Chuyên đề ôn tập Hình học Lớp 7 - Chuyên đề III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác và các đường đồng quy trong tam giác - Chủ đề 8: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

 CHỦ ĐỀ 8. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC
 CỦA TAM GIÁC
I. TểM TẮT Lí THUYẾT
1. Định lớ 1. Ba đường trung trực của 
một tam giỏc cựng đi qua một điểm.
Điểm này cỏch đểu ba đỉnh của tam 
giỏc đú.
Trờn hỡnh bờn, điểm O là giao điểm cỏc
đường trung trực của ABC. Ta cú 
OA = OB = OC. Điểm O là tõm đường
 trũn ngoại tiếp ABC.
2. Định lớ 2. Trong một tam giỏc cõn, 
đường trung trực của cạnh đỏy đồng
thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đỏy.
II. BÀI TẬP YÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Xỏc định tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc
Phương phỏp giải: Sử dụng tớnh chất giao điểm cỏc đường trung trực trong tam giỏc thỡ cỏch 
đều ba đỉnh của tam giỏc đú.
1A. Cho A, B, C là ba điểm phõn biệt khụng thẳng hàng. Hóy xỏc định đường trũn đi qua 
ba điểm A, B, C.
1B. ễng Hựng cú ba cửa hàng A, B, C khụng nằm trờn một đường thẳng và đang muốn 
tỡm địa điểm O để làm kho hàng. Phải chọn vị trớ của kho hàng ở đõu để khoảng cỏch từ kho 
đến cỏc cửa hàng bằng nhau.?
2A. Chứng minh trong tam giỏc vuụng, tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc là trung điểm 
của cạnh huyền.
2B. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Chứng minh O là trung điểm của BC thỡ O là tõm 
đường trũn ngoại tiếp ABC
Dạng 2. Vận dụng tớnh chất ba đưũng trung trực trong tam giỏc để giải quyết cỏc bài toỏn 
khỏc Phương phỏp giải: Từ Định lớ 2, ta cú tớnh chất trong một tam giỏc, giao điểm của hai đường 
trung trực thỡ thuộc đường trung trực cũn lại của tam giỏc đú.
Lưu ý: Trong tam giỏc cõn, đường trung trực ứng với cạnh đỏy cũng là đường trung tuyến, 
đường phõn giỏc và đường cao.
3A. Cho ABC. M là trung điểm của BC. Cỏc đường trung trực của AB và AC cắt nhau 
tại O. Tớnh số đo gúc Oã MB .
3B. Cho MNP. Đường trung trực của MN cắt đường trung trực của MP tại I. Hạ IH  
NP. Chứng minh H là trung điểm của NP.
4A. Cho ABC cú gúc àA = 110°. Đường trung trực của cỏc cạnh AB và AC cắt nhau tại I. 
Chứng minh:
a) BIC cõn;
b) Bã IC = 2(180° - Bã AC ) và tớnh sốđo gúc Bã IC .
4B. Cho ABC vuụng tại A. Đường trung trực của cỏc cạnh AB và AC cắt nhau tại I. 
Chứng minh:
a) OB = OC;
b) Bã OC = 2(180° - Bã AC ) và O là trung điểm của BC.
5A. Cho ABC (AB = AC). Đường trung trực của BC cắt trung tuyến BD tại G. Chứng 
minh G là trọng tõm của ABC.
5B. Cho ABC cõn tại A. AM là đường trung trực của cạnh BC (M BC). Trờn đoạn 
 2
thẳng AM lấy điểm G sao cho AG = AM. Chứng minh đường thẳng BG đi qua trung điểm 
 3
của đoạn thẳng AC.
6A. Cho tam giỏc MNP cõn tại M. Trờn cạnh MN lấy điểm K, trờn cạnh MP lấy điểm D 
sao cho MK = DP. Đường trung trực của MP cắt đường trung trực của DK tại O. Chứng 
minh:
a) Mã KO Pã DO ;
b) O thuộc đường trung trực của MN;
c) MO là tia phõn giỏc của Nã MP .
6B. Cho ABC cõn tại A Gọi O là điểm cỏch đều ba đỉnh A, B, C. Nối OA, OB, OC.
a) Chứng minh Oã BA Oã AC .
b) Trờn cạnh AB lấy điểm M, trờn cạnh AC lấy điểm N sao cho BM = AN. Chứng minh O 
thuộc đường trung trực của MN. Dạng 3. Chứng minh ba đường thẳng đổng quy, ba điểm thẳng hàng
Phương phỏp giải: Vận dụng tớnh chất đồng quy của ba đường trung trực trong một tam giỏc.
