Bài tập Đại số 7 - Chủ đề 8: Tỉ lệ thức. Dãy tỉ số bằng nhau

CHỦ ĐỀ 8: TỈ LỆ THỨC. DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU.
A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Tỉ lệ thức.
1.1. Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số 	
	Trong đó: a, b, c, d là các số hạng.
 	a, d là ngoại tỉ 	b, c là trung tỉ.
1.2. Tính chất của tỉ lệ thức:
 	* Nếu Thì 
 	* Nếu và a, b, c, d 0 thì ta lập được các tỉ lệ thức sau:
 ; ; ; 
2. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
2.1. Tính chất:
	Từ dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra:
	(Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
2.2. Chú ý: 
 	Khi có dãy tỉ số ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số x, y, z
	=> Ta còn viết a : b : c = x : y : z.
3/ Kiến thức bổ sung
3.1. Luỹ thừa của một thương: 
	 Với n N, x 0 và x, y Q.
2. Một số tính chất cơ bản:
 	* 	Với m 0.	
	* 	Với n 0.
 	* 	Với n N.
B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP.
DẠNG 1: Xác định số trung tỉ, ngoại tỉ của các tỉ lệ thức.
	Ta có tỉ lệ thức hay 
a, d là ngoại tỉ 	b, c là trung tỉ.
Bài 1: Chỉ rõ ngoại tỉ, trung tỉ của các tỉ lệ thức sau
	a) 	b) 	
	c) – 0,375 : 0,875 = - 3,63:8,47
DẠNG 2: Lập tỉ lệ thức.
	Ta có hai tỉ số a:b và c:d
	Nếu a.d = c.b thì ta lập được tỉ lệ thức 
Bài 1: Các tỉ số sau có lập thành tỉ lệ thức không?
	a) (-0,3):2,7 và (-1,17) : 15,39	
	b) 4,86 : (-11,34) và (-9,3):21,6	
	ĐS: a) vì (– 0,3).15,39 = (-1,17).2,7 nên lập được tỉ lệ thức.
	 b) Không lập được tỉ lệ thức.
Bài 2: Có thể lập được tỉ lệ thức từ các số sau không?
	a) 1,05 ; 30 ; 42 ; 1,47
	b) 2,2 ; 4,6 ; 3,3 ; 6,7
	ĐS: a) 1,05.42 = 30.1,47 (=44,1) => Lập được tỉ lệ thức 
	 b) Tích các cặp số đều khác nhau nên không lập được tỉ lệ thức nào.
Bài 3: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ các đẳng thức sau:
	a) 7.(-28) = (-49).4
	b) 0,36.4,25 = 0,9.1,7
	c) 6 : (-27) = 
Bài 4: Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ các số sau: 5 ; 25 ; 125 ; 625
	ĐS: Ta có đẳng thức: 5.625 = 25.125, từ đó viết được bốn tỉ lệ thức. 
DẠNG 3: Tìm số chưa biết trong tỉ lệ thức hoặc dãy tỉ số bằng nhau.
	* Với bài toán tìm một biến x từ tỉ lệ thức => => x = ....
	* Với bài toán tìm hai hay nhiều biến từ tỉ lệ thức hoặc dãy tỉ số bằng nhau:
	+ Ta thường biến đổi về dạng: 
	+ Thực hiện nhân cả tử và mỗi với cùng một số để xuất hiện từng số hạng chứa biến trong biểu thức giả thiết.
	+ Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau để sử dụng giả thiết rồi tính.
Bài 1. Tìm x, y khác 0 biết: 
 	a) = và 2x + 5y = 10
 	b) = - và 2x + 3y = 7
	c) 21.x = 19.y và x – y = 4
 	d) = và x.y = 84
 Hướng dẫn:
a) Có = Û = = = . Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 	 = = = = 
 	Do đó: +) = suy ra x = = 
 +) = suy ra y = = 
 	Vậy: x = và y = 
b) Có = - Û = => = = = 
 	Hay: +) = suy ra: 2x = Û x = - 
 +) = suy ra: y = 
 	Vậy: x = - và y = 
c) 21.x = 19. y Û = => = = = = -2
 	Hay: +) = -2 Û x = -2.19 = -38
 +) = -2 Û y = -2.21 = -42
	Vậy: x = - 38 và y = - 42
d) = Þ = = = = 4
 	Hay: +) = 4 Û x2 = 36 Û x = ± 6
 +) = 4 Û y2 = 196 Û y = ± 14
	Vậy: x = 6 và y = 14 hoặc x = - 6 và y = -14
	* Cũng có em làm cách khác:
 	Có = Û = mà xy = 84 ( x và y cùng dấu)
 	nên . xy = . 84 Û x2 = 36 Û x = ± 6
 	và xy: = 84: Û y2 = 196 Û y = ±14
Bài 2. Tìm x, y, z biết: 
 	a) = ; = và 2x + 3y – z = 186	
 	b) x : y : z = 3 : 5 (- 2) và 5x – y + 3z = 124
 	c) = = = 
	Hướng dẫn:
a) = = = = = = = 3 => x = 45 ; y = 60 ; z = 84
b) = = = = = = = 31 => x = 93 ; y = 155 ; z = -62.
