Chuyên đề ôn tập Hình học Lớp 7 - Chuyên đề I: Đường thẳng vuông góc. Đường thẳng song song - Chủ đề 2: Hai đường thẳng vuông góc

 CHỦ ĐỀ 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
- Hai đường thẳng xx', yy' cắt nhau
và trong các góc tạo thành có một
góc vuông được gọi là hai đường 
thẳng vuông góc.
- Kí hiệu: xx'  yy'.
2. Tính chất hai đường thẳng vuông góc
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc vói một đường thẳng 
cho trước.
3. Đường trung trực của đoạn thẳng
Đường thẳng vuông góc với một đoạn 
thẳng tại trung điểm của nó được gọi là
 đường trung trực của đoạn thẳng ấy. 
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Vẽ hình
1A. Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 2 cm. Lấy ba điểm A, B, C phân biệt bất kì trên đưòng 
tròn. Vẽ các dây AB, BQ CA. Vẽ các đường trung trực của các đoạn thẳng AB, BC, CA.
1B. Cho ba điểm A, B, C bất kì. Hãy vẽ các đường trung trực của các đoạn thẳng AB, BC, CA.
2A.Vẽ góc xOy có số đo bằng 45°. Lấy điểm A bất kì nằm trong x· Oy . Qua A vẽ đường thẳng 
d vuông góc với tia Ox tại B, đường thẳng d' vuông góc với tia Oy tại C và đường thẳng d" đi 
qua A và vuông góc với BC.
2B. Vẽ đường thẳng a. Trên đường thẳng a vẽ đoạn AB = 6 cm. Vẽ tiếp đường thẳng d đi qua 
điểm A và vuông góc với a. Vẽ đường thẳng d' đi qua điểm B và vuông góc với a. Hai đương 
thẳng d và d' có cắt nhau không?
Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
1.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên Phương pháp giải: Muốn chứng minh hai đường thẳng xx' và yy' vuông góc với nhau ta có thể 
sử dụng một trong 4 cách sau:
Cách 1. Chứng minh một trong bốn góc tạo thành bởi hai đường thẳng ấy là góc vuông.
Cách 2. Chứng minh hai góc kề bù bằng nhau, từ đó suy ra có một góc bằng 90°.
Cách 3. Chứng minh hai tia Ox và Oy là hai tia phân giác của hai góc kề bù nhau với O là giao 
điểm của xx' và yy',
3A. Cho x· Oy = 120°. Vẽ các tia Oz và Ot nằm trong x· Oy sao cho Oz vuông góc với Ox và Ot 
vuông góc với Oy.
 a ) Tính số đo góc zOt.
b) Gọi Om và On lần lượt là hai tia phân giác của hai góc x· Ot và ·yOz . Chứng minh tia Om  
On.
3B. Cho góc m· On có số đo 150°. Vẽ các tia Oa và Ob ở trong góc đó sao cho Oa, Ob lần lượt 
vuông góc với các tia Om và On.
a) Chứng tỏ a· On = b·Om
 b) Vẽ tia Ox và tia Oy theo thứ tự là các tia phân giác của các góc a· On và b·Om . Tính x· Oy .
4A. Cho hai tia Ox và Oy vuông góc với nhau. Trong góc x· Oy , ta vẽ hai tia Oa và Ob sao cho 
 a· Ox = b· Oy = 30°. Vẽ tia Oc sao cho tia Oy là tia phân giác của a· Oc . Chứng tỏ tia Oa là phân 
giác của b· Ox và hai tia Ob, Oc vuông góc với nhau.
4B. Cho góc bẹt x· Oy . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ xy, ta vẽ ba tia gồm Om, On sao cho 
 x·Om = ·yOn < 90° và Ot là phân giác của m· On . Chứng minh Ot vuông góc với xy.
Dạng 3. Các bài toán vận dụng tính chất hai đường thẳng vuông góc
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai đường thẳng vuông góc để giải các bài tập liên quan.
5A. Cho x· Oy = 120°. Ở phía ngoài của góc vẽ hai tia Oc và Od sao cho Od  Ox và Oc  Oy. 
Gọi Om và On theo thứ tự là phân giác của x· Oy và d· Oc ; Oy' là tia đối của tia Oy. Chứng minh:
a) Ox là tia phân giác của ·y 'Om ;
 b) Oy' nằm giữa hai tia Ox và Od;
c) Góc mOn là góc bẹt.
5B. Cho x· Oy = 100°. Về phía ngoài của góc vẽ hai tia Oz và Ot sao cho Oz và Ot lần lượt vuông 
góc với Ox và Oy. Gọi Om là tia phân giác của x· Oy và Om' là tia đối của tia Om.
2.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên a) Chứng minh Om' là tia phân giác của z· Ot
b) So sánh số đo hai góc m· Oz và ·yOm
6A. Cho góc nhọn x· Oy . Trên một nửa mặt phẳng bờ Ox chứa tia Oy, kẻ tia Ox' vuông góc với 
Ox. Trên một nửa mặt phẳng bờ Oy chứa tia Ox, vẽ tia Oy' vuông góc với Oy. Chứng minh hai 
góc x· Oy và x· 'Oy ' có cùng tia phân giác và tổng số đo hai góc bằng 180°.
