Chuyên đề ôn tập Hình học Lớp 7 - Chuyên đề I: Đường thẳng vuông góc. Đường thẳng song song - Chủ đề 1: Hai góc đối đỉnh

 CHUYấN ĐỀ I. ĐƯỜNG THẲNG VUễNG GểC.
 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
 CHỦ ĐỀ 1. HAI GểC ĐỐI ĐỈNH
I. TểM TẮT Lí THUYẾT
1. Định nghĩa
Hai gúc đối đỉnh là hai gúc mà mỗi
cạnh của gúc này là tia đối của một 
cạnh của gúc kia.
2. Tớnh chất của hai gúc đối đỉnh
 Hai gúc đối đỉnh thỡ bằng nhau.
Chỳ ý:
- Mỗi gúc chỉ cú một gúc đối đỉnh với nú;
- Hai gúc bằng nhau chưa chắc đó đối đỉnh.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
Dạng 1. Nhận biết hai gúc đối đỉnh
Phương phỏp giải: Xột cỏc cạnh của gúc và cỏc tia đối để tỡm cặp gúc đối đỉnh.
1A. Cho hỡnh a, b, c, d và e. Cặp gúc nào đối đỉnh? Cặp gúc nào khụng đối đỉnh? Vỡ sao?
1B. Vẽ hai đường thẳng aa' và bb' cắt nhau tại O như hỡnh vẽ. Hóy điền vào chỗ trống (...) trong 
cỏc phỏt biểu sau:
a) Gúc aOb và gúc ... là hai gúc đối đỉnh vỡ
1.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn cạnh Oa là tia đối của cạnh Oa' và cạnh Ob
 là... của cạnh Ob'.
b) Gúc a'Ob và gúc aOb' là ... vỡ cạnh Oa là
 tia đối của cạnh ... và cạnh ... là tia đối của 
cạnh Ob'.
2A. Vẽ bốn đương thẳng xx', yy', zz', tt' cựng đỡ qua điểm O. Hóy viết tờn cỏc cặp gúc đối đỉnh 
(khỏc gúc bẹt).
2B. Vẽ ba đường thẳng aa', bb' và cc' cắt nhau tại A. Hóy viết tờn cỏc cặp gúc đối đỉnh (khỏc 
gúc bẹt).
3A. Vẽ gúc vuụng xã Ay . Vẽ xã ' Ay ' đối đỉnh với xã Ay . Hóy viết tờn hai gúc vuụng khụng đối 
đỉnh
3B. Vẽ hai gúc cú chung đỉnh và cú cựng số đo là 60°, nhưng khụng đối đỉnh.
Dạng 2. Tớnh số đo gúc
Phương phỏp giải: Sử dụng cỏc tớnh chất:
- Hai gúc đối đỉnh thỡ bằng nhau;
- Hai gúc kề bự cú tổng bằng 180°.
4A. Cho hỡnh, vẽ bờn. Tớnh xã Oy '
biết xã Oy - ãyOx ' = 30°.
2.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn 4B. Cho hỡnh vẽ bờn. Biết ãAOC Bã OD = 140°.
 Hóy tớnh số đo cỏc gúc ãAOC,Cã OB, Bã OD và Dã OA
5A. Cho gúc xOy cú số đo bằng 45°, Vẽ hai tia Om, On lần lượt là tia đối của tia Oy, Ox. Tớnh 
số đo cỏc gúc cũn lại trờn hỡnh.
5B.Vẽ hai đường thẳng cắt nhau sao cho trong cỏc gúc tạo thành cú một gúc bằng 150°. Tớnh số 
đo cỏc gúc cũn lại.