7A. Cho tam giỏc ABC cõn ở A. Gọi M là trung điểm của BC. Cỏc đường trung trực của 
AB và AC cắt nhau ở E. Chứng minh ba điểm A, E, M thẳng hàng.
7B. Cho tam giỏc MNP cõn ở M, đường cao MH. Cỏc đường trung trực của MN và MP 
cắt nhau ở D. Chứng minh ba điểm M, D, H thẳng hàng.
8A. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn nửa mặt phẳng bờ BC khụng chứa điểm A, dựng 
tam giỏc cõn BCD. Chứng minh cỏc đưũmg trung trực của AB và AC đồng quy với đường 
thẳng AD,
8B. Cho tam giỏc ABC cõn cú A là gúc tự. Gọi M là trung điểm của BC. Trờn nửa mặt 
phẳng bờ BC cú chứa điểm A, dựng tam giỏc BNC cõn tại N. Chứng minh đường thẳng AM 
và cỏc đường trung trực của NB, NC đồng quy.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
9. Tam giỏc ABC cú àA là gúc tự. Cỏc đường trung trực của cỏc cạnh AB và AC cắt nhau 
ở O. Cỏc điểm B và C cú thuộc đường trũn tõm O bỏn kớnh OA hay khụng? Vỡ sao?
10. ABC nhọn, O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC. Trờn tia đối của tia 
OB lấy điểm D sao cho OB = OD.
a) Chứng minh O thuộc đường trung trực của AD và CD.
b) Chứng minh cỏc tam giỏc ABD, CBD vuụng.
c) Biết ãABC = 70°. Tớnh số đo gúc ãADC .
11. Cho ABC cú O là giao điểm cỏc đường trung trực của tam giỏc. Biết BO là tia phõn 
giỏc của gúc ãABC . Chứng minh:
a) BOA = BOC; b) BO là trung trực của AC.
12. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Cỏc đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. Lấy 
điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho BD = CE. Chứng minh:
a) DOB = EOC;
b) AO là đường trung trực của DE;
c) DE // BC.
13. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú Cà = 60°. Lấy điểm D đối xứng với điểm C qua AB.
a) Cú nhận xột gỡ về tam giỏc DBC ? Vỡ sao? 1
b) Chứng minh AC = BC.
 2
 2
c) Trờn tia BA lấy điểm O sao cho BO = BA. Chứng minh O là tõm đường trũn ngoại tiếp 
 3
DBC.
14. Cho tam giỏc ABC cú àA > 90°. Trờn cạnh BC lấy cỏc điểm D và E sao cho BD = BA, 
CE = CA. Gọi I là giao điểm cỏc tia phõn giỏc trong của tam giỏc ABC. Chứng minh:
a) BI, CI là đường trung trực của AD, AE;
b) IA = ID = IE.
15. Trờn ba cạnh AB, BC và CA của tam giỏc đều ABC lấy cỏc điểm theo thứ tự M, N, P 
sao cho AM = BN = CP. Gọi O là giao điểm ba đường trung trực của tam giỏc ABC.
a) Tớnh số đo gúc Mã AO .
b) Chứng minh MAO = OPC.
c) Chứng minh O là giao điểm ba đường trung trực của tam giỏc MNP.
16. Cho ABC cõn (AB = AC ). Cỏc đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O và cắt 
BC tại M và N (M và N nằm ngoài đoạn thẳng BC ). Chứng minh:
a) AMB và ANC cõn;
b) AMC = ANB;
c) AO là đường trung trực của MN
17. Cho ABC vuụng tại A, Cà = 30°. Kẻ đường trung trực của đoạn thẳng AC, cắt AC 
tại H và cắt BC tại D. Nối A và D.
a) Chứng minh ABD đều.
b) Kẻ phõn giỏc gúc Bà cắt AD tại K, cắt DH kộo dài tại I. Chứng minh I là tõm đường trong 
đi qua ba đỉnh, của tam giỏc ADC.
c) Gọi E, F là hỡnh chiếu vuụng gúc của I xuống cỏc đường thẳng BC, BA. Chứng minh IE = 
IF = IK.
d) Tớnh số đo gúc Dã AI
18. Cho ABC cú gúc A tự, tia phõn giỏc của B và C cắt nhau tại O
Lấy E là điểm trờn cạnh AB. Từ E hạ EP  BO (P thuộc BC), từ P hạ PF  OC (F thuộc AC). 
