Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chuyên đề 13: UCLN và BCNN - Nguyễn Văn Ma

 CHUYÊN ĐỀ UCLN VÀ BCNN
 Dạng 1: TÌM TẬP HỢP BC
Bài 1: Tìm các tập hợp sau rồi tìm BC của chúng:
a, BCNN (60;280) b, BCNN(84;108) c, BCNN(13;15) d, BCNN(10;12;15)
Bài 2: Tìm các tập hợp sau rồi tìm BC của chúng:
a, BCNN(8;9;11) b, BCNN(24;40;168) c, BCNN(40;52) d, BCNN(42;70;180)
Bài 3: Tìm các tập hợp sau rồi tìm BC của chúng:
a, BCNN(770;220) b, BCNN(154;220) c, BCNN(12;36) d, BCNN(28;56;560)
Bài 4: Tìm các tập hợp sau rồi tìm BC của chúng:
a, BCNN(25;39) b, BCNN(100;120;140)
Bài 5: Tìm BCNN của:
a, 51 ; 102 và 153; b, 15 ; 18 và 120; c, 600 ; 840 và 37800; d, 72 ; 1260 và 2520.
Bài 6: Cho a = 15, b = 25. Hãy tìm:
a, BCNN của (a; b); b, BC (a; b) nhỏ hơn 300
Bài 7: Cho các số tự nhiên 16 , 25 và 32. So sánh
a, BCNN (16; 25) và BCNN (16; 32); b, BCNN (16; 25) và BCNN (25; 32);
c, BCNN (16; 32) và BCNN (25; 32).
Bài 8: Trong các số sau đây, BCNN gấp mấy lần UCLN
a, 42; 63 và 105; b, 80; 120 và 1000?
Bài 9: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a 15 và a 18
Bài 10: Tìm các BC nhỏ hơn 200 của 30 và 45
Bài 11: Tìm số tự nhiên x biết rằng x 12, x 21 và x 28 và 150<x<300
Bài 12: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a 126 và a 198
Bài 13: Tìm các bội chung của 15 và 25 mà nhỏ hơn 400
Bài 14: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng: a 40 ,a 220 và a 24
Bài 15: Tìm các bội chung cĩ ba chữ số của 50,125 và 250
Bài 16: Tìm các BC lớn hơn 100 nhưng nhỏ hơn 400 của 8 và 15
Bài 17: Tìm các BC cĩ 3 chữ số của 21 ,35 và 175
Bài 18: Tìm số tự nhiên x nhỏ nhất khác 0, biết rằng: x 126 và x 198.
Bài 19: Tìm BCNN (a, b, c), biết rằng a là số tự nhiên nhỏ nhất cĩ 2 chữ số, b là số tự nhiên lớn nhất cĩ 
ba chữa số và c là số tự nhiên nhỏ nhất cĩ 4 chữ số.
Nguyễn Văn Ma 1 Dạng 2: BÀI TỐN VỀ BC
Bài 1: Một số sách khi xếp thành từng bĩ 10 cuốn, 12 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ, biết số sách trong 
khoảng 500 đến 200
HD:
 Gọi số sách cần tìm là x (cuốn) ĐK: x N,200 x 500
 Theo bài ra ta cĩ:
 x  10 => x B(10)
 x  12 => x B(12)
 x  18 => x B(18)
 => x BC( 10 ;12 ; 18) = { 0 ;180 ;360 ;540 :...}
 Vì số sách trong khoẳng từ 200 đến 500 nên x = 360
 Vậy số sách ban đầu là 360
Bài 2: Hai bạn Tùng và Hải thường đến thư viện đọc sách, Tùng cứ 8 ngày đến thư viện một lần, Hải 10 
ngày một lần,Lần đầu cả hai bạn cùng đến thư viện vào 1 ngày.Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì hai 
bạn lại cùng đến thư viện?
HD :
 Gọi x ( ngày) là số ngày hai bạn Tùng và hải lại đến thư viện vào lần sau :=> x>0 và x nhỏ nhất
 Khi đĩ ta cĩ :
 x  8 => x B(8)
 x  10 => x B(10)
 => x BC( 8; 10) = { 0; 40; 80; 120; ...)
 Vì x là nhỏ nhất khác khơng nên x = 40
 Vậy sau 40 ngày thì hai bạn lại cùng đến thư viện vào 1 ngày
Bài 3: Học sinh lớp 6A khi xếp hàng 2, 3, 4, 8 đều vừa đủ, biết số học sinh lớp trong khoảng từ 35 đến 60, 
Tính số học sinh?
