thêm 2 vào mỗi vế của của tỉ số ta được:
 y z x z x y x y z x y z x y z x y z
 2 2 2 
 x y z x y z
 TH1: x y z 0 x y z B 8
 TH2: x y z 0 x y z, y z x.x z y B 1
 a b c d b c d a c d a b d a b c
Bài 2: Cho , a b c d 0 
 d a b c
 b c c d d a a b 
 Tính giá trị của biểu thức: P 1 1 1 1 
 a b c d 
HD:
 a b c d b c d a c d a b d a b c
 Ta có: 2 2 2 2 
 d a b c
 a b c d a b c d a b c d a b c d
 d a b c
 Vì a b c d 0 a b c d P 1 2 1 2 1 2 1 2 34 
 2b c a 2c b a 2a b c
Bài 3: Cho a,b,c 0 và dãy tỉ số: .
 a b c
 3a 2b 3b 2c 3c 2a 
 Tính: P 
 3a c 3b a 3c b 
HD:
 2b c a 2c b a 2a b c 2b c a 2c b a 2a b c 2 a b c 
 2 
 a b c a b c a b c
 Vì a,b,c 0 a b c 0 
 2b c 3a 3a 2b c 3a c 2b
 1
 2c a 3b 3b 2c a và 3b a 2c , Thay vào P 
 8
 2a b 3c 3c 2a b 3c b 2a
 Nguyễn Văn Ma 10