Bài toán về điều kiện có liên quan đến giá trị tuyệt đối

 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN NGUYỄN THỊ XUÂN 
 PHẦN 7 
 BÀI TỐN VỀ ĐIỀU KIỆN CĨ LIÊN QUAN ĐẾN GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN CHUNG 
 + A 0 với mọi A 
 + A A A 0 A A A 0 
 2
 + AA 2 với mọi A AA 2 
 + A . B A.B ABAB 
 x1 x 2 0 x 1 0 x1 x 2 0 x 1 0
 + 
 x1 x 2 x 2 0 x1 x 2 0 x 2 0
II. CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP 
DẠNG 1. BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỀU KIỆN CĨ TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG 
1. Phương pháp giải 
 Bước 1. Tính , tìm điều kiện để phương trình cĩ nghiệm theo yêu cầu của bài tốn 
 Bước 2. Viết các hệ thức về 2 nghiệm của phương trình 
 2
 Bước 3. Vận dụng tính chất AA 2 , giải điều kiện tìm giá trị của tham số 
 Bước 4. Đối chiếu điều kiện của tham số, kết luận 
2. Ví dụ. 
 Ví dụ 1. Cho phương trình x2 2mx 3 0 , với m là tham số 
 Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 thoả mãn x1 x 2 6. 
 Lời giải 
 Xét phương trình x2 2mx 3 0 
 Ta cĩ ( m)2 1.( 3) m 2 3 0 với mọi m. ( Hoặc a = 1 > 0, c = - 3< 0) 
  phương trình luơn cĩ hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 với mọi m. 
 x1 x 2 2m
 Theo hệ thức Vi - et ta cĩ: 
 x1 .x 2 3
 2 2
 Ta cĩ : x1 x 2 6 x 1 x 2 2x.x 1 2 36 
 2 2
 (x1 x 2 2xx) 1 2 2xx 1 2 2x.x 1 2 36 
 2
 (x1 x 2 ) 2x 1 x 2 2 x 1 x 2 36 
 Suy ra : 4m2 2 3 2 3 36 m 2 6 m 6. 
 Vậy m 6 là giá trị cần tìm. 
 DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM 1 PHONE: 0368.792.092 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN NGUYỄN THỊ XUÂN 
Ví dụ 2. Cho phương trình x2 4mx 4m 2 m 2 0, với m là tham số 
 Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 sao cho x1 - x 2 2 . 
 Lời giải 
 Ta cĩ ∆’ = m - 2 
 Phương trình đã cho cĩ hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 ∆ > 0 hay m 2 0 m 2 
 2
 Theo hệ thức Vi-ét, ta cĩ x1 x 2 4m ; x1 , x 2 = 4m – m 2 . 
 2 2
 Ta cĩ xx31 2 xx 1 2 4 xx 1 2 4xx4 1 2 
 (4m)2 4(4m 2 m 2) 4 4m 12 0 m 3 (thỏa mãn m 2 ) 
 Vậy m = 3 là giá trị cần tìm. 
Ví dụ 3. Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1) , với m là tham số 
 a) Chứng minh phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 với mọi m. 
 b) Tìm m để x1 x 2 nhận giá trị nhỏ nhất ( x1 , x 2 là 2 nghiệm của phương trình (1)). 
 Lời giải 
 2
 2 2 2 1 19
Ta cĩ: ' (m 1) 1.(m 4) m 2m 1 m 4 m m 5 m 
 2 4
 2 2
 1 1 19 19
 Vì m 0 với mọi m. Nên ' m 0 với mọi m 
 2 2 4 4
 Phương trình (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2 với mọi m 
 b c
 Theo hệ thức Vi – ét ta cĩ: x x 2(m 1) 2m 2, x .x m 4 
 1 2 a 1 2 a
 2 2 2
 Ta cĩ: x1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 4x 1 x 2 (2m 2) 4(m 4) 
 4m2 8m 4 4m 16 4m 2 4m 20 (2m 1) 2 19 
 Vì (2m 1)2 0 với mọi m. Nên (2m 1)2 19 19 với mọi m 
 1
 Dấu “ = “ xảy ra khi (2m1) 2 0 2m10 m 
 2
 1
 Vậy x x đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m 
 1 2 2
 Sai lầm: Học sinh lập luận x1 x 2 0 với mọi m 
 Suy ra x1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0. Khi đĩ x1 x 2 . Điều này khơng xảy ra vì 
 phương trình (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2 với mọi m 
 DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM 2 PHONE: 0368.792.092 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN NGUYỄN THỊ XUÂN 
Ví dụ 4. Cho phương trình: x2 2(m 2)x 1 0 , với m là tham số 
 Tìm m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm x1 , x 2 thỏa mãn x1 x 2 2 5 
 Lời giải 
Ta cĩ: a.c 1.( 1) 1 0 với mọi m 
Nên phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt với mọi m 
 b c
Theo hệ thức Vi – ét ta cĩ: x x 2(m 2) 2m 4, x .x 1 
 1 2 a 1 2 a
 2
Theo bài ra ta cĩ: x1 x 2 2 5 x 1 x 2 20 
 2
 x1 x 2 4x 1 x 2 20 
 (2m 4)2 4.( 1) 20 
 (2m 4)2 24 
 2 6 2m 4 2 6 
 2 6 m 2 6 
Vậy 2 6 m 2 6 là giá trị cần tìm 
Ví dụ 5. Cho phương trình x2 mx m 2 0 (1) , với m là tham số 
 Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt x1 ; x 2 thỏa mãn x1 x 2 4 
 Lời giải 
Ta cĩ ( m)2 4.1.( m 2) m 2 4m 8 (m 2) 2 4 
Vì (m 2)2 0 với mọi m . Nên (m 2)2 4 4 0 với mọi m 
Phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt với mọi m 
 b c
Theo hệ thức Vi – ét ta cĩ: x x m , x .x m 2 
 1 2 a 1 2 a
 2 2 2
Ta cĩ x1 x 2 4 x 1 x 2 16 x1 x 2 2 x 1 x 2 16
 m2 2( m 2) 2 m 2 16 2 m 2 m2 2m 12 
Nếu m 2 0 m 2 . Ta cĩ phương trình m2 4m 8 0 (2) 
Nếu m 2 0 m 2 . Ta cĩ phương trình m2 16 0 (3) 
Giá trị của m cần tìm là nghiệm của phương trình (2) và (3) 
 DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM 3 PHONE: 0368.792.092 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN NGUYỄN THỊ XUÂN 
3. Bài tập vận dụng 
Bài 1. Cho phương trình x2 mx 3 0 , với m là tham số 
 a) Giải phương trình khi m 2 
 b) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1 ; x 2 thỏa mãn x1 x 2 4 
Bài 2. Cho phương trình x2 mx m 1 0, với m là tham số 
 a) Tìm m để phương trình nhận x 2021 2023 là nghiệm 
 b) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1 ; x 2 thỏa mãn x1 x 2 2. 
