Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chương II: Tam giác - Chuyên đề 9: Tam giác cân

 Chương II
 TAM GIÁC
 Chuyên đề 9. TAM GIÁC CÂN
A. Kiến thức cần nhớ
1. Tam giác cân
a) Định nghĩa. Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
 ABC
 ABC cân tại A 
 AB AC
b) Tính chất. Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
 ABC cân tại A Bµ Cµ .
c) Dấu hiệu nhận biết
 Theo định nghĩa.
 Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
2. Tam giác vuông cân
a) Định nghĩa. Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh 
góc vuông bằng nhau.
 ABC
 ABC vuông cân tại A µA 90
 AB AC
b) Tính chất. Mỗi góc nhọn của tam giác vuông cân bằng 45.
Bµ Cµ 45 .
3. Tam giác đều
a) Định nghĩa. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
 ABC
 ABC đều 
 AB BC CA
b) Tính chất. Trong tam giác đều, mỗi góc bằng 60 .
µA Bµ Cµ 60 .
c) Dấu hiệu nhận biết
 Theo định nghĩa.
 Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
 Nếu một tam giác cân có một góc bằng 60 thì tam giác đó là tam giác đều.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho hình vẽ bên. Biết rằng AB AC AD ; ·ABC 45 ; ·ACD 75 . Tính số đo góc B· AD . Giải
* Tìm cách giải. Chúng ta lưu ý rằng: trong một tam giác cân, nếu biết một góc thì tính được hai góc còn 
 180 µA
lại. Chẳng hạn: nếu ABC cân tại A thì µA 180 2.Bµ 180 2.Cµ hoặc Bµ Cµ .
 2
* Trình bày lời giải.
 ABC cân tại A nên B· AC 180 2·ABC 90.
 ACD cân tại A nên C· AD 180 2·ACD 30.
Ta có B· AD B· AC C· AD 120 .
Ví dụ 2:
a) Một tam giác cân có một góc là 80 . Số đo của hai góc còn lại là bao nhiêu?
b) Một tam giác cân có một góc là 100 . Số đo của hai góc còn lại là bao nhiêu?
 Giải
 180 80
a) Nếu góc ở đỉnh tam giác cân là 80 , thì mỗi góc ở đáy tam giác cân là 50 .
 2
- Nếu mỗi góc ở đáy tam giác cân là 80 , thì góc ở đỉnh tam giác cân là 180 80 80 20 .
b) Nếu góc ở đáy tam giác cân là 100 , thì tổng hai góc ở đáy là 100 100 200 180 (không xảy 
ra).
 180 100
Do đó góc ở đỉnh tam giác cân là 100 , thì mỗi góc ở đáy tam giác cân là 40 .
 2
* Nhận xét. Bài toán này dễ bỏ sót các trường hợp. Khi đề bài chưa cho cụ thể số đo đó là số đo góc ở 
đỉnh hay ở đáy, ta cần xét hai trường hợp.
Ví dụ 3: Cho hình vẽ bên. Biết AB AC ; AE DE CD và 
BC CE . Tính số đo B· AC .
 Giải
* Tìm cách giải. Bài toán xuất hiện nhiều tam giác cân, nên có nhiều góc 
bằng nhau. Để lời giải giản đơn, không bị nhầm lẫn, chúng ta nên đặt 
góc nhỏ nhất trong hình vẽ là x. Sau đó biểu diễn các góc khác theo x. 
Trong quá trình giải, lưu ý tính chất góc của tam giác cân và tính chất 
góc ngoài của tam giác.
* Trình bày lời giải. DEC cân tại D. Đặt D· CE D· EC x .
 DEC có ·ADE D· CE D· EC 2x (góc ngoài tam giác).
 AED cân tại E nên E· AD ·ADE 2x .
 AEC có: B· EC C· AE E· CA 3x (góc ngoài tam giác)
 BCE cân tại C nên Bµ B· EC 3x .
 ABC cân tại A nên B· CA Bµ 3x .
 ABC có µA Bµ Cµ 180 .
Suy ra 2x 3x 3x 180 x 22,5 .
Do đó: B· AC 2.22,5 45 .
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm E sao cho E· BC 2.·ABE . Trên tia BE lấy 
điểm M sao cho EM BC . So sánh M· BC và B· MC .
