Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chương I: Đường thẳng vuông góc. Đường thẳng song song - Chuyên đề 1: Hai góc đối đỉnh

 Chương I. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Chuyên đề 1. HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH
A. Kiến thức cần nhớ
1. Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của 
một cạnh của góc kia (h.1.1). 
2. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau: ·AOC B·OD; ·AOD B·OC .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho góc bẹt AOB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB vẽ hai tia OM và ON sao cho 
·AOM B·ON . Chứng minh rằng hai góc AON và BOM là hai góc đối đỉnh. 
 Giải (h.1.2)
* Tìm cách giải
Để chứng tỏ hai góc AON và BOM là hai góc đối đỉnh, ta cần chứng tỏ 
mỗi cạnh của góc này là tia đối một cạnh của góc kia. Vì đã có hai tia OA, 
OB đối nhau nên chỉ còn phải chứng tỏ hai tia OM, ON đối nhau bằng 
cách chứng tỏ MON là góc bẹt.
* Trình bày lời giải
Góc AOB là góc bẹt nên hai tia OA, OB đối nhau. Hai góc AOM và BOM kề bù nên 
·AOM B·OM 180 .
Mặt khác ·AOM B·ON (đề bài cho) nên B·ON B·OM 180 .
Suy ra M· ON 180 . Vậy hai tia OM, ON đối nhau.
Hai góc AON và BOM có mỗi cạnh của góc này là tia đối một cạnh của góc kia nên chúng là hai góc đối 
đỉnh.
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng EF và GH cắt nhau tại O tạo thành bốn góc không kể góc bẹt. Biết tổng 
E·OG G·OF F·OH 250. Tính số đo của bốn góc tạo thành.
 Giải (h.1.3)
* Tìm cách giải
Để tính được số đo của bốn góc tạo thành, trước tiên cần tính được số đo 
của một trong bốn góc đó. 
* Trình bày lời giải
Ta có E·OG G·OF F·OH 250 (đề bài cho), mà E·OG G·OF 180 
(hai góc kề bù) nên F·OH 250 180 70.
Ta có G·OF F·OH 180 (hai góc kề bù) G·OF 180 70 110 .
Vậy E·OG F·OH 70 (hai góc đối đỉnh); H·OE G·OF 110 (hai góc đối đỉnh). * Nhận xét: Sau khi tính được số đo của một góc, ta tính được số đo của ba góc còn lại nhờ vận dụng tính 
chất của hai góc kề bù, hai góc đối đỉnh.
Ví dụ 3: Cho bốn đường thẳng cắt nhau tại một điểm. Xét các góc không có điểm trong chung, chứng tỏ 
rằng tồn tại hai góc nhỏ hơn hoặc bằng 45.
 Giải (h.1.4)
* Tìm cách giải
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. Do đó để chứng tỏ tồn tại hai góc nhỏ hơn hoặc 
bằng 45, ta chỉ cần chứng tỏ tồn tại một góc nhỏ hơn hoặc bằng 45.
* Trình bày lời giải
Bốn đường thẳng cắt nhau tại một điểm tạo ra 8 góc không có điểm trong chung.
Nếu tất cả các góc này đều lớn hơn 45 thì tổng của chúng lớn hơn 45.8 360 . Điều này vô lí, vì tổng 
của 8 góc này đúng bằng 360 .
Vậy phải tồn tại một góc nhỏ hơn hoặc bằng 45. Góc này và góc đối đỉnh với nó bằng nhau. Do đó tồn 
tại hai góc nhỏ hơn hoặc bằng 45.
Ví dụ 4: Trong hình 1.5, hai góc AOC và BOD là hai góc đối đỉnh. Hai tia OE, OF là hai tia đối nhau. 
Cho biết tia OE là tia phân giác của góc AOC, chứng tỏ rằng tia OF là tia phân giác của góc BOD.
 Giải (h.1.5)
* Tìm cách giải
 ¶ ¶
Ta cần chứng tỏ O3 O4 . Muốn vậy phải sử dụng tính chất của hai góc đối đỉnh.
