Củng cố và ôn luyện Hình học Lớp 7 - Tập 1

 Cñng cè vµ «n luyÖn h×nh 7- tËp 1
 PHẦN B. HÌNH HỌC
 CHUYÊN ĐỀ I. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.
 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
 CHỦ ĐỀ 1. HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH
 I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 1. Định nghĩa
 Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi
 cạnh của góc này là tia đối của một 
 cạnh của góc kia.
 2. Tính chất của hai góc đối đỉnh
 Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
 Chú ý:
 - Mỗi góc chỉ có một góc đối đỉnh với nó;
 - Hai góc bằng nhau chưa chắc đã đối đỉnh.
 II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
 Dạng 1. Nhận biết hai góc đối đỉnh
 Phương pháp giải: Xét các cạnh của góc và các tia đối để tìm cặp góc đối đỉnh.
 1A. Cho hình a, b, c, d và e. Cặp góc nào đối đỉnh? Cặp góc nào không đối 
đỉnh? Vì sao?
 1B. Vẽ hai đường thẳng aa' và bb' cắt nhau tại O như hình vẽ. Hãy điền vào 
chỗ trống (...) trong các phát biểu sau:
 a) Góc aOb và góc ... là hai góc đối đỉnh vì
 cạnh Oa là tia đối của cạnh Oa' và cạnh Ob
 là... của cạnh Ob'.
 b) Góc a'Ob và góc aOb' là ... vì cạnh Oa là
 tia đối của cạnh ... và cạnh ... là tia đối của 
 cạnh Ob'.
 2A. Vẽ bốn đương thẳng xx', yy', zz', tt' cùng đì qua điểm O. Hãy viết tên các 
cặp góc đối đỉnh (khác góc bẹt).
 GV: - Tr­êng THCS 1 Cñng cè vµ «n luyÖn h×nh 7- tËp 1
 2B. Vẽ ba đường thẳng aa', bb' và cc' cắt nhau tại A. Hãy viết tên các cặp góc 
đối đỉnh (khác góc bẹt).
 3A. Vẽ góc vuông x· Ay . Vẽ x· ' Ay ' đối đỉnh với x· Ay . Hãy viết tên hai góc 
vuông không đối đỉnh
 3B. Vẽ hai góc có chung đỉnh và có cùng số đo là 60°, nhưng không đối đỉnh.
 Dạng 2. Tính số đo góc
 Phương pháp giải: Sử dụng các tính chất:
 - Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau;
 - Hai góc kề bù có tổng bằng 180°.
 4A. Cho hình, vẽ bên. Tính x· Oy '
 biết x· Oy - ·yOx ' = 30°.
 4B. Cho hình vẽ bên. Biết ·AOC B· OD = 140°.
 Hãy tính số đo các góc ·AOC,C· OB, B· OD và D· OA
 5A. Cho góc xOy có số đo bằng 45°, Vẽ hai tia Om, On lần lượt là tia đối của 
tia Oy, Ox. Tính số đo các góc còn lại trên hình.
 5B.Vẽ hai đường thẳng cắt nhau sao cho trong các góc tạo thành có một góc 
bằng 150°. Tính số đo các góc còn lại.
 6A. Cho hai góc kề nhau xOy và yOz có tổng bằng 150° và x· Oy ·yOz = 90°.
 a) Tính số đo x· Oy và ·yOz
 b) Gọi Oz' là tia đối của tia Oz. Hãy so sánh x· Oz và ·yOz
 6B. Cho hai góc kề nhau xOy và yOz có tổng bằng 110° và x· Oy ·yOz = 30°.
 a) Tính số đo x· Oy và ·yOz .
 b) Gọi Oz' là tia đối của tia Oz. Hãy so sánh x· Oz và ·yOz
 7A. Đường thẳng xx' cắt đường thẳng yy' tại O. Vẽ tia phân giác Ot của x· Oy
 a) Gọi Ot' là tia đối của tia Ot. So sánh x· Ot ' và t·'Oy
 b) Vẽ tia phân giác Om của x· Oy . Tính góc m· Ot
 7B. Vẽ x· ' Ay ' đối đỉnh với x· Ay . Vẽ tia phân giác Az của x· Ay và tia đối At của 
tia Az. So sánh x· ' At và ·y ' At
2 GV: - Tr­êng THCS Cñng cè vµ «n luyÖn h×nh 7- tËp 1
 Dạng 3. Chứng minh hai góc đối đỉnh
 Phương pháp giải: Muốn chứng minh hai góc x· Oy và x· 'Oy ' là hai góc đối 
đỉnh ta có thể dùng một trong hai cách sau:
 Cách 1. Chứng minh tia Ox là tia đối của tia Ox' (hoặc Oy') và tia Oy là tia đối 
của tia Oy' (hoặc Ox'), tức là hai cạnh của một góc là các tia đối của hai cạnh của 
góc còn lại.
