Chuyên đề ôn tập Hình học Lớp 7 - Chuyên đề III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác và các đường đồng quy trong tam giác - Chủ đề 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác bất đẳng thức tam giác

 CHỦ ĐỀ 3. QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC
 BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Trong một tam giác, độ dài của một
cạnh bao giờ cũng lớn hơn giá trị
tuyệt đối của hiệu và nhỏ hơn tổng
các độ dài của hai cạnh còn lại. Cụ thể:
|AB - AC| < BC < AB + AC.
II .BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
 Dạng 1. Khẳng định có tồn tại hay không một tam giác biết độ dài ba cạnh
Phương pháp giải:
- Tồn tại một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c nếu: 
 a b c
 b a c hoặc |b - c | < a < b + c
 c a b
 - Trong trường hợp xác định được a là số lớn nhất trong ba số a, b, c thì điều kiện để 
 tồn tại tam giác chỉ cần: a < b + c.
 1A. Bộ ba độ dài nào dưới đây có thể tạo thành độ dài của 3 cạnh trong tam 
 giác?
 a) 5 cm; 10 cm; 12 cm, b) 1 m; 2 m; 3 m.
 c) 6 m; 9 m; 8 m.
 1B. Bộ ba độ dài nào dưới đây có thể tạo thành độ dài của 3 cạnh trong tam 
 giác?
 a) 3 cm; 4 cm; 5 cm. b) 2 m; 2 m; 5 m.
 c) 5 m; 10 m; 15 m.
 2A. Một tam giác cân có một cạnh bằng 6 cm. Tính hai cạnh còn lại, biết chu 
 vi của tam giác đó bằng 20 cm
 2B. Tính chu vi của một tam giác cân biết độ dài hai cạnh của nó là 3,9 cm 
 và 7,9 cm.
 3A. Cho tam giác ABC có BC = 1 cm, AC = 7 cm. Tìm độ dài cạnh AB, biết 
 độ dài này là một số nguyên (cm). 3B. Cho tam giác MNP có MN = 1 m, NP = 3 m, độ dài cạnh MP là một số 
 nguyên. Tính độ dài MP.
Dạng 2. Chứng minh các bất đẳng thức về độ dài
 Phương pháp giải: Sử dụng bất đẳng thức tam giác và các biến đổi về bất đẳng thức.
- Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức:
a a + c < b + c.
- Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều:
 a b
 a c b d
 c d
4A. tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB.
 a) So sánh MC với AM + AC.
 b) Chứng minh MB + MC < AB + AC.
4B. Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia AC lấy điểm K.
 a) So sánh AB với KA + KB.
 b) Chứng minh AB + AC < KB + KC.
5A. Cho tam giác ABC, điểm M bất kỳ nằm trong tam giác.
 a) So sánh MB + MC với BC
 AB BC CA
 b) Chứng minh MA + MB + MC > 
 2
5B. Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC.
 a) So sánh AD với BA + BD.
 AB BC CA
 b) Chứng minh AD < 
 2
 6A. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho 
 BD = BA. Chứng minh DC > AB
 6B. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D. Chứng 
 minh DB > DC.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
7. Có hay không tam giác với độ dài các cạnh là
 a) 2 m; 3 m; 5 m? b) 6 cm; 8 cm; 10 cm?
8. Tìm chu vi của tam giác cân, nếu biết hai cạnh của nó bằng: a) 7 cm và 3 cm; b) 8 cm và 2 cm.
 9. Cho tam giác ABC có AB = 1 cm, AC = 4 cm, độ dài cạnh BC là một số 
 nguyên. Tính độ dài BC.
 10. Cho tam giác ABC điểm O nằm trong tam giác, tia BO cắt cạnh AC tại I
 a) So sánh OA và IA + IO, từ đó suy ra OA + OB < IA + IB;
 b) Chứng minh OA + OB < CA + CB.
 c) Chứng minh
 AB BC CA
 < OA + OB + OC < AB + BC + CA.
 2
 11. Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại D, 
 trên cạnh AC lấy E sao cho AE = AB.
 a) So sánh DB và DE.
 b) Chứng minh AC - AB > DC - DB.
12* Cho tam giác ABC. Gọi M là
 trung điểm của BC.