HD:
 Gọi x ( học sinh) là số học sinh lớp 6A :=> x > 0 và 35 < x < 60 
 Khi đĩ ta cĩ :
 x  2 => x B(2)
 x  3 => x B(3)
 x  4 => x B(4)
 x  8 => x B(8)
 => x BC( 2 ;3 ;4 ;8) = { 0; 24; 48 ; 72 ; ...)
 Vì x trong khoẳng từ 35 đến 60 nên x = 48
 Vậy lớp 6A cĩ 48 học sinh
Bài 4: Hai bạn An và Bách cùng trực nhật, An cứ 10 ngày lại trực nhật cịn Bách 12 ngày lại trực nhật. 
Hỏi sau bao nhiêu ngày nữa thì hai bạn lại cùng trực nhật?
HD:
 Gọi x ( ngày) là số ngày hai bạn Tùng và hải lại đến thư viện vào lần sau :=> x>0 và x nhỉ nhất
 Khi đĩ ta cĩ :
 x  8 => x B(8)
 x  10 => x B(10)
 => x BC( 8; 10) = { 0; 40; 80; 120; ...)
 Vì x là nhỏ nhất khác khơng nên x = 40
 Vậy sau 40 ngày thì hai bạn lại cùng đến thư viện vào 1 ngày
Bài 5: Số học sinh của 1 trường là số cĩ 3 chữa số và lớn hơn 900, mỗi lần xếp hàng 3, 4, 5 đều đủ. Hỏi 
trường đĩ cĩ bao nhiêu học sinh?
HD :
 Gọi số học sinh của trường là x( học sinh) => x N,900 x 1000
 Theo bài ra ta cĩ : x 3, x 4, x 5 => x BC(3 ;4 ;5) = B(60)
 B(60) = {0 ; 60 ; .... ; 600 ; 660 ;...840 ; 900 ; 960 ;1020 ;...}
 Vì 900 < x < 1000 nên x = 960. Vậy số học sinh của trường là x = 960 học sinh
Nguyễn Văn Ma 2 Bài 6: Ba bạn An Bảo Ngọc học cùng 1 trường nhưng ở 3 lớp khác nhau, An cứ 5 ngày trực nhật 1 lần, 
Bảo thì 10 ngày trực nhật 1 lần và Ngọc 8 ngày trực nhật 1 lần, Lần đầu ba bạn cùng trực nhật vào 1 
ngày, Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa ba bạn lại cùng trực nhật, lúc đĩ mỗi bạn trực nhật bao nhiêu lần
HD :
 Gọi x ( ngày) là số ngày ba bạn An , Bảo và Ngọc lại cùng trực nhật vào lần sau => x>0 và x nhỏ 
nhất
 Khi đĩ ta cĩ :
 x  5 => x B(5)
 x  10 => x B(10)
 x  8 => x B(8)
 => x BC( 8; 10 ;5 ) = { 0; 40; 80; 120; ...)
 Vì x là nhỏ nhất khác khơng nên x = 40
 Vậy sau 40 ngày thì ba bạn lại cùng trực nhật vào 1 ngày
Bài 7: Một trường THCS xếp hàng 20,25,30 đều dư 15 học sinh, nhưng xếp hàng 41 thì vừa đủ, Tính số 
học sinh của trường đĩ biết rằng số học sinh của trường đĩ chưa đến 1000.
HD :
 Gọi số học sinh của trường là x=> (0<x<1000)
 Theo yêu cầu bài tốn thì ta cĩ :
 x - 15  20 => x - 15 B(20)
 x - 15  25 => x - 15 B(25)
 x - 15  30 => x - 15 B(30)
 => x - 15 BC( 20; 25; 30 ) = { 0; 300; 600;900; 1200; ...)
 => x { 15; 315; 615;915; 1215; ...)
 Thêm nữa, khi xếp hàng 41 thì vừa đủ nên x 41,
 Trong các số trên < 1000 chỉ cĩ số 615 là chia hết cho 41
 Vậy số học sinh của trường là 615 học sinh
Bài 8: Một trường THCS xếp hàng 20, 25, 30 đều dư 13 học sinh nhưng xếp hàng 45 thì cịn dư 28 học 
sinh, Tính số học sinh của trường đĩ biết số hs chưa đến 1000.
