Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp Thành phố môn Toán 7 - Năm học 2021-2022 - Phòng GD&ĐT Bắc Giang (Có đáp án)

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP THÀNH PHỐ
 THÀNH PHỐ BẮC GIANG NĂM HỌC 2021-2022
 MÔN THI: TOÁN 7
 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 04/12/2021
 Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
 (Đề thi gồm có: 01 trang)
Bài 1. (4,0 điểm)
 212.35 46.92 510.73 255.492
 1) Tính giá trị của biểu thức: A 6 3 .
 22.3 84.35 125.7 59.143
 1 1 1 1 2021 2021 2021 2021
 2) Cho P  ; Q  .
 1.2 3.4 5.6 99.100 51 52 53 100
 Chứng minh rằng Q là một số nguyên.
 P
Bài 2. (4,5 điểm)
 2x 1 4y 5 2x 4y 4
 1) Tìm x , y biết: .
 5 9 7x
 2) Cho 13 23 33 .... 103 3025 . Tính S 23 43 63 ...... 203.
 83
 3) Tìm ba phân số tối giản. Biết tổng của chúng bằng 15 , tử số của các phân số tỉ 
 120
 1 1 1
lệ thuận với 5;7;11, mẫu số của các phân số tỉ lệ nghịch với ; ; .
 4 5 6
Bài 3. (4,5 điểm)
 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 A x 2017 x 2018 x 2019 x 2020 x 2021 .
 2) Tìm x, y nguyên thỏa mãn: 7 x 1 3y 2xy .
 3) Cho a,b là các số nguyên dương sao cho a2 b2 chia hết cho tích ab .
 a2 b2
 Tính giá trị của biểu thức: A .
 ab
Bài 4. (6,0 điểm)
 Cho tam giác ABC cân tại A ( µA 900 ), kẻ BH vuông góc với AC tại H . Trên cạnh BC lấy 
điểm M bất kỳ ( M khác B vàC ) . Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến 
 AB, AC, BH .
 1) Chứng minh tam giác DBM FMB .
 2) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì tổng MD ME có giá trị không đổi.
 3) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK EH . Chứng minh BC đi qua trung 
điểm của đoạn thẳng DK .
Bài 5. (1,0 điểm)
 Biết abcd là số nguyên tố có bốn chữ số thỏa mãn ab,cd cũng là số nguyên tố và 
 b2 cd b c . Hãy tìm số abcd .
 --------------------------------HẾT-------------------------------
 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
 Họ và tên thí sinh:................................................. Số báo danh: . 
 Giám thị 1 (Họ tên và ký).......................................................................
 Giám thị 2 (Họ tên và ký)....................................................................... PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM
 THÀNH PHỐ BẮC GIANG BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP THÀNH PHỐ
 NĂM HỌC 2021-2022
 HDC ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN 7
 Ngày thi: 04/12/2021
 (Bản hướng dẫn chấm có 05 trang)
 Bài 1 Hướng dẫn giải (4 điểm)
 10
 12 5 6 2 10 3 5 2 212.35 212.34 510.73 5 .74
 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 
 A 6 3 = 12 6 12 5 9 3 9 3 3
 22.3 84.35 125.7 59.143 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 0,5
 212.34. 3 1 510.73. 1 7 
 = 0,5
 212.35. 3 1 59.73. 1 23 
 1
 (2,0 điểm) 212.34.2 510.73. 6 
 = 0,5
 212.35.4 59.73.9
 1 10 7
 = 
 6 3 2
 0,5
 7
 Vậy A .
