Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chương II: Tam giác - Chuyên đề 10: Định lý Py-ta-go

 Buổi 15 Ngày soạn: Ngày dạy
 CHUYÊN ĐỀ. ĐỊNH LÝ PY-TA-GO
A. Kiến thức cần nhớ
Trong toán học, định lý Py-ta-go là một liên hệ trong hình học phẳng giữa ba cạnh tam giác của 
một tam giác vuông.
- Pythagoras (tiếng Hy Lạp: Πυθαγόρας; sinh khoảng năm 580 đến 572 TCN - mất khoảng năm 
500 đến 490 TCN) là một nhà triết học người Hy Lạp và là người sáng lập ra phong trào tín ngưỡng 
có tên học thuyết Pythagoras. Ông thường được biết đến như một nhà khoa học và toán học vĩ đại. 
Trong tiếng Việt, tên của ông thường được phiên âm từ tiếng Pháp (Pythagore) thành Py-ta-go.
- Pythagoras đã thành công trong việc chứng minh tổng 3 góc của một tam giác bằng 180° và nổi 
tiếng nhất nhờ định lý toán học mang tên ông. Ông cũng được biết đến là "cha đẻ của số học". Ông 
đã có nhiều đóng góp quan trọng cho triết học và tín ngưỡng vào cuối thế kỷ 7 TCN. Về cuộc đời 
và sự nghiệp của ông, có quá nhiều các huyền thoại khiến việc tìm lại sự thật lịch sử không dễ dàng. 
Pythagoras và các học trò của ông tin rằng mọi sự vật đều liên hệ đến toán học, và mọi sự việc đều 
có thể tiên đoán trước qua các chu kỳ.
1) Định lí Py-ta-go
Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình 
phương của hai cạnh góc vuông.
 ABC vuông tại A BC 2 AB2 AC 2 .
2) Định lí Py-ta-go đảo
Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương 
của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.
 ABC : BC 2 AB2 AC 2 B· AC 90 .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho hình vẽ sau. Tìm x:
 Giải * Tìm cách giải. Trong một tam giác vuông nếu biết độ dài hai cạnh thì tìm được độ dài cạnh thứ 
ba.
Xét ADE ta tính được AE từ đó xét ABC , tính được BC.
* Trình bày lời giải.
Tam giác ADE vuông tại A. Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:
AD2 AE 2 DE 2 32 AE 2 52 AE 4 .
Từ đó suy ra AB 8 .
Tam giác ABC vuông tại A. Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:
AB2 AC 2 BC 2 82 62 BC 2 BC 10 .
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết 3AB 4AC và BC 20cm . 
Tính độ dài các cạnh AB và AC.
 Giải
* Tìm cách giải. Bài toán biết độ dài cạnh huyền tam giác vuông, tính độ dài hai cạnh góc vuông 
của tam giác ấy, tất yếu suy nghĩ tới việc dùng định lý Py-ta-go.
Bài toán cho 3AB 4AC . Khai thác yếu tố này, chúng ta có thể giải bài toán theo ba cách:
* Trình bày lời giải.
- Cách 1. Tam giác ABC vuông tại A. Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:
AB2 AC 2 BC 2 AB2 AC 2 400
 AB AC AB2 AC 2
Từ đề bài: 3AB 4AC 
 4 3 16 9
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau, ta có: 
 AB2 AC 2 AB2 AC 2 400
 16
 16 9 16 9 25
 AB2 16.16 AB 16cm
AC 2 9.16 AC 12cm .
- Cách 2. Tam giác ABC vuông tại A. Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:
AB2 AC 2 BC 2 AB2 AC 2 400
Từ đề bài, đặt:
 k k k 2 k 2
3AB 4AC k k 0 AB ; AC AB2 ; AC 2 
 3 4 9 16
 k 2 k 2
AB2 AC 2 BC 2 400 25k 2 57600 k 2 2304
 9 16
Với k 0 k 48 . Từ đó suy ra AB 16cm , AC 12cm .
- Cách 3. Tam giác ABC vuông tại A. Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:
AB2 AC 2 BC 2 AB2 AC 2 400 4.AC 16.AC 2
Từ đề bài, đặt: 3AB 4AC AB AB2 
 3 9
 16.AC 2 25.AC 2
AB2 AC 2 BC 2 AC 2 400 400 AC 2 144
 9 9
Từ đó suy ra AC 12cm , AB 16cm .
Ví dụ 3: Gấp mảnh giấy hình chữ nhật như hình dưới đây sao cho điểm 
D trùng với điểm E, là một điểm nằm trên cạnh BC. Biết rằng 
AD 10cm , AB 8cm . Tính độ dài của CE.
