Chuyên đề ôn tập Hình học Lớp 7 - Chuyên đề III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác và các đường đồng quy trong tam giác - Chủ đề 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

 CHỦ ĐỀ 4. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN\
 CỦA TAM GIÁC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1- Đường trung tuyến của tam giác
• Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam
giác ABC với trung điểm M của cạnh.
BC gọi là đường trung tuyến của tam 
giác ABC.
• Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.
2. Tính chất ba đường trang tuyến của tam giác
Ba đường trung tuyến của một tam 
giác cùng đi qua một điểm.
Điểm đó gọi là trọng tâm của tam
 giác đó, điểm đó cách mỗi đỉnh 
 2
một khoảng bằng độ dài đường 
 3
trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Nếu G là trọng tâm của tam giác 
 AG BG CG 2
ABC thì 
 AD BE CF 3
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác
 Phương pháp giải: Sử dụng linh hoạt các tỉ số liên quan tới trọng tâm của tam giác.
Ví dụ. Nếu ABC có trung tuyến AM và trọng tâm G thì ta có
 2 1
AG = = AM , AG = 2GM; GM = AM; ...
 3 3
1A. Cho ABC có hai đường trung tuyến BD, CE
 BG CG
 a) Tính các tỉ số ,
 BD CE 3
 b) Chứng minh BD + CE > BC
 2
 1B. Cho ABC có BC = 8 cm, các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. 
 Chứng minh BD + CE > 12 cm.
 2A. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BP, CQ cắt nhau tại G. 
 Trên tia đối của tia PB lấy điểm E sao cho PE = PG. Trên tia đối của tia QG lấy 
 điểm F sao cho QF = QG. Chứng minh:
 a) GB = GE, GC = GE; b) EF = BC và EF//BC.
 2B. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD, BE cắt nhau tại G. 
 Trên tia đối của tia DG lấy điểm M sao cho D là trung điểm của đoạn thẳng 
 MG. Trên tia đối của tia EG lấy điểm N sao cho E là trung điểm GN. Chứng 
 minh:
 a) GN = GB, GM = GA; b) AN = MB và AN // MB.
Dạng 2. Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác
 Phương pháp giải: Để chứng minh một điểm là trọng tâm của một tam giác, ta có thể 
 dùng một trong hai cách sau:
 - Chứng minh điểm đó là giao điểm của hai đường trung tuyến trong tam giác.
 - Chứng minh điểm đó thuộc một đường trung tuyến của tam giác và thỏa mãn một 
 trong các tỉ lệ về tính chất trọng tâm của tam giác.
3A. Cho ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho
 1
 AD = AB. Lấy G thuộc cạnh AC sao cho AG = AC. Tia DG cắt BC tại E. Qua 
 3
 E vẽ đường thẳng song song với BD, qua D vẽ đường thẳng song song với BC, 
 hai đường thẳng này cắt nhau tại F. Gọi M là giao điểm của EF và CD.
 Chứng minh:
 a) G là trọng tâm BCD;
 b) BED = FDE, từ đó suy ra EC = DF;
 c) DMF = CME;
 d) B, G, M thẳng hàng.
 3B. Cho ABC. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = 2CM. Vẽ điểm D 
 sao cho C là trung điểm của AD. Gọi N là trung điểm của BD, Chứng minh: a) M là trọng tâm tam giác ABD;
b) Ba điểm A, M, N thẳng hàng;
c) Đường thẳng DM đi qua trung điểm của AB.
 4A. Cho ABC với đường trung tuyến AD. Trên tia AD lấy điểm E sao cho 
 AD = DE, trên tia BC lấy điểm M sao cho BC = CM. Chứng minh C là trọng tâm 
 của AEM.
 4B. Cho ABC. Trên đường trung tuyến AM của tam giác đó, lấy hai điểm 
 D, E sao cho AD = DE = EM. Chứng minh E là trọng tâm của ABC.
 5A. Cho ABC. Vẽ trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G, K sao cho 
 2
 BG = BM và G là trung điểm của BK. Gọi E là trung điểm CK; GE cắt AC tại 
 3
 I Chứng minh:
 1
a) I là trọng tâm của KGC; b) CI = AC.
 3
 5B. Cho ABC, M là trung điểm AC. Trên đoạn BM lấy điểm K sao cho KM 
 1
 = KB. Điểm H thuộc tia đối của tia MK sao cho BH = 2BK. Gọi I là điểm thuộc 
 2
 1
 cạnh AC và IC = CA. Đường KI cắt HC ở E.
 3
 a) Chứng minh I là trọng tâm của HKC và E là trung điểm của HC ở E
 IE IC
 b) Tính các tỉ số , . Chứng minh ba điểm H, I, F thẳng hàng ( I là trung 
 IK MC
 điểm KC)
 6A. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. 
 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Đoạn thẳng AM, AN cắt BD lần 
 lượt tại I và K. Chứng minh:
a) I là trọng tâm của ABC và K là trọng tâm của ADC;
b) BI = IK = KD.