 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Ta có P   0,25
 1.2 3.4 5.6 99.100 1 2 3 4 5 6 99 100
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 1   0.25
 3 5 7 99 2 4 6 8 100 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 1  2.  0.25
 2 3 4 5 6 7 99 100 2 4 6 8 100 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 1  1  0.25
 2 2 3 4 5 6 7 99 100 2 3 4 50 
 (2,0 điểm) 1 1 1 1 1
  0.25
 51 52 53 54 100
 1 2021 2021 2021 2021 
 .  0.25
 2021 51 52 53 100 
 1
 Q 0.25
 2021
 Q Q
 Do đó 2021. Vậy là số nguyên. 0.25
 P P
 Bài 2 4,5 điểm
 2x 1 4y 5 2x 4y 4
 Tìm x , y biết: ( 1)
 5 9 7x
 1 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
( 1,5 điểm)
 2x 1 4y 5 2x 1 4y 5 2x 4y 4
 0,25
 5 9 5 9 7x 2x 4y 4 2x 4y 4
 Do đó 0,25
 14 7x
 1
 x 
 2x 1 0 2
 +) Trường hợp 1: 2x 4y 4 0 0,25
 4y 5 0 5
 y 
 4
 2x 4y 4 2x 4y 5
 +) Trường hợp 2: 2x 4y 4 0 suy ra = 7x 14 
 7x 14 0, 25
 nên x 2
 2x 1 4y 5
 Thay x 2 vào đẳng thức ta được:
 5 9
 0,25
 2.2 1 4y 5 7
 4y 5 9 y 
 5 9 2
 7 1 5
 Vậy x 2 và y ; x và y 0,25
 2 2 4
 Cho 13 23 33 .... 103 3025 . Tính S 23 43 63 ...... 203.
 Ta có : S 23 43 63 ...... 203. (1.2)3 (2.2)3 (2.3)3 ...... (10.2)3 0,25
 2 S 13.23 23.23 33.23 ...... 103.23 0,25
( 1,5 điểm) S 23.(13 23 33 ...... 103 ) 0,25
 Mà 13 23 33 .... 103 3025 nên S 23.3025 24200 0,5
 Vậy S 24200 0,25
 83
 Tìm ba phân số tối giản. Biết tổng của chúng bằng 15 , tử số 
 120
 của các phân số tỉ lệ thuận với 5;7;11, mẫu số của các phân số tỉ 
 1 1 1
 lệ nghịch với ; ; .
 4 5 6
 a c e
 Gọi các phân số cần tìm là ; ; (a;b;c;d;e; f Z;b;d; f 0) 0,25
 b d f
 3 a c e
 Vì tử số của các phân số tỉ lệ thuận với 5;7;11nên 0,25
( 1,5 điểm) 5 7 11
 1 1 1 b d f
 Mẫu số của các phân số tỉ lệ nghịch với ; ; .nên 
 4 5 6 4 5 6 0,25
 a c e
 Đặt k(k Z;) a 5k;c 7k;e 11k
 5 7 11 0,25
 b d f
 q( Z) b 4q;d 5q; f 6q
 4 5 6
 83
 Biết tổng của chúng bằng 15 nên : 
 120
 a c e 5k 7k 11k 75k 84k 110k 269k 83 1883
 15 
 b d f 4q 5q 6q 60q 60q 120 120 0,25
 k 7
 q 2 a 5.7 35 c 7.7 49 e 11.7 77
 Do đó ; ; 
 b 4.2 8 d 5.2 10 f 6.2 12 0,25
 35 49 77
 Vậy ba phân số cần tìm là ; ; .
 8 10 12
 Bài 3 4,5 điểm
 A= x 2017 x 2018 x 2019 x 2020 x 2021
 Ta có: x 2017 x 2018 x 2019 x 2020 x 2021
 0,25
 x 2017 x 2018 x 2019 2020 x 2021 x
 Áp dụng tính chất A B A B , ta được:
 1
(1,5 điểm) x 2017 2020 x x 2019 2021 x x 2018 0,25
 x 2017 2020 x x 2019 2021 x x 2018 0,5
 3 0 3 6 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 2019 . 0,25
 Vậy GTNN của biểu thức A 6 khi x 2019 . 0,25
 Tìm x, y nguyên thỏa mãn: 7 x 1 3y 2xy
 7 x 1 2xy 3y y 2x 3 0,25
 7x 7
 y để y nguyên thì (7x 7)(2x 3) 0,25
 2x 3
 2 14x 142x 3 7(2x 3) 1(2x 3) 0,25
(1,5 điểm)
 7(2x 3) hay 2x 3 U (7) { 1; 7} 0,25
 Giải các trường hợp và thử lại ta được các số nguên x; y thỏa mãn
 0,25
 x; y { 1;0 ; 2;7 ; 5;4 ; 2;3 }
 Vậy x; y { 1;0 ; 2;7 ; 5;4 ; 2;3 } 0,25
 Cho a, b là các số nguyên dương sao cho a2 b2 chia hết cho tích ab .