 Cách 2. Chứng minh x· Oy = x· 'Oy ' trong đó tia Ox và tia Ox' (hoặc Oy') đối 
nhau còn hai tia Oy và Oy' (hoặc Ox') nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là 
đường thẳng xOx' (hoặc xOy').
 8A. Trên đường thẳng xx' lấy điểm O. Trên nửa mặt phẳng bờ xx’, vẽ tia Oy 
sao cho x· Oy = 45°, Trên nửa mặt phẳng còn lại, vẽ tia Oz sao cho Oz  Ox. Gọi Oy' 
là phân giác của x· 'Oz
 a) Chứng minh x· Oy và x· 'Oy ' là hai góc đối đỉnh.
 b) Trên nửa mặt phẳng bờ xx' chứa tia Oy, vẽ tia Ot sao cho Ot vuông góc với 
Oy. Hãy tính x· 'Ot
 8B. Cho hình vẽ bên:
 a) Tính x·Om và x· On
 b) Vẽ tia On' sao cho x·On' đối
 đỉnh với x· 'On . Trên nửa mặt 
 phẳng bờ xx' chứa tia On', vẽ tia Oy sao cho n· 'Oy = 90°. Hai góc m· On và 
 n· 'Oy có đối đỉnh không? Vì sao?
 9A. Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O sao cho ·AOC = 60°.
 a) Tính số đo các góc còn lại.
 b) Vẽ tia Ot là phân giác của ·AOC và Ot' là tia đối của tia Ot. Chứng minh Ot' 
là tia phân giác của B· OD
 9B. Cho hai góc kề bù x· Oy và ·yOz . Gọi Om và On lần lượt là các tia phân 
giác của các góc x· Oy và ·yOz
 a) Tính số đo m· On
 b) Vẽ z·Oy ' đối đỉnh vói x· Oy và Om' là tia đối của tia Om. Chứng minh Om' và 
On lần lượt là tia phân giác của các góc ·y 'Oz và m· Om'
 10A. Cho góc aOb. Vẽ b· Oc kề bù với a· Ob ; a· Od kề bù với a· Ob . Vẽ Of là tia 
phân giác của b· Oc ; Oe là tia phân giác của d· Oa . Khi đó c·Of và a· Oe có phải là hai 
góc đối đỉnh không? Vì sao?
 10B. Cho góc mOn. Vẽ Ox là tia phân, giác của m· On . Vẽ Ox' là tia đối của tia 
Ox. Vẽ n· Ot kề bù với m· On . Khi đó các góc x· 'Ot và m· Ox có phải là hai góc đối đỉnh 
không? Vì sao?
 GV: - Tr­êng THCS 3 Cñng cè vµ «n luyÖn h×nh 7- tËp 1
 III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
 11. Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M tạo thành ·AMC có số đo bằng 
30°.
 a) Tính số đo các góc B· MD và ·AMD .
 b) Viết tên các cặp góc đối đỉnh và các cặp góc bù nhau.
 12. Chứng minh hai tia phân giác của hai góc kề bù vuông góc với nhau.
 13. Cho góc m· On . Vẽ n· Ot kề bù với m· On ; m· Oz kề bù vói m· On . Khi đó m· On 
và t¶Oz có phải là hai góc đối đỉnh không?
 14. Hai đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại A, biết x· Ay = 40°.
 a) Tính số đo các góc ·yAx ', x· ' Ay ' và ·y ' Ax
 b) Vẽ tia phân giác At của x· Ay và tia phân giác At' của x· ' Ay ' . Chứng minh 
hai tia At và At' là hai tia đối nhau.
 HƯỚNG DẪN
 BÀI 1. HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH
 1A. Các cặp góc đố i đỉnh: hình a và e.
