Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chương I: Đường thẳng vuông góc. Đường thẳng song song - Chuyên đề 3: Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

 Chương 1. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUễNG GểC. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Chuyờn đề 3. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa
 Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng khụng cú điểm chung.
 Hai đường thẳng phõn biệt thỡ hoặc cắt nhau hoặc song song.
2. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song
 Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong cỏc gúc tạo thành cú một cặp gúc so le trong bằng 
nhau thỡ a / /b (h.3.1.a).
 Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong cỏc gúc tạo thành cú một cặp gúc đồng vị bằng 
nhau thỡ a / /b (h.3.1.b).
 Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong cỏc gúc tạo thành cú một cặp gúc trong cựng phớa 
bự nhau thỡ a / /b (h.3.1.c).
B. Một số vớ dụ
 ả ả ả ả
Vớ dụ 1: Hỡnh 3.2 cú M1 3M 2 ; N1 3N2 . Chứng tỏ rằng a / /b .
 Giải
* Tỡm cỏch giải
Hai đường thẳng a và b tạo với cỏt tuyến c một cặp gúc so le trong là 
ả ả ả ả ả ả
M1 và N1 hoặc M 2 và N2 . Do đú chỉ cần chứng tỏ M1 N1 hoặc 
ả ả
M 2 N2 .
* Trỡnh bày lời giải
 ả ả
Ta cú M1 M 2 180 (hai gúc kề bự).
 ả ả ả
Mặt khỏc, M1 3M 2 nờn M 2 180 : 4 45 .
 ả ả ả ả ả
Tương tự N1 N2 180 và N1 3N2 N2 45.
 ả ả
Vậy M 2 N2 ( 45) . Suy ra a / /b (vỡ cú cặp gúc so le trong bằng nhau).
 à ả
Vớ dụ 2: Hỡnh 3.3 cú: A1 a; B2 b . Biết a b 180 , chứng tỏ rằng Ax / /By .
 Giải
* Tỡm cỏch giải à à
Hai tia Ax và By tạo với cỏt tuyến là đường thẳng AB cặp gúc A1 và B1 ở vị 
 à à
trớ đồng vị. Muốn chứng tỏ Ax / /By , chỉ cần chứng tỏ A1 B1 .
* Trỡnh bày lời giải
 à ả à ả
Ta cú B1 B2 180 (hai gúc kề bự). Suy ra B1 180 B2 180 b . (1)
 à
Mặt khỏc, A1 a 180 b . (2)
 à à
Từ (1) và (2) suy ra B1 A1 . Do đú Ax / /By (vỡ cú cặp gúc đồng vị bằng nhau).
 à à ả ả
Vớ dụ 3: Hỡnh 3.4 cú A1 B1 A2 B2 . Chứng tỏ rằng a / /b .
 Giải
* Tỡm cỏch giải
 à à ả ả
Cỏc gúc A1 và B1 hoặc A2 và B2 là cặp gúc trong cựng phớa của hai đường 
thẳng a và b (đối với cỏt tuyến AB). Muốn chứng tỏ a / /b chỉ cần chứng tỏ 
à à ả ả
A1 B1 180 (hoặc A2 B2 180 ).
* Trỡnh bày lời giải
 à à ả ả à ả à ả
Ta cú A1 B1 A2 B2 A1 A2 B1 B2 360 .
 à à ả ả à à
Mà A1 B1 A2 B2 (đề bài cho) nờn A1 B1 360 : 2 180 .
Suy ra a / /b (vỡ cú cặp gúc trong cựng phớa bự nhau).
C. Bài tập vận dụng
 Xỏc định cỏc cặp gúc so le trong, đồng vị, trong cựng phớa
3.1. Xem hỡnh 3.5 rồi cho biết gúc nào so le trong, đồng vị, trong cựng phớa:
a) Với gúc ADC;
b) Với gúc BAC.
 Hướng dẫn giải (h.3.5)
a) Xột hai đường thẳng AD và Bm, đối với cỏt tuyến Dx thỡ:
- Gúc DCm so le trong với gúc ADC;
- Gúc BCx đồng vị với gúc ADC;
- Gúc DCB trong cựng phớa với gúc ADC.
b) Xột hai đường thẳng AB và Dx, đối với cỏt tuyến Ay thỡ:
- Gúc ACD so le trong với gúc BAC;
- Gúc xCy đồng vị với gúc BAC;
- Gúc Acx trong cựng phớa với gúc BAC.  Vận dụng cặp gúc so le trong
 à ả à ả
3.2. Hỡnh 3.6 cú A O1;C O2 . Chứng tỏ rằng AB / /CD .
 Hướng dẫn giải (h.3.6)
 Tỡm cỏch giải
Để chứng tỏ AB / /CD ta chứng tỏ một cặp gúc so le trong bằng nhau. Ta 
 à à ả ả
nghĩ đến việc chứng tỏ A C vỡ cú thể dựng cỏc gúc O1,O2 làm trung 
gian.