Chứng minh:
a) OB và OC lần lượt là đường trung trực của PE và PF; b) BE + CF = BC.
19. Cho tam giỏc ABC cõn ở A, đường phõn giỏc AK. Cỏc đường trung trực của AB và 
AC cắt nhau tại O.
a) Chứng minh ba điểm A, K, O thẳng hàng.
b) Kộo dài CO cắt AB ở D, kộo dài BO cắt AC ở E. Chỳng minh AK và cỏc đường trung trực 
của AD và AE đồng quy.
20*. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Kẻ AH vuụng gúc với BC, H BC. Tia phõn giỏc của 
gúc Hã AB cắt BC tại D, tia phõn giỏc của gúc Hã AC cắt BC tại E. Chứng minh điểm cỏch đều 
ba cạnh của ABC chớnh là điểm cỏch đều ba đỉnh của ADE.
21*. Cho ABC cú ba gúc nhọn. Cỏc điểm F, K, I là trung điểm, cỏc cạnh BC, BA, AC. Gọi 
H là giao điểm cỏc đường trung trực ABC. Trờn tia đối của tia FH lấy điểm A' sao cho A'F 
= FH. Trờn tia đối của tia KH lấy điểm C' sao cho KH = KC' . Trờn tia đối của tia IH lấy điểm 
B' sao cho IH = IB' 
a) Chứng minh hỡnh sỏu cạnh A'BC'AB'C cú sỏu cạnh bằng nhau và trong sỏu cạnh đú cú 
từng đụi một song song.
b) Cho ãABC 80, Bã AC 60 . Tớnh cỏc gúc của hỡnh sỏu cạnh A'BC'AB'C
 HƯỚNG DẪN
1A. Gọi đường trũn đi qua ba điểm A, B, C cú tõm O. Ta cú
 OA = OB = OC.
Ba điểm phõn biệt A, B, C khụng thẳng hàng tạo thành tam giỏc ABC. Vỡ OA = OB = OC nờn 
O là giao điểm ba đường trưng trực của tam giỏc ABC.
1B. Tương tự 1A.
2A. Gọi O là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC.
Do đú, OA = OB = OC.
 à ả à à
Suy ra: B A2 ,C A1
 ả ả
 O2 180 2A2
=> 
 à à
 O1 180 2A1
 ã à ả à
=> BOC O1 O2 360 2A 180 => B, O, C thẳng hàng, mà OB = OC
=> O là trưng điểm của BC
2B. Tương tự 2A
3A. Từ giả thiết suy ra O thuộc đường 
trung trực của BC
=> OM là đường trung trực của BC
=> Oã MB = 90°
3B. Tương tự 3A
4A. a) Từ giả thiết suy ra I thuộc đường 
trung trực của BC 
=> IB = IC = BIC cõn tại I
 ã ả ã à
 b) Cú BIA 180 2A2 ; AIC 180 2A1
=> Bã IC Bã IA ãAIC
 à ả
= 180 2A1 180 2A2
= 2(180 Bã AC)
Từ đú, suy ra Bã IC = 140°.
4B. Tương tự 4A.
5A. Vỡ ABC cõn tại A nờn đường trung trực của cạnh đỏy BC đồng thời là trung tuyến 
của ABC ứng với cạnh BC.
Kết hợp với giả thiết suy ra G là trọng tõm của ABC.
5B. Tương tự 5A.
6A. a) Từ giả thiết suy ra OK = OD,
OM = OP.
 MKO = PDO (c.c.c) => Mã KO Pã DO
b)Từ kết quả ý a), suy ra Oã KN Oã DM .
Mặt khỏc MN = MP, MK = PD. =>NK = MD.
Chứng minh được 
 OKN = ODM (c.g.c) => ON = OM.
=> O thuộc đường trung trực của MN.
c) Xột MNP cú O là giao điểm cỏc 
đường trung trực của MN
và MP.
=> MO là đường trung trực của NP.
Mà MNP cõn tại M nờn MO đồng
thời là tia phõn giỏc của gúc Nã MP .
6B. a) Từ giả thiết suy ra OA = OB = OC.
Suy ra AOB = AOC (c.c.c) 
Mà AOB, AOC là cỏc tam giỏc
cõn đỉnh O nờn Oã BA Oã AC
b) Chứng minh được BMO = ANO
 (c.g.c) => OM = ON.
=> O thuộc đường trung trực của MN.
7A. Chứng minh được: ABM = ACM (c.c.c). 
Từ đú, suy ra AM là đường trung trực của BC.
