Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chương I: Đường thẳng vuông góc. Đường thẳng song song - Chuyên đề 7: Tổng ba góc của một tam giác

 Buổi 10
Ngày soạn: Ngày dạy:
 Chuyờn đề: TỔNG BA GểC CỦA MỘT TAM GIÁC
I. MỤC TIấU
1. Kiến thức: - Chứng minh định lớ về tổng ba gúc của một tam giỏc
- Nhận biết gúc ngoài của tam giỏc, quan hệ giữa gúc ngoài và gúc trong khụng kề với nú.
2. Kĩ năng: Vận dụng cỏc định lớ vào việc tớnh số đo cỏc gúc của tam giỏc.
3. Thỏi độ: Cú ý thức cẩn thận trong thực hành đo và cắt dỏn, cú thỏi độ tự giỏc.
4. Định hướng phỏt triển năng lực:
- Năng lực chung: Tự học, giải quyết vấn đề, hợp tỏc, giao tiếp, tớnh toỏn, suy luận.
- Năng lực chuyờn biệt: Thực hành đo gúc, cắt ghộp, Chứng minh định lớ về tổng ba gúc của một 
tam giỏc, tớnh số đo cỏc gúc trong tam giỏc.
II. CHUẨN BỊ
1. Chuẩn bị của giỏo viờn
 - Thiết bị dạy học: Thước đo gúc, bảng phụ, tam giỏc bằng bỡa, kộo
 - Học liệu: Giỏo ỏn, SGK
2. Chuẩn bị của học sinh: SGK, thước đo gúc
III. TIẾN TRèNH DẠY HỌC:
A. Kiến thức cần nhớ
1. Tổng ba gúc của một tam giỏc.
Tổng ba gúc của một tam giỏc bằng 180 .
 ABC àA Bà Cà 180 .
2. Áp dụng vào tam giỏc vuụng
a) Định nghĩa: Tam giỏc vuụng là tam giỏc cú một gúc vuụng.
b) Tớnh chất: Trong tam giỏc vuụng, hai gúc nhọn phụ nhau.
 ABC
 Bà Cà 90 .
 à
 A 90
3. Gúc ngoài của tam giỏc
a) Định nghĩa: Gúc ngoài của tam giỏc là gúc kề bự với một gúc 
của tam giỏc.
b) Tớnh chất:
* Mỗi gúc ngoài của một tam giỏc bằng tổng của hai gúc trong 
khụng kề với nú.
ãACD àA Bà 
* Gúc ngoài của tam giỏc lớn hơn mỗi gúc trong khụng kề với nú.
ãACD àA, ãACD Bà B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1: Tỡm x, trong hỡnh vẽ bờn:
 Giải
* Tỡm cỏch giải. Để tỡm số đo x, chỳng ta vận dụng:
- Tổng ba gúc của một tam giỏc bằng 180 .
- Gúc ngoài của một tam giỏc bằng tổng hai gúc trong khụng kề với nú.
* Trỡnh bày lời giải.
+ Hỡnh 1. ABC cú àA Bà Cà 180 (tớnh chất)
 41 2x 28 180 x 37 .
+ Hỡnh 2. MNP cú Mã Px Mả Nà (gúc ngoài tam giỏc)
 126 3x 4x x 18 .
+ Hỡnh 3. DEF cú Dà Eà Fà 180 (tớnh chất)
 x 70 x 42 180 x 76 .
Vớ dụ 2: Cho tam giỏc ABC cú àA 80 , Bà 60. Hai tia phõn giỏc của gúc B và C cắt nhau tại I. 
Vẽ tia phõn giỏc ngoài tại đỉnh B cắt tia CI tại D. Chứng minh rằng Bã CD Cà .
 Giải
* Tỡm cỏch giải. Đề bài cho số đo àA; Bà nờn hiển nhiờn tớnh được số đo Cà . Dựa theo kết luận của 
bài toỏn thỡ chỳng ta chỉ cần tớnh số đo Bã DC . Khi tớnh toỏn số đo gúc, chỳng ta lưu ý giả thiết cú 
yếu tố tia phõn giỏc.
* Trỡnh bày lời giải.
 ABC cú àA Bà Cà 180 (tớnh chất)
80 60 Cà 180; Cà 40 .