 Giải
* Tìm cách giải. Khi gấp hình, chúng ta lưu ý các yếu tố bằng nhau. Suy 
ra được AE AD
Để tính CE, chúng ta chỉ cần tính BE. Từ đó chúng ta có lời giải sau:
* Trình bày lời giải.
Ta có ·AEF ·ADF 90 ; AD AE 10cm .
Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông ABE, ta có:
BE 2 AE 2 AB2 BE 2 102 82 36 BE 6cm .
Suy ra CE 10 6 4cm .
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cân tại A, µA 30 ; BC a . Lấy điểm D trên cạnh AC sao cho 
C· BD 60 . Tính độ dài AD theo a.
 Giải
- Cách 1. Tam giác ABC cân tại A; µA 30 nên ·ABC ·ACB 75 .
Trên nửa mặt phẳng bờ BC, chứa điểm A, vẽ BIC vuông cân tại I thì 
I nằm trong ABC .
Ta có: C· BI 45 ; I·BA 30 I·BD 15 ·ABD 15 .
 IAB và IAC có AB AC ; IB IC ; AI là cạnh chung. 
Do đó IAB IAC c.c.c I·AB I·AC 15 .
 IAB và DBA có I·BA D· BA 15 ; AB là cạnh chung; 
·ABI B· AD 30 . Do đó IAB DBA g.c.g IB AD .
 IBC vuông cân tại I, theo định lý Py-ta-go, ta có:
 a
BI 2 IC 2 BC 2 a2 2.BI 2 a2 BI 
 2
 a
Suy ra AD .
 2 - Cách 2. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, dựng tia 
Ax sao cho C· Ax 45 . Trên Ax lấy điểm E sao cho AE BC . Suy 
ra B· AE 75.
 ABC và BAE có AB là cạnh chung; ·ABC B· AE 75 ; 
AE BC . Do đó ABC BAE c.g.c .
 AC BE ; ·ABE B· AC ·ABE 30 D· BE 15 .
 ABD và EBD có AB EB AC ; ·ABD E· BD 15 ; BD 
là cạnh chung. 
Do đó ABD EBD c.g.c AD ED AED vuông cân tại 
D.
 ADE vuông cân tại D, theo định lý Py-ta-go, ta có:
 a
AD2 ED2 AE 2 a2 2.AD2 a2 AD .
 2
Ví dụ 5: Cho ABC vuông tại A. Lấy D là trung điểm của AB. Từ D vẽ DE vuông góc với BC. 
Chứng minh rằng: EC 2 EB2 AC 2 .
 Giải
* Tìm cách giải. Để chứng minh đẳng thức, chỉ chứa các bình phương độ dài đoạn thẳng, chúng ta 
sử dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác vuông, chú ý tạo ra vế trái, rồi biến đổi đại số tạo ra vế 
phải.
* Trình bày lời giải.
Vận dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông, ta có:
EC 2 DC 2 DE 2 ;
BE 2 BD2 DE 2 ;
 EC 2 BE 2 DC 2 DE 2 BD2 DE 2 
 EC 2 EB2 DC 2 BD2
 EC 2 EB2 DC 2 AD2 (vì BD AD )
 EC 2 EB2 AC 2 .
Ví dụ 6: Cho ABC vuông cân tại đỉnh A. Qua A kẻ đường thẳng xy bất kỳ không cắt đoạn thẳng 
BC. Kẻ BM và CN vuông góc với xy . Chứng minh:
a) ACN BAM .
b) CN BM MN .
c) BM 2 CN 2 không phụ thuộc vào vị trí xy . d) Tìm điều kiện xy để A là trung điểm MN.
 Giải
* Tìm cách giải.
 Để chứng minh một biểu thức hình học không phụ thuộc vào vị trí của yếu tố hình học nào đó, ta 
biến đổi chứng tỏ biểu thức đó bằng kết quả chỉ chứa yếu tố cố định.
 Để tìm điều kiện hình học thỏa mãn yêu cầu nào đó, ta coi yêu cầu đó là giả thiết từ đó suy ra điều 
kiện cần tìm.
* Trình bày lời giải.
 µ ¶ µ ¶ µ µ
a) Ta có: B1 A2 90 ; A1 A2 90 nên B1 A1 .
 ¶ µ µ µ
- BAM và ACN có M N 90 ; B1 A1 ; 
AB AC nên BAM ACN (cạnh huyền – góc nhọn)
b) BAM ACN nên BM AN ; AM CN
Suy ra: BM CN AN AM MN .
c) Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông BAM:
BM 2 AM 2 AB2 hay BM 2 CN 2 AB2
Suy ra BM 2 CN 2 không phụ thuộc vào vị trí xy .
d) BAM ACN nên AM CN
AM AN AN CN hay ACN vuông cân tại N
 µ
 A1 45 xy//BC .
