Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chương I: Đường thẳng vuông góc. Đường thẳng song song - Chuyên đề 4: Tiên đề Ơ-clít. Tính chất của hai đường thẳng song song

 Chương I. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
Chuyên đề 4. TIÊN ĐỀ Ơ-CLÍT. TÍNH CHẤT CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
A. Kiến thức cần nhớ
1. Tiên đề Ơ-clít: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường 
thẳng song song với đường thẳng đó.
Trong hình 4.1, đường thẳng m đi qua O và song song với a là duy nhất.
2. Tính chất của hai đường thẳng song song
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:
a) Hai góc so le trong bằng nhau;
b) Hai góc đồng vị bằng nhau;
c) Hai góc trong cùng phía bù nhau.
3. Quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song
a) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau 
(h.4.2);
b) Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với 
đường thẳng kia (h.4.2);
c) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau 
(h.4.3).
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, Aµ 75; Bµ 60 . Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A vẽ các tia Cx và Cy 
sao cho A·Cx 75; B·Cy 120. Chứng tỏ rằng các tia Cx và Cy trùng nhau.
 Giải (h.4.4)
* Tìm cách giải
Để chứng tỏ hai tia Cx và Cy trùng nhau ta chứng tỏ hai đường 
thẳng chứa hai tia đó trùng nhau, đồng thời hai tia này cùng nằm 
trên một nửa mặt phẳng bờ BC.
* Trình bày lời giải
Ta có A·Cx Aµ 75 Cx / / AB (vì có cặp góc so le trong bằng 
nhau). (1) Ta có B·Cy Bµ 120 60 180
 Cy / / AB (vì có cặp góc trong cùng phía bù nhau). (2)
Từ (1) và (2), theo tiên đề Ơ-clít, ta có hai đường thẳng Cx và Cy trùng nhau. Mặt khác, hai tia Cx và Cy 
cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A nên hai tia này trùng nhau.
 µ µ ¶ ¶
Ví dụ 2: Hình 4.5 có a / /b và A1 B1 30 . Tính số đo các góc A2 và B2 .
 Giải
* Tìm cách giải
 ¶ ¶ µµ µµ ¶ ¶
Vì a / /b và A2 , B2 so le trong với các góc A1, B1 nên chỉ cần tính A1, B1 là có thể suy ra A2 và B2 .
* Trình bày lời giải
 µ µ
Ta có a / /b nên A1 B1 180 (cặp góc trong cùng phía).
 µ µ µ
Mặt khác, A1 B1 30 (đề bài) nên A1 180 30 : 2 105 và
µ
B1 180 105 75.
 ¶ µ ¶ µ
Suy ra A2 B1 75 (cặp góc so le trong); B2 A1 105 (cặp góc so le trong).
 3
Ví dụ 3: Tính các số đo x, y trong hình 4.6, biết Aµ ¶A ; Bµ B¶ và x y .
 1 2 1 2 7
 Giải
* Tìm cách giải
Nếu chứng minh được a / /b thì sẽ tìm được x và y (đây là bài toán tìm 
hai số khi biết tổng và tỉ số).
* Trình bày lời giải
 µ ¶ µ ¶
Ta có A1 A2 180 (kề bù) mà A1 A2 (đề bài) nên
µ
A1 180 : 2 90 .
Suy ra AB  a .
Tương tự AB  b .
Do đó a / /b (cùng vuông góc với AB).
 3 180 3
Ta có x y 180 (cặp góc trong cùng phía) mà x y nên x 54; y 126 .
 7 10
Ví dụ 4: Hình 4.7 có Aµ 30; Bµ 70; ·AOB 100 . Chứng tỏ rằng Ax / /By .
 Giải
* Tìm cách giải Ta phải chứng minh hai đường thẳng Ax và By song song. Giữa hai đường thẳng này chưa có một đường 
thẳng thứ ba cắt chúng nên chưa thể vận dụng dấu hiệu nhận biết nào để chứng minh chúng song song.
Ta sẽ vẽ thêm một đường thẳng thứ ba làm trung gian rồi dùng dấu hiệu: hai đường thẳng phân biệt cùng 
song song với một đường thẳng thứ ba thì song song.
* Trình bày lời giải (h.4.8)
Ở trong góc AOB, vẽ tia Ot / / Ax . Khi đó ·AOt Aµ 30 (cặp góc so le 
trong).
Suy ra B·Ot 100 30 70 .
Vậy Bµ B·Ot( 70) .
Do đó By / /Ot (vì có cặp so le trong bằng nhau).
Từ đó suy ra Ax / /By (vì cùng song song với Ot).
C. Bài tập vận dụng
 Tiên đề Ơ-clít
4.1. Cho tam giác ABC. Vẽ điểm M sao cho góc BAM bằng và so le trong với góc B. Vẽ điểm N sao góc 
CAN bằng và so le trong với góc C. Chứng tỏ rằng ba điểm M, A, N 
thẳng hàng.
 Hướng dẫn giải (h.4.19)
Ta có B·AM Bµ suy ra AM / /BC (vì có cặp góc so le trong bằng 
nhau). 
