Bài tập Chuyên đề Hình học Lớp 7

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 7
Bài 1: Cho ABC có , vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB, AE vuông góc và bằng AC, CMR: DC=BE và DC vuông góc BE
HD:
Ta có: 
=>
=>BE=CD (Hai cạnh tương ứng)
Gọi I là giao của CD với AB, G là giao của CD với BE
Từ 
mà 
=>
Bài 2: Cho ABC có góc A nhọn, về phía ngoài tam giác ABC vẽ BAD vuông cân tại A và CAE vuông cân tại A, CMR:
a, DC=BE và DC vuông góc với BE
b, 
c, Đường thẳng qua A và vuông góc với DE cắt BC tại K, 
CMR: K là trung điểm của BC
HD:
b, Ta có: 
=> 
=> 
=> 
c, Trên tia AK lấy điểm P sao cho AP=DE, 
Ta cm: (c.g.c) vì ( cùng phụ ) 
=>và 
Mà là hai góc trong cùng phía nên AB// PC
( g.c.g) => KB = KC
Bài 3: Cho ABC. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các ABM và CAN vuông cân ở A, Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của MB, BC và CN, CMR:
a, BN=CM
b, BN vuông góc với CM
c, DEF là tam giác vuông cân
HD:
c, D là trung điểm của BM, E là trung điểm của BC
Nên DE là đường trung bình của BMC 
Và DE//MC, tương tự: và EF//BN, =>DEF cân tại E
Lại có: , và 
Bài 4: Cho ABC nhọn, trên nửa mp bờ AB không chứa C, dựng đoạn thẳng AD vuông góc với AB và AD= AB, trên nửa mp bờ AC không chứa B, dừng AE vuông góc AC và AE=AC, vẽ AH vuông góc với BC, đường thẳng HA cắt DE ở K, CMR: K là trung điểm của DE
HD:
Trên AK lấy điểm H sao cho AH=BC
Ta có: Vì cùng phụ với góc 
Nên 
 ( Hai cạnh tương ứng)
Và , 
Mà : 
Do đó : AD//HE
Khi đó : 
Bài 5: Cho ABC có , vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB, AE vuông góc và bằng AC, Gọi M là trung điểm của DE, kẻ MA, CMR: MA vuông góc với BC
HD: 
Gọi H là giao điểm của AM và BC
Trên AM lấy điểm F sao cho MA= MF
=>DF//AE=> 
Mà: 
Mà 
 => vuông tại H
Bài 6: Cho ABC có , vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB, AE vuông góc và bằng AC. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC, CMR: HA đi qua trung điểm của DE
HD: 
Tia AH cắt DE tại M, trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BC
Khi đó: DNA=ACB (c.g.c)
=>ND=AC và 
Mà => AE//ND
Khi đó: AME=NMD ( g.c.g)
=> ME=MD hay M là trung điểm DE
Bài 7: Cho ABC có ba góc nhọn, đường cao AH, ở miền ngoài tam giác ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông, kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH, (M, N thuộc AH)
a, CMR: EM+HC=NH
b, EN//FM
HD: 
a, Chứng minh FNA=AHC (Cạnh huyền góc nhọn)
nên FN=AH và NA=CH 	(1)
Chứng minh AHB=EMA (Cạnh huyền góc nhọn)
=> AH=ME, 
Nên EM+HC=AH+NA=NH( đpcm)
b, Từ AH=FN =>ME=FN
=> FNM=EMN (c.g.c) => 
Vậy EN//FM
Bài 8: Cho ABC có , vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB, AE vuông góc và bằng AC, Gọi H là trung điểm của BC, CMR: HA vuông góc với DE
HD :
Trên AH lấy N sao cho AN=ED
=>,
 và 
Mà 
=> (so le trong) => 
Mà 
Bài 9: Cho ABC có , vẽ ra phía ngoài các tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB, AE vuông góc và bằng AC
a, CMR: DC=BE và DC vuông góc BE
b, Gọi N là trung điểm của DE, trên tia đối của tia NA, lấy M sao cho NA=NM, 
CMR: AB=ME và ABC =EMA
c, CMR: MABC
HD:
Tự chứng minh, giống các bài trên
Bài 10: Cho ABC, trung tuyến AM, vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác vuông cân ở A là ABD và ACE
a, Trên tia đối của tia MA lấy điểm F sao cho MF=AM, CMR: 
b, CMR: 
HD:
a, Cm: 
Do đó: 	(1)
Và , do 	(2)
Từ (1) và (2) ta có: 
b, Chứng minh: 
Ta có: 
Bài 11: Cho ABC có , Dừng bên ngoài các tam giác đều 
a, Gọi M là giao điểm của BE và CD, Tính 
b, CMR: MA+MB=MD
c, CMR: 
HD: 
a, Ta có :
Gọi N là giao điểm của AC và BE
Xét và có : 
=> 
b, Trên tia MD lấy điểm P sao cho MB=MP
=> đều=>
Kết hợp với 
=> =>
c, Từ , mà =>
Bài 12: Cho ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM, trên nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ là đường thẳng AB, vẽ AE vuông góc với AB và AE=AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B vẽ AD vuông góc với AC và AD=AC
a, CMR: BD=CE
b, Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN=MA,
 CMR : ADE= CAN
c, Gọi I là giao của DE và AM, CMR: 
HD:
a, Chứng minh => BD=EC
b, Chứng minh =>CN=AB
và , có: 
=	(1)
Và (2)
Từ (1) và (2) ta có: => CM : 
c, 	
mà Hay 
Áp dụng định lý py-ta-go cho và có:
Bài 13: Cho ABC nhọn, AH là đường cao, về phía ngoài của tam giác vẽ các ABE vuông cân ở B và ACF vuông cân tại C, Trên tia đối của tia AH, lấy điểm I sao cho AI=BC. CMR:
a, ABI=BEC	
b, BI = CE và BI vuông góc với CE
c, Ba đường thẳng AH, CE, BF cắt nhau tại 1 điểm
HD :
a, Ta có : , 
Mà 
Nên 
b, Vì 
Nên 
c, Chứng minh tương tự: , 
Trong có AH, CE,BF là đường cao
Nên đồng quy tại 1 điểm.