HD:
 Gọi số học sinh của trường là x => (0 < x < 1000, x là số tự nhiên )
 Theo yêu cầu bài tốn thì ta cĩ :
 x - 13  20 => x - 13 B(20)
 x - 13  25 => x - 13 B(25)
 x - 13  30 => x - 13 B(30)
 => x - 13 BC( 20; 25; 30 ) = { 0; 300; 600;900; 1200; ...)
 => x { 13; 313; 613; 913; 1213; ...)
 Thêm nữa, khi xếp hàng 45 thì cịn dư 28 học sinh nên x - 28 phải chia hết cho 45, 
 Trong các giá trị trên từ 13 đên 913 thì chỉ cĩ: 613 là chia cho 45 dư 28 học sinh
 Vậy số học sinh của trường là 613 học sinh
Bài 9: Một đội thiếu niên khi xếp hàng 2, 3, 4, 5 đều thừa 1 người, Tính số đội viên biết số đĩ nằm trong 
khoảng 100 đến 150?
HD:
 Gọi số thiếu niên của đội là x => (100 < x < 150, x là số tự nhiên )
 Theo yêu cầu bài tốn thì ta cĩ :
 x - 1  2 => x - 1 B(2)
 x - 1  3 => x - 1 B(3)
 x - 1  4 => x - 1 B(4)
 x - 1  5 => x - 1 B(5)
 => x - 1 BC ( 2; 3; 4; 5 ) = { 0; 60; 120; 180; ...)
 => x { 1; 61; 121; 181; ...)
 Vì 100 < x < 150 nên x = 121
 Vậy số đội viên của đội là 121 đội viên
Nguyễn Văn Ma 3 Bài 10: Một khối hs khi xếp hàng 2, 3, 4, 5, 6 đều thiếu 1 người nhưng xếp hàng 7 thì vừa đủ, biết số hs 
chưa đến 300, Tính số học sinh ?
HD:
 Gọi số học sinh là x => (0 < x < 300, x là số tự nhiên )
 Theo yêu cầu bài tốn thì ta cĩ :
 x + 1  2 => x + 1 B(2)
 x + 1  3 => x + 1 B(3)
 x + 1  4 => x + 1 B(4)
 x + 1  5 => x + 1 B(5)
 x + 1  6 => x + 1 B(6)
 => x + 1 BC( 2; 3; 4; 5;6 ) = { 0; 60; 120; 180; 240; 300; 360; ...)
 => x {-1; 59; 119; 179; 239; 299; 359; ...)
 Bên cạnh đĩ khi xếp hàng 7 vừa đủ nên x chia hết cho 7
 Và 0 < x < 300 nên chỉ cĩ số 119,
 Vậy số học sinh của khối là 119 học sinh
Bài 11: Số học sinh khối 6 của 1 trường trong khoảng từ 200 - 400, khi xếp hàng 12 và 15, 18 đều thừa 5 
học sinh, Tính số hs
HD:
 Gọi số học sinh của trường là x => (200 < x < 400, x là số tự nhiên )
 Theo yêu cầu bài tốn thì ta cĩ :
 x - 5  12 => x - 5 B(12)
 x - 5  15 => x - 5 B(15)
 x - 5  18 => x - 5 B(18)
 => x - 5 BC( 12; 15; 18) = { 0; 180; 360; 540; ...)
 => x {5; 185; 365; 545; ...)
 Và 200 < x < 400 nên chỉ cĩ số 365 là thỏa mãn
 Vậy số học sinh khối 6 của trường là 365 học sinh
Bài 12: Hai dội cơng nhân, Trồng 1 số cây như nhau, mỗi cơng nhân đội I phải trồng 8 cây, đội II phải 
trồng 9 cây, Tính số cây mỗi đội phải trồng biết rằng số cây đĩ trong khoảng từ 100 - 200
HD:
 Gọi x là số cây mỗi đội phải trồng => 100 < x < 200 và x là số tự nhiên
 Theo bài ra ta cĩ: 
 x  8 => x B(8)
 x  9 => x B(9)
 => x BC( 8; 9 ) = { 0; 72; 144; 216; ...)