Bài 3. Cho phương trình x2 2(m 1)x m 3 0 , với m là tham số 
 a) Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm trái dấu 
 b) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1 ; x 2 thỏa mãn x1 x 2 4 
Bài 4. Cho phương trình x2 2x m 2 0 , với m là tham số 
 a) Giải phương trình khi m 2 
 b) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1 ; x 2 thỏa mãn x1 x 2 2 
Bài 5. Cho phương trình x2 mx 5 0 , với m là tham số 
 a) Tìm m để phương trình nhận x 1. Tìm nghiệm cịn lại của phương trình 
 Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm x1 ; x 2 thỏa mãn x1 x 2 6 
Bài 6. Cho phương trình x2 2(m 1)x 2m 5 0 , với m là tham số 
 a) Giải phương trình khi m 3 
 b) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1 ; x 2 thỏa mãn x1 x 2 2 
Bài 7. Cho phương trình x2 (m 3)x m 4 0 , với m là tham số 
 a) Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt âm 
 b) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm x1 ; x 2 thỏa mãn x1 x 2 2 x 1 x 2 
Bài 8. Cho phương trình 2x2 (m 3)x m 0 (1) , với m là tham số 
 a) Giải phương trình khi m = - 5 
 b) Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt x1 ; x 2 thỏa mãn x1 x 2 đạt GTNN 
Bài 9. Cho phương trình x2 mx m – 5 0, với m là tham số 
 a) Tìm m để phương trình nhận x 2 là nghiệm 
 b) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm x1 ; x 2 thỏa mãn x1 x 2 4 
 DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM 4 PHONE: 0368.792.092 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN NGUYỄN THỊ XUÂN 
 Bài 10. Cho phương trình 2x2 (m 3)x m 0 , với m là tham số 
 a) Giải phương trình khi m 1 
 b) Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt x1 ; x 2 thỏa mãn x1 x 2 đạt GTNN 
Bài 11. Cho phương trình x2 2mx m 2 m 1 0, với m là tham số 
 a) Giải phương trình với m 3 
 b) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x ;x thỏa mãn x x 5 
 1 2 1 2
Bài 12. Cho phương trình x2 (2m 5)x 2m 6 0 , với m là tham số 
 a) Giải phương trình khi m 1. 
 b) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x ;x thỏa mãn: x x 7 . 
 1 2 1 2
Bài 13. Cho phương trình x2 - 2mx - 3 = 0. 
 Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1 ;x 2 thoả mãn x1 x 2 6. 
Bài 14. Cho phương trình: x2 – 5x + m = 0 , với m là tham số 
 a) Giải phương trình trên khi m = 6. 
 b) Tìm m để phương trình trên cĩ hai nghiệm x1 ;x 2 thỏa mãn: x1 x 2 3. 
Bài 15. Cho phương trình: x2 – (2m + 3)x – 2m – 4 = 0 (1) , với m là tham số 
 a) Giải phương trình khi m = 2. 
 b) Tìm m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm x1 ;x 2 sao cho x1 x 2 5 
Bài 16. Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1) , với m là tham số 
 a) Giải phương trình (1) với m = - 5. 
 b) Chứng minh phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt x1 ;x 2 với mọi m. 
 c) Tìm m để x1 x 2 nhận giá trị nhỏ nhất ( x1 ;x 2 là hai nghiệm của phương trình (1)). 
Bài 17. Cho phương trình x2 mx m 2 4 0, với m là tham số 
 a) Giải phương trình khi m = 6 
 b) Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm x1 ,x 2 sao cho x1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất 
Bài 18. Cho phương trình 2x2 (m 3)x m 0 (1) , với m là tham số 
 a) Giải phương trình khi m = - 5 
 b) Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt x1 ; x 2 thỏa mãn x1 x 2 đạt GTNN 
Bài 19. Cho phương trình: x2 – (2m + 5)x + 2m + 1 = 0. Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm 
dương phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức P x1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất. 
Bài 20. Cho phương trình: m–1x–2m 2 1x m 0. với m là tham số 
 Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1 ,x 2 sao cho x1 x 2 2. 
 DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM 5 PHONE: 0368.792.092 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN NGUYỄN THỊ XUÂN 
DẠNG 2. BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỀU KIỆN CĨ TÍNH CHẤT x1 x 2 VÀ a. c 0 
