Chuyên đề ôn tập Hình học Lớp 7 - Chuyên đề III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác và các đường đồng quy trong tam giác - Chủ đề 10+11: Tổng ôn và kiểm tra đánh giá chuyên đề 3

 ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ 3
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Xem phẩn Tóm tắt lý thuyết từ Bài 1 đến Bài 9.
II. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1A. Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = AB. 
Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = AC. So sánh:
a) ·ADC và ·AEB ; b) AD và AE.
1B. Cho tam giác ABC có góc A tù, AB < AC. Trên cạnh BC lấy M và N sao cho BN = BA, 
CM = CA.
a) So sánh ·AMC và ·ANB .
b) So sánh AM và AN.
 c) Cho biết ·ABC 40, ·ACB 30.Tính ba góc AMN.
2A. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM và trọng tâm G. Trên tia đối của tia BC lấy điểm 
E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho BE = CF.
a) Chứng minh G là trọng tâm tam giác AEF.
b) Gọi N là trung điểm của AF. Chứng minh ba điểm E, G, N thẳng hàng.
 c) Gọi H là trung điểm của GA, I là trung điểm GE. Chứng minh 
IH // MN và IH = MN.
2B. Cho tam giác ABC, trung tuyên AM. Trên tia đối của tia MA lấy D sao cho MD = MA.
a) Chứng minh AB // CD và AB = CD.
b) Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD. AF cắt BC tại I, DE cắt BC tại K. Chứng 
minh I là trọng tâm tam giác ABD, K là trọng tâm tam giác ACD.
c) Chứng minh BI = IK = KC.
d) Chứng minh E, M, F thẳng hàng.
3A. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BC lấy M sao cho BM = BA. Trên tia đối tia CB 
lấy N sao cho CN = CA. Qua M kẻ đường thẳng song song với AB, qua N kẻ đường thẳng 
song song với AC, chúng cắt nhau tại P.
a) Chứng minh MA là tia phân giác của P· MB , NA là tia phân giác của P· NC . b) Chứng minh PA là tia phân giác của M· NP .
c) Gọi D là trung điểm AM, E là trung điểm AN, các đường thẳng BD, CE cắt nhau tại Q. 
Chứng minh QM = QN.
d) Chứng minh ba điểm P, A, Q thẳng hàng.
3B. Cho tam giác ABC, đường phân giác của góc B và đường phân giác của C cắt nhau 
tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại E, F.
a) Chứng mình BEI, CFI là các tam giác cân.
b) Chứng minh BE + CF = EF.
c) Gọi M là trung điểm của IB, N là trung điểm của IC, các đường thẳng EM, FN cắt nhau tại 
O. Chứng minh OB = OC.
d) Chứng minh ba điểm A, I, O thẳng hàng.
4A. Cho tam giác ABC cân tại A ( µA < 90°), đường phân giác AD. Kẻ đường cao BE, gọi 
H là giao điểm của BE và AD.
a) Chứng minh CH  AB.
b) Gọi F là giao điểm của CH và AB. Chứng minh AD là trung trực của EF.
c) Kẻ EI  HC, FJ  HB với I HC, J HB. Chứng minh các đường thẳng EI, FJ,AD cùng đi 
qua một điểm, kí hiệu điểm đó là O.
 d) Chứng minh AC - AF > OF - OC.
4B. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC ở D. Kẻ DE vuông 
góc với BC tại E. 
a) Chứng minh DA = DE.
b) Chứng minh BD là trung trực của AE.
c) Kẻ CK vuông góc với BD tại K, các đường thẳng CK, BA cắt .nhau tại F. Chứng minh ba 
điểm E, D, F thẳng hàng.
d) Chứng minh BC - BA > DC - DA.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
5. Cho tam giác ABC có AB < AC, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy 
điểm D sao cho MD = MA.
a) Chứng minh AB = CD, AB // CD. b) So sánh M· AB và M· AC .
c) So sánh ·AMB và ·AMC .
6. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy E sao cho AE = 2AB. Trên tia đối của 
tia BC lấy D sao cho BD = BC.
a) Chứng minh A là trọng tâm CDE.
b) Gọi F là trung điểm của DE. Chứng minh ba điểm C, A, F thẳng hàng.
 3
c) Chứng minh BE + CF > EC.
 2
7. Cho tam giác ABC, các đường phân giác của Bµ và Cµ cắt nhau tại I. Kẻ ID  AB, IE 
  AC với D AB, E AC.
a) Chứng minh ADE cân tại A.
b) Chúng minh AI là trung trực của DE.
c) Biết B· AC = 60°. Tính số đo B· IC .
8. Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên 
tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE.
a) Chứng minh ADE cân tại A
b) Chứng minh AM là tia phân giác D· AE .
c) Kẻ BH  AD, CK  AE với H AD, K AE. Chứng minh D· BH E· CK
d) Gọi N là giao điểm của HB và KC. Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng.