 Trỡnh bày lời giải
 à ả à ả ả ả à à
Ta cú A O1;C O2 (đề bài cho) mà O1 O2 (đối đỉnh) nờn A C .
Suy ra AB / /CD vỡ cú cặp gúc so le trong bằng nhau.
3.3. Cho tam giỏc ABC, À 70,Cà 40 . Trờn nửa mặt phẳng bờ AB cú chứa C vẽ tia Ax sao cho 
BãAx 110 . Chứng tỏ rằng tia Ax / /BC .
 Hướng dẫn giải (h.3.16)
Tia AC nằm giữa hai tia AB và Ax nờn BãAC CãAx BãAx
 CãAx 110 70 40 .
Do đú CãAx Cà 40 .
Suy ra Ax / /BC vỡ cú cặp gúc so le trong bằng nhau.
3.4. Hỡnh 3.7 cú BãAD 130,Cà 50 . Vẽ tia AM là tia đối của tia AD. Biết tia AM là tia phõn giỏc của 
gúc BAC. Chứng tỏ rằng AD / /CE .
 Hướng dẫn giải (h.3.7)
 Tỡm cỏch giải
Đề bài cú cho hai tia đối nhau nờn ta vận dụng tớnh chất của hai gúc kề bự. Ngoài ra đề bài cũn cú tia phõn 
giỏc nờn trong hỡnh vẽ cú hai gúc bằng nhau.
 Trỡnh bày lời giải
Hai gúc MAB và BAD kề bự nờn Mã AB 180 130 50.
Tia AM là tia phõn giỏc của gúc BAC nờn Mã AC Mã AB 50.
Do đú Mã AC Cà 50 AD / /CE vỡ cú cặp gúc so le trong bằng nhau. à ả à ả
3.5. Hỡnh 3.8 cú A1 2A2 B1 2B2 . Chứng tỏ rằng a / /b .
 Hướng dẫn giải (h.3.8)
 à ả à ả à ả à ả
Ta cú A1 A2 B1 B2 180 2A1 2A2 2B1 2B2 (1)
 à ả à ả
Mặt khỏc: A1 2A2 B1 2B2 (2)
 à à à à
Cộng từng vế cỏc đẳng thức (1) và (2) được 3A1 3B1 A1 B1
 a / /b vỡ cú cặp gúc so le trong bằng nhau.
3.6. Trong hỡnh 3.9, gúc ACE bằng trung bỡnh cộng của hai gúc C1 và C2 , 
đồng thời cũng bằng trung bỡnh cộng của hai gúc A và E.
 à ả à à
Biết C1 C2 A E 20 . Chứng tỏ rằng AB / /CD và CD / /EF .
 Hướng dẫn giải (h.3.9)
 Tỡm cỏch giải
 à àà ả
Trong hỡnh vẽ đó cú cỏc cặp gúc so le trong là A và C1; E và C2 . Muốn chứng tỏ AB / /CD và 
 à à à ả
CD / /EF chỉ cần chứng tỏ A C1 và E C2 .
 Trỡnh bày lời giải
 Cà Cả
Ta cú ÃCE 1 2 Cà Cả 2ÃCE .
 2 1 2
 à ả ã ã ã ã
Mặt khỏc C1 C2 ACE 360 nờn 2ACE ACE 360 ACE 120.
 à ả à ả à ả
Do đú C1 C2 360 120 240 mà C1 C2 20 nờn C1 130;C2 110 .
 À Eà
Ta cú ÃCE À Eà 2ÃCE 240.
 2
Lại cú À Eà 20 nờn À 130; Eà 110.
 à à à ả
Ta cú A C1 130 AB / /CD; E C2 110 CD / /EF vỡ cú cặp gúc so le trong bằng nhau.
 Vận dụng cặp gúc đồng vị
 2
3.7. Trong hỡnh 3.10 cú ảA À; Bà Bả 100 . Hỏi Ax và By cú song song với nhau khụng?
 2 7 1 1 2
 Hướng dẫn giải (h.3.10) 2 180.2
Ta cú À ảA 180 mà ảA À nờn ảA 40 .
 1 2 2 7 1 2 9
à ả à ả ả
B1 B2 180 mà B1 B2 100 nờn B2 40 .
 ả ả
Vậy A2 B2 40 Ax / /By vỡ cú cặp gúc đồng vị bằng nhau.
