Bài tập Hình học 7 - Chủ đề 10: Định lí Py-Ta-Go. Trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

	CHỦ ĐỀ 10: ĐỊNH LÍ PY-TA-GO.
 TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG.
A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1/ Định lí PY – TA – GO thuận: 
	Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
	VD: ∆ABC vuông tại A => BC2 = AB2 + AC2
2/ Định lí PY – TA – GO đảo: 
	Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.
	VD: ∆ABC có BC2 = AB2 + AC2 => ∆ABC vuông tại A 
3/ Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông
	Trường hợp 1: Cạnh huyền – Góc nhọn
	Trường hợp 2: Cạnh huyền – Cạnh góc vuông.
	Trường hợp 3: Cạnh góc vuông – Góc nhọn.
B/ PHÂN LOẠI BÀI TẬP.
Loại 1. Dùng Định lí thuận Pitago để tính độ dài cạnh.
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính BC biết :
	a) . 
	b) 
	c) 
a) 
b) 
c) 
 Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. 
	a) Tính AB biết .
	b) Tính AC biết .
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại B. Tính độ dài AB biết .
Bài 4: Cho tam giác MNP vuông tại N. Tính độ dài MN biết .
Bài 5: Cho vuông cân tại A. Biết . Tính BC
Bài 6: Cho vuông cân tại A. Biết . Tính AB, AC.
Loại 2. Dùng Định lí đảo Pitago để chứng minh tam giác là tam giác vuông.
Bài 7: Cho các tam giác với độ dài cho trước dưới đây. Hãy cho biết tam giác nào là tam giác vuông (vuông tại đâu) ? Vì sao ?
	a) có 
	b) có 
	c) có 
	d) có 
	e) có 
	f) có 
Loại 3. Vận dụng tổng hợp
Bài 1: Cho hình vuông ABCD cạnh 4cm. Tính độ dài các đường chéo AC, BD.
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD có . Tính độ dài AC. 
Bài 3: Cho vuông tại A, AHBC tại H. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết .
Bài 4: Cho vuông tại A, AHBC tại H. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết .
Bài 5: Cho vuông tại A, AHBC tại H. Biết . Tính BC, AH, AC.
Bài 6: Cho vuông tại A, AHBC tại H. Biết và Tính. HB, HC.
Bài 7: Cho vuông tại A, có . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tính độ dài các đoạn .
Bài 8: Cho vuông tại A, có . Gọi M là trung điểm AC. Lấy điểm E trên tia đối của tia MB. Tính độ dài BE. 
Bài 9: Cho vuông tại A, có . Goi I là điểm thuộc AC sao cho . Tính độ dài BI.
Bài 10: Cho cân tại A. Kẻ BH vuông góc với AC tại H. Biết Tính độ dài cạnh BC.
Bài 11: Cho cân tại A. Kẻ BH vuông góc với AC tại H. Biết Tính độ dài cạnh BC.
Loại 4: Chứng minh hình sử dụng tam giác vuông bằng nhau.
Bài 1: Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Trên đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ M lấy điểm A (A ¹ M). Chứng minh rằng AB = AC.
Hướng dẫn
	Xét tam giác vuông ABM và tam giác vuông ACM có
	MB = MC (gt) 
	AM cạnh góc vuông chung
	Vậy D ABM = D ACM (hai cạnh góc vuông ) 
	=> AB = AC ( cạnh tương ứng )
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (H Î BC). Chứng minh rằng HB = HC.
Hướng dẫn
	Xét tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACH có:
	AB = AC (gt) 
	 AH cạnh góc vuông chung
	Vậy D ABH = D ACH (ch + cgv) 
	=> BH = HC ( cạnh tương ứng )
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Từ D kẻ DE ^ AB (E Î AB) và DF ^ AC (F Î AC). Chứng minh rằng:
DE = DF.
D BDE = D CDF.
AD là đường trung trực của BC.
Hướng dẫn
 	a) Xét tam giác vuông ADE và tam giác vuông ADF 
	 (gt) ; AD cạnh huyền chung 
	Vậy D ADE = D ADF (CH + GN) 
DE = DF ( cạnh tương ứng )
AE = AF ( cạnh tương ứng )
 	b) Ta có AB = AE + EB và AC = AF + FC 
	mà AB = AC (gt) và AE = AF (cmt)
 	=> EB = FC 
 	Xét D vuông BDE và D vuông CDF.