9. Cho tam giác ABC cân tại A ( µA < 90°), kẻ đường phân giác AD. Trên tia đối của tia 
DC lấy điểm M sao cho MD = AD.
a.) Chứng minh DAM vuông cân tại D.
b) Kẻ BN vuông góc với AM tại N, các đường thẳng BN và AD cắt nhau tại O. Chứng minh 
OM  AB.
c) Chứng minh OB = OC.
d) Chứng minh AM // OC.
10. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH và đường phân giác BD cắt nhau tại 
I. Tia phân giác H· AC cắt cạnh BC tại E.
a) Chứng minh BAE cân tại B. b) Chứng minh I là trực tâm ABE,
c) Chứng minh EI //AC.
d) Cho biết ·ACB = 40°. Tính các góc của IAE.
11. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm M 
sao cho BA = BM. .
a) Chứng minh AM là tia phân giác của H· AC .
b) Gọi K là hình chiếu vuông góc của M trên AC. Chứng minh AM là trung trực của HK.
c) Gọi I là hình chiếu vuông góc của C trên tia AM. Chứng minh AH, KM, CI đồng quy.
d) Chứng minh AB + AC < AH + BC
12* Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC. Kẻ đường cao AD. Vẽ điểm M sao cho 
AB là trung trực của DM, vẽ điểm N sao cho AC là trung trực của DN.
a) Chứng minh AMN cân tại A
b) Đường thẳng MN cắt AB, AC lần lượt tại F, E. Chứng minh DA là tia phân giác của E· DF .
c) Chứng minh EB là tia phân giác của D· EF .
d) Chứng minh BE  AC.
e) Chứng minh AD, BE, CF đồng quy
 HƯỚNG DẪN
1A. a) Chú ý các tam giác BAD, 
CAE cân, từ đó ta có
 ·ABC ·ACB
 ·ADC , ·AEB 
 2 2
Lại có AB ·ABC ·ACB
 => ·ADC ·AEB b) Dùng kết quả ý a, ·ADC ·AEB =>AD < AE.
1B. a) Chú ý các tam giác BAN, CAM
 ·ACB
cân, từ đó ·AMC 90 và
 2
 ·ABC
 ·ANC 90 
 2
Mà AB ·ABC ·ACB ·AMC ·ANB
b) Dùng kết quả ý a, ·AMC ·ANB =>AM < AN.
 c) ·ABN 40 ·ANB 70.·ACM 30 ·AMC 75
 Vậy M· AN 35
2A. a) Ta có ME = NF nên AM là
 đường trung tuyến của AEE,
chú ý AG = 2GM => G là trọng 
tâm AEF.
b) EN là đường trung tuyến của
 AEF nên EN đi qua G, do đó 
E,G,N thẳng hàng.
 GA
c) Ta có GH = GM = và 
 2
 GE
GI = GN= 
 2
 Từ đó ta chứng minh được:
 GMN= GHI ( c-g-c) => IH = MN, IH //MN
2B. a) Chứng minh được AMB = DMC (c-g-c). 
=>AB = CD, AB//CD.
b) Chú ý rằng AF, BM là các
đường trung tuyến của ABD
và DE, CM là các đường trung
tuyến của ACD => ĐPCM. c) Dùng kết quả ý b, ta có
 2 2
BI = MB = MC = CK
 3 3
 1 1 2
Lại có IK = MI + MK = MB + MC = MB=> ĐPCM.
 3 3 3
d) ME là đường trung bình của ABC => EM //AB.
MF là đường trung bình của BDA => EM //AB.
Vậy E, M, F thẳng hàng.
3A. a) Chứng minh được:
 ·AMB B· AM ·AMP
 · · ·
 ANC CAN ANP
Từ đó MA là tia phân giác của
 P· MB , NA là tia phân giác của P· NC .
b) Xét PMN, dùng kết quả câu a,
ta có PA là tia phân giác của M· PN .
c) Chú ý tam giác ABM cân tại B, 
tam giác ACN cân tại C, do BD và CE lần lượt là trung trực của AM và AN=> QM = QA = 
QN.
d) Gọi Ax là tia đối của tia AP, chứng minh được
 x· AB M· PA N· PA x·AC => PA là phân giác của B· AC .
Xét ABC, chú ý BD, CE lần lượt là các đường phân giác ngoài tại đỉnh B, C => AQ là phân 
giác của B· AC . Từ đó ba điểm P,A,Q thẳng hàng.
3B. Ta có E· IB I·BC E· BI và
 F· IC I·CB F· CI . Từ đó BEI,CFI là
 các tam giác cân tại E và F.
 b) Dùng kết quả ý a, ta có:
 EF = IE + IF = BE + CF.
 c) Chú ý EM, FN lần lượt là trung trực của IB, IC, từ đó OB = OI = OC.
b) Xét AEF, chú ý EO, BO lần lượt 
c) là các đường phân giác ngoài tại 
d) đỉnh E, F => AO là phân giác của B· AC .