 ABC cú ãABx àA Cà 120
 1
 Bà Bả ãABx 60
 1 2 2
 1
Ta cú: Cà Cả Cà 20 .
 1 2 2 ã à ã
 BCD cú: BDC C1 CBD 180
 Bã DC 20 60 60 180 Bã DC 40
 Do đú Bã DC Cà .
Vớ dụ 3: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Cỏc tia phõn giỏc ãACE; Dã BE cắt nhau ở K. 
 Bã AC Bã DC
Chứng minh: Bã KC .
 2
 Giải
* Tỡm cỏch giải. Chỳng ta nhận thấy Bã KC là gúc của tam giỏc BKG; CKH nờn cần phải ghộp vào 
hai tam giỏc ấy. Khai thỏc yờu cầu của bài toỏn (liờn quan tới gúc àA ; Cà ) đồng thời để vận dụng 
yếu tố tia phõn giỏc của giả thiết, chỳng ta cần xột cỏc cặp tam giỏc KGB, AGC và cặp tam giỏc 
 KHC, DHB .
* Trỡnh bày lời giải.
Gọi G là giao điểm CK và AE và H là giao điểm 
BK và DE.
Xột KGB và AGC cú:
Kã GB ãAGC (đối đỉnh)
 à à à à
 K B1 A C1 1 
Xột KHC và DHB cú:
Kã HC Bã HD (đối đỉnh)
 à ả à ả
 K C2 D B2 2 
 à ả à ả à à à
Từ (1) và (2), kết hợp với B1 B2 ; C1 C2 2K A D
 àA Dà
 Kà .
 2
Vớ dụ 4: Cho hỡnh vẽ bờn, biết rằng BD và CE là cỏc tia phõn giỏc 
của gúc B, gúc C.
a) Nếu àA 80 , tớnh Bã IC .
b) Nếu Bã DC 84 ; Bã EC 96 , tớnh àA .
 Giải
a) ABC cú àA Bà Cà 180 nờn Bà Cà 100.
 1 1
Bả Cả .Bà .Cà
 2 2 2 2
ả ả ả ả ã ã
B2 C2 50. BIC cú B2 C2 BIC 180 nờn BIC 130 . ã ả à ã ả à
b) BDC cú BDC B2 C 180 mà BDC 84 nờn B2 C 96.
 ã à ả ã à ả
 BEC cú BEC B C2 180 mà BEC 96 nờn B C2 84 .
 ả à ả à
Suy ra B2 B C2 C 96 84
 3
Do đú . Bà Cà 180
 2 
Bà Cà 120 nờn àA 60.
Nhận xột:
 àA
- Nếu àA 80 thỡ ta luụn chứng tỏ được Bã IC 90 * .
 2
 à à à ả ả
- Để tớnh A chỳng ta cần tỡm gúc B C hoặc B2 C2 mà khụng cần tớnh từng gúc B và gúc C. 
Ngoài ra dựa vào cụng thức (*) ta cú thể tớnh Bã IC bằng cỏch xột BIE và CID để tỡm được:
à ã ã à
B1 EIB DIC C1 84 96
 à à ả ả ã ã ã
Và lưu ý: B1 C1 B2 C2 EIB DIC ta tớnh EIB .
Vớ dụ 4: Cho ABC cú àA 90 . Kẻ AH vuụng gúc với BC H BC . Cỏc tia phõn giỏc gúc C và 
gúc BAH cắt nhau tại K. Chứng minh rằng AK  CK .
 Giải
 ABH; ABC vuụng nờn Bã AH Hã CA (cựng phụ với 
ãABC ).
 1 1
Mặt khỏc àA .Bã AH ; Cà Hã AC do đú àA Cà .
 1 2 1 2 1 1
 à ã
Ta cú: A1 KAC 90
 à ã
 C1 KAC 90
Suy ra KAC vuụng tại K.
Vậy AK  KC .
* Nhận xột:
Qua bài ta nhận thấy cú thờm một dấu hiệu nhận biết tam giỏc vuụng là chứng minh tam giỏc cú 
tổng hai gúc bằng 90 . C. Bài tập vận dụng
Bài 1. Tỡm x, trong cỏc hỡnh vẽ sau:
Hướng dẫn: Hỡnh 1. ABC cú àA Bà Cà 180 
 56 x 12 x 180 x 56.
 - Hỡnh 2. MNP vuụng tại M Nà Pà 90 
 2x x 15 90 x 35.
- Hỡnh 3. DEF cú Dà Eà Fà 180 => x 3x 25 x 10 180 x 39.
 à à à
Bài 2. Cho hỡnh vẽ bờn. Biết rằng A1 45; B1 130 . Tớnh C1 .
 ả à
Hướng dẫn: Ta cú: A2 A1 45 (đối đỉnh).
 ả à ả
Ta cú B2 B1 180 B2 50 . 
 à ả ả ả
 ABC cú C1 A2 B2 (gúc ngoài của tam giỏc) suy ra: C2 95 . 
Bài 3. Cỏc gúc ngoài đỉnh A, B, C tỉ lệ với 2; 3; 4. Tớnh tỉ lệ ba gúc trong của tam giỏc đú.
 x y z
Hướng dẫn: Đặt số đo gúc ngoài đỉnh A; B; C lần lượt là x; y; z. Theo đầu bài, ta cú: và 
 2 3 4
x y z 360.
Giải ra, ta được: x 80 ; y 120 ; z 160 .
Từ đú suy ra cỏc gúc trong đỉnh A; B; C tương ứng là 100,60,20 .
Do đú tỉ lệ ba gúc trong là: 5:3:1.
Bài 4. Cho tam giỏc ABC cú àA 2.Bà và Bà 3.Cà .
a) Tớnh cỏc gúc A; B; C? b) Gọi E là giao điểm của đường thẳng AB với tia phõn giỏc của gúc ngoài tại đỉnh C. Tớnh gúc 
AEC?
Hướng dẫn: a) Ta cú àA 2.Bà ; Bà 3.Cà àA 6Cà .
 ABC cú àA Bà Cà 180 6.Cà 3Cà Cà 180
 Cà 18; Bà 54; àA 108 .
 ã à
b) Ta cú ACx C1 180 (hai gúc kề bự)
ãACx 18 180 ãACx 162
 1
Ta cú: Cả Cả ãACx 81 .
 2 3 2
 BCE cú 
Eà Bà Bã CE 180; Eà 54 18 81 180 Eà 27 hay ãAEC 27 .
Bài 5. Tam giỏc ABC cú Bà Cà . Tia phõn giỏc Bã AC cắt BC tại D.
a) Chứng minh ãADC ãADB Bà Cà .
b) Đường thẳng chứa tia phõn giỏc gúc ngoài ở đỉnh A của tam giỏc ABC cắt đường thẳng BC tại E. 
 Bà Cà
Chứng minh rằng ãAEB .
 2
Hướng dẫn: 
 à à ã
a) ABD cú A1 B ADB 180 ;
 ả à ã
 ACD cú A2 C ADC 180 ;
 à ả à ã à ã ã ã à à
Mà A1 A2 nờn C ADC B ADB ADC ADB B C .
b) ABC cú Bã Ax Bà Cà (gúc ngoài tam giỏc)
 1 Bà Cà
 àA àA Bã AX 
 3 4 2 2
 Bà Cà Bà Cà
 ACE cú: ảA Eà Cà (gúc ngoài) Eà ảA Cà ãAEB Cà hay ãAEB .
 4 4 2 2 Bài 6. Cho tam giỏc ABC cú Bà Cà 18 . Tia phõn giỏc gúc A cắt BC tại D. Tớnh số đú gúc ADC? 
Gúc ADB?
 Hướng dẫn:
 ả à à
 ACD cú D2 B A1 (gúc ngoài tam giỏc)
 ả à ả à ả
 ABD cú D1 C A2 (gúc ngoài tam giỏc) mà A1 A2 
 ả ả à à
nờn D2 D1 B C 
 ả ả ả ả
 D2 D1 18 mà D2 D1 180 
 180 18 180 18
nờn Dả 99 ; Dả 81 .
 2 2 1 2
Bài 7. Cho tam giỏc ABC. Tia phõn giỏc của gúc A cắt cạnh BC tại D. Biết ãADB 85.
a) Tớnh Bà Cà .
b) Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC nếu 4.Bà 5.Cà .
Hướng dẫn: a) Ta cú ãADB 85 ãADC 95.
 à à ã
 ABD cú A1 B ADB 180 ;
 ả à ã
 ACD cú A2 C ADC 180 ;
 à ả à ã à ã
Mà A1 A2 nờn C ADC B ADB
 ãADC ãADB Bà Cà .