* Nhận xét.
 Nếu gọi I là trung điểm của BC ta còn có kết quả đẹp: IMN vuông cân.
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có µA 50 ; Bµ 20. Trên đường phân giác BE của góc ·ABC lấy 
điểm F sao cho F· AB 20 . Gọi I là trung điểm của AF, K là giao điểm của tia EI với AB; M là giao 
 2 2 1 
điểm của CK với EB. Chứng minh rằng: AI EI AF. MF KE .
 2 
 Giải
* Tìm cách giải. Phân tích kết luận AI 2 EI 2 gợi cho chúng ta dùng định lý Py-ta-go.
Dựa vào hình vẽ, chúng ta phán đoán tam giác AIE vuông tại I. Sau đó chứng minh dự đoán này.
Phân tích từ giả thiết, với các yếu tố về góc, chúng ta tính được Cµ ; F· AE 30 ; ·ABE C· BE 10 . 
Từ đó tính được B· EC 60 . Từ phân tích đó, chúng ta có lời giải sau:
* Trình bày lời giải.
 ABF có ·AFE B· AF ·ABF 30 (tính chất góc ngoài của tam giác).
Suy ra E· AF E· FA EAF cân đỉnh E EA EF . EAI và EFI có IA IF ; EA EF ; EI là cạnh chung EAI EFI c.c.c 
 1
 A· EI F· EI; ·AIE F· IE 90 A· EI F· EI A· EF 60 .
 2
Từ đó suy ra CEB KEB g.c.g EC EK ; 
BC BK ; B· EC B· EK 60
 EKM ECM c.g.c 
 E· MK E· MC 90
 1
 EM EK (theo ví dụ 8, chuyên đề 9)
 2
 AIE vuông tại I suy ra:
 2 2 2 1 
AI EI AE AE.EF AE MF EM AE MF EK .
 2 
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của cạnh BC. Biết AB 2cm ; AC 4cm và 
AM 3cm . Hãy tính số đo góc B· AC và độ dài BC.
 Giải
Trên tia AM lấy điểm D sao cho M là trung điểm của 
AD AD 2 3cm
 AMB và DMC có MB MC ; ·AMB D· MC ; 
MA MD
 AMB DMC c.g.c 
 AB DC 2cm .
 2
 ADC có DC 2 AD2 22 2 3 16 ; 
AC 2 16 DC 2 AD2 AC 2
 ADC vuông tại D (định lý đảo Py-ta-go)
 M· DC 90 M· AB 90
Gọi E là trung điểm AC DE 2cm CE DC (theo ví dụ 10, chuyên đề 8) DCE là tam 
giác đều
 D· CE 60 M· AC 30 B· AC 120 .
 2
 ABM vuông tại A nên MB2 AB2 AM 2 22 3 7
 MB 7cm BC 2 7cm
C. Bài tập vận dụng Bài 1. Cho tam giác ABC nhọn, kẻ AH vuông góc với BC tại H. Biết AB 10cm ; AH 8cm ; 
HC 15cm . Tính chu vi tam giác ABC.
Bài 2. Tìm x trong hình vẽ sau:
Bài 3. Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABM, ACN 
vuông cân tại A. BN và MC cắt nhau tại D.
a) Chứng minh: AMC ABN .
b) Chứng minh: BN  CM .
c) Cho MB 3cm ; BC 2cm ; CN 4cm . Tính MN.
d) Chứng minh rằng DA là phân giác của góc MDN.
Bài 4. Cho hình vẽ sau. Biết rằng µA 60 ; Bµ Dµ 90, BC 4cm ; CD 6cm . Tính độ dài đoạn 
thẳng AB?
Bài 5. Trong tam giác vuông dưới đây, biết BC 3cm ; CD=2cm; AC n và AD m . Tính giá trị 
của m2 n2 . Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng: 
BH 2 CH 2 2AH 2 BC 2 .
Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ AH  BC . Vẽ HM  AB , HN  AC . Chứng minh:
a) AMN cân;
b) Chứng minh MN //BC .
c) Chứng minh AH 2 BM 2 AN 2 BH 2 .
 3
Bài 8. Cho ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: BM 2 BC 2 .AC 2 .
 4
Bài 9. Cho ABC cân tại A có µA 90 . Kẻ BH vuông góc với AC.
Chứng minh rằng AB2 AC 2 BC 2 2.BH 2 2.AH 2 CH 2 .
Bài 10. Cho tam giác ABC. Từ điểm M nằm bên trong tam giác kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông góc 
với BC, CA, AB. Chứng minh rằng: AF 2 BD2 CE 2 AE 2 BF 2 CD2 .