 a2 b2
 Tính giá trị của biểu thức: A .
 ab
 a da1
 Gọi d a;b , a1;b1 1 0,25
 b db1
 Ta có: 2 2 2 2 2 và ab d 2a b
 3 a b d a1 b1 1 1 0,25
(1,5 điểm) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 Vì a b ab a b a b a b a và a b  b a b và b a
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5
 Vì a ;b 1 a b và b a a b 1
 1 1 1 1 1 1 1 1 0,25
 2 2 2 2 2
 d a1 b1 2.d a
 Vậy A 1 
 2 2 2 2 0,25
 d a1b1 d a1
 Bài 4 6 điiểm A
 H
 E
 D F
 C
 B Q
 P M I
 K
 FM  BH
 Ta có FM / /CH ( quan hệ từ vuông góc đến song song) 0,25
 CH  BH
 Do đó F· MB E· CM ( 2 góc đồng vị) 0,25
 mà E· CM D· BM ( ABC cân tại A) 0,25
 1
 · · 0,25
( 2 điểm) Suy ra FMB DBM
 Chỉ ra được DBM vuông tại D và FMB vuông tại F 0,25
 Xét DBM vuông tại D và FMB vuông tại F có: BM cạnh chung
 0,5
 F· MB D· BM ( chứng minh trên) 
 Suy ra DBM = FMB ( ch- gn) ( 1) 0,25
 Từ ( 1) suy ra MD BF ( 2)
 0,5
 Ta có MF / /HE F· MH E· HM ( 2 góc so le trong)
 2 Chứng minh MFH HEM ( ch – gn) 0,5
( 2 điểm) ME FH ( 2 cạnh tương ứng) ( 3) 0,5
 Từ ( 2) và ( 3) suy ra MD ME BF FH BH 
 Do BH không đổi nên MD ME không đổi. 0,5
 Kẻ DP  BC tại P , KQ  BC tại Q , gọi I là giao điểm của DK và BC . 
 Do DBM = FMB nên BD FM ( 2 cạnh tương ứng) 0,5
 Lại có MFH HEM nên FM HE lại có HE CK ( giả thiết) nên 
 BD CK 0,25
 Mặt khác D· BM E· CM ( ABC cân) 
 3 E· CM K· CQ ( đối đỉnh) 0,25
( 2 điểm) Suy ra D· BM K· CQ
 Xét DBP vuông tại P và KCQ vuông tại Q có: 
 BD CK
 D· BM K· CQ 0,5
 Suy ra DBP KCQ ( cạnh huyền – góc nhọn)
 DP KQ ( hai cạnh tương ứng)
 Chứng minh được I·DP I·KQ DPI KQI(g c g)
 0,5
 Suy ra ID IK nên I là trung điểm của DK
 Bài 5 1 điểm Biết abcd là số nguyên tố có bốn chữ số thỏa mãn ab,cd cũng là số 
 nguyên tố và b2 cd b c . Hãy tìm số abcd .
 Vì ab,cd là các số nguyên tố nên b,d lẻ và khác 5
 Lại có b2 cd b c b2 b 9c d
 b(b 1) 9c d 0,25
 Nếu b 1( không thỏa mãn) (loại)
 1 điểm
 Nếu b 3 thì 9c d 6 c 0;d 6 ( loại không thỏa mãn) 0,25
 Nếu b 7 thì 9c d 42 d 42 9c c 4;d 6 ( loại không thỏa mãn)
 Nếu b 9 thì 9c d 72 d 72 9c c 7;d 9 ( thỏa mãn) 0,25
 a {1;2;7) ta được các số 1979;2979;7979 , số 2979 loại vì không là số 
 nguyên tố. 0,25
 Vậy số cần tìm là :1979;7979 .
 Tổng 20 điểm
 Điểm toàn bài
Lưu ý khi chấm bài: 
 - Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm.
 - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của thí sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp 
logic. Nếu thí sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm 
tương ứng.
 ...........