Đề thi học sinh giỏi môn Toán 7 (Có đáp án) - Năm học 2016-2017 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Hoằng Hóa

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HÓA 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2016-2017
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 16/03/2017
Câu 1. (4,5 điểm)
Tính giá trị của biểu thức 
Tính giá trị của biểu thức với 
Tìm 3 số biết rằng: và 
Câu 2. (4,5 điểm)
Tìm tập hợp các số nguyên biết rằng:
Tìm biết: 
Tính giá trị của biểu thức tại thỏa mãn:
Câu 3. (3,5 điểm)
Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 
Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho:
Câu 4. (6,0 điểm)
	Cho tam giác có ba góc nhọn Vẽ về phía ngoài tam giác các tam giác đều và Gọi I là giao của và BE, K là giao của và DC.
Chứng minh rằng :
Chứng minh rằng: 
Gọi và N lần lượt là trung điểm của và BE. Chứng minh rằng đều
Chứng minh rằng là phân giác của 
Câu 5. (1,5 điểm)
Cho 20 số nguyên khác 0: có các tính chất sau:
* là số dương
*Tổng của ba số viết liền nhau bất kỳ là một số dương.
*Tổng của 20 số đó là số âm
Chứng minh rằng: 
ĐÁP ÁN
Câu 1.
b) Vì 
Với thì 
Với thì 
Vậy với và với 
Từ 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Vậy 
Câu 2.
a)Ta có: . Lại có:
Do đó mà 
b) Nhận xét: Vế trái của đẳng thức luôn nên vế phải 
Với ta có:
Vậy 
c) Do với mọi 
Kết hợp 
Giá trị của biểu thức tại là:
Vậy 
Câu 3.
Gọi là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm. Không mất tính tổng quát, giả sử , ta có: 
Mặt khác do số cần tìm là bội của 18 nên là bội của 9
Do đó 
Theo đề bài ta có: 
Như vậy chia hết cho 6, nên 
Từ đó suy ra 
Do đó số phải tìm là bội của nên chữ số hàng đơn vị chẵn.
Vậy hai số cần tìm là 
Nhận xét : với thì 
 Với thì Do đó luôn là số chẵn với 
 Suy ra là số chẵn lẻ 
 Khi đó 
Nếu , ta có: 
Nếu , ta có: 
Vậy 
Câu 4.
Ta có: và 
Từ mà (đối đỉnh)
Khi đó xét và suy ra 
Từ 
và 
Do đó đều
Trên tia lấy điểm sao cho đềuvà kết hợp 
mà 
Từ đó suy ra là phân giác của 
Câu 5.
Ta có:
Cũng như vậy:
Mặt khác, 
Từ các điều kiện