 AB AC
 a) Chứng minh AM <
 2
 b) Cho bốn điểm A, B, C, D như 
 hình vẽ. Gọi thứ tự là trung điểm
 của AC và BD. Chứng minh 
 AB + BC + C + DA > 4MN
 HƯỚNG DẪN
1A. a) Có, vì 12 < 5 + 10. b) Không, vì 1 + 2 = 3
 c) Có, vì 9 < 6 + 8.
1B. a) Có, vì 5 2 + 2 
 b) Không, vì 5 +10 = 15. 
2A. Nếu cạnh đã cho (6cm) là cạnh đáy thì hai cạnh còn lại là 7 cm và 
 7 cm, thỏa mãn bất đẳng thức tam giác. Nếu cạnh đã cho (6 cm) là cạnh bên thì hai cạnh còn lại là 6 cm và 
 8 cm, thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.
2B. Nhận xét: Cạnh thứ ba của tam giác cân bằng một trong hai cạnh 
 kia.
 Loại trường hợp cạnh thứ ba bằng 3,9 cm vì 3,9 + 3,9 < 7,9. 
 Trường hợp cạnh thứ ba bằng 7,9 cm thỏa mãn bất đẳng thức tam 
 giác vì 7,9 < 7,9 + 3,9. Từ đó tính được chu vi của tam giác là 19,7 cm.
3A. Chú ý |AC - BC| 6 < AB <8. Do AB là số 
 nguyên nên AB = 7 cm.
3B. Tương tự 3A, ta có
 2 MP 3cm
4A. a) AMC có MC < AM + AC.
 b) Dùng kết quả câu a, ta có
 MB + MC' < MB + MA + AC
 = AB + AC. 
4B. Tương tự 4A.
5A. a) MBC có MB + MC > BC.
 b) Tương tự ý a, ta có
 MA + MC > AC, MA + MB > AB.
 Cộng từng vế của ba bất đẳng thức
  2(MA + MB + MC) >AB + BC + CA.
 AB BC CA
 MA + MB + MC > 
 2
 Chú ý rằng kết quả trên vẫn đúng khi M ở ngoài tam giác hoặc ở 
 trên hai cạnh AB hoặc AC. Riêng khi M thuộc BC thì 
 BM + MC = BC 5B. a) ABD có AD < BA + BD
 b) Tương tự ý a, ta có : AD < CA + CD
 Cộng trừ hai vế bất đẳng thức
 => 2AD ĐPCM.
6A. ADC có DC > AD - AC = AB
6B. Tương tự 6A.
7. a) Không, vì 2 + 3 = 5. 
 b) Có, vì 6 + 8 > 10.
8. Tương tự 2B, ta có:
 a) Chu vi tam giác là 7 + 7 + 3 = 17cm.
 b) Chu vi tam giác là 8 + 8 + 2 = 18cm.
9. Tương tự 3A, ta có 3 BC = 4cm.
10. a) OIA có OA < IA + IO, do đó
 OA + OB < IA + IO + OB = IA + IB.
 b) Tương tự ý a, chứng minh được
 IA + IB < CA + CB.
 Bởi vậy OA + OB < IA + IB < CA + CB.
 c) Chứng minh được các bất đẳng thức
 tương tự OB + OC < AB + AC, OC + OA 
 < BA + BC.
 Cộng từng vế của ba bất đẳng thức, ta được
 OA + OB + OC < AB + BC + CA.
 Kết hợp với kết quả của 5A, ta có ĐPCM
11. a) Chứng minh được
 ADB = ADE (c.g.c) => DB = DE.
 b) EDC có EC > DC - DE.
 Chú ý rằng AC - AB = AC - AE = và DC - DE = DC - DB.
 Từ đó ta có AC - AB > DC - DB.
12*. a) Trên tia đối của tia MA lấy điểm D
 sao cho MD = MA. Chứng minh được 
 MAB = MDC (c.g.c) => AB = CD.
 ACD có AC + CD > AD, chú ý rằng 
 AD = 2AM, AB = CD nên
 AB AC
 2AM AM < 
 2
 b) Sử dụng kết quả ý a) ta có:
 BA + BC > 2BM, DA + DC > 2DM.
 Suy ra AB + BC + CD + DA > 2(MB + MD). (1)
 Trong BMD, lại có
 MB + MD > 2MN . (2)
 Từ (1) và (2), ta có ĐPCM
..............................................................................................................................................................