* Trình bày lời giải
Hai góc AOC và BOD là hai góc đối đỉnh nên các tia OA, OB đối nhau, các tia OC, OD đối nhau. Ngoài 
 ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶
ra, hai tia OE, OF cũng đối nhau nên ta có O1 O3;O2 O4 (hai góc đối đỉnh). Vì O1 O2 (đề bài cho) 
 ¶ ¶
nên O3 O4 . (1)
Mặt khác, tia OF nằm giữa hai tia OB, OD. (2) 
nên từ (1) và (2) suy ra tia OF là tia phân giác của góc BOD.
C. Bài tập vận dụng
 Tính số đo góc
1.1. Hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại O tạo thành bốn góc không kể góc bẹt. Biết 
·AOC B·OD 100 . Tính số đo của mỗi góc tạo thành.
 Hướng dẫn giải (h.1.6)
Ta có: ·AOC B·OD (hai góc đối đỉnh) mà ·AOC B·OD 100 nên 
·AOC B·OD 100 : 2 50.
Hai góc AOC và BOC kề bù nên B·OC 180 50 130. Do đó ·AOD B·OC 130 (hai góc đối đỉnh).
 2
1.2. Cho hai đường thẳng MN, PQ cắt nhau tại O tạo thành bốn góc khác góc bẹt. Biết N·OP M· OP . 
 3
Tính số đo của mỗi góc tạo thành.
 Hướng dẫn giải (h.1.7)
 2
Hai góc NOP và MOP kề bù nên N·OP M· OP 180 mà N·OP M· OP 
 3
 180.2
nên N·OP 72; M· OP 180 72 108 .
 2 3
Suy ra M· OQ N·OP 72 (hai góc đối đỉnh); N·OQ M· OP 108 (hai góc 
đối đỉnh). 
1.3. Cho hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại O. Vẽ tia OM là tia phân giác của góc AOC. Biết 
B·OD a(0 a 180) . Tìm giá trị của a để B·OM 155.
 Hướng dẫn giải (h.1.8)
Ta có ·AOC B·OD a (hai góc đối đỉnh).
 a
Tia OM là tia phân giác của góc AOC nên ·AOM M· OC .
 2
Hai góc ·AOM và B·OM kề bù nên ·AOM B·OM 180 suy ra 
 a
B·OM 180 .
 2
 a a a
Ta có B·OM 155 180 155 180 155 25 a 50 .
 2 2 2
Vậy a 50 .
Lưu ý: Kí hiệu đọc là “khi và chỉ khi”.
Khi viết A B ta hiểu từ A suy được ra B và ngược lại, từ B suy được ra A.
1.4. Cho hai đường thẳng EF, GH cắt nhau tại O. Vẽ tia phân giác OK của góc EOG. Biết 
F·OK m(0 m 180) . Tìm giá trị của m để F·OH 110 .
 Hướng dẫn giải (h.1.9)
Hai góc EOK và FOK kề bù nên E·OK F·OK 180
 E·OK 180 m .
Tia OK là tia phân giác của góc EOG nên E·OG 2 180 m .
Vì F·OH đối đỉnh với E·OG nên F·OH E·OG 2 180 m .
Ta có F·OH 110 2 180 m 110 180 m 55
 m 180 55 m 125 . Vậy m 125 . 1.5. Cho hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại O, B·OC 60. Một tia Ox có thể trùng với tia OB hoặc 
OC hoặc nằm giữa hai tia này. Vẽ tia Oy là tia đối của tia Ox. Tìm số đo lớn nhất của góc AOy.
 Hướng dẫn giải (h.1.10)
Hai góc AOy và BOx là hai góc đối đỉnh nên ·AOy B·Ox .
Ta có B·Ox B·OC nên ·AOy 60 ; dấu “=” xảy ra khi tia Ox trùng với 
tia OC. 
Vậy số đo lớn nhất của góc AOy là bằng 60 khi tia Ox trùng với tia OC.
1.6. Cho ba đường thẳng AB, CD và MN cắt nhau tại O.
a) Trong hình vẽ có tất cả bao nhiêu góc?
b) Chứng tỏ rằng trong các góc nói trên tồn tại hai góc tù.
 Hướng dẫn giải 
a) Ba đường thẳng cắt nhau tại O tạo thành 6 tia. Số góc do 6 tia tạo ra là: 
6.5
 15 (góc).
 2
b) Xét hai đường thẳng AB và CD trong ba đường thẳng đã cho (h.1.11). Hai 
đường thẳng này tạo thành bốn góc không có điểm trong chung. Tổng của bốn 
góc này bằng 360 nên trong bốn góc đó phải tồn tại một góc lớn hơn hoặc 
bằng 90 .
Thật vậy, nếu mỗi góc đó đều nhỏ hơn 90 thì tổng của chúng nhỏ hơn 
90.4 360: vô lí.
Giả sử góc tồn tại nói trên là góc BOD.
- Nếu B·OD 90 thì ·AOC B·OD 90 , bài toán đã giải xong.
- Nếu B·OD 90 thì ta xét tiếp đường thẳng thứ ba MN đi qua O (h.1.12). 
Giả sử tia ON nằm trong góc BOD. Khi đó góc BON là góc nhọn do đó ·AON 
là góc tù (vì B·ON và ·AON là hai góc kề bù). Góc AON là góc tù thì góc 
BOM là góc tù (vì B·OM ·AON ).
Vậy luôn tồn tại hai góc tù trong số 15 góc được tạo thành.
 Chứng tỏ hai tia đối nhau
1.7. Chứng tỏ rằng hai tia phân giác của hai góc đối đỉnh là hai tia đối nhau.
 Hướng dẫn giải (h.1.13)
Xét hai góc đối đỉnh AOC và BOD. Gọi tia OM là tia phân giác của góc AOC; tia ON là tia phân giác của 
góc BOD. Ta phải chứng tỏ hai tia OM, ON đối nhau. · · ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶
Ta có AOC BOD (hai góc đối đỉnh) mà O1 O2 ;O3 O4 nên O1 O3 (một nửa của hai góc bằng 
nhau).
Vì ·AOB 180 nên ·AOD D·OB 180
 · ¶ ¶
 AOD O4 O3 180
 · ¶ ¶ ¶ ¶
 AOD O4 O1 180 (vì O1 O3 ).
Do đó M· ON 180 .
Suy ra hai tia OM, ON đối nhau.
1.8. Cho hai đường thẳng AB và MN cắt nhau tại O sao cho ·AOM 90 . Trên nửa mặt phẳng bờ AB có 
chứa tia OM, vẽ tia OC sao cho tia OM là tia phân giác của góc AOC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa 
tia ON vẽ tia OD sao cho tia ON là tia phân giác của góc BOD. Chứng tỏ rằng hai tia OC, OD là hai tia 
đối nhau.
 Hướng dẫn giải (h.1.14)
Theo đề bài ta có ·AOM M· OC, B·ON D·ON mà ·AOM B·ON (hai góc 
đối đỉnh) nên M· OC D·ON .
Ta có M· OD D·ON 180 (hai góc kề bù), suy ra M· OD M· OC 180 .
Hai góc MOD và MOC là hai góc kề, có tổng bằng 180 nên hai tia OC, 
OD đối nhau.
 Chứng tỏ một tia là tia phân giác
1.9. Cho hai góc AOB và AOC là hai góc kề bằng nhau, mỗi góc đều là góc tù. Vẽ tia OB là tia đối của 
tia OB, tia OC là tia đối của tia OC. Chứng tỏ rằng tia OA là tia phân giác của góc B OC .
 Hướng dẫn giải (h.1.15)
Ta có ·AOB ·AOC (đề bài cho) mà B·OC C·OB (hai góc đối đỉnh) nên 
·AOB B·OC ·AOC C·OB .