c) = = = = = 2 
	=> x+y+z = => x = ; y = ; z = - .
Bài 3: Tìm các số x, y, z biết: = = và 5z – 3x – 4y = 50
	Hướng dẫn:
	 = = & 5z – 3x – 4y = 50
	Û = = & 5z – 3x – 4y = 50
 	Û = = = = = 2
	=> x = y = 5 ; z = 17
Bài 4. Tìm a, b, c biết rằng: 2a = 3b = 4c và a – b + c = 35
	Hướng dẫn:
	Có: 2a = 3b = 4c Û = = = = = 
	Khi đó: = = = = = 7 => a = 42 ; b = 28 ; c = 21
Bài 5. Tìm x biết: = 
	ĐS: x = 32.
Bài 6. Tìm a, b biết rằng: 
	a) = và a2 – b2 = 36
	b) = và ab = 48 
	ĐS: a) a = 10 và b = 8 hoặc a = - 10 và b = - 8.
	 b) a = 6 và b = 8 hoặc a = - 6 và b = - 8.
Bài 7. Tìm x1, x2, x3, , x9 biết rằng: 
 	 = = = = và x1 + x2 + x3 + + x9 = 90
 	Hướng dẫn
	 = = = = = = 
 = = 1
 	+) = 1 Û x1 = 9 + 1 = 10
 	+) = 1 Û x2 = 8 + 2 = 10
 	+) = 1 Û x3 = 7 + 3 = 10
 	+) = 1 Û x9 = 1 + 9 = 10
 	Vậy: x1 = x2 = x3 = = x9 = 10.
Bài 8. 
	a) Tìm phân số có dạng tối giản biết = với a, b Î Z và b ≠ 0.
 	b) Cho phân số . Tìm các số nguyên x, y sao cho = .
	Hướng dẫn: 
a) áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 	 = = = = 
 	Phân số cần tìm có dạng tối giản = nên phân số cần tìm có dạng 
	với k Î Z và k ≠ 0.
b) Có: = = = 
 	Với = thì ta có thể tìm được vô số các số nguyên x, y thoả mãn.
Bài 9. Tìm x, y biết:
	a) = & x4 y4 = 16
	b) = & x10 y10 = 1024
	c) = = 
	Hướng dẫn:
a) Từ = suy ra: = = và x, y cùng dấu (1)
	Với x4 y4 = 16 Û xy = ± 2 (2)
 	Kết hợp (1) và (2) ta có: = = = = 
	Vậy: x = 1 và y = 2 hoặc x = - 1 và y = - 2
 b) Có: = = = Û = Û = x2 ó x = ± 
 	Khi đó: x10y10 = (± )10.y10 = 1024 Û y20 = 210.1024 ó y20 = 220 ó y = ± 2
 	Do đó: x = ± 1
 	Vậy: x = 1 và y = 2 hoặc x = –1 và y = –2 
 	hoặc x = 1 và y = –2	hoặc x = –1 và y = 2
c) Có = = 	(1)
 	 = = = 	(2)
	Từ (1), (2) ta có: 6x = 12 Û x = 2 thay vào (1) thì y = 3
	Vậy: x = 2 và y = 3.
Bài 10. Tìm ba số x, y, z biết = = (1) và x2 + y2 + z2 = 14
	Hướng dẫn:
Û = = => = = = = = 
	Mà theo (1) thì x, y, z cùng dấu
	Nên: x = 1; y = 2; z = 3 hoặc x = –1; y = –2; z = –3.
DẠNG 4: Tính giá trị biểu thức.