Bài 14: Cho ABC đường cao AH, vẽ ra ngoài tam giác ấy các tam giác vuông cân ABD, ACE cân tại B và C
a, Qua điểm C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt HA tại K, CMR : DCBK
b, 3 đường thẳng AH, BE và CD đồng quy
HD : 
a, Ta có: => 
Và ( cùng phụ với góc )
=>ECB=CAK (g.c.g)=> AK=BC
Chứng minh tương tự ta có :
 DBC=BAK => 
Mà : 
=> hay 
b, KBC có ba đường cao nên đồng quy.
Bài 15: Cho ABC cân tại A, trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho BM=MN=NC, Gọi H là trung điểm của BC
a, CMR: AM=AN và AH vuông góc với BC
b, Tính độ dài AM khi AB=5cm, BC=6cm
c, CM: 
HD:
a, Cm: 
=>
b, Tính 
Tính 
c, Trên AM lấy điểm K sao cho AM=MK
=> 
=> và AN=AM=BK
Do BA>AM=>BA>BK
=> 
Bài 16: Cho ABC cân tại A, trung tuyến AM, trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE
a, CMR : ADE cân tại A
b, CM: AM là phân giác 
c, Từ B và C hạ BH, CJ theo thứ tự vuông góc với AD và AE, CMR: AHB=AKC
d, CM: HK//DE
e, Gọi I là giao điểm của HB và AM, CM: AB vuông góc với DI
f, CM: HB, AM và CK cùng đi qua 1 điểm
HD:
d, cân tại A, nên 
 cân tại A nên 
Mà là hai góc đồng vị nên HK//DE
e, có hai đường cao là HI và DM 
cắt nhau tại B nên B là trực tâm, do đó AB DI
f, Điểm I nằm trên đường trung trực của DE nên ID=IE
Do đó : 
AIE có hai đường cao là AC và ME cắt nhau tại C nên 
IC AE, mà CK AE nên I, C, k thẳng hàng, 
Hay ba đường thẳng HB, AM, CK đồng quy
Bài 17: Cho ABC cân tại A , trên cạnh BC lấy hai điểm D và E 
sao cho BD=DE=EC. Kẻ , BH cắt CK tại G, CM:
a, ADE cân
b, BH=CK
c, Gọi M là trung điểm của BC, CM: A, M, G thẳng hàng
d, CM: AC> AD
g, CM: 
HD: 
c, Vì AB=AC nên A nằm trên đường trung trực của BC
Tương tự cho G nằm trên đường trung trực của BC
Do đó: A, M, G thẳng hàng
d, CEK vuông tại K nên là góc nhọn
Khi đó là góc tù => AC > AE = AD
g, 
Bài 18: Cho ABC cân tại A, trên cạnh BC lấy điểm D và E sao cho BD=CE ( D nằm giữa B và E)
a, CMR: ABD=ACE
b, Kẻ DMAB và ENAC, CMR : AM=AN
c, Gọi K là giao điểm của đường thẳng DM và EN, , 
CMR DKE đều
HD: 
c, Vì , 
Mà 
Vậy KDE đều
Bài 19: Cho ABC có góc nhọn, đường cao AH, vẽ các điểm D và E sao cho AB là trung trực HD, AC là trung trực của HE, Gọi I, K lần lượt là giao của DE với AB, AC
a, CMR: ADE cân tại A
b, Tính số đo 
HD:
a, Chứng minh AD=AH, và AH=AE
=>AD=AE=> ADE cân tại A
b, IHK có IB là tia phân giác góc ngoài và
 KC là tia phân giác góc ngoài cắt nhau tại A
Nên AH là tia phân giác góc trong, 
hay AH là tia phân giác góc 
Lại có: 
=> HC là tia phân giác góc ngoài IHK
KC là tia phân giác góc ngoài IHK
=> IC là tia phân giác góc trong hay hay 
Chứng minh tương tự 
Bài 20: Cho ABC cân tại A và cả ba góc đều là góc nhọn
a, Về phía ngoài của tam giác vẽ ABE vuông cân ở B, Gọi H là trung điểm của BC, trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI=BC, CMR: ABI=BEC và 
b, Phân giác của cắt AC và BC lần lượt tại D và M, Phân giác cắt BC tại N, CMR: 
HD: 
b, Do => 
Gọi F là trung điểm của MN, ta có: FM=FD=FN
FDM cân tại F nên 
(Góc ngoài của BDM) 
=> 	(1)
Ta có: , mà (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
hay DBF cân tại D, do đó:	
Bài 21: Cho ABC có AB=AC, và M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE
a, CMR: ABM=ACM, từ đó suy ra 
b, CMR: ABD=ACE, từ đó suy ra AM là phân giác góc 
c, Kẻ , trên tia đối của tia BK lấy điểm H sao cho BH=AE, trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN=CE, CMR: 
d, CMR: 
HD:
c, Ta có: 
Mà 
d, Chứng minh (c.g.c)
=>
Mà 