1. Phương pháp giải 
 Bước 1. Tính tích a.c 
 Bước 2. Lập luận a.c 0. Nên phương trình luơn cĩ 2 nghiệm phân biệt với mọi m 
 Bước 3. Viết các hệ thức Vi – ét. Chứng minh x1 x 2 0 . Khi đĩ x1 x 1 , x 2 x 2 
 Bước 4. Giải điều kiện tìm giá trị của tham số 
 Bước 5. Đối chiếu điều kiện của tham số, kết luận 
2. Ví dụ. 
Ví dụ 1. Cho phương trình 2x2 2mx 1 0 , với m là tham số 
 Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1 x 2 thỏa mãn x2 x 1 2021 
 Lời giải 
 Phương trình đã cho cĩ các hệ số a 2, b 2m, c 1 
 Ta cĩ a.c 2.( 1) 2 0 với mọi m 
 Suy ra phương đã cho cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi m 
 b c 1
 Theo hệ thức Vi – ét ta cĩ: x x m, x x 
 1 2a 1 2 a 2
 1
 Vì x x 0 Nên x và x trái dấu 
 1 2 2 1 2
 Mà x1 x 2 . Suy ra x1 0, x 2 0 x 1 x 1 , x 2 x 2 
 Khi đĩ x2 x 1 2021 x 2 x 1 2021 x 1 x 2 2021 m 2021 
 Vậy m 2021 là giá trị cần tìm 
Ví dụ 2. Cho phương trình x2 (m 2)x 1 0 (1) , với m là tham số 
 Lời giải 
 Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt x x thỏa mãn x x 1
 1 2 1 2 
 Phương trình đã cho cĩ các hệ số a 1, b (m 2), c 1 
 Ta cĩ a.c 1.( 1) 1 0với mọi m 
 Suy ra phương đã cho cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi m 
 b c
 Theo hệ thức Vi – ét ta cĩ: x x m 2, x x 1 
 1 2a 1 2 a
 Vì x1 x 2 1 0 Nên x1 và x 2 trái dấu 
 Mà x1 x 2 . Suy ra x1 0, x 2 0 x 1 x 1 
 Khi đĩ xx11 2 xx1xx 1 2 1 2 1m21m3 
 Vậy m 3 là giá trị cần tìm 
 DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM 6 PHONE: 0368.792.092 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN NGUYỄN THỊ XUÂN 
Ví dụ 3. Cho phương trình: x2 2(2 m)x m 2 1 0 , với m là tham số 
Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1 x 2 thỏa mãn x1 x 2 x 1 x 2 
 Lời giải 
 Phương trình đã cho cĩ các hệ số a 1, b 2(2 m) 2m 4, c m2 1 
 Ta cĩ a.c 1.(m 2 1) m 2 1 
 Vì m2 0 với mọi m. Nên m2 1 1 0 với mọi m 
 a.c 0 với mọi m 
 Phương đã cho cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi m 
 b c
 Theo hệ thức Vi – ét ta cĩ: x x 4 2m, x x m2 1 
 1 2a 1 2 a
 2
 Vì x1 x 2 m 1 0 với mọi m Nên x1 và x2 trái dấu 
 Mà x1 x 2 . Suy ra x1 0, x 2 0 x 1 x 1 , x 2 x 2 
 Khi đĩ xx1 212 xx xxxx 1212 xxxx0 1212 
 4 2m m2 1 0 m 2 2m 3 0 (2) 
 Phương trình (2) cĩ: a b c 1 2 3 0 
 Suy ra Phương trình (2) cĩ 2 nghiệm m1 1, m 2 3 
 Vậy m 1, m 3 là giá trị cần tìm 
Ví dụ 4. Cho phương trình x–2m2 1x–m 2 1 0 ( m là tham số). Chứng minh rằng 
phương trình đã cho luơn cĩ nghiệm với mọi giá trị của m. Hãy xác định m để phương trình 
cĩ hai nghiệm x1 ;x 2 với x1 x 2 thỏa mãn x1 x 1 x 2 2 2021 x 2 . 
 Lời giải 
 Vì a.c – m2 1 0 với mọi m 
 Nên phương trình đã cho luơn cĩ 2 nghiệm phân biệt với mọi m. 