Vậy Bà Cà 95 85 10 .
 Bà Cà
b) 4.Bà 5.Cà .
 5 4
 Bà Cà Bà Cà 10
Áp dụng tớnh chất dóy tỷ số bằng nhau, ta cú: 10.
 5 4 5 4 1
Suy ra: Bà 50; Cà 40.
Bài 8. Cho tam giỏc ABC, O là điểm nằm trong tam giỏc.
a) Chứng minh rằng Bã OC àA ãABO ãACO .
 àA
b) Biết ãABO ãACO 90 và tia BO là tia phõn giỏc của gúc B. Chứng minh rằng tia CO là tia 
 2
phõn giỏc của gúc C.
 à à ã
Hướng dẫn: a) ABO cú O1 A1 ABO (gúc ngoài tam giỏc).
 ả ả ã
 ACO cú O2 A2 ACO (gúc ngoài tam giỏc). à ả à ả ã ã ã à ã ã
 O1 O2 A1 A2 ABO ACO Hay BOC A ABO ACO .
 àA
b) Từ ãABO ãACO 90 
 2
 180 àA Bà Cà
 Bả Cả Bả Cả 
 2 2 2 2 2 2
 Bà Cà Bà
 Bả Cả mà BO là tia phõn giỏc của Bà nờn Bà 
 2 2 2 2 1 2
 Cà
suy ra Cả ; hay CO là tia phõn giỏc của gúc Cà .
 2 2
Bài 9. Cho tam giỏc ABC cú àA 180 3Cà .
a) Chứng minh rằng Bà 2.Cà .
b) Từ một điểm D trờn cạnh AC vẽ DE//BC E AB . Hóy xỏc định vị trớ của D cho tia DE là tia 
phõn giỏc của gúc ãADB .
Hướng dẫn: a) Từ: àA 180 3.Cà àA àA Bà Cà 3.Cà suy ra Bà 2.Cà
b) DE // BC Ã DE Cà (gúc đồng vị) và Eã DB Dã BC (gúc so le trong).
 1 1
Tia DE là tia phõn giỏc của ãADB ãADE Eã DB Cà Dã BC mà Cà Bà nờn Dã BC Bà 
 2 2
BD là tia phõn giỏc của ãABC .
Vậy khi D là giao điểm của tia phõn giỏc Bà và AC thỡ DE là tia phõn giỏc của ãADB .
Bài 10. Chứng minh với mỗi tam giỏc bao giờ cũng tồn tại một gúc ngoài khụng lớn hơn 120 .
Hướng dẫn:
 Giả sử cả ba gúc ngoài ở ba đỉnh đều lớn hơn 120 suy ra mỗi gúc trong đều nhỏ hơn 60
Vậy tổng ba gúc trong của tam giỏc nhỏ hơn 180 , vụ lớ. Do đú tồn tại một gúc ngoài cú số đo 
khụng lớn hơn 120 .
Bài 11. Cho tam giỏc ABC vuụng gúc tại A. Tia phõn giỏc của Cà cắt AB tại D.
a) Chứng minh rằng gúc BDC là gúc tự.
b) Giả sự Bã DC 105 . Tớnh số đo gúc B.
Hướng dẫn:
a) Gúc BDC là gúc ngoài tại đỉnh D của tam giỏc ACD nờn 
Bã DC àA 90 ; 90 Bã DC 180 Bã DC là gúc tự.
b) Bã DC àA ãACD (gúc ngoài tam giỏc)
 ãACD 15 ãACB 30 Bà 60 . Bài 12. Cho hỡnh vẽ bờn.Tớnh tổng àA Bà Cà Dà Eà Fà
Hướng dẫn: Xột ABI cú àA Bà 180 ãAIB .
Xột CDH cú Cà Dà 180 Cã HD .
Xột EFK cú Eà Fà 180 Eã KF .
Suy ra: àA Bà Cà Dà Eà Fà 540 ãAIB Cã HD Eã KF 
 540 Kã IH IãHK IãKH 540 180 360 .
D. Củng cố, hướng dẫn về nhà:
 - Xem lại kiến thức đó ụn tập
 - Hoàn thành bài tập cũn lại trong tập đề cương
IV. RÚT KINH NGHIỆM.