Bài 22: Cho ABC cần tại A, trên BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE, các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M và N
a, CMR: DM=EN
b, Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN
c, Đướng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua 1 điểm cố định khi D thay đổi trên BC
HD:
b, Chứng minh (cạnh góc vuông-góc nhọn)
=> IM=IN
c, Gọi H là chân đường vuông góc kẻ tử A xuống BC, 
O là giao AH với đường vuông góc MN tại I
Nên O nằm trên đường trung trực của BC
CM: => 
Mặt khác (c.c.c) => 
Như vậy hay 
Do AC cố định, AH cố định nên O cố định
Vậy đường thẳng vuông góc với MN tại trung điểm I 
luôn đi qua O cố định
Bài 23: Cho ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD=CE, kẻ DH và EK vuông góc với đường thẳng BC ( H và K thuộc đường thẳng BC)
a, CM: BDH= CEK, từ đó suy ra BC= HK
b, DE cắt BC tại I, CM I là trung điểm của DE
c, So sánh BC và DE
d, Chứng minh chu vi của ABC < chu vi ADE
HD :
a, BHD=CEK ( cạnh huyền –góc nhọn)
=> 
b, DHI=EKI ( cạnh góc vuông- góc nhọn)
=> ID = IE
c, Ta có: BC=HK mà HK=HI+IK
Lại có: 
=> BC < DE
d, Chu vi của ABC là: 	AB+AC+BC=2AB+BC
Chu vi của ADE là : 	AD+AE+DE=AD+(AC+CE)+DE
	=AD+(AC+BD)+DE=(AD+BD)+AC+DE=2AB+DE
Mà BC 
Bài 24: Cho ABC có , kẻ AH BC
a, So sánh BH và CH
b, Lấy điểm D thuộc tia đối của tia BC sao cho BD=BA, lấy điểm E thuộc tia đối của tia CB sao cho CE=CA, CM: từ đó so sánh AD và AE
c, Gọi G và K lần lượt là trung điểm của AD và AE, đường BG là các đường gì đối với ABD?
d, Gọi I là giao điểm BG và CK, CM AI là phân giác góc 
e, CM đường trung trực của DE đi qua I
HD: 
a, Vì 
b, 
 Mà 
c, ABD cân tại B nên BG vừa là đường phân giác 
vừa là đường cao vừa là trung tuyến 
và cũng là đường trung trực của ABD
d, Ta có: BG là phân giác góc ngoài ABC
 CK là phân giác góc ngoài của ABC
Mà BG cắt CK tại I nên AI là phân giác góc trong của ABC
e, Chứng minh ID = IA, IA = IE => I nằm trên đường trung trực của DE
Bài 25: Cho ABC, đường trung tuyến BD, trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE=DB, gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của BC và CE, Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của AM, AN với BE, CMR: BI=IK=KE
HD:
I là trọng tậm của ABC nên 
tương tự K là trọng tâm của ACE nên:
 mà BD=DE=> BI=KE
Ta lại có
 , Vậy BI=IK=KE
Bài 26: Cho ABC, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC, trên tia đối của tia NM, lấy điểm D sao cho NM=ND
a, CMR: AMN=CDN=> MB=CD
b, CMR: MN//BC và MN= BC
c, CMR: BD đi qua trung điểm của MC
HD: 
A, AMN =CDN ( c.g.c) => CD=AM=MB
Và 
B, DCM=BMC (c.g.c)
 và 
C, Gọi I là giao của BD và MC
 (g.c.g) => IM = IC 
Bài 27: Cho ABC đường trung tuyến AI, trên tia dối của tia IA lấy điểm D sao cho ID=IA, Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và CD, Gọi E, F lần lượt là giao của BN với AD
CM: AE=EF= FD
HD:
ABC có E là trọng tâm nên 
BCD có F là trọng tâm nên 
Nên 
Vậy AE=EF=FD
Câu 28: Cho ABC vuông tại A , K là trung điểm của BC, trên tia đối của tia KA lấy D sao cho KD=KA
a, CMR : CD//AB
b, Gọi H là trung điểm của AC, BH cắt AD tại M, DH cắt BC tại N, CMR : ABH=CDH
c, CMR : HMN cân
HD:
a, Xét và có : 
BK=CK (gt), (đối đỉnh) và AK=DK(gt)
=>ABK=DCK(c.g.c) =>, 
mà 
=>
b, Xét hai ABH và CDH vuông có: BA=CD( Do ABK=DCK)
AH=CH=>ABH=CDH (c.g.c)
c, Xét hai tam giác vuông ABC và CDA có :
AB=CD, , AC là cạnh chung =>ABC=CDA(c.g.c) =>
mà AH=CH(gt) và (Vì ABH=CDH)
=>AMH=CNH (g.c.g) => MH=NH. Vậy HMN cân tại H