 à ả ả à ả à
3.8. Trong hỡnh 3.11 cú A1 A2 B2 a; B1 B2 A1 b , trong đú 180 a 360 ; 180 b 360 
và a b 540 . Chứng tỏ rằng a / /b .
 Hướng dẫn giải (h.3.11)
 à ả ả ả
Ta cú A1 A2 B2 a B2 a 180 (1)
à ả à à
B1 B2 A1 b A1 b 180 (2)
 ả à
Từ (1) và (2), suy ra: B2 A1 a b 360 540 360 180 .
 ả à ả à ả à
Mặt khỏc A2 A1 180 (kề bự) nờn B2 A1 A2 A1 180 .
 ả ả
Suy ra B2 A2 . Do đú a / /b vỡ cú cặp gúc đồng vị bằng nhau.
 ả à ả à
3.9. Hỡnh 3.12 cú A2 A1 B2 B1 . Chứng tỏ rằng a / /b .
 Hướng dẫn giải (h.3.12)
 Tỡm cỏch giải
Trong hỡnh vẽ đó cú những cặp gúc đồng vị, cặp gúc trong cựng phớa. Từ điều kiện trong đề bài, ta cú thể 
suy ra được tổng của hai gúc trong cựng phớa bự nhau, từ đú suy ra được hai đường thẳng song song.
 Trỡnh bày lời giải
 ả à ả à ả à ả à
Ta cú A2 A1 B2 B1 , suy ra A2 B1 B2 A1 .
 ả à ả à ả à
Mặt khỏc A2 B1 B2 A1 360 nờn A2 B1 180 .
Suy ra a / /b vỡ cú cặp gúc trong cựng phớa bự nhau.
 à à
3.10. Hỡnh 3.13 cú A 50, E 60, gúc C1 hơn gúc C2 là 10 , gúc C2 hơn gúc ACE là 10 . Chứng tỏ 
rằng AB / /CD;CD / /EF .
 Hướng dẫn giải (h.3.13) ã ả à
Đặt ACE m thỡ C2 m 10 và C1 m 20 .
 ã à ả
Ta cú ACE C1 C2 360 do đú
m m 10 m 20 360 3m 30 360 m 110 .
 ả à
Vậy C2 120;C1 130 .
 à à à ả
Ta cú A C1 50 130 180 AB / /CD; E C2 60 120 180 CD / /EF ; vỡ cú cặp gúc trong 
cựng phớa bự nhau.
 Vận dụng nhiều dấu hiệu song song
 à ả à
3.11. Trong hỡnh 3.14 cú A1 D1 105;C1 75 . Chứng tỏ rằng AB / /CD và BC / / AD .
 Hướng dẫn giải (h.3.14)
 ả ả ả à
Ta cú D2 D1 105 (đối đỉnh); C2 C1 75 (đối đỉnh).
 à ả
Vậy A1 D2 105 AB / /CD vỡ cú cặp gúc đồng vị bằng nhau.
ả ả
C2 D2 75 105 180 BC / / AD vỡ cú cặp gúc trong cựng phớa bự nhau.
 à àà à à
3.12. Trong hỡnh 3.15 cú A1 3B1; A1 3C1 và C1 45 . Hóy kể tờn cỏc cặp đường thẳng song song.
 Hướng dẫn giải (h.3.15)
 1
 Ta cú Bà Cà À. Suy ra Bx / /Cz vỡ cú cặp gúc so le trong bằng nhau.
 1 1 3 1
 à à à à à
 Ta cú B1 C1 45 A1 135 . Vậy B1 A1 45 135 180 .
Suy ra Bx / / Ay vỡ cú cặp gúc trong cựng phớa bự nhau.
 à ả ả à ả à
 Ta cú C1 và C2 kề bự C2 180 C1 135 . Vậy C2 A1 135.
 Ay / /Cz vỡ cú cặp gúc đồng vị bằng nhau.
3.13. Cho tam giỏc ABC, À 70; Bà 55 . Trờn tia đối của tia AB lấy điểm M. Vẽ tia Mx trờn nửa mặt 
phẳng bờ MB khụng chứa C sao cho BãMx 55. Vẽ tia Ay là tia phõn giỏc của gúc CAM. Chứng tỏ rằng 
Mx / / BC và Ay / /BC . Hướng dẫn giải (h.3.17)
 Ta cú BãMx Bà 55. Suy ra Mx / /BC vỡ cú cặp gúc so le trong bằng nhau. 
 Ta cú CãAM CãAB 180 (hai gúc kề bự)
CãAM 180 70 110.
Tia Ay là tia phõn giỏc của gúc CAM
 à ả à à
 A1 A2 55, do đú A1 B 55 .
Suy ra Ay / /BC vỡ cú cặp gúc đồng vị bằng nhau.