 	BE = CF ( cmt ) và DE = DF ( cmt )
	Vậy Dvuông BDE = D vuông CDF (2 cạnh góc vuông)
 => DB = DC ( cạnh tương ứng ) (1)
	c) Xét D BDA & D CDA có
 	 	AB = AC (gt) ; DB = DC (cmt) AD cạnh chung 
 	 Vậy D BDA = D CDA (ccc) => mà = 180 
	=> = 90
 	=> AD vuông góc với BC (2) . 
	Từ (1) và (2) suy ra AD là trung trực của BC
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BE ^ AC (E Î AC) và CF ^ AB (F Î AB). Chứng minh rằng BE = CF.
Hướng dẫn
 	Xét tam giác vuông ABE và tam giác vuông ACF Có 
	AB = AC (gt) ; chung 
	Vậy D ABE = D ACF (ch + gnh) 
BE = CF ( cạnh tương ứng )
Bài 5: Cho tam giác đều ABC, Kẻ AM, BN, CP lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC, AB (M Î BC, N Î AC, P Î AB). Chứng minh rằng: AM = BN = CP.
Hướng dẫn
 	Xét tam giác vuông AMB và tam giác vuông CPB Có 
	AB = BC (gt) ; chung 
 	Vậy D AMB = D CPB (CH + GN) 
 AM = CP ( cạnh tương ứng ) (1)
 	Xét tam giác vuông ANB và tam giác vuông APC 
	AB = AC (gt) ; chung 
 	Vậy D ANB = D APC (CH + GN) 
 AN = CP ( cạnh tương ứng ) (2)
	Từ (1 ) và (2) => AM = BN = CP
Bài 6: Trên tia phân giác của góc nhọn xOy lấy điểm M (M ¹ O). Từ M kẻ MA ^ Ox; MB ^ Oy (A Î Ox; B Î Oy). Chứng minh rằng OA = OB.
Hướng dẫn
 	Xét tam giác vuông OAM và tam giác vuông OBM 
 	 (gt) ; OM chung 
 	Vậy D OAM = D OBM (CH + GN) 
OA = OB ( cạnh tương ứng ) 
Bài 7: Cho góc nhọn xOy. Kẻ đường tròn tâm O bán kính 5cm; đường tròn này cắt Ox tại A và cắt Oy tại B. Kẻ OM ^ AB (M Î AB). Chứng minh rằng OM là tia phân giác của góc xOy
Hướng dẫn
Xét tam giác vuông OAM và tam giác vuông OBM Có 
	OA = OB (gt) ; OM chung 
 	Vậy D OAM = D OBM (CH + CGV) 
 ( góc tương ứng ) 
	Vậy OM là tia phân giác của góc xOy
Bài 8: Cho ABC cân tại A kẻ AHBC (HBC)
	a) Chứng minh: D ABH = D ABH suy ra AH là tia phân giác của .
	b) Kẻ HDAB (DAB) , HEAC (EAC). Chứng minh HDE cân.
	c) Nếu cho AB = 29 cm, AH = 20 cm. Tính độ dài cạnh AB?
	d) Chứng minh BC // DE.
	e) Nếu cho = 1200 thì HDE trở thành tam giác gì? Vì sao?
A
B
D
E
H
C
Hướng dẫn
	a) Chứng minh: HB = HC 
 	AHB =AHC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
	 HB = HC
	b) Chứng minh HDE cân:
 	BDH=CEH (cạnh huyền - góc nhọn) DH = HE 
	Vậy HDE cân tại H 
	c) Chứng minh: HED đều
	HED là tam giác đều vì = 
	 =
	 = 
	Tam giác cân có một góc bằng 600 là tam giác đều.
	d) Gọi 
	DIH = EIH (c.g.c) 
	Mà 
	Do đó: = AHDE
	Mặt khác: AHBC
	Do đó: DE // BC
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, có và AB = 5cm. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Kẻ DE vuông góc với BC tại E.
	1/ Chứng minh: ABD = EBD.
	2/ Chứng minh: ABE là tam giác đều.
	3/ Tính độ dài cạnh BC.
Hướng dẫn
1/ Chứng minh: ABD = EBD
	Xét ABD và EBD, có:
	BD là cạnh huyền chung
 (gt)
	Vậy ABD = EBD (cạnh huyền – góc nhọn)
2/ Chứng minh: ABE là tam giác đều.