Bài 29: Cho ABC, M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA. CMR:
a, AC=EB và AC//BE
b, Gọi I là 1 điểm trên AC, K là 1 điểm trên EB sao cho AI=EK, CMR: I, M, K thẳng hàng
c, Từ E kẻ EH vuông góc với BC , biết , , Tính 
HD:
a, có AM=EM(gt)=> (đ2)
BM=MC(gt) nên =>AC=EB
Vì 
b, Xét và có AM=EM(gt)
(c.g.c)
=>, mà 
Vậy I, M, K thẳng hàng
c, Trong 
=>
 là góc ngoài tại đỉnh M của nên 
Bài 30:ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM, trên tia đối của tia MA lấy điểm D Sao cho DM=MA, trên tia đối của CD lấy I sao cho CI=CA, Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AH tại E, CMR : AE =BC
HD:
Đường thẳng AB cắt EI tại F,
, vì:
AM=DM(gt), MB=MC(gt) và (đ2)
=> và (so le)	(1)
	(2)
Từ (1) và (2) => vì có AI chung
=>	(3)
Và 	(4)
Mặt khác : (đ2)
( cùng phụ ) =>	(5)
Từ (3),(4) và (5) ta có : 
Bài 31: Cho ABC có trung tuyến AD, đường thẳng qua D và song song với AB cắt đường thẳng qua B song song với AD tại E, AE cắt BD tại I, Gọi K là trung điểm của đoạn EC
a, CMR : ABD =EDB
b, IA=IE
c, Ba điểm A, D, K thẳng hàng
HD: 
a, ABD=EDB (g.c.g)
b, AIB=EID (g.c.g) =>AI=EI
c, AEC có CI là trung tuyến và 
Nên D là trọng => AD là đường trung tuyến => AD đi qua K
Hay A, D, K thẳng hàng
Bài 32: Cho ABC vuông tại A, trung tuyến AM, đường thẳng qua B và song song với AC cắt đường thẳng AM tại D, CM:
a, BMD=CMA
b, AMC cân từ đó suy ra 
HD:
a, BMD=CMA (g.c.g)
b, ABC có đường trung tuyến AM ứng với cạnh huyền
Nên 
Bài 33: Cho ABC cân tại A, Từ A hạ AH vuông góc với BC, Trên tia đối của HA lấy điểm M sao cho HM=HA, Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN=BC
a, Chứng minh C là trọng tâm của AMN
b, Gọi I là trung điểm của MN, CMR: A, C, I thẳng hàng
HD:
a, HB=HC => 
 là trọng tâm AMN
b, Vì C là trọng tâm AMN
 => AC là đường trung tuyến ứng với MN 
=> AC đi qua I hay A, I, C thẳng hàng
Bài 34: Cho ABC (AB<AC) Gọi M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA=MD
a, CMR: ABM=DCM
b, CMR: AC//BD
c, Trên nửa mp bờ AD không chứa B, vẽ tia Ax //BC trên tia Ax lấy điểm H sao cho AH=BC, 
CMR: H, C, D thẳng hàng
HD: 
a, ABM =DCM (c.g.c) 
b, => AMC=DMB (c.g.c)
=> 
c, HAC = BCA (c.g.c)
 H, C, D thẳng hàng.
Bài 35: Cho ABC có , kẻ đường cao AH, trên tia đối cảu tia BA lấy điểm E sao cho BE =BH, đường thẳng HE cắt AC tại D
a, CMR: 
b, CMR: BH=DC=DA
c, Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’, CMR: AB’C cân
d, CMR: AE=HC
HD:
a, cân tại B nên 
, mà 
b, CM cân tại D, nên 
 có 
Nên cân tại D=> DA=DH
c, cân tại A nên 
=>
cân tại B’
d, AB=AB’=CB’, BE=BH=B’H
Có AE=AB+BE, HC=CB’+B’H=>AE=HC
Bài 36: Cho ABC có góc B là góc nhọn, và , Dựng đường cao AH, trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE=BH, CMR:
a, 
b, Đường thẳng EH di qua trung điểm AC
HD:
a, Ta có: là góc ngoài của 
=>
b, Giả sử EH cắt AC tại M
=>(đ2)=> cân
Lại có : 
=> cân=> MA=MH=>MA=MH=MC
Bài 37: Cho ABC có và , kẻ đường cao AH, trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE=BH, đường thẳng HE cắt AC tại D
a, CMR: 
b, CMR: DH=DC=DA
c, Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’, CMR: AB’C cân
HD:
a, Ta có: , mà 
b, Ta có : 
mà 
=>
Vậy DA=DH=DC
c, cân =>=> cân
Bài 38: Cho ABC vuông tại A, K là trung điểm của BC, qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AK, đường thẳng này cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt ở D và E, Gọi I là trung điểm của DE
a, CMR : AI vuông góc với BC
b, Có thể nói DE< BC được không?