 Vì 100 < x < 200 nên x = 144
 Vậy số cây phải trồng của mỗi đội là 144 cây
Bài 13: Một bộ phận của máy cĩ hai bánh xe răng cưa khớp với nhau, bánh xe 1 cĩ 18 răng cưa, bánh xe 
2 cĩ 12 răng cưa, Hỏi mỗi bánh xe phải quay bao nhiêu vịng để 2 răng cưa đã khớp với nhau lần đầu sẽ 
khớp với nhau lần 2
HD: 
 Để hai răng của hai bánh xe đã khớp với nhau lần đầu lại khớp với nhau lần 2 thì số răng cưa ở 
 mỗi bánh xe đã quay được là x :
 Khi đĩ x = BCNN(12;18)=36
 Bánh xe 1 quay là 36:18=2 vịng. Bánh xe 2 quay 36:12 = 3 vịng
Bài 14: Số học sinh của 1 trường THCS là 1 số cĩ ba chữ số và lớn hơn 800, mỗi lần xếp hàng 5, 6, 7, 8 
đều vừa đủ, hỏi trường đĩ cĩ bao nhiêu hs?
HD :
 Gọi x ( học sinh) là số học sinh của 1 trường => 800 < x < 1000
 Theo bài ra ta cĩ : 
 x  5 => x B(5)
 x  6 => x B(6)
 x  7 => x B(7)
 x  8 => x B(8)
Nguyễn Văn Ma 4 => x BC( 5; 6 ;7; 8 ) = { 0; 840; 1680; ...... )
 Vì 800 < x < 1000 nên x = 840
 Vậy số học sinh của trường là 840 học sinh
Bài 15: Ba đội cơng nhân cùng trồng 1 số cây như nhau, tính ra mỗi cơng nhân đội 1 trồng 7 cây, đội 2 
trồng 8 cây, đội 3 trồng 6 cây, Tính số cơng nhân mỗi đội, biết số cây mỗi đội trong khoảng từ 100-200
HD:
 Gọi x là số cây mỗi đội phải trồng => 100 < x < 200 và x là số tự nhiên
 Theo bài ra ta cĩ: 
 x  7 => x B(7)
 x  8 => x B(8)
 x  6 => x B(6)
 => x BC( 7 ; 8; 6 ) = { 0 ; 168 ; 336 ; ...)
 Vì 100 < x < 200 nên x = 168
 Vậy số cây phải trồng của mỗi đội là 168 cây
Bài 16: Một cơng ty vận tải hàng hĩa dùng ba ca nơ để chở hàng, ca nơ thứ nhất 7 ngày cập bến 1 lần, ca 
nơ thứ hai 6 ngày cập bến 1 lần, ca nơ thứ ba 8 ngày cập bến 1 lần. Hỏi nếu ba ca nơ cùng đang cập bến, 
thì ít nhất sau bao nhiêu ngày sau :
a, Ca nơ thứ nhất và ca nơ thứ hai cùng cập bến ?
b, Ca nơ thứ nhất và ca nơ thứ ba lại cùng cập bến ?
c, Ca nơ thứ hai và ca nơ thứ ba lại cùng cập bến ?
d, Cả ba ca nơ cùng cập bến ?
HD :
 a, Gọi x là số ngày ít nhất ca nơ thứ nhất và ca nơ thứ hai lại cùng cập bến
 Khi đĩ ta cĩ :
 x  7 => x B(7)
 x  6 => x B(6) và x là nhỏ nhất nên
 => x = BCNN( 6; 7) = 42 => Vậy sau 42 ngày thì ca nơ 1 và ca nơ 2 giặp nhau tại bến
 b, Gọi x là số ngày ít nhất ca nơ thứ nhất và ca nơ thứ ba lại cùng cập bến
 Khi đĩ ta cĩ :
 x  7 => x B(7)
 x  8 => x B(8) và x là nhỏ nhất nên
 => x = BCNN(8 ; 7) = 56 => Vậy sau 56 ngày thì ca nơ 1 và ca nơ 3 giặp nhau tại bến
 c, Gọi x là số ngày ít nhất ca nơ thứ hai và ca nơ thứ ba lại cùng cập bến
 Khi đĩ ta cĩ :
 x  6 => x B(7)
 x  8 => x B(8) và x là nhỏ nhất nên
 => x = BCNN(8 ; 6) = 24 . Vậy sau 24 ngày thì ca nơ 2 và ca nơ 3 giặp nhau tại bến
 d, Gọi x là số ngày ít nhất ca nơ thứ hai và ca nơ thứ ba lại cùng cập bến
 Khi đĩ ta cĩ :
 x  6 => x B(6)