 Vì x1 ;x 2 là các nghiệm của phương trình. Theo định lý Vi-ét ta cĩ 
 2
 x1 x 2 2(m 1); x1 .x 2 m 1 
 c
 Vì 0. Nên x ;x trái dấu. 
 a 1 2
 Mà x1 x 2 nên x1 0; x 2 0 x 1 x 1 ; x 2 x 2 
 Khi đĩ x1 x 1 x 2 2 2021 x 2 x1 x 1 x 2 2 2021 x 2 
 x1 x 2 x 1 x 2 2023
 2 2 m 44
 2(m 1) m 1 2023 m 1 2025 
 m 46
 Vậy m 44; m 46 là giá trị cần tìm 
 DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM 7 PHONE: 0368.792.092 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN NGUYỄN THỊ XUÂN 
3. Bài tập vận dụng. 
Bài 1. Cho phương trình: x2 (2m 1)x 3 0 , với m là tham số 
 a) Chứng minh rằng phương trình luơn cĩ hai nghiệm phân biệt x1 ,x 2 với mọi m. 
 b) Tìm các giá trị của m sao cho x1 x 2 5 với x1 x 2 . 
Bài 2. Cho phương trình x2 4mx 8 0 (1) , với m là tham số 
 a) Chứng minh phương trình luơn cĩ 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m 
 b) Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm x1 x 2 thỏa mãn x1 2 x 2 8 
Bài 3. Cho phương trình x2 2(m 2)x m 2 5 0 (1) , với m là tham số. 
 a) Giải phương trình (1) với m 0 . 
 b) Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt x1 x 2 thỏa mãn x1 x 2 1 5 
Bài 4. Cho phương trình x2 (m 1)x m 2 2 0 , với m là tham số 
 Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1 x 2 thỏa mãn 2 x1 x 2 4 
Bài 5. Cho phương trình x2 2(m 2)x m 2 5 0 (1) , với m là tham số. 
 a) Giải phương trình (1) với m 0 . 
 b) Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt x1 x 2 thỏa mãn x1 x 2 1 5 
Bài 6. Cho phương trình x2 mx m 2 m 4 0 , với m là tham số 
 a) Chứng minh rằng phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m 
 b) Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt x1 x 2 thỏa mãn x1 x 2 2 
Bài 7. Cho phương trình x2 3x 2m 1 0 , với m là tham số 
 a) Tìm giá trị của m để phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt. 
 b) Giả sử x1 x 2 là 2 nghiệm trái dấu của phương trình. Tìm m sao cho x1 2 x 2 
Bài 8. Cho phương trình x2 (2m 1)x 7 0 , m là tham số 
 1) Chứng minh phương trình luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi m 
 2) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm x1 x 2 thoả mãn 2 x1 1 x 2 
Bài 9. x2 (2m 3)x m 2 2 0, với m là tham số 
 1) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt 
 2) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1 x 2 thoả mãn 5 x1 3 x 2 11 
Bài 10. Cho phương trình x2 3x m 2 6 0, với m là tham số 
 1) Giải phương trình với m 1 
 2) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1 x 2 thoả mãn 2 x1 3 x 2 9 
Bài 11. Cho phương trình x2 (1 2m)x 6 0, với m là tham số 
 Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x2 x 1 5 
 DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM 8 PHONE: 0368.792.092 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN NGUYỄN THỊ XUÂN 
DẠNG 3. BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH NHẨM NGHIỆM ĐƯỢC 
1. Phương pháp giải 
 Bước 1. Xác định các hệ số a, b, c của phương trình 
 Bước 2. Nhẩm nghiệm của phương trinh (Áp dụng hệ thức Vi – ét nếu cĩ thể) 
 Bước 3. Xét 2 trường hợp nghiệm của phương trình giải điều kiện 
 Bước 4. Đối chiếu điều kiện của tham số, kết luận 
2. Ví dụ. 
Ví dụ 1. Cho phương trình x2 (2 m)x m 3 0 , với m là tham số 
 a) Chứng minh phương trình luơn cĩ nghiệm với mọi m 
 2
 b) Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt x1 x 2 thỏa mãn x1 x 2 2. 