6A. Cho hai gúc kề nhau xOy và yOz cú tổng bằng 150° và xã Oy ãyOz = 90°.
a) Tớnh số đo xã Oy và ãyOz
b) Gọi Oz' là tia đối của tia Oz. Hóy so sỏnh xã Oz và ãyOz
6B. Cho hai gúc kề nhau xOy và yOz cú tổng bằng 110° và xã Oy ãyOz = 30°.
a) Tớnh số đo xã Oy và ãyOz .
b) Gọi Oz' là tia đối của tia Oz. Hóy so sỏnh xã Oz và ãyOz
7A. Đường thẳng xx' cắt đường thẳng yy' tại O. Vẽ tia phõn giỏc Ot của xã Oy
a) Gọi Ot' là tia đối của tia Ot. So sỏnh xã Ot ' và tã'Oy
b) Vẽ tia phõn giỏc Om của xã Oy . Tớnh gúc mã Ot
7B. Vẽ xã ' Ay ' đối đỉnh với xã Ay . Vẽ tia phõn giỏc Az của xã Ay và tia đối At của tia Az. So sỏnh 
 xã ' At và ãy ' At
Dạng 3. Chứng minh hai gúc đối đỉnh
Phương phỏp giải: Muốn chứng minh hai gúc xã Oy và xã 'Oy ' là hai gúc đối đỉnh ta cú thể dựng 
một trong hai cỏch sau:
3.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn Cỏch 1. Chứng minh tia Ox là tia đối của tia Ox' (hoặc Oy') và tia Oy là tia đối của tia Oy' (hoặc 
Ox'), tức là hai cạnh của một gúc là cỏc tia đối của hai cạnh của gúc cũn lại.
Cỏch 2. Chứng minh xã Oy = xã 'Oy ' trong đú tia Ox và tia Ox' (hoặc Oy') đối nhau cũn hai tia Oy 
và Oy' (hoặc Ox') nằm trờn hai nửa mặt phẳng đối nhau cú bờ là đường thẳng xOx' (hoặc xOy').
8A. Trờn đường thẳng xx' lấy điểm O. Trờn nửa mặt phẳng bờ xx’, vẽ tia Oy sao cho xã Oy = 45°, 
Trờn nửa mặt phẳng cũn lại, vẽ tia Oz sao cho Oz  Ox. Gọi Oy' là phõn giỏc của xã 'Oz
a) Chứng minh xã Oy và xã 'Oy ' là hai gúc đối đỉnh.
b) Trờn nửa mặt phẳng bờ xx' chứa tia Oy, vẽ tia Ot sao cho Ot vuụng gúc với Oy. Hóy tớnh 
 xã 'Ot
8B. Cho hỡnh vẽ bờn:
a) Tớnh xãOm và xã On
b) Vẽ tia On' sao cho xãOn' đối
đỉnh với xã 'On . Trờn nửa mặt 
phẳng bờ xx' chứa tia On', vẽ tia Oy sao cho nã 'Oy = 90°. Hai gúc mã On và nã 'Oy cú đối đỉnh 
khụng? Vỡ sao?
9A. Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O sao cho ãAOC = 60°.
a) Tớnh số đo cỏc gúc cũn lại.
b) Vẽ tia Ot là phõn giỏc của ãAOC và Ot' là tia đối của tia Ot. Chứng minh Ot' là tia phõn giỏc 
của Bã OD
9B. Cho hai gúc kề bự xã Oy và ãyOz . Gọi Om và On lần lượt là cỏc tia phõn giỏc của cỏc gúc xã Oy 
và ãyOz
a) Tớnh số đo mã On
b) Vẽ zãOy ' đối đỉnh vúi xã Oy và Om' là tia đối của tia Om. Chứng minh Om' và On lần lượt là 
tia phõn giỏc của cỏc gúc ãy 'Oz và mã Om'
4.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn 10A. Cho gúc aOb. Vẽ bã Oc kề bự với aã Ob ; aã Od kề bự với aã Ob . Vẽ Of là tia phõn giỏc của 
 bã Oc ; Oe là tia phõn giỏc của dã Oa . Khi đú cãOf và aã Oe cú phải là hai gúc đối đỉnh khụng? Vỡ 
sao?
10B. Cho gúc mOn. Vẽ Ox là tia phõn, giỏc của mã On . Vẽ Ox' là tia đối của tia Ox. Vẽ nã Ot kề bự 
với mã On . Khi đú cỏc gúc xã 'Ot và mã Ox cú phải là hai gúc đối đỉnh khụng? Vỡ sao?