 Các cặp góc không đối đỉnh: hình b (không chung đỉnh), hình c (một cặp cạnh 
không là hai tia đối nhau) và hình d (hai góc không bằng nhau).
 1B. a) a· 'Ob' / tia đối;
 b) hai góc đối đỉnh/ Oa'/ Ob.
 2A. Ta có hình vẽ:
 Các cặp góc đối đỉnh gồm:
 x· Oy và x· 'Oy ' ·yOz và ·y 'Oz ' z· Ot và z· 'Ot '
 t·Ox 'và t·'Ox x· Oz và x· 'Oz ' ·yOt và ·y 'Ot '
 z·Ox ' và z· 'Ox t·Oy ' và t·'Oy x· Ot và x· 'Ot '
 ·yOx ' và ·y 'Ox x·Oy ' và z· 'Oy t·Oz ' và t·'Oz .
 2B. Tương tự 2A.
4 GV: - Tr­êng THCS Cñng cè vµ «n luyÖn h×nh 7- tËp 1
3A. Hai góc vuông không đối đỉnh là:
 x· Ay và x· Ay ' (hoặc các cặp góc xAy và
 x· ' Ay ; x· ' Ay và x· ' Ay ' ; x· Ay và x· ' Ay ' ).
3B.
4A. Ta có: x· Oy ·yOx ' = 180° và x· Oy ·yOx ' = 30° => ·yOx ' = 75°.
Suy ra x·Oy ' = 75° (hai góc đối đỉnh).
4B. Tính được x·Oy ' = B· OD 70; ·AOD B· OC 110
5A. Ta có: m· On x· Oy 45
Do x· Oy và x·Om kề bù nên: 
 x· Oy + x·Om =180°
Suy ra x·Om = 180° - x· Oy = 135°.
Mà ·yOn và x·Om đối đỉnh nên
 ·yOn = x·Om = 135°.
5B. Tương tự 5A.
Tính được:
 µ ¶ ¶ ¶
O1 O3 150;O2 O4 30
6A. a) Ta có : 
 150 90
 x· Oy 120
 2
=> ·yOz = 150° - 120° = 30°
b) Ta có ·yOz ' và ·yOz ' kề bù nên:
 ·yOz ' + ·yOz = 180°
=> ·yOz ' = 150° - 30° = 150°.
Mà x· Oz = x· Oy + ·yOz = 150°. Vậy x· Oz = ·yOz '.
6B. Tương tự 6A.
Tính được x· Oy = 70°, ·yOz = 40°.
 GV: - Tr­êng THCS 5 Cñng cè vµ «n luyÖn h×nh 7- tËp 1
 Tính được x· Oz = 110°, ·yOz ' = 140° => x· Oz < ·yOz '.
 x· Oy
 7A. a) Ta có: Oµ 
 1 2
 µ ¶ · ·
 Mà O1 O2 (đối đỉnh), xOy = x 'Oy ' (đối đỉnh)
 ¶ ¶
 O4 O5 Lại có:
 · · ¶ · · ¶
 xOt ' xOy ' O5 và t 'Oy x 'Oy O4 = 
 · · ¶ ¶
 mà xOy ' x 'Oy (đối đỉnh) và O4 O5
 Lại có 
 · · ¶ · · ¶
 xOy ' xOy ' O5 và t 'Oy x 'Oy O4
 Mà x·Oy ' x· 'Oy (đối đỉnh)
 ¶ ¶ · ·
 Và O5 O4 => xOt ' t 'Oy .
 1 1
 b) Vì x·Om x·Oy ',Oµ x· Oy nên:
 2 1 2
 1
 m· Ot x·Om Oµ (x· Oy ' x· Oy) = 90° 
 1 2
 7B. Tương tự 7A. Ta được x· ' At ·y ' At .
 8A. a) Vì Oy' là phân giác x· 'Oz nên
 1 1
 x· 'Oy ' x· 'Oz . 90° = 45°
 2 2
 => x· Oy x· 'Oy '
 Mà Ox và Ox' là hai tia đối nhao nên 
 x· Oy và x· 'Oy ' đối đỉnh.
 b) x· 'Oy ' = 45°, ·y 'Ot = 90° => Ox' là phân giác t·Oy '
 Do đó x· 'Ot = 45°.
 8B. x·Om x· 'On = 90° => x = 15° => x·Om = 50°, x· 'On = 40°.
 Hai góc mOn và n'Oy là hai góc đối đỉnh.