 Lời giải 
 a) Phương trình đã cho cĩ các hệ số: a 1;b 2 m;c m 3 
 a b c 1 2 m m 3 0 
 Phương trình cĩ hai nghiệm x 1, x m 3 với mọi m 
 Suy ra phương trình cĩ nghiệm với mọi m 
 Phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm phân biệt 1 m 3 m 4 
 2
 b) Theo bài cĩ: x1 x 2 2 
 Trường hợp 1: x1 1;x 2 m 3 
 2 2 m 3 1 m 4 (ko t / m)
 Ta cĩ: 1 m 3 2 m 3 1 
 m 3 1 m 2 (t / m)
 Trường hợp 2: x2 1;x 1 m 3 
 2 m 3 1 m 4(kot/m)
 Ta cĩ: m 3 1 2 m 3 1 
 m 3 1 m 2 (t / m)
 Vậy m 2 là giá trị cần tìm. 
Ví dụ 2. Cho phương trình ẩn x : x2 m 3 x m 2 0 (1) , với m là tham số 
 a) Giải phương trình (1) khi m 5 . 
 2
 b) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm x1 ;x 2 thỏa mãn x1 x 2 8. 
 Ta cĩ phương trình: x2 m 3 x m 2 0 (1) 
 Lời giải 
 2 x 1
 a) Khi m 5 ta cĩ phương trình: x 2x 3 0 x 1 x 3 0 
 x 3
 Vậy m 5 thì phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt là x1 1;x 2 3 
 b) Xét phương trình: x2 m 3 x m 2 0 (1) 
 Ta cĩ a 1;b m 3 ;c m 2 a b c 1 m 3 m 2 0 
 DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM 9 PHONE: 0368.792.092 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN NGUYỄN THỊ XUÂN 
 Suy ra phương trình cĩ hai nghiệm x 1, x m 2 với mọi m 
 2
 Theo đề bài cĩ: x1 x 2 8 
 2
 Trường hợp 1: x1 1;x 2 m 2 ta cĩ: 1 m 2 8 m 9 
 Trường hợp 2: x1 m 2;x 2 1 ta cĩ: 
 2 2 m 2 3 m 5
 m 2 1 8 m 2 9 
 m 2 3 m 1
 Vậy m 1, m 5, m 9 là giá trị cần tìm. 
Ví dụ 3. Cho phương trình x2 2 m 1 x m 2 2m 0, với m là tham số. 
 Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt x1 ;x 2 (với x1 x 2 ) thỏa mãn: x1 3 x 2 
 Lời giải 
 Phương trình (1) cĩ các hệ số: a 1, b 2(m 1), c m2 2m 
 2 2 2 2
 ' m1 m 2m m2m1m2m10 với mọi m 
 Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1 ;x 2 với mọi m , 
 Ta cĩ: x m 1 1 m và x m 1 1 m 2 
 Vì m m 2 và x1 x 2 nên: x1 m, x 2 m 2 
 x1 ;x 2 thỏa mãn: x1 3 x 2 m 3 m 2 
 m 3 thỏa mãn điều kiện x1 < x 2 
 m 3 m 2 3m 6 m 
 3 
 m 3 m 2 m 3m 6 
 m thỏa mãn điều kiện x1 < x 2 
 2
 3
 Vậy m 3 và m là giá trị cần tìm. 
 2
Ví dụ 4. Cho phương trình x2 – 2 m 2 x 2m 5 0 , với m là tham số 
 a) Chứng minh rằng phương trình cĩ nghiệm x 1 với mọi giá trị của m. 
 b) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm x1 ;x 2 thỏa mãn x1 x 2 10. 
 Lời giải 
 Phương trình đã cho cĩ các hệ số a 1, b 2(m 2) 2m 4, c 2m 5 
 Ta cĩ a b c 1 2m 4 2m 5 0 . 
 Phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm x 1, x 2m 5 với mọi m 
 Trường hợp 1: x1 1, x 2 2m 5 . 
 Ta cĩ: x1 x 2 10 1 (2m 5) 10 1 2m 5 10 m 2 
 Trường hợp 2: x1 2m 5, x 2 1 
 m 8
 Ta cĩ: x1 x 2 10 2m 5 1 10 2m 5 11 
 m 3
 Vậy m 2, m 3, m 8 là giá trị cần tìm 
 DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM 10 PHONE: 0368.792.092