HD:
a, vuông tại A có đường trung tuyến AI
=> cân tại I
và cân tại K=> 
mà 
b, Để so sánh DE với BC
ta so sánh IE với CK và AI với AK
 vuông => AIAK=>DE=BC khi K trùng với I
hay vuông cân tại A
Bài 39: Cho ABC (AB >AC), M là trung điểm BC, đường thẳng đi qua M và vuông góc với tia phân giác góc A tại H cắt hai tia AB và AC lần lượt ở E và F, CMR:
a, 
b, 
c, BE=CF
HD:
a, vuông tại H
=> 	(1)
mà 
Thay vào (1) =>
b, Ta có: , ta có: có là góc ngoài nên :
 có là góc ngoài
=> =>
c, Từ C vẽ CD//AB=> 	(1)
mà cân => CF=CD	(2)
Từ (1) và (2) => BE=CF
Bài 40: Cho ABC có AB<AC, gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác góc A, cắt tia này tại N, cắt AB tại E và cắt AC tại F, CMR:
a, AE=AF
b, BE=CF
c, 
HD:
a, AEF có AN vừa là tia phân giác vừa là đường cao nên
AEF cân tại A => AE=AF
b, Từ B kẻ đường thẳng // AC cắt EF tại I
Khi đó: cân tại B
=>BE=BI
MBI=MCF(g.c.g)=>FC=BI
Từ hai điều trên ta có: FC=BI=BE
c, Ta có :
2.AE=AE+AE=(AB+BE)+AE
=AB+(BE+AE)=AB+(FC+AF)=AB+AC
=>
Bài 41: Cho ABC cân tại A, góc A tù, trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD =CE, trên tia đối của tia CA lấy điểm I sao cho CI=CA
a, CMR: ABD=ICE và AB+AC<AD+AE
b, Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt AB, AI lần lượt tại M và N, CMR: BM=CN
c, CMR: Chu vi ABC nhỏ hơn chu vi AMN
HD:
a, CM: , Ta có :
AB+AC=AI, Vì 
Áp dụng BĐT trong hay AE+AD>AB+AC
b, CM: 
c, Vì BM=CN=> AB+AC=AM+AN, có BD=CE (gt), =>BC=DE
Gọi O là giao của Mn và BC
=>	(2)
từ (1) và (2) ta có : chu vi của ABC nhỏ hơn chu vi của AMN
Bài 42: Cho ABC (AB<AC), từ trung điểm D của cạnh BC, kẻ 1 đường thẳng vuông góc với tia phân giác góc A, đường thẳng đó cắt AB và AC lần lượt ở M và N
a, CM : AMN cân
b, CM: BM=CN
c, Cho AB = c, AC = b. Tính AM và BM theo b và c
HD: 
a, AMN có Ah vừa là đường phân giác góc A 
vừa là đường cao nên Amn cân tại A
b, Từ B vẽ đường thẳng song song với AC cắt Mn tại I
=> BI=NC. Lại có 
=> BMI cân tại B => BM=BI=NC
c, AM =AN = n, MB=AM – AB= b – c 
Bài 43: Cho ABC, tia phân giác AD, gọi I là trung điểm của BC, đường thẳng qua I và vuông góc với AD cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại M và N. kẻ BE// AC, E thuộc MI, CMR:
a, IBE=ICN
b, AMN cân
c, BM=CN
d, ABC cần có thêm điều kiện gì để BME đều
e, Biết , tính 
HD: 
a, IBE =ICN (g.c.g) => BE=NC
Và 
b, AMN có AE vừa là đường cao vừa là tia phân giác 
Nên AMN cân tại A => cân
=> BM=BE=NC
d, BME đều => cần có thêm ĐK 
e, 
Bài 44: Cho ABC vuông tại C, kẻ CH vuông góc vói AB, trên các cạnh AB, AC lấy tương ứng hai điểm M, N sao cho BM=BC và Cn=CH, CMR:
a, MN vuông góc với AC
b, AC+BC < AB+CH
HD:
a, Có BC=BM (gt)=> cân tại B
=> 
mà hay MN, AC vuông góc với nhau
b, Ta có: BM=BC, CN=CH
 có => AM là cạnh lớn nhất
=> MB+MA+CH>BC+CN+NC=>BA+CH>BC+CA
Bài 45: Cho ABC đều, tia phân giác góc B cắt AC tại M, từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt BM, BC tại N và E, CMR:
a, ANC cân
b, 
c, Xác định dạng BNE
d, NC là trung trực của BE
g, Cho AB=10cm, Tính diện tích của NBE và chu vi ABE
HD: 
a, ABC đều có BM là tia phân giác góc 
Nên BM là đường trung trực AC
Do cân tại N
b, BAN =BCN (c.g.c) => 
c, ABC đều => ,
ABE vuông có 
Vậy NBE cân tại N
d, NBE cân tại N, có NC là đường cao nên NC là đường trung trực của BE
g, ABE vuông tại E có AC=BC=CE=10cm
Mà 
Bài 46: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH, trên tia BC lấy điểm D sao cho BD= BA, đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E,CM:
a, H nằm giữa B và D
b, BE là đường trung trực của AD
c, Tia AD là tia phân giác của góc 
HD:
a, AHB vuông tại H => AB> BH mà BH = BA
BD>BH, vậy H nằm giữa B và D
b, ABE =DBE ( cạnh huyền- cạnh góc vuông)
AE=DE => E nằm trên đường trung trực của AD
Và BA =BD vậy B nằm trên đường trung trực của AD
Do đó BE là đường trung trực của AD
c, Vì ABE =DBE => 
 (so le trong) 
Mà ADE cân => , vậy AD là phân giác 
Bài 47: Cho ABC vuông tại A, góc , trên cạnh AC lấy điểm D sao cho , BE là tia phân giác , trên đoạn BD lấy điểm F sao cho BF=BA
a, Tính 
b, BEC cân
c, FD<AE
d, BD<AC
HD:
a, Vì , mà BE là phân giác 
ABE=FBE (c.g.c) => 
b, ABC vuông tại A có 
Mà => EBC có =>EBC cân tại E
c, EFD vuông tại F có (góc ngoài của DBC) => 
Vậy EFD có 	(1)
d, Ta có: AC=AE+EC=EF+BE
Và BD=BF+FD, lại có EF>FD chứng minh ở (1) => BE>BF vì BEF vuông tại F=> BE là cạnh huyền
Nên BE>BF, vậy AC>BD
Bài 48: Cho ABC, vuông tại B và AC=2AB, kẻ phân giác AE
a, CMR: EA=EC
b, Tính các góc A và C của ABC
HD:
a, Lấy D là trung điểm của AC 
 => ABE=ADE (c.g.c)
 , AEC có ED vừa là đường cao 
Vừa là đường trung tuyến nên AEC cân tại E hay EA=EC
b, Vì AEC cân tại E => 
Bài 49: Cho ABC vuông tại A, có , vẽ 
a, Tính số đo 
b, Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD=AH, gọi I là trung điểm của HD, CMR: AHI=ADI
c,Tia AI cắt HC tại K, CMR: AHK=ADK, từ đó =>AB//KD
d, Trên tia đối của tia AH, lấy điểm E sao cho HE=AH, CM H là trung điểm của BK và 3 điểm D, K, E thẳng hàng
HD:
a, AHB vuông tại H có 
b, AIH=AID (c.c.c)
c, AHD cân tại A có AI là đường trung tuyến
AI là đường trung trực của HD, 
Mà (c.c.c)
d, Vì AHK =Adk (cmt) => 
mà => KAC cân tại K => KA = KC
và đều => AB=AK
có AH là đường cao => AH cũng là đường trung trực => HB=HK => H là trung điểm của BK
=>AHB=EHK (c.g.c) => (hai góc tương ứng)
Mà so le trong nên EK// AB, KD//AB => E, K, D thẳng hàng.
Bài 50: CHo ABC có 3 góc nhọn(AB<AC). Tia phân giác cắt BC tại D, lấy E trên AC sao cho AE=AB
a, CMR: ADB=ADE
b, Vẽ cmr: BH=EK
c, Từ E vẽ đường thẳng // KD,c ắt BC tại M, cmr: 
HD:
a, ADB =ADE (c.g.c)
b, DHB =DKE ( cạnh huyền- góc nhọn)
BH=KE
c, Ta có: Vì DHB =DKE
Mà (so le trong) => (đpcm)
Bài 51: Cho ABC có AB<AC, Và đường phân giác AD,Trên AC lấy E sao cho AE=AB
a, CM: BD=DE
b, Gọi K là giao điểm của AB và ED, CMR: DBK=DEC
c, ABC cần có thêm điều kiện gì để D cách đều 3 cạnh của AKC
HD: 
a, ADB=ADE (c.g.c) => BD=ED
b, Vì ADB=ADE (cmt) => ( hai góc tương ứng)
=> (g.c.g)
c, Để D cách đều 3 cạnh của ABC 
Thì D là giao 3 tia phân giác AKC => CB là phân giác AKC
Mà AKC là tam giác cân hay 
Hay 
Bài 52: Cho ABC vuông tại B, Phân giác AD, từ D kẻ DH vuông góc với AC (H AC), HD và AB kéo dài cắt nhau tại I, CMR:
a, ABD=AHD
b, AD là trung trực của BH
c, DIC cân
d, BH//IC
e, AD IC
g, BC>AC+AD - 2AB
HD: 
a, ABD =AHD ( cạnh huyền- góc nhọn)
b, AB=AH ( hai cạnh tương ứng)
A nằm trên đường trung trực cảu BH
BD=HD ( hai cạnh tương ứng)
D nằm trên đường trung trực của BH
Vậy AD là đường trung trực của BH
c, BDI=HDC ( cạnh góc vuông- góc nhọn)
DI=DC => DIC là tam giác cân
d, Vì BDI =HDC (cmt) => BI= HC => AI= AC
AIC cân tại A => , và ABH cân tại A => 
Mà là hai góc so le trong => BH//IC
e, AIC cân tại A, có AD là tia phân giác => AD là đường trung trực của IC
g, Ta có : AC + AD - 2AB = (AH + HC) + AD – AH - AB = HC + AD – AB = (AD - AB) + HC
	= (AD-AH)+HC<HD+HC
Lại có: BC= BD +DC =HD +DC> HD+HC vì DC >HC
Bài 53: Cho ABC có AB < AC, phân giác AD, trên tia AC lấy điểm E sao cho: AE=AB
a, CMR: BD=DE
b, Gọi M là giao điểm của AB, ED, CMR: BDM=EDC
c, So sánh DE và DC từ đó so sánh BD và DC
d, AMC là tam giác gì? Vì sao ?