 x  7 => x B(7)
 x  8 => x B(8) và x là nhỏ nhất nên
 => x = BCNN(8 ; 6 ; 7) = 168. Vậy sau 168 ngày thì cả ba ca nơ giặp nhau tại bến
Bài 17: Một trường tổ chức cho khoảng 800 đến 900 học sinh tham quan, Tính số học sinh biết nếu xếp 
35 hoặc 40 học sinh lên xe thì vừa đủ
HD :
 Gọi số học sinh của trường đi tham quan là x=> 800< x< 900 và x là số tự nhiên
 theo bài ra ta cĩ :
 x  35 => x B(35)
 x  40 => x B(40)
 => x BC(35 ; 40) = {0 ; 280 ; 560 ; 840 ; 1120 ; ...}
 Mà 800 < x < 900 nên x = 840
 Vậy số học sinh đi tham quan của trường là 840 học sinh
Nguyễn Văn Ma 5 Bài 18: Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng, mỗi hàng cĩ 20 người, hoặc 25 người, hoặc 30 người đều thừa 
15 người. Nếu xếp mỗi hàng 41 người thì vừa đủ (khơng cĩ hàng nào thiếu, khơng cĩ ai ở ngồi hàng). 
Hỏi đơn vị cĩ bao nhiêu người, biết rằng số người của đơn vị chưa đến 1000?
HD :
 Gọi số bộ đội của đơn vị đĩ là x => (x < 1000, x là số tự nhiên )
 Theo yêu cầu bài tốn thì ta cĩ :
 x - 15  20 => x - 15 B(20)
 x - 15  25 => x - 15 B(25)
 x - 15  30 => x - 15 B(30)
 => x - 15 BC( 20; 25; 30) = { 0; 300; 600; 900;1200; ...)
 => x {15; 315; 615; 915; 1215;......)
 Mặt khác khi xếp hàng 41 thì vừa đủ và x < 1000 nên trong các số trên cĩ 615 là thỏa mãn
 Vậy số bộ đội là 615 người
Bài 19: Trên đoạn đường dài 4800m, cĩ các cột điện trồng cách nhau 60m, nay trồng lại cách nhau 80m, 
Hỏi cĩ bao nhiêu cột điện khơng phải trồng lại, biết rằng ở cả hai đầu đoạn đường đều cĩ cột điện?
HD: 
 Khoảng cách giữa hai cột điện liên tiếp khơng phải trồng lại (tính bằng m) là:
 BCNN(60;80)=240, Số cột khơng phải trồng lại là: (4800:240)+1=21 cột
Bài 20: Ba ơ tơ chở khách cùng khởi hành lúc 6h sáng từ 1 bến xe đi theo ba hướng khác nhau, xe thứ 
nhất quay về bến sau 1h5 phút và sau 10’ lại đi, xe thứ hai quay về bến sau 56’ và lại đi sau 4 phút, xe thứ 
ba quay về bến sau 48 phút và sau 2 phút lại đi, hãy tính khoảng thời gian ngắn nhất để 3 xe cùng xuất 
phát lần thứ hai trong ngày và đĩ là lúc mấy giờ?
HD: 
 Gọi x là thời gian 3 xe cùng xuất phát lần thứ hai tại bến, 
 Theo bài ra ta cĩ :
 Xe thứ nhất sau 1h 5 phút về đến nơi và thêm 10 phút sau mới đi, nên xe thứ nhất mất 75 phút để 
cĩ thể đi tiếp chuyến thứ hai, do đĩ :
 x  75 => x B(75)
 Tương tự ta cũng cĩ với các xe thứ hai và xe thứ ba
 x  60 => x B(60)
 x  50 => x B(50)
 Và x phải nhỏ nhất nên
 x = BCNN (75; 60; 50) =300 phút =5h
 Vậy sau 5h thì ba xe lại lại cùng xuất phát
Bài 21: Một buổi tập đồng diễn thể dục cĩ khoảng từ 350 đến 500 người tham gia. Khi tổng chỉ huy cho 
xếp 5,6,8 hàng thì thấy lẻ 1 người, Khi cho đồn xếp hàng 13 thì vừa vặn khơng thừa người nào. Hỏi số 
người tham gia tập đồng diễn là bao nhiêu ?