6B. Cho góc xOy tù. Bên ngoài góc đó dựng hai tia Oz và Ot lần lượt vuông góc với Ox và Oy. 
Chứng minh hai góc x· Oy và z· Ot bù nhau
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
7. Cho góc aOb có số đo bằng 50°. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ Ob chứa tia Oa, vẽ tia Om vuông 
góc với Ob. Trên nửa mặt phẳng còn lại vẽ tia On vuông góc với Oa.
a) Chứng minh hai góc aOm và bOn bằng nhau.
b) Vẽ Om' là tia đối của tia Om. Tính số đo góc m'On.
8. Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Vẽ tia phân giác Om của B· OC . Gọi On là tia 
đối của tia Om.
Chứng minh:
a) Tia On là phân giác của ·AOD ;
b) Gọi Op là phân giác của B· OD . Chứng minh Op  On.
9. Cho góc xOy. Từ điểm A nằm trong góc đó kẻ AH vuông góc với Ox (H thuộc Ox) và AK 
vuông góc với Oy (K thuộc Oy). Trên tia đối của tia HA lấy điểm B sao cho HB = HA. Trên tia 
đối của tia KA lấy điểm C sao cho KC = KA. Chứng minh OB = OC.
10. Cho góc vuông xOy. Điểm M nằm trong góc đó. Vẽ điểm N và P sao cho tia Ox là đường 
trung trực của MN và Oy là đường trung trực của MP. Chứng minh ON = OP.
 HƯỚNG DẪN
1A. Ta có hình vẽ bên:
3.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 1B. Tương tự 1A.
Chú ý: Xét hai trường hợp: ba điểm A, B, C thẳng hàng và A, B, C không thẳng hàng.
2A. Ta có hình vẽ bên:
2B. Tương tự 2A.
Kết luận hai đường thẳng d và d' không
 cắt nhau.
3A. a) Ta có:
 x· Oz 90 z·Oy 30
Do ·yOt = 90° nên t¶Oz = 60°. 
b) Vì Om, On lần lượt là phân giác
 của ·yOz và x· Ot nên:
 m· Oz n· Ot = 15°.
Do đó: m· On m· Ot t¶Oz z·On = 15° + 60° +15° = 90° 
3B. Tương tự 3A. Tính được:
 a· On b·Om = 60°. b) x· Oy = 90°.
4A. Ta có: a· Ob = 30° = x· Oa suy ra 
Oa là phân giác của b· Ox .
4.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên Lại có a· Oy = 60°, Oy là phân 
giác của a· Oc nên:
 ·yOc a· Oy = 60°.
Khi. đó:
 b· Oc b· Oy ·yOc = 90°.
4B. Tương tự 4A. Tính được x· Ot ·yOt = 90° => Ot  xy.
5A. a) Có x·Om ·yOm = 60°
=> ·yOm ·yOx ·yOy '
=>Tia Ox nằm giữa Om và Oy'
Lại có:
 ·y 'Ox = 180°- 120° = 60° = x·Om 
=> Ox là phân giác của ·y 'Om .
b) x·Oy ' x· Od suy ra tia Oy' nằm giữa hai tia Ox và Od.
c) ·yOd = 90° - 60° = 30°
 c·Od c·Oy ' ·y 'Od = 90°- 30° = 60° => d· On = 30°
=> x· On = 90° + 30° = 120°
 x· On x·Om = 120° + 60° = 180° hay m· On = 180°.
5B. Tương tự 5A. Ta được:
a) z·Om' t·Om' = 40°
 m· Oz = 140°, ·yOm' = 130° suy ra m· Oz > ·yOm'
6A. Ta có: x· Oy x· 'Oy = 90° và x· Oy x·Oy ' = 90° => x· 'Oy x·Oy '.
Mặt khác Ox', Oy' nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ox nên Ox nằm giữa hai tia Ox' 
và Oy'.
Tương tự Oy nằm giữa hai tia Ox' và Oy'
Gọi Om là phân giác góc xOy, suy ra Oy 
nằm giữa Ox' và Om, Ox nằm giữa Oy' và
5.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên Om, Om nằm giữa Ox và Oy.
Lại có Om là phân giác góc xOy
 => x·Om ·yOm và x· 'Oy x·Oy '(cùng phụ 
 x· Oy ). Do đó x· 'Om ·y 'Om .
=> Om cũng là phân giác của x· 'Oy ' (ĐPCM).
6B. Tương tự 6A.
7. Tương tự 4A. Tính được:
 a) a·Om b· On = 40°. b) m· 'On = 50°.
8. Ta có: B· Om n· OA (đối đỉnh), C· Om n·OD (đối đỉnh).
Mà B· Om C· Om n· OA n·OD
 1
b) n· Op n·OD D· Op (·AOD D· OB) = 90° => ĐPCM
 2
9. Ox là đường trung trực của AB, O AB
Nên OA = OB
Tương tự ta có OA = OC
Từ đó suy ra ĐPCM
10. Tương tự 9
Ta có : ON = OP ( = OM)
..............................................................................................................................................................
6.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên