Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chương I: Đường thẳng vuông góc. Đường thẳng song song - Chuyên đề 5: Định lí

 Chương I. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUễNG GểC. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
Chuyờn đề 5. ĐỊNH LÍ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định lớ
 Định lớ là một khẳng định suy ra từ những khẳng định được coi là đỳng.
 Mỗi định lớ đều cú hai phần:
- Phần đó cho gọi là giả thiết của định lớ.
- Phần phải suy ra gọi là kết luận của định lớ.
Khi định lớ được phỏt biểu dưới dạng “Nếu A thỡ B” thỡ A là giả thiết; B là kết luận.
2. Chứng minh định lớ là dựng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận.
3. Hệ quả là một định lớ được suy ra trực tiếp từ một định lớ hoặc từ một tớnh chất được thừa nhận.
4. Định lớ thuận, định lớ đảo
Xột định lớ “Nếu A thỡ B” cú mệnh đề đảo là “Nếu B thỡ A”. Nếu mệnh đề đảo này đỳng thỡ mệnh đề đảo 
được gọi là định lớ đảo của định lớ đó cho và định lớ đó cho gọi là định lớ thuận.
B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1: Định lớ “Hai gúc đối đỉnh thỡ bằng nhau” cú định lớ đảo khụng?
 Giải
Định lớ “Hai gúc đối đỉnh thỡ bằng nhau” cú mệnh đề đảo là “Hai gúc bằng 
nhau thỡ đối đỉnh”. Mệnh đề đảo này sai.
Vớ dụ, xột gúc AOB, tia phõn giỏc OM (h.5.1). 
Rừ ràng hai gúc AOM và BOM bằng nhau nhưng khụng đối đỉnh vỡ mỗi cạnh 
của gúc này khụng là tia đối một cạnh của gúc kia.
Vậy định lớ “Hai gúc đối đỉnh thỡ bằng nhau” khụng cú định lớ đảo.
Nhận xột: Một vớ dụ chứng tỏ một mệnh đề nào đú là sai gọi là một phản vớ dụ. 
Như vậy ta đó dựng phương phỏp đưa ra một phản vớ dụ để chứng tỏ mệnh đề 
“Hai gúc bằng nhau thỡ đối đỉnh” là sai.
Vớ dụ 2: Chứng minh định lớ: “Nếu hai gúc cú cạnh tương ứng song song thỡ bằng nhau nếu hai gúc cựng 
nhọn hoặc cựng tự”.
 Giải (h.5.2)
 xãOy và xã O y cựng nhọn (tự)
 GT
 Ox / /O x ;Oy / /O y 
 KL xãOy xã O y 
* Tỡm cỏch giải Để chứng minh Oà Oà ta chứng minh chỳng cựng bằng một gúc thứ ba. Dựa vào giả thiết cú cỏc cặp 
đường thẳng song song, ta nghĩ đến việc vận dụng tớnh chất của hai đường thẳng song song để tỡm ra cỏc 
cặp gúc bằng nhau.
* Trỡnh bày lời giải
Gọi K là giao điểm của cỏc đường thẳng Ox và O y .
Vỡ O y / /Oy nờn Oà xãKy (cặp gúc đồng vị);
Vỡ O x / /Ox nờn Oà xãKy (cặp gúc đồng vị).
Do đú Oà Oà (cựng bằng xãKy ).
Nhận xột: Người ta cũng chứng minh được rằng:
Nếu hai gúc cú cạnh tương ứng song song thỡ:
- Chỳng bự nhau nếu gúc này nhọn, gúc kia tự;
- Gúc này vuụng thỡ gúc kia vuụng.
Vớ dụ 3: Chứng minh định lớ: “Nếu hai gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc thỡ chỳng bằng nhau nếu hai 
gúc cựng nhọn hoặc cựng tự”.
 Giải (h.5.3)
 xãOy và xã O y cựng nhọn (tự)
 GT
 Ox  O x ;Oy  O y 
 KL xãOy xã O y 
* Tỡm cỏch giải
Để chứng minh xãOy xã O y ta chứng minh chỳng cựng bằng một gúc 
thứ ba. Để tạo ra gúc thứ ba này ta vẽ O m / /Ox và O n / /Oy , hai tia 
này cựng thuộc một nửa mặt phẳng bờ O x (h.5.4).
Khi đú theo định lớ “Nếu hai gúc cú cạnh tương ứng song song thỡ 
chỳng bằng nhau nếu hai gúc cựng nhọn hoặc cựng tự” ta được 
xãOy mãO n . Ta chỉ cũn phải chứng minh xã O y mãO n .
* Trỡnh bày lời giải
 Trường hợp hai gúc đều nhọn
Vẽ O m / /Ox và O n / /Oy . Vỡ O x  Ox nờn O x  O m do đú mãO x 90 . (1)
Vỡ O y  Oy nờn O y  O n do đú nãO y 90 . (2)
Từ (1) và (2), suy ra: xã O y mãO n (cựng phụ với xã O n ). (3)
Mặt khỏc, xãOy mãO n (hai gúc cú cạnh tương ứng song song cựng nhọn). (4) Từ (3) và (4), suy ra: xãOy xã O y mãO n .
 Trường hợp hai gúc đều tự: Chứng minh tương tự.
Nhận xột: Người ta cũng chứng minh được rằng:
Nếu hai gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc thỡ:
- Chỳng bự nhau nếu gúc này nhọn, gúc kia tự;
- Gúc này vuụng thỡ gúc kia vuụng.
C. Bài tập vận dụng
5.1. Cho gúc bẹt AOB. Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ cỏc tia OC và OD sao cho 
ãAOC BãOD 90 . Vẽ tia OM ở trong gúc COD. Chứng minh rằng OM  AB khi và chỉ khi OM là tia 
phõn giỏc của gúc COD.
 Hướng dẫn giải (h.5.6)
 Tỡm cỏch giải
Với cấu trỳc khi và chỉ khi ta phải chứng minh hai mệnh đề thuận và đảo 
sau: 
- Mệnh đề thuận: Nếu OM  AB thỡ OM là tia phõn giỏc của gúc COD.
- Mệnh đề đảo: Nếu OM là tia phõn giỏc của gúc COD thỡ OM  AB .
 Trỡnh bày lời giải
- Chứng minh mệnh đề thuận: OM  AB (gt) suy ra ãAOM BãOM 90 .
Do đú ãAOC CãOM BãOD DãOM (vỡ tia OC nằm giữa hai tia OA, OM; tia OD nằm giữa hai tia OB và 
OM).
Mặt khỏc ãAOC BãOD (gt) nờn CãOM DãOM . (1)
Tia OM nằm giữa hai tia OC và OD. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tia OM là tia phõn giỏc của gúc COD.
- Chứng minh mệnh đề đảo:
OM là tia phõn giỏc của gúc COD (gt). Suy ra CãOM DãOM .
Mặt khỏc ãAOC BãOD (gt) nờn ãAOC CãOM BãOD DãOM .
Do đú ãAOM BãOM (vỡ tia OC nằm giữa hai tia OA, OM; tia OD nằm giữa hai tia OB, OM).
Lại cú ãAOM BãOM 180 (hai gúc kề bự) nờn ãAOM 180 : 2 90 .
Suy ra OM  AB .
5.2. Cho định lớ: “Hai đường thẳng phõn biệt cựng vuụng gúc với một đường thẳng thứ ba thỡ chỳng song 
song với nhau”. Hóy phỏt biểu định lớ đảo và chứng minh.
 Hướng dẫn giải (h.5.7)
Phỏt biểu định lớ đảo: Một đường thẳng vuụng gúc với một trong hai đường song song thỡ nú cũng vuụng 
gúc với đường thẳng kia. a / /b
 GT
 c  a 
 KL c  b
Chứng minh
 à à
Ta cú a / /b (gt) suy ra A1 B1 (cặp gúc đồng vị).
 à à
Mặt khỏc, c  a (gt) nờn A1 90 . Do đú B1 90 . Suy ra c  b .
* Nhận xột: Ta cú thể viết gộp cả định lớ thuận và định lớ đảo của định lớ trờn như sau:
 a  c
 b  c a / /b
Kớ hiệu đọc là “khi và chỉ khi”. Kớ hiệu này cú nghĩa là mệnh đề ở bờn trỏi suy ra được mệnh đề ở bờn 
phải và ngược lại.
5.3. Cho định lớ: “Hai tia phõn giỏc của hai gúc kề thỡ vuụng gúc với nhau”. Hóy viết giả thiết, kết luận 
của định lớ đảo của định lớ này rồi chứng minh.
 Hướng dẫn giải (h.5.8)
 ãAOB và BãOC kề bự
 OM là tia phõn giỏc của ãAOB
 GT
 ON nằm trong gúc BOC
 OM  ON .
 KL ON là tia phõn giỏc của BãOC .
Chứng minh
Ta cú OM  ON (gt) nờn Mã ON 90 .
 ả ả ã
Tia OB nằm giữa hai tia OM và ON nờn O2 O3 MON 90 .
Vỡ ãAOB và BãOC kề bự nờn ãAOB BãOC 180.
 ả ả ả ả
Do đú O1 O2 O3 O4 180 .
 ả ả ả ả
Mặt khỏc, O2 O3 90 (chứng minh trờn) nờn O1 O4 90 .
 ả ả ả ả ả ả ả ả
Suy ra O2 O3 O1 O4 mà O1 O2 (gt) nờn O3 O4 . (1)
Tia ON nằm giữa hai tia OB và OC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tia ON là tia phõn giỏc của gúc BOC.
5.4. Bỏc bỏ cỏc mệnh đề sau bằng cỏch đưa ra phản vớ dụ:
a) Tổng số đo của hai gúc nhọn bằng số đo của một gúc tự;
b) Tổng số đo của một gúc nhọn và một gúc tự bằng số đo của gúc bẹt. Hướng dẫn giải
a) À 30; Bà 40
 À Bà 70 90 (khụng phải là số đo của một gúc tự).
b) Cà 30; Dà 100 Cà Dà 130 180 .
5.5. Điền vào cỏc chỗ trống:
a) Cho À Oà 90 và Bà Oà 90. Suy ra . (vỡ .).
b) Cho À àA và Bà Bà . Suy ra À Bà (vỡ .).
 Hướng dẫn giải
a) Suy ra À Bà (vỡ cựng phụ với gúc O).
b) àA Bà (vỡ cựng bằng hai gúc bằng nhau).
5.6. Điền vào cỏc chỗ trống:
a) Cho AB CD . Suy ra 3AB 3CD (vỡ ..).
b) Cho AB CD và MN PQ . Suy ra AB MN ..CD PQ (vỡ .).
 Hướng dẫn giải
a) “=” (vỡ gấp ba lần hai đoạn thẳng bằng nhau thỡ được hai đoạn thẳng bằng nhau).
b) “=” (vỡ thờm những đoạn thẳng bằng nhau vào những đoạn thẳng bằng nhau thỡ tổng bằng nhau).
5.7. Chứng minh định lớ: “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thỡ hai gúc so le trong 
bằng nhau”.
 Hướng dẫn giải (h.5.9)
 a / /b
 GT
 à à
 A1 và B1 là cặp gúc so le trong.
 à à
 KL A1 B1 .
Chứng minh
 à à
Giả sử cỏc gúc A1 và B1 khụng bằng nhau.
 ã à
Qua A vẽ đường thẳng xy tạo với đường thẳng c gúc xAB B1 .
Khi đú theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ta được xy / /b .
Mặt khỏc, a / /b (gt) nờn qua A cú hai đường thẳng song song với b trỏi với tiờn đề Ơ-clớt. Do đú xy phải 
trựng với đường thẳng a.
 ã à à à
Suy ra xAB B1 hay A1 B1 .
5.8. Cho À và Bà là hai gúc cú cạnh tương ứng song song. Tớnh số đo cỏc gúc A và B, biết:
a) À Bà 130 ; b) À Bà 100 . Hướng dẫn giải
a) Nếu À Bà 130 180 thỡ hai gúc A và B phải bằng nhau.
Vậy À Bà 130 : 2 65 .
b) Nếu À Bà 100 thỡ À Bà, do đú À Bà 180 .
Suy ra À 180 100 : 2 140; Bà 180 140 40 .
5.9. Cho hai gúc cú cạnh tương ứng song song cựng nhọn hoặc cựng tự. Biết hai tia phõn giỏc của chỳng 
khụng cựng nằm trờn một đường thẳng. Chứng minh rằng hai tia phõn giỏc này song song với nhau.
 Hướng dẫn giải (h.5.10)
 ãAOB và CãKD cựng nhọn (tự)
 GT OA / /KC;OB / /KD
 ả ả ả ả
 O1 O2 ; K1 K2 
 KL Ox / /Ky .
Chứng minh
Hai gúc AOB và CKD là hai gúc cú cạnh tương ứng song song 
cựng nhọn hoặc cựng tự nờn ãAOB CãKD .
 1 1
Tia Ox là tia phõn giỏc của gúc AOB; tia Ky là tia phõn giỏc của gúc CKD nờn Oả ãAOB; Kả CãOD .
 1 2 1 2
 ả ả
Suy ra O1 K1 (một nửa của hai gúc bằng nhau).
 ả ả ả ả ả
Mặt khỏc, H1 K1 (cặp gúc so le trong của OB / /KD ) nờn O1 H1 K1 .
Do đú Ox / /Ky (vỡ cú cặp gúc so le trong bằng nhau).
5.10. Cho điểm M và hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại một điểm O ở 
ngoài phạm vi tờ giấy (h.5.5). Hóy nờu cỏch vẽ một đường thẳng qua M và 
vuụng gúc với tia phõn giỏc của gúc AOC. 
 Hướng dẫn giải (h.5.11)
Từ M vẽ cỏc tia Mx / / AB, My / /CD và tia Mt là tia phõn giỏc của gúc 
xMy. 
Qua M vẽ đường thẳng d  Mt , khi đú d  tia phõn giỏc của gúc 
AOC.
Thật vậy, cỏc gúc xMy và AOC là cỏc gúc cú cạnh tương ứng song 
song, cựng nhọn nờn cỏc tia phõn giỏc của chỳng song song với nhau 
(xem bài 5.9).
Mặt khỏc, d  Mt trờn d  tia phõn giỏc của gúc AOC. 5.11. Cho 10 đường thẳng trong đú khụng cú hai đường thẳng nào song song. Chứng minh rằng tồn tại 
hai đường thẳng tạo với nhau một gúc nhỏ hơn hoặc bằng 18 .
 Hướng dẫn giải (h.5.12)
Gọi 10 đường thẳng đó cho là a1,a2 ,...,a10 .
Từ một điểm O bất kỡ vẽ 10 đường thẳng d1,d2 ,...,d10 tương ứng song 
song với 10 đường thẳng đó cho. Vỡ trong 10 đường thẳng đó cho khụng 
cú hai đường thẳng nào song song nờn 10 đường thẳng d1,d2 ,...,d10 
cũng khụng cú hai đường thẳng nào trựng nhau. 10 đường thẳng này cắt 
nhau tại O tạo thành 20 gúc khụng cú điểm trong chung nờn tồn tại một 
gúc nhỏ hơn hoặc bằng 360 : 20 18. Gúc này bằng gúc cú cạnh 
tương ứng song song với nú.
Vậy trong 10 đường thẳng đó cho, tồn tại hai đường thẳng tạo với nhau một gúc nhỏ hơn hoặc bằng 18 .