Bài 11. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD; BE cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng: AH 2 BC 2 CH 2 AB2 .
Bài 12. Cho đoạn thẳng BC cố định, M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Vẽ góc CBx sao cho 
C· Bx 45 , trên tia Bx lấy điểm A sao cho độ dài đoạn thẳng BM và BA tỉ lệ với 1 và 2 . Lấy điểm 
D bất kì thuộc đoạn thẳng BM. Vẽ BH và CI vuông góc đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI 
tại N. Chứng minh rằng:
a) BH 2 CI 2 có giá trị không đổi khi D di chuyển trên đoạn thẳng BM.
b) Tia phân giác của góc HIC luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 13. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH, trên đó lấy điểm D. Trên tia đối HA lấy E 
sao cho HE AD . Đường vuông góc với AH tại D cắt AC tại F. Chứng minh EB vuông góc với 
EF.
Bài 14. Cho tam giác ABC có góc µA 30 . Dựng bên ngoài tam giác ABC tam giác đều BCD. 
Chứng minh rằng AD2 AB2 AC 2 . Hướng dẫn giải
 Bài 1. Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:
 ABH vuông, nên AH 2 BH 2 AB2
64 BH 2 100 BH 6 cm .
 ACH vuông, nên AC 2 AH 2 HC 2
AC 2 64 225 AC 17 cm .
Chu vi ABC là: AB AC BC 10 17 6 15 48 cm .
Bài 2. Tam giác ABC vuông tại A. Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:
AB2 AC 2 BC 2 62 62 BC 2 BC 2 72.
Tam giác BCD vuông tại C. Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:
BC 2 CD2 BD2 72 32 BD2 BD2 81 BD 9.
Từ đó suy ra x 9 .
Bài 3.
a) Ta có M· AC B· AN (cùng bằng 90 B· AC ).
MA AB ( MAB vuông cân tại A)
AC AN (tam giác NAC vuông cân tại A)
 AMC ABN c.g.c .
b) Gọi giao điểm của BN với AC là F.
·ANF F· CD (vì AMC ABN ), ·AFN C· FD (đối 
đỉnh)
Từ đó suy ra F· DC F· AN . Do đó BN  CM .
c) Áp dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác vuông 
MDN, BDC, MDB, NDC, ta có:
MN 2 BC 2 MD2 ND2 BD2 CD2
BM 2 CN 2 MD2 BD2 ND2 CD2
 MN 2 BC 2 BM 2 CN 2
 MN 2 MB2 NC 2 BC 2 .
Thay MB 3cm , BC 2cm , CN 4cm , vào đẳng thức MN 2 MB2 NC 2 BC 2 , tính được 
MN 21cm .
d) Trên tia BN lấy điểm E, sao cho BE MD .
 AMD ABE c.g.c 
Suy ra AD AE ADE cân tại A (1) AMD ABE M· AD B· AE D· AE M· AB 90
 ADE vuông tại A (2).
 1
Từ (1) và (2) ·ADE 45 ·ADE M· DN .
 2
 DA là phân giác của M· DN .
Bài 4. Ta kéo dài AD và BC sao cho chúng cắt nhau tại E. Suy ra E¶ 30.
 CDE vuông tại D có E¶ 30 nên CE 2.CD 12cm (theo ví dụ 8, chuyên đề 9)
 BE 4 12 16cm .
Đặt AB x , ABE vuông tại B có E¶ 30 nên AE 2.AB 2x (theo ví dụ 8, chuyên đề 9).
Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:
BE 2 AB2 AE 2
BE 2 162 256
Ta có AB2 x2 ; AE 2 4x2 .
Nên 256 x2 4x2 256 3x2
 256 16 16 3
 x2 x cm .
 3 3 3
 Bài 5. ABC vuông suy ra: AB2 AC 2 BC 2
 ABD vuông suy ra: AB2 AD2 BD2
Do đó: AD2 BD2 AC 2 BC 2
 AD2 AC 2 BD2 BC 2
 m2 n2 52 32 16 .
 Bài 6. Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông 
ABC, AHB, AHC, ta có:
BC 2 AB2 AC 2
 BC 2 AH 2 BH 2 AH 2 HC 2
 BC 2 BH 2 CH 2 2.AH 2 (điều phải chứng minh).
Bài 7.a) AHB và AHC có AB AC ; ·AHB ·AHC 90 ; Bµ Cµ
 AHB AHC (cạnh huyền – góc nhọn)
 BH CH ; B· AH C· AH .
 AMH và ANH có ·AMH C· AH 90 ; M· AH N· AH ; AH chung
 AMH ANH (cạnh huyền – góc nhọn)
 AM AN AMN cân.