 +) Đây là loại bài tập khó, đòi hỏi học sinh phải huy động nhiều kiến thức và kĩ năng cũng như biết tổng hợp tri thức phương pháp đã học. Khả năng quan sát và dự đoán được sử dụng nhiều, liên tục, đồng thời với sự suy luận logic, sáng tạo...
 +) Làm dạng bài tập này, học sinh rất cần đến sự xúc tác của giáo viên mỗi khi các em gặp bế tắc. Những lúc đó thì giáo viên chỉ cần gợi mở hướng đi cho học sinh bằng những câu hỏi mở...
Bài 1. Cho x, y, z thoả mãn: với x, y, z khác 0. Tính: P = 
	Hướng dẫn: 
 	Đặt = k (k khác 0) thì x = 2k , y = 5k , z = 7k
	Khi đó: P = 	
	Vậy: P = 
Bài 2. Cho 3 tỉ số bằng nhau ; ; . Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó.
Hướng dẫn: 
 	Có: = = = (*)
	+) Nếu a + b +c ≠ 0 thì = = = = 
	+) Nếu a + b +c = 0 thì b + c = –a ; c + a = –b ; a + b = –c.
 	Khi đó: = ; ; 
 	Hoặc: = = = 
 	Vậy: +) Nếu a + b +c ≠ 0 thì = = = 
 +) Nếu a + b +c = 0 thì = = = 
Bài 3. Cho biểu thức: P = 
	Tìm giá trị của biểu thức P biết: 	(*)
 	Hướng dẫn
	Có: 
	Hay: 
	+) Nếu x + y + z + t ≠ 0 thì y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z
	 x = y = z = t khi đó: P = 1 + 1 + 1 +1 = 4
	+) Nếu x + y + z + t = 0 thì x + y = – (z + t) ; y + z = – (z + t) 
	Khi đó: P = (– 1) + (– 1) + (– 1) +(– 1) = – 4
	 Vậy: +) P = 4 khi x + y + z + t ≠ 0 
 +) P = – 4 khi x + y + z + t = 0
DẠNG 5: TOÁN ĐỐ
	+ Thể hiện đầu bài bằng bểu thức đại số 
	+ Sau khi giải ra kết quả thì Bài hỏi gì ta kết luận đấy
	+ Lưu ý: Khi gọi kí hiệu nào đó là dữ liệu chưa biết thì học sinh phải đặt điều kiện và đơn vị cho kí hiệu đó - dựa vào đại lượng cần đặt kí hiệu. Và kết quả tìm được của kí hiệu đó phải được đối chiếu với điều kiện ban đầu xem có thoả mãn hay không. Nếu không thoả mãn thì ta loại đi, nếu có thoả mãn thì ta trả lời cho bài toán 
Bài 1. Tìm phân số biết rằng nếu cộng thêm cùng một số khác 0 vào tử và vào mẫu của phân số thì giá trị phân số đó không đổi.
	Hướng dẫn: 
	Nếu ta cộng thêm cùng một số x0 vào tử và vào mẫu của phân số thì giá trị phân số không đổi .
 	Ta có: = = = = = 1
 	Vậy: = 1.
Bài 2. Tìm hai phân số tối giản. Biết hiệu của chúng là: và các tử tỉ lệ với 3; 5 và các mẫu tỉ lệ với 4; 7.
 	Hướng dẫn:
	Các tử tỉ lệ với 3; 5 còn các mẫu tương ứng tỉ lệ với 4; 7 thì hai phân số tỉ lệ với: và 
	Gọi hai phân số tối giản cần tìm là: x, y.
	Theo bài toán, ta có : x : y = : và x – y = . => = và x – y = 
	=> == = = 
	+) = x = .21 = 
	+) = y = .20 = 
Bài 3. Tìm 1 số có 3 chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với 1; 2; 3.
 	ĐS: số cần tìm là : 396 hoặc 936 .
Bài 4: Một cửa hàng có 3 tấm vải, dài tổng cộng 126m. Sau khi họ bán đi tấm vải thứ nhất, tấm vải thứ hai và tấm vải thứ ba, thì số vải còn lại ở ba tấm bằng nhau. Hãy tính chiều dài của ba tấm vải lúc ban đầu .