Mà AI là phân giác của B· AC A, I, O thẳng hàng.
4A. a) Chứng minh được H là trực tâm của 
 ABC => CH  AB
b) Ta có AEB = AFC (ch - gn).
Từ đó suy ra AE = AF.
Do đó AEF cân, chú ý AD là phân giác
 µA => AD là trung trực của đoạn thẳng EF.
c) Chú ý EI , FJ, AD là ba đường cao của 
 EHF.
d) Chú ý: AF = AE, FO = OE.
Vậy AC - AF = EC > OF - OC.
4B. a) Chú ý BAD = BED (ch - gn)
 Từ đó DA = DE.
b) Vì BA = BE, DA = DE nên BD là 
trung trực của AE.
c) Chứng minh được D là trực tâm
 FBC, từ đó FD  BC, lại có
DE  BC => E, D, F thẳng hàng.
d) Chứng minh được:
BC - BA = EC > DC - DE = DC - DA 
5. a) Chứng minh được 
 AMB = DMC (c-g-c).
Từ đó suy ra AB = CD, AB // CD.
b) Chú ý M· AB M· DC và CD = AB < AC.
Từ đó ta có M· AB M· DC M· AC .
c) Dùng kết quả ý a, chú ý Bµ Cµ ·AMB ·AMC
6. a) Chú ý BE là đường trung tuyến
 của CED và AE = 2AB, từ đó A 
là trọng tâm CDE.
b) Ta có CF là đường trung tuyến
 của CDE => C, A, F thẳng hàng.
c) Chứng minh được
 3 3
BE + CF = (AE + AC) > EC.
 2 2
7. a) Chứng minh được AI là tia
phân giác của B· AC , từ đó ta có:
 AID = AIE (ch - gn)
=> AD = AE => ĐPCM.
b) Ta có ADE cân tại A có AI là
phân giác của D· AE => AI là trung
 trực của DE.
 ·ABC ·ACB
c) Ta có I·BC I·CB 60 
 2
từ đó B· IC = 120° 
8. a) Chứng minh được MD = ME và 
AM  BC => ADE cân tại A 
(AM vừa là đường cao vừa 
là đường trung tuyến).
b) Dùng kết quả ý a, ta có 
AM là tia phân giác D· AE
c) Chú ý H· DB K· EC => ĐPCM. d) Dùng kết quả ý c, chứng minh
 được NB = NC, chú ý AB = AC
 nên AN là trung trực BC, từ đó 
 ba điểm A, M, N thẳng hàng.
9. a) Chứng minh được AD  BC, 
mà DM = DA nên DAM vuông 
cân tại D.
b) Chứng minh được B là trực tâm
 AOM, từ đó OM  AB.
c) Ta có AD là trung trực của BC,
 từ đó suy ra OB = OC.
d) Tính được O· BC M· BN = 45°.
Từ đó B· OC = 90° => OC  ON => AM //OC.
10. a) Chú ý H· AE E· AC , từ đó 
chứng minh được B· AE B· EA 
nên BAE cân tại B.
b) Dùng kết quả ý a, với chú ý
BI là phân giác của ·ABE suy 
ra BI  AE.
Từ đó I là trực tâm ABE.
c) Dùng kết quả ý b, ta có IE  AB
 => IE //AC.
d) ·ACB 40 H· AC 90 40 50 I·AE I·EA 25
 Suy ra ·AIE = 180° - 50° = 130°.
11. a) Chú ý B· AM B· MA.
Từ đó C· AM H· AM nên AM là 
tia phân giác của H· AC b) Dùng kết quả ý a, chúng minh 
được AH = AK, MH = MK. Do
 đó AM là trung trực của HK.
c) Chú ý AH, KM, CI là ba 
đường cao của MAC.
d) Chú ý AH = AK, AB = BM, từ 
đó ta có:
AC - AH = CK AB + AC < AH + BC.
12. a) Vẽ DH  AB và lấy
 HM = HD. Suy ra AB là trung
 trực của DM. Thực hiện tương 
tự với N.
Dùng tính chất của đường trung
trực, ta có:
AM = AD = AN
Từ đó ta có AMN cân tại A.
b) Chứng minh được:
 ·ADE ·ANE, ·ADF ·AMF
Mặt khác dùng kết quả ý a, ta có ·AME ·ANF . Từ đó DA là phân giác của E· DF .
c) Do DB  DA nên DB là đường phân giác ngoài tại đỉnh D của DEF. Vậy B cách đều hai 
cạnh DF và ED.
Do FB là phân giác ngoài đỉnh F của DFE nên B cách đều 
FE và DF.
Suy ra B cách đều FE và DE, do đó EB là phân giác D· EF .
d) Chú ý EB, EC lần lượt là các đường phân giác trong và phân giác ngoài tại đỉnh E của 
DEF, từ đó BE  AC.
e) Tương tự ý d, ta có CF  AB, do đó AD, BE,CF là ba đường cao của ABC, từ đó chúng 
đồng quy