Đề thi Olympic môn Toán Lớp 7 (Có đáp án) - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Phú Trường

TRƯỜNG THCS PHÚ TRƯỜNG 
ĐỀ THI OLYMPIC
MÔN TOÁN 7 – NĂM HỌC 2017-2018
Câu 1. (5 điểm)
Cho Chứng minh rằng: 
Tìm hai số dương, biết rằng tổng, hiệu, tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với và 8
Câu 2. (3 điểm)
Tính giá trị của biểu thức với 
Tìm các số biết 
Câu 3. (3 điểm)
Tìm các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau sao cho 
Chứng minh đa thức không có nghiệm.
Câu 4. (2 điểm)
	Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: với là số nguyên.
Câu 5. (7 điểm)
	Cho tam giác có ba góc nhọn, Các tia phân giác của và cắt nhau tại O. Gọi là hình chiếu của trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm trên đoạn sao cho Gọi K là giao điểm của và 
Chứng minh tam giác cân và 
Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
ĐÁP ÁN
Câu 1.
b) Gọi hai số phải tìm là theo đầu bài ta có: 
hay 
Câu 2.
b) Theo đề bài: 
Ta có: 
Trường hợp 1:
Trường hợp 2:
Vậy 
Câu 3.
Do đó: 
Do nên 
-Trường hợp hoặc 
-Trường hợp: 
Vậy tất cả có ba số thỏa mãn bài toán: 
Do đó không có nghiệm.
Câu 4.
Xét các trường hợp:
+)
+)
+)A lớn nhất lớn nhất 
Vì là số nguyên dương, nên lớn nhất nhỏ nhất, tức là khi đó 
Vậy giá trị lớn nhất của 
Câu 5.
Chứng minh cân tại C
Vẽ Chứng minh cân tại I
Suy ra 
Vẽ tại E. Tương tự câu a, ta có: thứ tự cân tại , suy ra và 
cân tại B.
Mà là phân giác của là đường trung tuyến của nên là ba điểm thẳng hàng.