HD :
 Gọi số người tham gia tập diễn là x => ( 350 < x < 500, x là số tự nhiên )
 Theo yêu cầu bài tốn thì ta cĩ :
 x - 1  5 => x - 1 B(5)
 x - 1  6 => x - 1 B(6)
 x - 1  8 => x - 1 B(8)
 => x - 1 BC( 5; 6; 8) = { 0; 120; 240; 360; 480; 600; ...)
 => x {1; 121;241; 361; 481; 601; ......)
 Mặt khác khi xếp hàng 13 thì vừa đủ và 350 < x < 500 nên trong các số trên cĩ 481 là thỏa mãn
 Vậy số người tham gia tập diễn là 481 người
Bài 22: Số học sinh tham gia nghi thức đội là 1 số cĩ ba chữ số lớn hơn 800 , Nếu xếp hàng 20 thì dư 7 
em, nếu xếp hàng 25 thì dư 18 em, và xếp hàng 15 thì thiếu 8 em, hỏi cĩ tất cả bao nhiêu hs dự thi?
Bài 23: Hai lớp 6A và 6B cùng thu nhặt 1 số giấy vụn bằng nhau, Trong lớp 6A, một bạn thu được 26kg, 
cịn lại mỗi bạn thu được 11 kg, Trong lớp 6B 1 bạn thu được 25kg cịn lại mỗi bạn thu được 10kg, Tính 
số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200-300kg
HD:
 Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x (kg):
Nguyễn Văn Ma 6 x 2611
 Khi đĩ: x 15 BC 10;11 Ngồi ra 200 x 300 x 235 
 x 2510
Bài 24: Tìm số tự nhiên bé nhất khi chia cho 2; 5; 11; 26 đều được dư là 1
Bài 25: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất cĩ 3 chữ số biết rằng số đĩ chia cho 4; 6; 7 đều được dư là 3
Bài 26: Tìm số tự nhiên n lớn nhất cĩ 3 chữ số sao cho chia nĩ cho 3; 4; 5; 6; 7 được các số dư theo thứ tự 
là 1; 2; 3; 4; 5
Bài 27: Nhân ngày 1- 6, Chị phụ trách chia kẹo như sau, Nếu chia mỗi gĩi 10 cái thì một gĩi chỉ cĩ 9 cái, 
nếu chia mỗi gĩi 9 cái thì 1 gĩi 8 cái, nếu chia mỗi gĩi 7 cái thì 1 gĩi cĩ 6 cái, nếu chia mỗi gĩi 2 cái thì 
thừa 1 cái, biết số kẹo từ 2000 – 3000 cái, Hỏi cĩ bao nhiêu kẹo?
Nguyễn Văn Ma 7 Dạng 3: BÀI TỐN BC CĨ DƯ
Bài 1: Bạn Nam nghĩ 1 số cĩ 3 chữa số, nếu bớt số đĩ đi 8 thì được 1 số  7, nếu bớt số đĩ đi 9 thì được 1 
số  8, nếu bớt số đĩ đi 10 thì được 1 số  9, Hỏi bạn Nam nghĩ số nào?