e, Chứng minh AD vuông góc với MC
HD: 
a, ADB =ADE (c.g.c) => BD=ED ( hai cạnh tương ứng)
b, ADB=ADE (cmt) => 
BDM=EDC (g.c.g)
c, ABC có 
Mà 
d, AMC là tam giác cân vì có AM = AC
e, AMC cân tại A, có AD là tia phân giác nên AD cũng là đường trung trực của MC=> 
Bài 54: Cho ABC vuông tại A, đường phân giác BD, kẻ DE vuông góc với BC (E BC), trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF=CE, CM:
a, ABD=EBD
b, BD là đường trung trực của AE
c, AD<DC
d, BA điểm E, D, F thẳng hàng và BD vuông góc với CF
e, 
HD: 
a, ABD =EBD ( cạnh huyền- góc nhọn)
b, => AB=BE ( hai cạnh tương ứng)
B thuộc đường trung trực của AE
Và DA= DE ( hai cạnh tương ứng) 
D thuộc đường trung trực của AE
Vậy BD là đường trung trực của AE
c, ta có: DEC vuông tại E=> DC> DE mà DE= DA=> DC= DA
d, Ta có : DAF = DEC ( hai cạnh góc vuông)
 , mà , hay D, E, F thẳng hàng
ABE có AB = EB => AF= EC=> BF= BC=> BFC cân tại B
BD là tia phân giác => BD là đường trung trực => 
E, Ta có : AD+AF >DF => 2(AD+AF) > 2.DF=DF+DC>FC
Bài 55: Cho ABC vuông ở B có , tia phân giác góc cắt BC ở D, kẻ ()
a, CMR: AB=AH và 
b, CM: HA=HC
c, CM: DC>AB
d, Gọi S là giao điểm của HD và AB, Chứng minh D là trọng tâm của SAC
HD: 
a, BAD =HAD ( cạnh huyền- góc nhọn)
AB=AH ( hai cạnh tương ứng)
ABH cân tại A có AD là tia phân giác góc 
AD là đường trung trực => 
b, ABC có 
ADC có => ADC cân tại D, 
có DH là đường cao nên cũng là đường trung trực hay AH =HC
c, Từ câu b => DHC vuông tại B=> DC> HC=AH=AB => DC> AB
d, DBS =DHC ( cạnh góc vuông- góc nhọn)
BS= HC => ASC cân có =>ASC đều
Có SH, CH là hai đường cao=> D là trực tâm cũng là trọng tâm
Bài 56: Cho ABC có và tia phân giác BH của góc B (H thuộc AC), Kẻ Hm HM vuông góc với BC (M thuộc BC) Gọi N là giao điểm của AB và MH, CMR :
a, ABH=MBH
b, BH là đường trung trực của AM
c, AM//CN
d, 
HD: 
a, ABH=MBH ( cạnh huyền- góc nhọn)
b, BA=BM=> B nằm trên đường trung trực của AM
Và HA=HM => H nằm trên đường trung trực của AM
Vậy BH là đường trung trực của AM
c, HAN =HMC ( cạnh góc vuông- góc nhọn)
AN= MC=> BNC cân tại B => AM//NC
d, BNC cân tại B có BH là đường phân giác=> BH là đường cao => 
Bài 57: Cho ABC cân có , Các tia phân giác của góc B và C lần lượt cắt AC và AB tại D và E
a/ CMR: BE+CD=BC
b/ Gọi I là giao điểm của BD và CE. Tính số đo các góc của IDE
HD: 
a, ABC cân có nên ABC đều
BD là phân giác góc => BD là đường trung tuyến
CE là tia phân giác góc => CE là trung tuyến
 , Mà AC= AB=> BE=EA=AD=DC
BE+CD=BE+EA=BE+EA=AB=AC=BC
b, ADE đều vì có AE= AD => ED//BC
 ( so le trong)=> 
Bài 58: Cho ABC có , gọi d là đường trung trực của BC, O là giao điểm của AB và đường thẳng d. trên tia đối của tia CO lấy điểm E sao cho CE=BA
a, CM d là đường trung trực của AE
b, Gọi I và H lần lượt là giao điểm của d với AC và BC, biết BI=10cm, BC=16cm, OH=15cm. Tính chu vi IBO
HD: 
a, Vì O nằm trên đường trung trực của BC nên OB= OC
=> OAE cân tại O, có => (d) là phân giác
góc O => (d) là đường trung trực của AE
b, H là trung điểm của BC => 
BHI vuông tại H => 
BHO vuông tại H => cm
Vậy 
Bài 59: Cho ABC vuông tại A, tia phân giác của cắt AC tại D, Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD, cắt BD tại H, cắt BC tại E
a, CMR: ABE cân
b, CM: 
c, Tia BA cắt tia ED tại F, CMR: AE//FC
d, Kẻ Cx // DE, đường thẳng Cx cắt AE tại K, CMR: CK < CB
HD: 