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
11. Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M tạo thành ãAMC cú số đo bằng 30°.
a) Tớnh số đo cỏc gúc Bã MD và ãAMD .
b) Viết tờn cỏc cặp gúc đối đỉnh và cỏc cặp gúc bự nhau.
12. Chứng minh hai tia phõn giỏc của hai gúc kề bự vuụng gúc với nhau.
13. Cho gúc mã On . Vẽ nã Ot kề bự với mã On ; mã Oz kề bự vúi mã On . Khi đú mã On và tảOz cú phải là 
hai gúc đối đỉnh khụng?
14. Hai đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại A, biết xã Ay = 40°.
a) Tớnh số đo cỏc gúc ãyAx ', xã ' Ay ' và ãy ' Ax
b) Vẽ tia phõn giỏc At của xã Ay và tia phõn giỏc At' của xã ' Ay ' . Chứng minh hai tia At và At' 
là hai tia đối nhau.
 HƯỚNG DẪN
 BÀI 1. HAI GểC ĐỐI ĐỈNH
1A. Cỏc cặp gúc đố i đỉnh: hỡnh a và e.
Cỏc cặp gúc khụng đối đỉnh: hỡnh b (khụng chung đỉnh), hỡnh c (một cặp cạnh khụng là hai tia 
đối nhau) và hỡnh d (hai gúc khụng bằng nhau).
1B. a) aã 'Ob' / tia đối;
b) hai gúc đối đỉnh/ Oa'/ Ob.
2A. Ta cú hỡnh vẽ:
5.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn Cỏc cặp gúc đối đỉnh gồm:
 xã Oy và xã 'Oy ' ãyOz và ãy 'Oz ' zã Ot và zã 'Ot '
 tãOx 'và tã'Ox xã Oz và xã 'Oz ' ãyOt và ãy 'Ot '
 zãOx ' và zã 'Ox tãOy ' và tã'Oy xã Ot và xã 'Ot '
 ãyOx ' và ãy 'Ox xãOy ' và zã 'Oy tãOz ' và tã'Oz .
2B. Tương tự 2A.
3A. Hai gúc vuụng khụng đối đỉnh là:
 xã Ay và xã Ay ' (hoặc cỏc cặp gúc xAy và
 xã ' Ay ; xã ' Ay và xã ' Ay ' ; xã Ay và xã ' Ay ' ).
3B.
6.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn 4A. Ta cú: xã Oy ãyOx ' = 180° và xã Oy ãyOx ' = 30° => ãyOx ' = 75°.
Suy ra xãOy ' = 75° (hai gúc đối đỉnh).
4B. Tớnh được xãOy ' = Bã OD 70; ãAOD Bã OC 110
5A. Ta cú: mã On xã Oy 45
Do xã Oy và xãOm kề bự nờn: 
 xã Oy + xãOm =180°
Suy ra xãOm = 180° - xã Oy = 135°.
Mà ãyOn và xãOm đối đỉnh nờn
 ãyOn = xãOm = 135°.
5B. Tương tự 5A.
Tớnh được:
 à ả ả ả
 O1 O3 150;O2 O4 30
6A. a) Ta cú : 
 150 90
 xã Oy 120
 2
=> ãyOz = 150° - 120° = 30°
b) Ta cú ãyOz ' và ãyOz ' kề bự nờn:
 ãyOz ' + ãyOz = 180°
=> ãyOz ' = 150° - 30° = 150°.
Mà xã Oz = xã Oy + ãyOz = 150°. Vậy xã Oz = ãyOz '.
6B. Tương tự 6A.
7.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn Tớnh được xã Oy = 70°, ãyOz = 40°.