 	ĐS: chiều dài của mỗi tấm vải lúc đầu lần lượt là: 28m, 42m, 56m
Bài 5. Có ba tủ sách đựng tất cả 2250 cuốn sách. Nếu chuyển 100 cuốn từ tủ thứ nhất sang tủ thứ 3 thì số sách ở tủ thứ 1, thứ 2, thứ 3 tỉ lệ với 16;15;14. Hỏi trước khi chuyển thì mỗi tủ có bao nhiêu cuốn sách ?
	ĐS: Trước khi chuyển thì: Tủ 1 có : 900 quyển sách; Tủ 2 có : 750 quyển sách; Tủ 3 có : 600 quyển sách.
Bài 6. Cho tam giác ABC có Â và tỉ lệ với 3 và 15, = 4. Tính các góc của tam giác ABC.
	Hướng dẫn:
	Theo bài ta có = và =
	Hay : == mà Â + + = (Tổng 3 góc trong một tam giác)
 	=====
	+) = Â = .3 = 
	+) = = .15 = 
	+) = = .12 = 
 	Vậy các góc của tam giác ABC là : Â = , = , = .
Bài 7. Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 300 m2, có hai cạnh tỉ lệ với 4 và 3. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
 	ĐS: chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó là 20m và 15m
Bài 8: Một ô tô đi từ AB mỗi giờ đi đươc 60,9 km. Hai giờ sau, một ô tô thứ hai cũng đi từ AB với vận tốc 40,6 km. Hỏi ô tô thứ nhất đi từ AB mất mấy giờ. Biết rằng xe ô tô thứ hai đến muộn hơn ô tô thứ nhất là 7 giờ.
	ĐS: ô tô thứ nhất đi từ AB mất 10 giờ.
Bài 9: Ba xí nghiệp cùng xây dựng chung một cây cầu hết 38 triệu đồng. Xí nghiệp I có 40 xe ở cách cầu 1,5 km, xí nghiệp II có 20 xe ở cách cầu 3 km, xí nghiệp III có 30 xe ở cách cầu 1 km. Hỏi mỗi xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu bao nhiêu tiền, biết rằng số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí nghiệp đến cầu?
	ĐS: Mỗi xí nghiệp I, II, III theo thứ tự phải trả: 16 triệu đồng, 4 triệu đồng, 18 triệu đồng
DẠNG 6: Chứng minh tỉ lệ thức.
 +) Thường thì ở dạng bài tập này, bài sẽ cho sẵn một số điều kiện nào đó và yêu cầu chứng minh tỉ lệ thức.
 +) Để làm xuất hiện tỉ lệ thức đã cần chứng minh thì chúng ta có thể biến đổi từ tỉ lệ thức bài cho hoặc từ điều kiện bài cho. Với tính chất các phép toán và tính chất của tỉ lệ thức hoặc tính chất của dãy tỉ số bằng nhau chúng ta có thể biến đổi linh hoạt điều đã cho thành điều cần có.
 +) Có nhiều con đường để đi đến một cái đích, hãy lựa chọn phương pháp phù hợp, hợp lí nhất trong khi chứng minh.
 +) Lưu ý: Trong quá trình biến đổi chứng minh nên luôn nhìn về biểu thức cần chứng minh để tránh tình trạng biến đổi dài, vô ích.
Bài 1. Cho Với a, b, c, d 0. Chứng minh rằng: 	
Hướng dẫn: 
	Có: 
 	Hay (Đpcm)
Bài 2. Cho . Chứng minh rằng: 
 	Hướng dẫn
	Có: 
 	Vậy: (Đpcm).
Bài 3. Cho . Chứng minh: .
Hướng dẫn
 	Có: 
 	Vậy: (Đpcm).
Bài 4: Cho = . Chứng minh rằng: = .
Hướng dẫn
	Có: = suy ra: = = = 
	Hay: = (Đpcm).
Bài 5: Cho 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z). Chứng minh rằng: = .
 	Hướng dẫn 
	Có: 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z)
 	Suy ra: = = = = 
 	+) = = = 	 (1)
 	+) = = = 	(2)
 	Từ (1) và (2) ta có = (Đpcm).
Bài 6. Cho = với a, b, c, d ≠ 0 và c ≠ d. Chứng minh rằng: = hoặc = .
 	Hướng dẫn 
 	= = = = 
 	 ( )2 = ( )2
 	Suy ra: = hoặc = - .
 	+) Nếu = thì = = = 
	 = = (1)
 	+) Nếu = - thì = - = = 
 	 = = (2)
	Từ (1) và (2) ta có: = hoặc = .