a, ABE có BH vừa là tia phân giác, vừa là đường cao 
ABE cân tại B
b, ABD =EBD (c.g.c)
c, ABD =EBD => DA= DE
ADF=EDC ( cạnh góc vuông- góc nhọn)
AF= EC=>BFC cân tại B=> AE//FC
d, CK// DE=> 
FEC =KCE ( cạnh góc vuông- góc nhọn)
Vì 
Bài 60: Cho ABC có AB<AC, AM là tia phân giác , trên AC lấy điểm N sao cho AN=AB
a, CMR: AMB=AMN
b, Qua N kẻ tia Nx song song với AM cắt MC tại P. CM PMN cân
c, CM BNNP, Từ đó so sánh BN và BP
d, Từ C kẻ đường thẳng d vuông góc với AM cắt MN tại I, giả sử MNAC, CMR: A, B, I thẳng hàng
HD: 
a, AMB=AMN (c.g.c)
b, NM=MB=> 
PMN cân
c, Ta có: , 
Khi đó BNP vuông tại N=> BN< BP
Bài 61: Cho ABC(AB<AC), Từ trung điểm D của cạnh BC, kẻ 1 đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, đường thẳng đó cắt AB và AC theo thứ tự ở M và N
a, CM : AMN cân
b, CM : BM=CN
c, Cho AB=c, AC=b, Tính AM, BM theo b và c
HD: 
a, AMN có tia phân giác góc A vừa là đường cao
AMN cân tại A
b, Từ B vẽ đường thẳng // với AC cắt MN tại I
BDI =CDN (g.c.g) => BI=NC
Lại có BI//AC=> => cân tại B
BM=BI=NC
c, Ta có: AB+BM=AN=AC-NC
C+BM=b-NC=> BM+NC=b-c=> 2. BM=b-c=> 
AM=AB+BM= 
Bài 62: Cho ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC ở E, trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD=BA
a, CMR: ABE=DBE
b, CMR: ED BC
c, Tia DE cắt BA tại K, CM: BK=BC
d, Từ A kẻ AH vuông góc với BC (H BC), AH cắt BE tại I, CMR: AD là đường trung trực của IE
HD :
d, Gọi O là giao của IE và AD
ABD có AB=BD nên cân tại B, nên tia phân giác BO cũng là đường cao ,
Khi đó BO AD
AED có AE=DE nên cân tại E
 	(1)
Mà 
Khi đó: ( So le trong) (2)
Từ (1) và (2) suy ra hay AO là phân giác 
IAE có AO vừa là đường cao, vừa là phân giác nên là đường trung trực 
Bài 63: Cho MNP có kẻ , vẽ MK là phân giác của , kẻ 
a, CMR :MKA=MKI
b, Gọi B là giao điểm của AK và MI. CMR : MKBP, IA//BP
c, So sánh KP và BP
d, Các tia phân giác của cắt nhau ở C, NC cắt MI ở D, chứng minh D là trực tâm của MNK
HD: 
a, MKA=MKI ( cạnh huyền góc nhọn)
b, MBP có K là trực tâm => MK BP
MBP có MK vừa là đường cao, vừa là tia phân giác=> MBP cân tại M
MIA có MA= MI ( hai cạnh tương ứng)=> MIA cân tại M
mà là hai góc ở vị trí đòng vị nên AI// BP
c, KBP có ( góc ngoài của )
KBP là tam giác tù=> 
D, Ta có: ( cùng phụ )
Mà 
Hay MNK có 2 đường cao là MI và ND cắt nhau tại D=> D là trực tâm MNK
Bài 64: Cho ABC có , Kẻ AH vuông góc với BC, trên tia HC lấy điểm D sao cho HD= HB, kẻ CE vuông góc với AD kéo dài , CM:
a, ABD cân
b, 
c, CB là tia phân giác 
d, CM: 
Chứng minh ba đường AH, ID và CE đồng quy
e, So sánh AC và CD
g, Tìm điều kiện của ABC để I là trung điểm của AC
HD:
Bài 65: Cho ABC vuông ở A, trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD =BA. Trên cạnh BC lấy điểm G sao cho , Gọi E là giao điểm của AG và CD
a, CMR: DE=EC
b, Lấy I thuộc AE sao cho E là trung điểm của AI, CM DAI là tam giác vuông
c, CM: 
d, Cho AC= 6cm, CM: AE+BC> 9 cm
HD:
a, ADC có CB là đường trung tuyến
Mà G BC và CG= BC
Nên G là trọng tâm của ADC=> AG là đường trung tuyến
Cắt DC tại E=> DE= CE
b, AEC=IED => 
Mà vuông tại D
c, Từ AEC=IED => AC= DI ( hai cạnh tương ứng)
ADI=DAC ( hai cạnh góc vuông)
AI=DC=> AI= DC=> AE=EC=ED=EI=> AE= DC
d, ADC có B là trung điểm của AD, E là trung điểm của DC
BE là đường trung bình của ADC=> 
GAC có GA+GC> AC=6cm
GBE có GB+GE> BE=3cm => GA+GC+GB+GE>9cm=> AE+BC> 9cm
Bài 66: Cho A