 6B. Cho tam giác ABC, đường trưng tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy 
 điểm E sao cho DE = BD. Gọi P, Q lần lượt là điểm trên BE sao cho BP = PQ = 
 QE. Chứng minh:
a) CP, CQ cắt AB, AE tại trung điểm của AB,AE.
b) CP//AQ và CQ//AP. Dạng 2. Vấn đề đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân, tam giác 
 đều...
 Phương pháp giải: Chú ý những tính chất của tam giác vuông, tam giác cân, tam giác 
 đều.
 7A. Cho ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy 
 điểm D sao cho MD = MA.
 a) Tính ·ABD
 b) Chứng minh ABD = BAC.
 1
 c) Chứng minh AM = BC
 2
 7B. Cho ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính khoảng cách từ 
 trọng tâm G của ABC tới các đỉnh, của tam giác.
 1
8A. Cho ABC , trung tuyến AM = BC.
 2
 a) Chứng minh B· MA 2M· AC và C· MA 2M· AB .
 b) Tính B· AC
8B. Cho hình vẽ, biết ABC có hai 
 đường trung tuyến BN,CP vuông 
 góc với nhau tại G. Tia AG cắt BC
 tại I. BC = 5 cm.
 Tính độ dài GI,AG.
9A. Cho ABC cân tại A có đường trung tuyến AM.
 a) Chứng minh AM  BC.
 b) Biết AB = 10 cm, BC = 12 cm. Tính độ dài đoạn vuông góc kẻ từ B xuống AC.
 9B. Cho ABC có AB = BC = 13 cm, AC = 10 cm, Đường trung tuyến BM, 
 trọng tâm. G. Tính độ dài GM.
10A. Cho ABC có hai đường trung tuyến BM, CN.
 a) Chứng minh nếu ABC cân tại A thì BM = CN.
 b) Ngược lại nếu BM = CN, chứng minh: 
 i) GB = GC, GN = GM; ii) BN = CM;
 iii) ABC cân tại A
 10B. Cho ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Biết 
 BM = CN. Chứng minh AG  BC.
11A. Cho ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại G.
 Biết AM = BN = CP. Chứng mình ABC đều.
 11B. Cho ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại G. Biết 
 AG = BG = CG. Chứng minh ABC đều.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
 12. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho 
 AE = 2AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BC. Chứng minh:
 a) A là trọng tâm của CDE;
 b) Đường thẳng CA đi qua trung điểm của DE.
 13. Cho bốn điểm A, B,C, D không thẳng hàng như hình vẽ. Gọi O là giao 
 điểm của AC và BD. Trung điểm của BD và AC lần lượt là M, N. Chứng minh 
 AC + DB > 2MN.
14. Cho ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm.
 a) Tính BC.
 b) Đường thẳng đi qua trung điểm I của BC và vuông góc với BC cắt AC tại D. 
 Chứng minh C· BD D· CB .
 c) Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = DC. Chứng minh BCE 
 vuông.
15. Cho ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Biết AB = 6cm, 
 AC = 8cm.
 a) Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh AMB 
 = DMC.
 b) Chứng minh BAC = DCA.
 c) Tính AM.
 AB AC
 D0 Chứng minh AM < 
 2 16. Cho ABC có hai đường trung tuyến AM, BN vuông góc với nhau, 
 trọng tâm G. Biết AM = 4,5 cm, BN cm. Tính độ dài các cạnh của ABC
 HƯỚNG DẪN
 1A. Gọi giao điểm của hai đường trung tuyến BD,CE là G.
 GBC có: GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác).
 2 2 2 2
 Mà GB = BD, GC = CE nên: BD + CE > BC.
 3 3 3 3
 3
 Do đó BD + CE > BC.
 2
1B. Tương tự 1A.
 3
 BD + CE > . 8 = 12 cm.
 2
2A. a) Vì G là trọng tâm ABC
 nên BG = 2GP, CG = 2GQ.
 Lại có PE = PG, QF = QG 
 nên GE = 2GP, GF = 2GQ.
 Do đó BG = GE,CG = GF. 
 b) Suy ra GBC = GEF (c.g.c)
 Từ đó ta có EF = BC và G· EF G· BC
 => EF // BC.
2B. Tương tự 2A.
3A. a) Vì AD = AB nên A là trung điểm BD
 => CA là đường trung tuyến của BCD
 1
 Mà AG = AC => G là trọng tâm BCD
 3
 b) Ta có : BD || EF => B· DE D· EF
 và DE || BC => B· ED E· DF
 => BED = FDE (g.c. g) => BE = DF 
 (hai cạnh tương ứng) (1). Mặt khác do G là trọng tâm BCD nên E là trung 
 điểm BC => BE = EC (2).
 Từ (1) và (2) suy ra EC = DF.
 c) DMF = CME (g.c.g).
 d) Do DMF = CME => MD = MC => M là trung điểm DC => BM là trung 
 tuyến của BCD.
 => G BM => B, G, M thẳng hàng.
3B. Tương tự 3A.
 a) M thuộc đường trung tuyến BC 
 của ABD mà BM = 2CM nên M 
 là trọng tâm ABD.
