Đề thi học sinh giỏi môn Toán 7 (Có đáp án) - Năm học 2018-2019 - Phòng giáo dục và đào tạo Sơn Trà

PHÒNG GD&ĐT SƠN TRÀ 
Đề chính thức
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Năm học 2018-2019
Câu 1 (4,0 điểm) Tính hợp lý
Câu 2 (3,0 điểm) 
Tính giá trị các biểu thức sau:
 với 
, biết 
Câu 3 (4,0 điểm)
Tìm biết 
Tìm biết và 
Câu 4 (4,0 điểm)
1.Tìm các số nguyên x, y biết 
2. Cho đa thức 
Tính 
Câu 5 (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao điểm của CD và BE, K là giao của AB và DC.
Chứng minh rằng: 
Chứng minh rằng 
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng đều
Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE
Câu 5 sau (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có Điểm I nằm trong tam giác và cách đều 3 cạnh tam giác ABC. Gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ I đến BC. Tính MB.
ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7 THIỆU HÓA 2016-2017
Câu 1.
Câu 2
Vì nên hoặc 
Với thì 
Với thì 
Vậy với và với 
(Vì 
Câu 3.
Vì với mọi x; với mọi y, do đó:
với mọi x, y. Theo đề bài thì:
Từ đó suy ra: . Khi đó 
và và . Vậy 
Ta có: . Suy ra 
Do đó: 
Từ (1) và (2) suy ra 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
 Suy ra 
Câu 4
1.Ta có: 
Lập bảng:
1
5 
-1
-5
5
1
-5
-1
1
3
0
-2
-2
0
3
1
Thỏa mãn
Thỏa mãn
Thỏa mãn
Thỏa mãn
2. Ta có:
Suy ra 
Câu 5.
Ta có : và AC = AE suy ra 
Từ (câu a)mà (đối đỉnh)
Khi đó xét và suy ra 
Từ (câu a)và 
và 
Do đó đều
Trên tia ID lấy điểm J sao cho đềuvà 
 suy ra , kết hợp 
mà 
Từ đó suy ra IA là phân giác của góc DIE
Câu 5 sau
Vì I nằm trong tam giác ABC cách đều 3 cạnh nên I là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác ABC
Tam giác ABC vuông tại A nên tính 
Chứng minh được 
Chứng minh tương tự ta có: 
Suy ra