HD:
 Gọi x là số bạn Nam đã nghĩ, ĐK: 99<x<1000
 x 87 x 17
 Theo bài ra ta cĩ: x 98 x 18 x 17;8;9 x 1 BC(7;8;9)
 x 109 x 19
 x 1 0;504;1008;..... x 1;505;1009;.... , Mà 99 < x < 1000 nên x = 505
 Vậy số cĩ ba chữ số mà bạn Nam nghĩ là 505
Bài 2: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho chia a cho 3, cho 5, cho 7 được các số dư theo thứ tự là 2, 3, 4
HD :
 a 3m 2 2a 6m 4 2a 13
 Theo bài ra ta cĩ: a 5n 3 m,n, p N 2a 10n 6 2a 15 2a 1 BC(3;5;7)
 a 7 p 4 2a 14 p 8 2a 17
 Vì a nhỏ nhất nên 2a - 1 nhỏ nhất khác 0 hay 2a - 1 =BCNN( 3; 5; 7) = 105 => 2a = 106 => a = 53
 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 53
Bài 3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 5, 7, 9 cĩ số dư theo thứ tự là 3, 4, 5
HD:
 Gọi số tự nhiên cần tìm là a: 
 a 5m 3 2a 10m 6 2a 15
 Theo bài ra ta cĩ: a 7n 4 m,n, p N 2a 14n 8 2a 17 2a 1 BC(9;5;7)
 a 9 p 5 2a 18p 10 2a 19
 Vì a nhỏ nhất nên 2a - 1 nhỏ nhất khác 0 hay 2a - 1 = BCNN( 9; 5; 7) = 315 => 2a = 316
 => a = 158
 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 158
Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 3, 4, 5 cĩ số dư là 1, 3, 1
HD:
 Gọi số tự nhiên cần tìm là a: 
 a 3m 1 2a 6m 2 2a 23
 Theo bài ra ta cĩ: a 4n 3 m,n, p N 2a 8n 6 2a 24 2a 2 BC(3;4;5)
 a 5p 1 2a 10 p 2 2a 25
 Vì a nhỏ nhất nên 2a - 2 nhỏ nhất khác 0 hay 2a - 2 = BCNN( 3;4;5) = 60 => 2a = 62=> a = 31
 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 31
Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 5 sao cho khi chia số đĩ cho 70, 140, 350 và 700 cĩ cùng số dư là 5
HD:
 Gọi số tự nhiên cần tìm là a: a # 5
 a 570
 a 5140
 Theo bài ra ta cĩ: a 5 BC 70;140;350;700 
 a 5350
 a 5700
 Vì a nhỏ nhất nên a - 5 nhỏ nhất hay 
 a - 5 = BCNN(70; 140; 350; 700) = 700 => a = 705, Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 705
Bài 6: Một số tự nhiên khi chia cho 2, 3, 4, 5, 6 đều dư 1, nhưng khi chia cho 7 thì khơng cĩ dư, tìm số a 
nhỏ nhất cĩ tính chất trên
HD :
 Gọi số tự nhiên cần tìm là a: a # 5
Nguyễn Văn Ma 8 a 12
 a 13
 Theo bài ra ta cĩ: a 14 a 1 BC 2;3;4;5;6 = B(60)
 a 15
 a 16
 a - 1 BCNN(2;3;4;5;6) = B(60) = { 0; 60; 120; 180; 240; 300; ....}
 => a {1; 61; 121; 181; 241; 301;....} và a cịn chi hét cho 7 và a nhỏ nhất nên a = 301
 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 301
Bài 7: Tìm 1 số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 4, 5, 6 đều dư 1, tìm số đĩ biết rằng số đĩ chia hết cho 7 
và nhỏ hơn 400
HD:
 Gọi số tự nhiên cần tìm là a: 
 a 14
 Theo bài ra ta cĩ: a 15 a 1 BC 4;5;6 B 60 0;60;120;180;240;300;360;420;... 
 a 16
 => a 1;61;121;181;241;301;361;421;... Vì a cịn chia hết cho 7 và a nhỏ hơn 400 nên a = 301
 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 301
Bài 8: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia nĩ cho 6, 7, 9 được các số dư lần lượt là : 2; 3; 5
HD:
 Gọi số tự nhiên cần tìm là a: 
 a 26 a 2 66 a 46
 Theo bài ra ta cĩ: a 37 a 3 77 a 47 a 4 BC 6;7;9 
 a 59 a 5 99 a 49
 Vì a nhỏ nhất nên a + 4 nhỏ nhất
 Hay a + 4= BCNN (6;7;9) = 126 => a = 122
 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là a = 122
Bài 9: Tìm số tự nhiên a sao cho số đĩ chia cho 17, 25 được các số dư theo thứ tự là 8 và 16
HD:
 a 817 a 8 1717 a 917
 Theo bài ra ta cĩ: a 9 BC 17;25 
 a 1625 a 16 2525 a 925
 => a 9 B 425 0;425;850;1275;..... a 416;841;1266;....
 Vậy tập số tự nhiên a cần tìm a 416;841;1266;....
Bài 10: Tìm 1 số tự nhiên nhỏ hơn 500 sao cho chia nĩ cho 15, 35 được các số dư theo thứ tự là 8 và 13
HD:
 Gọi số tự nhiên cần tìm là a: ĐK : a < 500
 a 815 a 8 3015 a 2215
 Theo bài ra ta cĩ: a 22 BC 15;35 
 a 1335 a 13 3535 a 2235
 => a 22 B 105 0;105;210;315;420;525..... a 83;188;293;398;....
 Vậy tập số tự nhiên a cần tìm a 83;188;293;398;....