 Giải
* Cách 1. Trên tia BE lấy điểm K sao cho BK BC BKC cân tại B
 180 K· BC
 B· CK B· KC 90 ·ABE ·AEB
 2
 CEK cân tại C CE CK ; 
C· EK C· KE C· EB C· KM
Mà BK EM BE KM
 CEB CKM c.g.c , suy ra M· BC B· MC .
* Cách 2. Kẻ MH  AC H AC 
Gọi MH cắt tia phân giác C· BE tại I.
 · · · 1 · 
Ta có: ABE EBI IBC EBC 
 2 
mà ·ABE E· MI (so le trong) E· MI C· BI ·ABE .
 BIM có I·BM I·MB BIM cân IB IM .
Từ đó suy ra IBC IME c.g.c 
 IE IC IEC cân tại I, mà IH  EC 
nên dễ có EMH CMH c.g.c 
 EM CM BC CM
 BCM cân tại C suy ra M· BC B· MC . Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB AC . Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác 
đều ABD và ACE. Gọi I là giao điểm của CD và BE, K là giao điểm của AB và DC.
a) Chứng minh rằng: ADC ABE .
b) Chứng minh rằng: D· IB 60 .
c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN đều.
d) Chứng minh rằng IA IB ID .
e) Chứng minh rằng IA là tia phân giác của góc DIE.
 Giải
a) ADC và ABE có AD AB ; D· AC B· AE 60 B· AC ; AC AE
 ADC ABE c.g.c .
b) ADC ABE ·ADC ·ABE .
 ADK có K· AD 60 nên ·ADC ·AKD 120
 ·ABE B· KI 120 B· IK 60 hay D· IB 60 .
c) ADC ABE DC BE DM BN .
 ADM và ABN có AD AB ; ·ADK ·ABN ; DM BN
 ADM ABN c.g.c AM AN AMN cân.
D· AM B· AN D· AM M· AB M· AB B· AN M· AN 60
 AMN đều.
d) Trên tia ID lấy IF IB .
Ta có B· IF 60 nên BIF là tam giác đều.
Xét BFD và BIA có BD BA; D· BF ·ABI 60 F· BA ; BF BI
Suy ra BFD BIA c.g.c DF IA.
Do đó IA IB DF FI ID . e) BIF đều nên B· FI 60 B· FD 120 B· IA 120 .
Mà B· ID 60 nên D· IA 60 ·AIE 60 . Do đó ·AID ·AIE 60 
hay IA là tia phân giác của góc DIE.
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC nhọn AB AC . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Gọi H là hình 
chiếu vuông góc của B trên đoạn thẳng AM. Trên tia đối tia AM lấy điểm N sao cho AN 2.MH . Chứng 
minh BN AC .
 (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên ĐHKHTN Hà Nội, năm 2015)
 Giải
* Tìm cách giải. Bài toán chưa thể ghép BN và AC vào hai tam giác bằng nhau trực tiếp được. Mặt khác 
MB MC , do vậy rất tự nhiên chúng ta nghĩ tới việc trên tia đối của tia MA lấy MD MA bởi đây là giả 
thiết quen thuộc, để suy ra AC BD . Sau đó chỉ việc chứng minh BD BN .
* Trình bày lời giải.
Trên tia đối của tia MA lấy MD MA . 
 ACM và DBM có MA MD ; ·AMC D· MB ; BM CM
Suy ra ACM DBM c.g.c 
 AC BD .
Ta có: HN HA AN HA 2.HM AM HM
HD MD HM AM HM HN HD .
 BDN có BH  DN ; HD HN BDN cân tại B BN BD .
Vậy BN AC .
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm D thuộc nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C sao 
cho tam giác DAB vuông cân tại D; điểm E (khác A) không thuộc đoạn AD. Đường thẳng qua E, vuông 
góc với BE cắt AC tại F. Chứng minh rằng EF EB .
 Giải * Tìm cách giải. Để chứng minh EF EB , thông thường chúng ta nghĩ tới việc ghép vào hai tam giác, 
sau đó chứng minh hai tam giác bằng nhau. Tuy nhiên, với hình vẽ chúng ta chưa thể ghép được. Phân 
tích đề bài, chúng ta có nhiều góc vuông, góc 45 cũng như cặp cạnh bằng nhau DA DB , AB AC . 