C·AN Cµ suy ra AN / /BC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).
Theo tiên đề Ơ-clít qua điểm A chỉ có một đường thẳng song song với 
BC, do đó ba điểm M, A, N thẳng hàng.
4.2. Qua điểm A ở ngoài đường thẳng a vẽ 101 đường thẳng. Chứng tỏ rằng 
ít nhất cũng có 100 đường thẳng cắt a.
 Hướng dẫn giải (h.4.20)
Giả sử trong số 101 đường thẳng vẽ qua A có chưa đến 100 đường thẳng cắt 
a. Suy ra ít nhất cũng còn hai đường thẳng không cắt a. Hai đường thẳng 
này cùng đi qua A và cùng song song với a. Điều này vô lí vì nó trái với 
tiên đề Ơ-clít. Vậy điều giả sử là sai, do đó qua A có ít nhất 100 đường 
thẳng cắt a. 
4.3. Cho điểm O ở ngoài đường thẳng xy. Qua O vẽ n đường thẳng. Xác định giá trị nhỏ nhất của n để 
trong số các đường thẳng đã vẽ, ít nhất cũng có 10 đường thẳng cắt xy.
 Hướng dẫn giải Trong số n đường thẳng đã vẽ, nhiều nhất là có một và chỉ một đường thẳng song song với xy. Do đó 
muốn có ít nhất 10 đường thẳng cắt xy thì số đường thẳng phải vẽ ít nhất là 11. Vậy n 11.
 Tính chất hai đường thẳng song song
4.4. Cho tam giác ABC. Từ điểm D trên cạnh BC vẽ DE / / AB, DF / / AC E AC, F AB .
a) Kể tên những góc ở trong hình vẽ bằng góc A;
b) Giả sử Bµ Cµ 110, tính số đo góc A.
 Hướng dẫn giải (h.4.21)
a) Ta có DE / / AB nên D·EC Aµ (cặp góc đồng vị); DF / / AC nên B·FD Aµ (cặp góc đồng vị). 
Mặt khác B·FD F·DE (so le trong của DE / / AB )
Suy ra Aµ D·EC B·FD F·DE .
 ¶ µ ¶ µ
b) Ta có D2 B (cặp góc đồng vị của DE / / AB ); D1 C (cặp góc so 
le trong của DF / / AC );
 ¶ ¶ µ µ ·
Do đó D1 D2 B C 110 . Suy ra FDE 180 110 70 .
Vậy Aµ 70 (vì Aµ F·DE ).
4.5. Cho tam giác ABC. Từ điểm M trên cạnh BC vẽ MD / / AB, ME / / AC D AC, E AB . Xác định vị 
trí của điểm M để tia MA là tia phân giác của góc DME.
 Hướng dẫn giải (h.4.22)
 µ ¶
Ta có MD / / AB suy ra A1 M1 (cặp góc so le trong); ME / / AC 
 ¶ ¶
suy ra A2 M 2 (cặp góc so le trong). 
Tia MA nằm giữa hai tia MD và ME. Do đó tia MA là tia phân giác 
của góc DME.
 ¶ ¶ µ ¶
 M1 M 2 A1 A2 M là giao điểm của BC với tia phân giác 
của góc A.
4.6. Hình 4.9 có Cµ m m 90 ; A·BC 180 2m và Bx / / AC . 
Chứng minh rằng tia Bx là tia phân giác của góc Aby.
 Hướng dẫn giải (h.4.9)
Ta có A·BC 180 2m nên ·ABy 180 180 2m 2m .
Mặt khác Bx / / AC nên x·By Cµ m (cặp góc đồng vị); suy ra
A· Bx 2m m m . Vậy A· Bx x·By m . (1)
Tia Bx nằm giữa hai tia BA và By. (2) Từ (1) và (2) suy ra tia Bx là tia phân giác của góc ABy.
 Vận dụng dấu hiệu nhận biết và tính chất của hai đường thẳng song song
 ¶ ¶
4.7. Hình 4.10, ngoài những số đo đã ghi còn biết D1 D2 . Chứng tỏ rằng b  m .
 Hướng dẫn giải (h.4.10)
Ta có ·ACD 180 120 60 . Vậy ·ACD B·Aa 60 .
Suy ra m / /n (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).
 ¶ ¶ ¶ ¶ ¶
Ta có D1 D2 180 mà D1 D2 nên D1 90 .
Suy ra b  n do đó b  m (vì m / /n ). 
4.8. Hình 4.11 có AB  AC,CD  AC và OE  AC . Biết O·AB m;O·CD 50 . Tìm giá trị m để tia 
OE là tia phân giác của góc AOC.
 Hướng dẫn giải (h.4.11)
Ta có AB  AC;CD  AC;OE  AC (đề bài).
Suy ra AB / /CD / /OE (cùng vuông góc với AC).
Do đó ·AOE O·AB m (cặp góc so le trong); E·OC O·CD 50 (cặp góc so le trong).
Tia OE nằm giữa hai tia OA và OC nên tia OE là tia phân giác của góc AOC ·AOE E·OC m 50 .