Theo tớnh chất ba đường trung trực của
 tam giỏc, ta suy ra điểm E thuộc đường
 trung trực của BC.
Vậy ba điểm A, E, M thẳng hàng.
7B. Tương tự 7A.
8A. Từ giả thiết, ta cú: AB = AC, DB = DC.
=> AD là đường trung trực của BC. Xột ABC, theo tớnh chất ba đường
trung trực trong tam giỏc ta cú cỏc 
đường trung trực của AB và AC
đồng quy với đường thẳng AD.
8B. Tương tự 8A.
9. Từ giả thiết suy ra OA = OB = OC.
Vậy cỏc điểm B và C cú thuộc 
đường trũn tõm O bỏn kớnh OA.
10. a) Ta cú OA = OB = OC nờn 
OA = OD = OC.
=> O là giao điểm hai đường trung trực của AD và DC.
 ả ã
b) Ta cú : OA = OB => B2 BAO .
 ả ã
OA = OD => D1 DAO .
Xột BAD cú:
 ả ã ã ả
 B2 BAO DAO D2 180
=> 2(Bã AO Dã AO) 180 Bã AD 90
Vậy tam giỏc ABD vuụng tại A
Tương tự, ta chứng minh được tam giỏc BCD vuụng tại C
 1 1
Ta cú thể chỳ ý rằng AO = BD và OC = BD. Suy ra kết quả
 2 2
 ABD vuụng tại A và BCD vuụng tại C. 
 ả ả à ả
c) Ta cú: B2 D1 90; B1 D2 90
 à ả ả ả
Suy ra B1 B2 D2 D1 180
=> ãABC ãADC 180 ãADC 180 ãABC 110
 à ả
11. a) Ta cú OA = OB = OC và B1 B2
 à à ả à
nờn C1 B1 B2 A1 => ãAOB Cã OB
=> AOB = COB (c.g.c).
b) AOB = COB => BA = BC.
Mà OA = OC => BO là đường trung trực
của AC.
12. Ta cú OB = OC, AB = AC.
 ả ả ã ã à à
 B2 C2 , ABC ACB B1 C1
=> DOB = EOC (c.g.c).
b) DOB = EOC => OD = OE.
Mặt khỏc: AD = AB - BD = AC - CE = AE
=> AO là đường trung trực của DE.
c) AO là đường trung trực của DE
 và BC nờn AO  DE, AO  BC => DE // BC.
13. a)Từ giả thiết suy ra AB là đường
 trung trực của CD. Suy ra BD = BC.
Mà Cà = 60° => BCD là tam giỏc đều.
 1
b) Ta cú: AC = DA = CD.
 2
Từ kết quả ý a), suy ra CD = BC.
 1
Do đú AC = BC.
 2
 2
c) Xột DBC đều cú trung tuyến BA và BO = BA => O là trọng tõm DBC.
 3
=> O cũng là giao của ba đường trung trực của DBC.
=> OA = OB = OC => O là tõm đường trũn ngoại tiếp DBC. 
14. a) BAC = BAD nờn BCD
 là tam giỏc đều.
 1 1
b) AC = DC = BC.
 2 2
 c) Do BA là trung tuyến nờn O là trọng tõm. Suy ra CO, DO 
là trung tuyến.
Mà BCD đều nờn DO,CO cũng là trung trực của BC, BD.
Vậy A là tõm đường trũn ngoại tiếp A.
15. a) Vỡ ABC đều và O là giao điểm ba
đường trung trực nờn AO là tia phõn
giỏc của àA .
 Bã AC
=> Mã AO 30
 2
b) Tương tự ý a), Oã CP 30
 Chứng minh được MAO = PCO (c.g.c).
Ta cú: MAO = OPC => OM = OP (1).
Tương tự ý b), MAO = NBO (c.g.c) 
=> OM = ON (2).
Từ (1) và (2) suy ra O là giao điểm ba đường trung trực của tam giỏc MNP.
16. a) Từ giả thiết suy ra 
NA = NC, MA = MB nờn 
 AMC cõn tại N và 
 ANB cõn tại M
 à ã ả
b) Ta cú: A1 NAC A2
 à ã ả
 A3 BAM A2 (1).
Từ ý a) và ABC cõn tại A, ta cú:
 Nã AC ãACB ãABC Bã AM (2).
 à à
Từ (1) và (2) suy ra A1 A3 . Ta chứng minh được 
 AMC = ANB (c.g.c).
c) O là giao điểm của cỏc trung trực của ABC => OB = OC.
Từ ý b), suy ra AN = AM.
Từ OBN = OCM suy ra OM = ON.