Với sự phân tích trên, chúng ta nghĩ tới việc kẻ thêm đường phụ nhằm kết hợp được giả thiết với nhau 
cũng như ghép EF và EB là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. Từ đó chúng ta có hai hướng 
giải sau:
 Cách 1. Có thể EF ghép vào AEF có E· AF 135 nên cần ghép EB vào tam giác có góc đối diện với 
nó cũng bằng 135 . Khai thác yếu tố tam giác vuông cân ADB, ta lấy điểm K trên BD sao cho DEK 
vuông cân.
 Cách 2. Nhận thấy B· AD 45, tia AD là tia phân giác góc ngoài đỉnh A của ABC , nên có thể kẻ EM, 
EN vuông góc với các đường thẳng AC, AB. Dễ chứng minh được EM EN . Từ đó cũng có lời giải.
* Trình bày lời giải.
- Cách 1. Trên đoạn BD lấy điểm K sao cho BK EA 1 . 
Vì tam giác DAB vuông cân tại D nên DKE vuông cân tại 
D, suy ra D· KE 45 , do đó: B· KE 180 45 135;
Mà E· AF 45 90 135,
Nên B· KE E· AF 2 
Mặt khác, K· BE 90 D· EB ·AEF 3 (do B· EF 90 )
Từ (1), (2), (3) suy ra: BKE EAF g.c.g 
Từ đó EF EB .
- Cách 2. Vẽ EM, EN vuông góc với các đường thẳng AC, AB.
 AME và ANE có: ·AME ·ANE 90 ; M· AE N· AE 45 ; 
AE là cạnh chung
 AME ANE (cạnh huyền – góc nhọn)
 EM EN .
Mặt khác, AME và ANE là tam giác vuông cân, suy ra 
M· EN 90 .
 BNE và FME có: E· NB E· MF 90 ; B· EN F· EM 90 F· EN ; EN EM
 BNE FME (cạnh huyền – góc nhọn) EF EB .
 1
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, có ·ABC 30. Chứng minh rằng AC BC .
 2
 Giải * Tìm cách giải. Từ đề bài, suy ra được. Gợi cho chúng ta liên tưởng tới góc của tam giác đều. Phân tích 
 1
kết luận AC BC , dễ dàng cho chúng ta hai hướng suy luận:
 2
 Hướng 1. Tạo ra một đoạn thẳng bằng 2.AC , sau đó chứng minh đoạn thẳng ấy bằng BC. Chú ý 
·ACB 60 , nên chúng ta dựng điểm D trên tia CA sao cho CD 2.AC , sau đó chứng minh BC CD . 
Bài toán được giải quyết.
 1
 Hướng 2. Tạo ra một đoạn thẳng bằng .BC , sau đó chứng minh đoạn thẳng ấy bằng AC. Chú ý 
 2
·ACB 60 , nên chúng ta gọi trung điểm M của BC. Sau đó chứng minh CM AC . Bài toán được giải 
quyết.
* Trình bày lời giải.
 Cách 1. Dựng điểm D trên tia đối tia AC sao cho AD AC .
 ABC và ABD có AD AC ; B· AC B· AD 90 ; AB là cạnh chung, 
do đó ABC ABD c.g.c BC BD .
 BCD có ·ACB 60 , BC BD BCD đều BC CD . Vậy 
 1
AC .BC .
 2
 Cách 2. Gọi M trung điểm của BC.
 ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC, suy ra: MA MB MC (theo 
ví dụ 10, chuyên đề 8).
 MAC có MA MC , ·ACB 60 nên MAC là tam giác đều, suy ra 
 1
AC MC . Vậy AC BC .
 2
* Nhận xét. Đây là một tính chất thú vị về một tam giác vuông đặc biệt. Tính chất được phát biểu như 
sau: Trong một tam giác vuông có một góc bằng 30 , thì cạnh đối diện với góc 30 bằng nửa cạnh 
huyền.
 1
Ví dụ 9: Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC. Biết rằng AM .BC , chứng minh rằng tam 
 2
giác ABC vuông tại A.
 Giải
 ¶ ¶
 AMC có AM CM , nên AMC cân tại M A2 C2 .