4.9. Hình 4.12 có ·AEF 45, E·FC 3.·AEF . Các tia Em và Fn lần lượt là các tia phân giác của các góc 
AEF và EFD. Chứng tỏ rằng Em / /Fn .
 Hướng dẫn giải (h.4.12)
Ta có ·AEF E·FC 45 45.3 180. Suy ra AB / /CD (vì có cặp góc trong cùng phía bù nhau).
Do đó ·AEF E·FD (cặp góc so le trong).
 1 1
Mặt khác Eµ ·AEF; Fµ E·FD nên Eµ Fµ, dẫn tới Em / /Fn (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).
 1 2 1 2 1 1
4.10. Hình 4.13 có Aµ Bµ và Ax / /Bm . Chứng tỏ rằng Ay / /Bn .
 Hướng dẫn giải (h.4.23)
Gọi C là giao điểm của hai đường thẳng Ay và Bm. 
Ta có Ax / /Bm nên Aµ ·ACm (cặp góc so le trong).
Mặt khác, Aµ m· Bn nên ·ACm m· Bn Aµ .
Do đó Ay / /Bn (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).
4.11. Hình 4.14 có Aµ a; Bµ b a,b 90 và ·AOB a b . Chứng tỏ rằng Ax / /By .
 Hướng dẫn giải (h.4.24)
Ở trong góc AOB vẽ tia Ot / / Ax . Khi đó ·AOt Aµ a (cặp góc so le 
trong). 
Suy ra B·Ot b. Vậy B·Ot Bµ b .
Do đó By / /Ot (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).
Vậy Ax / /By (vì cùng song song với Ot).
4.12. Hình 4.15 có Aµ m;Cµ n 90 m,n 180 ; 
·AOC 360 m n . Chứng tỏ rằng AB / /CD .
 Hướng dẫn giải (h.4.25)
Trong góc AOC vẽ tia Ot sao cho Ot / / AB .
Khi đó Aµ ·AOt 180 (cặp góc trong cùng phía).
Suy ra ·AOt 180 m .
Do đó C·Ot ·AOC ·AOt 360 m n 180 m 180 n
Vậy Cµ C·Ot n 180 n 180 .
Suy ra CD / /Ot (vì có cặp góc trong cùng phía bù nhau). Do đó AB / /CD (vì cùng song song với Ot).
4.13. Hình 4.16 có Aµ 130,Cµ 140 và OA  OB . Chứng tỏ rằng 
AB / /CD .
 Hướng dẫn giải (h.4.26)
Vì OA  OC nên ·AOC 90 . Trong góc AOC vẽ tia Ot sao cho Ot / / AB .
Khi đó Aµ ·AOt 180 (cặp góc trong cùng phía).
Suy ra ·AOt 180 130 50.
Vì ·AOC 90 nên C·Ot 40 .
Ta có Cµ C·Ot 140 40 180.
Do đó CD / /Ot (vì có cặp góc trong cùng phía bù nhau).
Suy ra AB / /CD (vì cùng song song với Ot).
4.14. Cho góc AOB. Trên tia OA lấy điểm M, trên tia OB lấy điểm N. Vẽ ra ngoài góc AOB các tia Mx và 
Ny song song với nhau. Cho biết ·AMx 140, B·Ny 150 , tính số đo của góc AOB.
 Hướng dẫn giải (h.4.27)
 · ¶
Vì AMx 140 nên M1 40.
 · ¶
Vì BNy 150 nên N2 30 .
Ở trong góc AOB vẽ tia Ot / /Mx , khi đó Ot / /Ny (vì Mx / /Ny ).
 ¶ ¶
Ta có O1 M1 40 (cặp góc so le trong).
¶ ¶
O2 N2 30 (cặp góc so le trong).
 · ¶ ¶
Suy ra AOB O1 O2 40 30 70.
4.15. Hình 4.17 có Ax / /By;OA  OB và Aµ 145 . Tính số đo góc B.
 Hướng dẫn giải (h.4.28)
Ở trong góc AOB vẽ tia Ot / / Ax .
Khi đó Ot / /By (vì Ax / /By ). Ta có OA  OB nên ·AOB 90 .
 µ ¶ ¶
Mặt khác A O1 180 (cặp góc trong cùng phía) nên O1 180 145 35 .
 ¶
Suy ra O2 90 35 55 .
 ¶ µ
Ta có O2 B 180 (cặp góc trong cùng phía của Ot / /By ).
Do đó Bµ 180 55 125.
4.16. Trong hình 4.18 có Ax / /By . Tính số đo của góc AOB.
 Hướng dẫn giải (h.4.29)
Trên nửa mặt phẳng bờ OB có chứa tia By vẽ tia Ot / /By . Khi đó 
Ot / / Ax (vì Ax / /By ).
Ta có O· By B·Ot 180 (cặp góc trong cùng phía).
Suy ra B·Ot 180 150 30 .
Ta có ·AOt O· Ax 50 (cặp góc so le trong).
Từ đó ·AOB 50 30 20 .