Tớnh được xã Oz = 110°, ãyOz ' = 140° => xã Oz < ãyOz '.
 xã Oy
7A. a) Ta cú: Oà 
 1 2
 à ả ã ã
Mà O1 O2 (đối đỉnh), xOy = x 'Oy ' (đối đỉnh)
 ả ả
 O4 O5 Lại cú:
 ã ã ả ã ã ả
 xOt ' xOy ' O5 và t 'Oy x 'Oy O4 = 
 ã ã ả ả
mà xOy ' x 'Oy (đối đỉnh) và O4 O5
Lại cú 
 ã ã ả ã ã ả
 xOy ' xOy ' O5 và t 'Oy x 'Oy O4
Mà xãOy ' xã 'Oy (đối đỉnh)
 ả ả ã ã
Và O5 O4 => xOt ' t 'Oy .
 1 1
b) Vỡ xãOm xãOy ',Oà xã Oy nờn:
 2 1 2
 1
 mã Ot xãOm Oà (xã Oy ' xã Oy) = 90° 
 1 2
7B. Tương tự 7A. Ta được xã ' At ãy ' At .
8A. a) Vỡ Oy' là phõn giỏc xã 'Oz nờn
 1 1
 xã 'Oy ' xã 'Oz . 90° = 45°
 2 2
=> xã Oy xã 'Oy '
Mà Ox và Ox' là hai tia đối nhao nờn 
 xã Oy và xã 'Oy ' đối đỉnh.
b) xã 'Oy ' = 45°, ãy 'Ot = 90° => Ox' là phõn giỏc tãOy '
Do đú xã 'Ot = 45°.
8.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn 8B. xãOm xã 'On = 90° => x = 15° => xãOm = 50°, xã 'On = 40°.
Hai gúc mOn và n'Oy là hai gúc đối đỉnh.
9A. a) Bã OD ãAOC = 60° (đối đỉnh.).
=> Cã OB ãAOC = 180° (kề bự), => Bã OC 180 ãAOC = 120°
=> ãAOD Bã OC = 120° (đối đỉnh),
b) Vỡ Ot là phõn giỏc gúc AOC nờn
 1
 ãAOt ãAOC = 30°
 2
=> Bã Ot ' ãAOt = 30° (đối đỉnh).
Tương tự:
 Dã Ot ' 30 Bã Ot ' Dã Ot '
Do đú Ot' là phõn giỏc của Bã OD .
9B. a) Tớnh được mã On = 90°. b) Tương tự ý b) 9A.
10A. Vỡ gúc bOc kề bự với gúc aOb nờn Oa và Oc là hai tia đối nhan. Tương tự Ob và Od là 
hai tia đối nhau.
Do đú hai gúc bOc và aOd đối đỉnh => bã Oc aã Od
 1 1
Lại cú: cãOf bã Oc,aã Oe aã Od nờn cãOf aã Oe
 2 2
Mà Oa và Oc là hai tia đốỡ nhau nờn cãOf và aã Oe đối đỉnh.
10B. Tương tự 10A. Hai gúc xã 'Ot và mã Ox đối đỉnh.
 a) Tớnh được Bã MD 30, ãAMD 150
 b) Cỏc cặp gúc đối đỉnh: Bã MD và ãAMC , ãAMD và Mã BC
Cỏc cặp gúc kề bự: ãAMC và ãAMD , ãAMD và Bã MD , Bã MD và Bã MC , Bã MC và ãAMC
12. Gọi hai gúc kề bự là aã Ob và bã Oc , lần lượt nhận Ox và Oy là hai tia phõn giỏc.
 1
Dễ dàng chứng minh: xã Oy ( aã Ob + bã Oc ) = 90° => Ox  Oy.
 2
13. Tương tự 10A. mã On và tảOz là hai gúc đối đỉnh,
14. a) Tớnh được ãyAx ' ãy ' Ax = 140°; xã ' Ay ' = 40°.
9.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn b) Ta chứng minh xảAt xã ' At = 20°.
Do Ax và Ax' là hai tia đối nhau, At và At' thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau nờn At và At' là 
hai tia đối nhau
..............................................................................................................................................................
10.Đường tuy gắn khụng đi sẽ khụng đến-Việc tuy nhỏ khụng làm sẽ khụng nờn