 µ µ
 AMB có AM BM , nên AMB cân tại M A1 B1 .
 µ ¶ µ
 ABC có A B2 C1 180 µ ¶ µ µ
 A A2 A1 180 2A 180
 µA 90.
Vậy tam giác ABC vuông tại A.
* Nhận xét. Đây là một tính chất thú vị để nhận biết tam giác vuông.
C. Bài tập vận dụng
9.1. Cho hình vẽ bên. Biết rằng AB AC ; AD AE và B· AD 60 . Tính số đo góc C· DE .
9.2. Tam giác ABC có Bµ 80 và điểm D trên cạnh AC. Lấy E thuộc AB, F thuộc BC sao cho AE AD 
và CF CD . Tính số đo góc E· DF .
9.3. Cho tam giác ABC vuông tại B AB BC . Đường trung trực của đoạn thẳng AC cắt AC và AB lần 
 D· CE B· CE
lượt tại D và E. Biết rằng . Tính số đo ·ACB .
 5 2
9.4. Cho tam giác ABC có đường phân giác góc A cắt BC tại D. Biết rằng B· AC 114 ; AB BD AC . 
Tính số đo góc ·ACB . 
9.5. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy hai điểm M và N sao cho BM BA; CN CA . 
Tính góc MAN.
9.6. Cho tam giác ABC nhọn. Lấy D thuộc AC sao cho AB BD , lấy điểm E thuộc AB sao cho 
AC CE . Gọi F là giao điểm của BD và CE. Biết B· FC 150 . Tính số đo góc B· AC .
9.7. Tìm x trong hình vẽ sau: 9.8. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E 
sao cho BD CE .
a) Chứng minh rằng tam giác ADE là tam giác cân.
b) Kẻ BH  AD H AD , kẻ CK  AE K AE . Chứng minh rằng BH CK .
c) Gọi O là giao điểm của BH và CK. Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao?
9.9. Cho tam giác ABC có Bµ 2.Cµ . Kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC). Trên tia đối BA lấy BE BH . 
Đường thẳng EH cắt AC tại F. Chứng minh: 
a) FH FA FC .
b) AE HC .
9.10. Cho tam giác ABC B· AC 90 , đường cao AH. Kẻ HI vuông góc với AB, kẻ HK vuông góc với 
AC. Gọi E; F lần lượt là điểm sao cho I; K lần lượt là trung điểm của HE và HF. Đường thẳng EF cắt AB; 
AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:
a) AE AF ;
b) HA là phân giác của M· HN .
9.11. Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa A và B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tam 
giác đều ACD và BCE. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AE và BD. Chứng minh rằng:
a) AE BD .
b) CME CNB .
c) Tam giác MNC là tam giác đều.
9.12. Cho tam giác LMN có 3 góc đều nhọn. Dựng ra phía ngoài tam giác ấy ba tam giác đều LMA; MNB 
và NLC. Chứng minh rằng: LB MC NA.
9.13. Cho góc x· Oz 120 . Oy là tia phân giác x· Oz ; Ot là tia phân giác của x· Oy . M là điểm miền trong 
góc yOz. Vẽ MA vuông góc Ox, MB vuông góc Oy, MC vuông góc Ot. Chứng minh rằng: 
OC MA MB .
9.14. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho 
AD AE . Các đường thẳng vuông góc kẻ từ A và E với CD cắt BC ở G và H. Đường thẳng EH và đường 
thẳng AB cắt nhau ở M. Đường thẳng kẻ từ A song song với BC cắt MH ở I. Chứng minh rằng:
a) ACD AME ;
b) AGB MIA ;
c) BG GH .
9.15. Cho tam giác ABC với ·ABC ·ACB 36. Trên tia phân giác của góc ABC lấy điểm N sao cho 
B· CN 12 . Hãy so sánh độ dài của CN và CA.
9.16. Cho ABC có các tia phân giác trong của góc B và C cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song 
song với BC cắt AB, AC tại D và E. Chứng minh BD CE DE . 9.17. Cho ABC có M là trung điểm BC. Biết rằng AM là phân giác góc BAC. Chứng minh rằng: ABC 
cân.
9.18. Cho M là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác đều ABC. Chứng minh rằng từ ba đoạn MA, MB, MC 
ta có thể dựng được một tam giác.