	ABD = EBD (cmt)
	AB = BE
	mà (gt)
	Vậy ABE có AB = BE và nên ABE đều
3/ Tính độ dài cạnh BC
	Ta có (gt)
	 (ABC vuông tại A)
	Mà (ABE đều) Nên 
	AEC cân tại E
	 EA = EC mà EA = AB = EB = 5cm
	Do đó EC = 5cm
	Vậy BC = EB + EC = 5cm + 5cm = 10cm
Bài 10: Cho tam giác ABC có AB = AC =10cm, BC = 12cm. Vẽ AH vuông góc BC tại H. 
	a) Chứng minh:ABC cân. 
	b) Chứng minh , từ đó chứng minh AH là tia phân giác của góc A. 
	c) Từ H vẽ HM AB và kẻ HN AC . 
	Chứng minh : BHM =HCN (1,5đ)
	d) Tính độ dài AH. (1đ)
	e) Từ B kẻ Bx AB, từ C kẻ Cy AC chúng cắt nhau tại O. Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao? 
Hướng dẫn
a) Xét ABC có CA = CB =13cm (gt)
 	Vậy ABC cân tại A.
b) và có: 
	CA = CB (ABC cân tại A)
	 (gt)
CI: cạnh chung
	Do đó = (cạnh –góc- cạnh) => 
c) Ta có (theo b))
	Mà (kề bù)
	Nên 
	Hay CI ^ AB
d) Ta có IA = IB= cm
	 vuông tại I, theo Pytago ta có: 
	Hay 
	=> IC = cm
e) CHI và CKI có: 
	 (CI là phân giác góc C)
	CI : cạnh chung
	Do đóCHI = CKI (cạnh huyền-góc nhọn)
	=> IH = IK
Bài 11: Cho góc nhọn xOy. Gọi I là một điểm thuộc tia phân giác của góc xOy. Kẻ IA vuông góc với Ox (điểm A thuộc tia Ox) và IB vuông góc với Oy (điểm B thuộc tia Oy) 
	a) Chứng minh OAI = OBI, IA = IB.
	b) Cho biết OI = 10cm, AI = 6cm. Tính OA.
	c) Gọi K là giao điểm của BI và Ox và M là giao điểm của AI với Oy. So sánh AK và BM?
 	d) Gọi C là giao điểm của OI và MK. Chứng minh OC vuông góc với MK
Hướng dẫn
a) Chứng minh đượcOAI = OBI(cạnh huyền-góc nhọn)
b)
	- Viết hệ thức Pytago 
 	- Tính đúng OA = 8cm
c) Chứng minh được BIM = AIK 
 	Suy ra được AK = BM 0,5đ 
d) Chứng minh được BIM = AIK0,5đ 
	Suy ra được góc OCK bằng góc OCM và bằng 900 
Bài 12: Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng
Hướng dẫn
K'
K
E
F
N
M
C
B
A
=
=
Kẻ ME BC ; NF BC ( E ; F BC)
Xét và vuông tại E và F có:
 	BM = CN (gt)
	 (cùng bằng )
	Do đó: = (cạnh huyền- góc nhọn)
 	Suy ra: ME = NF.
	Gọi K’ là giao điểm của BC và MN.
	Xét MEK’ và NFK’ vuông ở E và F có: 
	ME = NF (cmt)
	 (so le trong của ME // FN) . 
	Vậy MEK’ = NFK’ (g-c-g). Do đó: MK’ = NK’ .
	Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K K’
	Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng.
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ sao cho CM = CA, sao cho AN=AH. Chứng minh :
	a. và phụ nhau
	b. AM là tia phân giác của góc BAH
	c. 
Hướng dẫn
 a) Trong tam giác AMC có MC = AC (gt)
 	Nên tam giác AMC là tam giác cân tại C 
 	=> mà = 900
 	Nên = 900 => và phụ nhau
b) xét Dvuông AMH và Dvuông AMN Có 
	AN = AH ( gt)
 	AM cạnh huyền chung 
 	Vậy Dvuông AMH = Dvuông AMN ( Ch + CGV)
 	=> => AM là phgân giác của 
 c) Vì Dvuông AMH = Dvuông AMN 
 	=> mà => =>