Đề thi học sinh giỏi môn Toán 7 (Có đáp án) - Năm học 2017-2018 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Hoằng Hóa

ĐỀ THI HSG TOÁN 7 – HUYỆN HOẰNG HÓA
NĂM HỌC 2017-2018
Câu 1. (4,5 điểm)
Tính giá trị của biểu thức 
Tìm biết: 
Tìm biết rằng: 
Câu 2. (4,5 điểm)
Tìm đa thức biết rằng: 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Tìm biết: và 
Câu 3.(5,0 điểm)
Tìm hai số hữu tỷ và biết: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên để là số chính phương
Câu 4. (4,0 điểm)
	Cho tam giác nhọn Vẽ về phía ngoài tam giác các tam giác vuông tại A: sao cho Kẻ vuông góc với vuông góc với vuông góc với 
Chứng minh : 
Chứng minh đi qua trung điểm của 
Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác đều M là một điểm nằm trong tam giác sao cho . Tính số đo góc 
ĐÁP ÁN
Câu 1.
c) Ta có: 
Mà 
Câu 2.
lớn nhất khi lớn nhất
Ta có:nhỏ nhất bằng 2, khi 
Khi đó lớn nhất bằng 
Câu 3.
Từ 
Mặt khác: 
Sử dụng Dấu “xảy ra khi cùng dấu (*)
Ta có:
Vậy 
Nhận xét
Nếu số chính phương chia hết cho (a là số nguyên tố) thì nó chia hết cho 
Giả sử : là số chính phương.
Xét trường hợp 1: là số chẵn 
Ta có: chia hết cho 2, chia hết cho chia hết cho 2chia hết cho 4
Do chia hết cho còn 2002 không chia hết cho 4không chia hết cho 4 (loại)
Xét trường hợp 2: là số lẻ
là số chính phương lẻ, có dạng chia cho 4 dư 1.
Mà chia cho 4 dư 3 (loại)
Vậy không tồn tại số tự nhiên để là số chính phương.
Câu 4.
Xét và có: 
Từ (1), (2), (3) suy ra 
Chứng minh tương tự câu a
Gọi giao điểm của và là I
Chứng minh được: là trung điểm của đi qua trung điểm I của 
Câu 5.
Do 
Đặt 
Trên nửa mặt phẳng bờ dựng tam giác đều 
và 
Xét và có: 
Từ (1), (2), (3) 
Xét có 
vuông tại M (định lý Pytago đảo)