Bài 11: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia nĩ cho 29 dư 5, chia cho 31 dư 28
HD:
 Gọi số tự nhiên cần tìm là x: 
 Theo bài ra ta cĩ:
 x = 29a + 5 và x = 31b + 28 => 29a + 5 = 31b + 28 => 29a - 29b = 2b + 23 => 29(a - b) = 2b + 23
 Vì VT  29 nên VP  29 => 2b + 23  29, Mà x nhỏ nhất nên a, b cũng nhỏ nhất khi đĩ b = 3
 Thay b = 3 vào ta được x =31.3 + 28 = 121
 Vậy tập số tự nhiên x cần tìm là 121
Nguyễn Văn Ma 9 Bài 12: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia nĩ cho 31 dư 15 và chi cho 35 dư 1
HD:
 Gọi số tự nhiên cần tìm là x: 
 Theo bài ra ta cĩ:
 x = 31a + 15 và x = 35b + 18 => 31a + 15 = 35b + 18 => 31a - 31b = 4b + 3 => 31(a-b) = 4b + 3
 Vì VT  31 nên VP  31 => 4b + 3  31, Mà x nhỏ nhất nên a, b cũng nhỏ nhất khi đĩ b = 7
 Thay b =7 vào ta được x =35.7 + 18 = 263
 Vậy tập số tự nhiên x cần tìm là 263
Bài 13: Tìm dạng chung cả các số tự nhiên a chia cho 4 thì dư 3, chia cho 5 thì dư 4, chi 6 thì dư 5 và chia 
hết cho 3
HD:
 a 34 a 3 44 a 14
 Theo bài ra ta cĩ: a 45 a 4 55 a 15 a 1 BC 6;5;4 a 160 
 a 56 a 5 66 a 16
 Và a + 1 - 300  60 và a 13=> a - 13.23 13 => a - 299 13 => a - 299  BCNN (60; 13) =780
 => a = 780k +299
 Vậy dạng chung của số tự nhiên trên là a = 780k + 299
Bài 14: Tìm số tự nhiên n lớn nhất cĩ ba chữ số, sao cho n chia 8 dư 7, chia cho 31 dư 28
HD:
 n 78 n 7 728 n 658
 Theo bài ra ta cĩ: n 65 BC 8;31 
 n 2831 n 28 9331 n 6531
 n 65 B 248 0;248;496;744;992;.... n 183;431;679;927;...
 Vì n là số tự nhiên lớn nhất cĩ ba chữ số nên n = 927
 Vậy số cần tìm là 927
Bài 15: Tìm số tự nhiên n sao cho 18n +3  7
Bài 16: Một số tự nhiên a khi chia cho 7 dư 4, chia cho 9 dư 6, tìm số dư khi chia a cho 63
HD :
 a 47 a 3 77 a 37
 Theo bài ra ta cĩ: a 363 Vì UCLN( 7;9) =1
 a 69 a 6 99 a 39
 Vậy a chia cho 63 dư 60
Bài 17: Chia số tự nhiên a cho 7 dư 5, chia số b cho 7 dư 3, chia số c cho 7 dư 2. Tìm số dư khi 
a, Chia a+b cho 7
b, Chia a+b+c cho 7 
HD:
 Theo bài ra ta cĩ:
 a = 7k + 5, b = 7h + 3 và c = 7m + 2, với k, h, m là các số tự nhiên
 Khi đĩ a + b = (7k + 5) + (7h + 3) =7(h + k) + 8 chia 7 dư 1
 Vậy a + b chia 7 dư 1
 b, Ta cĩ: a + b + c = (7k + 5) + (7h + 3) + (7m + 2) = 7(k + h + m) + 10 chia cho 7 dư 3
 Vậy a + b + c chia 7 dư 3
Bài 18: Số nguyên lớn nhất mà khi chia 13511, 13903, 14589 ta được cùng 1 số dư, Tìm số nguyên đĩ?
HD:
 Gọi x là số tự nhiên cần tìm, r là số dư , 
 13511 x.a r 13903 13511 x b a 392
 Ta cĩ: 13903 x.b r 14589 13903 x c b 686 x UC 392;686;1078 
 14589 x.c r 
 14589 13511 x c a 1078
 với a, b, c là thương của các phép chia
 Vì x là số lớn nhất nên x = UCLN(392; 686; 1078) = 98
Nguyễn Văn Ma 10