 9A. a) B· OD ·AOC = 60° (đối đỉnh.).
 => C· OB ·AOC = 180° (kề bù), => B· OC 180 ·AOC = 120°
 => ·AOD B· OC = 120° (đối đỉnh),
 b) Vì Ot là phân giác góc AOC nên
 1
 ·AOt ·AOC = 30°
 2
 => B· Ot ' ·AOt = 30° (đối đỉnh).
 Tương tự:
 D· Ot ' 30 B· Ot ' D· Ot '
 Do đó Ot' là phân giác của B· OD .
 9B. a) Tính được m· On = 90°. b) Tương tự ý b) 9A.
6 GV: - Tr­êng THCS Cñng cè vµ «n luyÖn h×nh 7- tËp 1
 10A. Vì góc bOc kề bù với góc aOb nên Oa và Oc là hai tia đối nhan. Tương 
tự Ob và Od là hai tia đối nhau.
 Do đó hai góc bOc và aOd đối đỉnh => b· Oc a· Od
 1 1
 Lại có: c·Of b· Oc,a· Oe a· Od nên c·Of a· Oe
 2 2
 Mà Oa và Oc là hai tia đốì nhau nên c·Of và a· Oe đối đỉnh.
 10B. Tương tự 10A. Hai góc x· 'Ot và m· Ox đối đỉnh.
 a) Tính được B· MD 30, ·AMD 150
 b) Các cặp góc đối đỉnh: B· MD và ·AMC , ·AMD và M· BC
 Các cặp góc kề bù: ·AMC và ·AMD , ·AMD và B· MD , B· MD và B· MC , B· MC và 
 ·AMC
 12. Gọi hai góc kề bù là a· Ob và b· Oc , lần lượt nhận Ox và Oy là hai tia phân 
giác.
 1
 Dễ dàng chứng minh: x· Oy ( a· Ob + b· Oc ) = 90° => Ox  Oy.
 2
 13. Tương tự 10A. m· On và t¶Oz là hai góc đối đỉnh,
 14. a) Tính được ·yAx ' ·y ' Ax = 140°; x· ' Ay ' = 40°.
 b) Ta chứng minh x¶At x· ' At = 20°.
 Do Ax và Ax' là hai tia đối nhau, At và At' thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau 
nên At và At' là hai tia đối nhau
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
 GV: - Tr­êng THCS 7 Cñng cè vµ «n luyÖn h×nh 7- tËp 1
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
8 GV: - Tr­êng THCS Cñng cè vµ «n luyÖn h×nh 7- tËp 1
 CHỦ ĐỀ 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
 I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 1. Định nghĩa
 - Hai đường thẳng xx', yy' cắt nhau
 và trong các góc tạo thành có một
 góc vuông được gọi là hai đường 
 thẳng vuông góc.
 - Kí hiệu: xx'  yy'.
 2. Tính chất hai đường thẳng vuông góc
 Có một và chỉ một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc vói 
một đường thẳng cho trước.
 3. Đường trung trực của đoạn thẳng
 Đường thẳng vuông góc với một đoạn 
 thẳng tại trung điểm của nó được gọi là
 đường trung trực của đoạn thẳng ấy. 
 II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
 Dạng 1. Vẽ hình
 1A. Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 2 cm. Lấy ba điểm A, B, C phân biệt 
bất kì trên đưòng tròn. Vẽ các dây AB, BQ CA. Vẽ các đường trung trực của các 
đoạn thẳng AB, BC, CA.
 1B. Cho ba điểm A, B, C bất kì. Hãy vẽ các đường trung trực của các đoạn 
thẳng AB, BC, CA.
 2A.Vẽ góc xOy có số đo bằng 45°. Lấy điểm A bất kì nằm trong x· Oy . Qua A 
vẽ đường thẳng d vuông góc với tia Ox tại B, đường thẳng d' vuông góc với tia Oy 
tại C và đường thẳng d" đi qua A và vuông góc với BC.
 2B. Vẽ đường thẳng a. Trên đường thẳng a vẽ đoạn AB = 6 cm. Vẽ tiếp đường 
thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với a. Vẽ đường thẳng d' đi qua điểm B và 
vuông góc với a. Hai đương thẳng d và d' có cắt nhau không?
 Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
 Phương pháp giải: Muốn chứng minh hai đường thẳng xx' và yy' vuông góc 
với nhau ta có thể sử dụng một trong 4 cách sau:
 Cách 1. Chứng minh một trong bốn góc tạo thành bởi hai đường thẳng ấy là 
góc vuông.
 Cách 2. Chứng minh hai góc kề bù bằng nhau, từ đó suy ra có một góc bằng 
90°.
 Cách 3. Chứng minh hai tia Ox và Oy là hai tia phân giác của hai góc kề bù 
nhau với O là giao điểm của xx' và yy',
 3A. Cho x· Oy = 120°. Vẽ các tia Oz và Ot nằm trong x· Oy sao cho Oz vuông 
góc với Ox và Ot vuông góc với Oy.
 a ) Tính số đo góc zOt.
 GV: - Tr­êng THCS 9 Cñng cè vµ «n luyÖn h×nh 7- tËp 1
 b) Gọi Om và On lần lượt là hai tia phân giác của hai góc x· Ot và ·yOz . Chứng 
minh tia Om  On.
 3B. Cho góc m· On có số đo 150°. Vẽ các tia Oa và Ob ở trong góc đó sao cho 
Oa, Ob lần lượt vuông góc với các tia Om và On.
 a) Chứng tỏ a· On = b·Om
 b) Vẽ tia Ox và tia Oy theo thứ tự là các tia phân giác của các góc a· On và 
b·Om . Tính x· Oy .
 4A. Cho hai tia Ox và Oy vuông góc với nhau. Trong góc x· Oy , ta vẽ hai tia 
Oa và Ob sao cho a· Ox = b· Oy = 30°. Vẽ tia Oc sao cho tia Oy là tia phân giác của 
a· Oc . Chứng tỏ tia Oa là phân giác của b· Ox và hai tia Ob, Oc vuông góc với nhau.
 4B. Cho góc bẹt x· Oy . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ xy, ta vẽ ba tia gồm 
Om, On sao cho x·Om = ·yOn < 90° và Ot là phân giác của m· On . Chứng minh Ot 
vuông góc với xy.
 Dạng 3. Các bài toán vận dụng tính chất hai đường thẳng vuông góc
 Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai đường thẳng vuông góc để giải các 
bài tập liên quan.
 5A. Cho x· Oy = 120°. Ở phía ngoài của góc vẽ hai tia Oc và Od sao cho Od  
Ox và Oc  Oy. Gọi Om và On theo thứ tự là phân giác của x· Oy và d· Oc ; Oy' là tia 
đối của tia Oy. Chứng minh:
 a) Ox là tia phân giác của ·y 'Om ;
 b) Oy' nằm giữa hai tia Ox và Od;
 c) Góc mOn là góc bẹt.
 5B. Cho x· Oy = 100°. Về phía ngoài của góc vẽ hai tia Oz và Ot sao cho Oz và 
Ot lần lượt vuông góc với Ox và Oy. Gọi Om là tia phân giác của x· Oy và Om' là tia 
đối của tia Om.
 a) Chứng minh Om' là tia phân giác của z· Ot
 b) So sánh số đo hai góc m· Oz và ·yOm
 6A. Cho góc nhọn x· Oy . Trên một nửa mặt phẳng bờ Ox chứa tia Oy, kẻ tia 
Ox' vuông góc với Ox. Trên một nửa mặt phẳng bờ Oy chứa tia Ox, vẽ tia Oy' vuông 
góc với Oy. Chứng minh hai góc x· Oy và x· 'Oy ' có cùng tia phân giác và tổng số đo 
hai góc bằng 180°.
 6B. Cho góc xOy tù. Bên ngoài góc đó dựng hai tia Oz và Ot lần lượt vuông 
góc với Ox và Oy. Chứng minh hai góc x· Oy và z· Ot bù nhau
 III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
 7. Cho góc aOb có số đo bằng 50°. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ Ob chứa tia Oa, 
vẽ tia Om vuông góc với Ob. Trên nửa mặt phẳng còn lại vẽ tia On vuông góc với Oa.
 a) Chứng minh hai góc aOm và bOn bằng nhau.
 b) Vẽ Om' là tia đối của tia Om. Tính số đo góc m'On.
 8. Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Vẽ tia phân giác Om của 
B· OC . Gọi On là tia đối của tia Om.
 Chứng minh:
10 GV: - Tr­êng THCS