 Do đó M thuộc trung tuyến AN.
 => Ba điểm A, M, N thẳng hàng.
 b) DM là trung tuyến thứ ba của
 ABD nên DM đi qua trung điểm
 của AB.
4A. Theo đề bài ta có AD = DE nên 
 C thuộc MD là đường trung tuyến
 của tam giác AEM (1)
 Mặt khác ta có BC = 2CD và 
 BC = CM nên CM = 2CD (2)
 Từ (1) và (2) suy ra C là trọng 
 tâm của AEM.
 2
4B. Từ giả thiết AD = DE = EM ta có AE = AM.
 3
 Mà E thuộc trung tuyến AM nên E là trọng tâm của ABC.
 2
5A. a) Theo đề bài BG = BM.
 3
 Suy ra BG = 2GM => GK = 2GM
 =>M là trung điểm GK. Do đó I là giao điểm ba đường trung
 tuyến trong KGC.
 b) I là trọng tâm KGC nên 
 2 2 1 1
 CI = CM= . AC = AC.
 3 3 2 3
5B. Tương tự 5A.
 a) M là trung điểm KH. Suy ra I là trọng tâm của HKC. Suy ra KI là trung 
 tuyến KHC.
 IE 1 IC 2
 b) , . Suy ra HI
 IK 2 MC 3
 cũng là trung tuyến KHC.
6A. a) ABC có hai đường trung 
 BO, AM cắt nhau tại I nên
 I là trọng tâm của ABC .
 Tương tự ta có K là trọng tâm
 của ADC.
 b) Từ ý a) suy ra ta có:
 2 2
 BI = BO, DK = DO
 3 3
 Mặt khác BO = DO
 2 1 1
 => BI = DK = BO = BD => IK = BC. Suy ra ĐPCM.
 3 3 3
 Do đó BI = IK = KD.
6B. Tương tự 6A.
 a) Chứng minh được P,Q lần lượt là
 trọng tâm ABC, AEC.Suy ra ĐPCM.
 b) Chú ý ADP = CQD và 
 ADQ = CDP.
7A. a) AMC = DMB (c.g.c)
 => ·ADB D· AC => BD //AC Mà AB  AC nên AB  BD => ·ABD = 90°.
 b) ABD = BAC (c.g.c).
 c) ABD = BAC (c.g.c) => AD = BC.
 1 1
 Mà AM = AD => AM = BC.
 2 2
7B. Áp đụng đinh lý Pytago trong tam giác
 vuông ABC tínhđược BC = 10cm
 Gọi M là trung điểm của BC.
 Do đó AM = 5cm
 2 2 10
 => AG = AM .5 cm
 3 3 3
 Tương tự tính được
 2 2 2
 BG BN AB2 AN 2 52 cm
 3 3 3
 2
 và CG 73 cm.
 3
 1
8A. a) Ta có: MA = MB = MC = BC
 2
 => MAB, MAC là tam giác cân tại M.
 Do đó
 B· MA M· AC M· CA 2M· AC,C· MA M· AB M· BA 2M· AB
 b) Theo ý (a) ta có 2. (M· AB M· AC) M· BA C· MA = 180°
 => B· AC = 90°.
8B. Vì GI là đường trung tuyến kẻ từ G đến BC
 1 1
 => GI = BC = . 5 = 2,5 cm.
 2 2
 Lại có AI là đường trung tuyến của ABC, G là trọng tâm => AG = 2GI = 2.2,5 
 = 5cm. 9A. a) ABM = ACM (c.c.c) ·AMB ·AMC = 90° => AM  BC.
 b) BC = 12cm => BM = 6cm. Áp dụng Định lí Pytago cho tam giác vuông AMB, 
 ta tính được: AM = 8cm.
 1 1
 Vẽ BC. Chứng minh được dt ABC = BC. AM = AC. BN.
 2 2
 Từ đó tính được BN = 9,6cm.
9B. Tương tự 9A. BM = 12cm
 1 1
 => GM = BG = . 12 = 4cm.
 3 3
10A. a) BMC = CNB (c.g.c) => BM = CN.
 b) i) Do G là trọng tâm ABC nên:
 2 1
 GB = BM,GM = BM,
 3 3
 2 1
 GC = CN, GN = CN
 3 3
 Mà BM = CN nên GB = GC,GN = GM.
 ii) Từ ý i) suy ra GBN = GCM (c.g.c) => BN = CM.
 iii) Vì BN = CM nên BN = CM => AB = AC .
 Do đó ABC cân tại A.
10B. Tương tự 10A.
 Chứng minh được tam giác ABC cân tại A.
 Kéo dài AG cắt BC tại M. Ta có AMB = AMC (c.c.c).
 Suy ra ĐPCM.
11A. Ta có BN = CP nên GB = GC,GP = GN. 
 Tương tự 10A, ta có AB = AC.
 Tương tự, ta có AB = BC.
 Vậy AB = BC = CA.
 Suy ra ABC đều.
 2
11B. Ta có AG = BG = CG và AG = AM, 
 3