Do đó ·AOC A·OB . (1)
Mặt khác, tia OA nằm giữa hai tia OB và OC . (2)
Nếu từ (1) và (2) ta được tia OA là tia phân giác của góc B OC .
1.10. Cho góc bẹt AOB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia OC và OD sao cho 
·AOC B·OD 150 . Vẽ tia OE là tia đối của tia OD. Chứng tỏ rằng tia OB là tia phân giác của góc COE.
 Hướng dẫn giải (h.1.16)
Hai góc AOC và BOC kề bù nên ·AOC B·OC 180
 B·OC 180 150 30 .
Tương tự, ta tính được ·AOD 30 . Ta có B·OE ·AOD 30 (hai góc đối đỉnh).
Suy ra B·OC B·OE 30 . (1)
Tia OB nằm giữa hai tia OC và OE. (2)
Từ (1) và (2) ta được tia OB là tia phân giác của góc COE. 
 Đếm góc, đếm tia
1.11. Cho bốn đường thẳng cắt nhau tại một điểm. Tìm số cặp góc đối đỉnh được tạo thành (không kể góc 
bẹt).
a) Bằng cách liệt kê;
b) Bằng cách tính toán.
 Hướng dẫn giải (h.1.17)
a) Liệt kê các cặp góc đối đỉnh
 Xét các cặp góc “đơn”:
Góc 1 đối đỉnh với góc 5; Góc 2 đối đỉnh với góc 6; Góc 3 đối đỉnh với 
góc 7; Góc 4 đối đỉnh với góc 8. Có tất cả 4 góc “đơn” đối đỉnh.
 Xét các cặp góc “ghép đôi” (ghép hai góc đơn kề nhau thành một góc “ghép đôi”):
Góc 12 đối đỉnh với góc 56; Góc 23 đối đỉnh với góc 67; Góc 34 đối đỉnh với góc 78; Góc 45 đối đỉnh 
với góc 81. Có tất cả 4 cặp góc “ghép đôi” đối đỉnh.
 Xét các cặp góc “ghép ba” (ghép ba góc đơn kề nhau thành một góc “ghép ba”):
Góc 123 đối đỉnh với góc 567; Góc 234 đối đỉnh với góc 678; Góc 345 đối đỉnh với góc 781; Góc 456 đối 
đỉnh với góc 812. Có tất cả 4 cặp góc “ghép ba” đối đỉnh.
Vậy tổng cộng có 4.3 12 cặp góc đối đỉnh.
b) Xây dựng công thức tính số cặp góc đối đỉnh.
Có 4 đường thẳng cắt nhau tại một điểm nên có: 4.2 8 (tia).
 8.7
Số góc do 8 tia tạo ra là 28 (góc).
 2
Không kể góc bẹt thì số góc còn lại là: 28 4 24 (góc).
Mỗi góc trong 24 góc này đều có một góc đối đỉnh với nó nên số cặp góc đối đỉnh được tạo thành là 
24 : 2 12 (cặp).
* Nhận xét: Nếu có n đường thẳng cắt nhau tại một điểm thì số cặp góc đối đỉnh (không kể góc bẹt) được 
tạo thành là n n 1 .
Thật vậy, số tia do n đường thẳng cắt nhau tại một điểm tạo ra là 2n (tia).
 2n 2n 1 
Số góc do 2n tia tạo ra là: n 2n 1 .
 2
Không kể n góc bẹt thì số góc còn lại là: n 2n 1 n 2n2 n n 2n2 2n 2n n 1 . 2n n 1 
Số cặp góc đối đỉnh là: n n 1 .
 2
1.12. Cho n đường thẳng cắt nhau tại một điểm, chúng tạo thành:
a) 20 cặp góc đối đỉnh (không kể góc bẹt);
b) 90 cặp góc đối đỉnh (không kể góc bẹt).
Tính giá trị của n trong mỗi trường hợp.
 Hướng dẫn giải
a) Ta có: n n 1 20 b) Ta có: n n 1 90 
n n 1 5.4 n 5 . n n 1 10.9 n 10
Vậy n 5. Vậy n 10 .