Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chương III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Các đường đồng quy của tam giác - Chuyên đề 15: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

 Chương III
 QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC.
 CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC
Chuyờn đề 15. QUAN HỆ GIỮA GểC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC
A. Kiến thức cần nhớ
 Định lớ 1. Trong một tam giỏc:
– Gúc đối diện với cạnh lớn hơn là gúc lớn hơn.
– Đảo lại, cạnh đối diện với gúc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Trong hỡnh 15.1:
 ABC
AC AB Bà Cà .
Suy ra, trong một tam giỏc:
– Gúc đối diện với cạnh nhỏ nhất là gúc nhọn;
– Cạnh đối diện với gúc tự (hoặc gúc vuụng) là 
 cạnh lớn nhất.
 Định lớ 2. Hai tam giỏc cú hai cặp cạnh bằng nhau
– Nếu cạnh thứ ba khụng bằng nhau thỡ gúc đối diện với cạnh lớn hơn là gúc lớn hơn.
– Đảo lại, nếu hai gúc xen giữa khụng bằng nhau thỡ cạnh đối diện với gúc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1: Chứng minh rằng nếu một tam giỏc vuụng cú một gúc nhọn lớn hơn 30o thỡ cạnh đối diện với 
gúc ấy lớn hơn một nửa cạnh huyền.
 Giải (h.15.2)
* Tỡm cỏch giải.
 1
Giả sử tam giỏc ABC vuụng tại A, ãABC 30o ,ta phải chứng minh AC BC.Muốn vậy, phải chứng 
 2
minh 2AC BC.
Ta tạo ra đoạn thẳng 2AC bằng cỏch lấy điểm D trờn tia đối 
của tia AC sao cho AD AC. Khi đú, xột BDC chỉ cần 
chứng minh DC BC .
* Trỡnh bày lời giải.
Trờn tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD AC.
 ABD ABC (c.g.c) BD BC và 
ãABD ãABC 30o. Suy ra Dã BC 60o.
 BCD cõn cú gúc ở đỉnh lớn hơn 60o nờn cỏc gúc ở đỏy 
nhỏ hơn 60o. Xột DBC cú Dã BC Dà nờn CD BC (quan hệ giữa cạnh và gúc đối diện).
 1
Do đú 2AC BC hay AC BC.
 2
Vớ dụ 2: Tam giỏc ABC cú gúc B, gúc C là những gúc nhọn, Bà 45o ; Cà 45o. Vẽ đường cao AH. Hóy 
so sỏnh HA, HB, HC.
 Giải (h.15.3)
* Tỡm cỏch giải.
Ta thấy HA, HB, HC khụng phải là ba cạnh 
của một tam giỏc. HA và HB là hai cạnh của 
tam giỏc HAB cũn HA và HC là hai cạnh của 
tam giỏc HAC. Vỡ vậy ta dựng HA làm trung 
gian để so sỏnh HA, HB, HC.
* Trỡnh bày lời giải.
 à o à o à o
Xột ABH cú H 90 ;B 45 nờn A1 45 .
 à à
Vậy A1 B HB HA 1 (quan hệ giữa gúc và cạnh đối diện).
 à o à o ả o
Xột ACH cú H 90 ;C 45 nờn A2 45 .
 à ả
Vậy C A2 HA HC 2 (quan hệ giữa gúc và cạnh đối diện).
Từ (1) và (2) suy ra HB HA HC.
Vớ dụ 3: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của AB. Chứng minh rằng nếu 
AC BC thỡ BD AD.
 Giải (h.15.4)
* Tỡm cỏch giải.
 BDO và ADO cú hai cặp cạnh bằng nhau, do đú để chứng minh BD AD ta cần chứng minh 
Bã OD ãAOD.
* Trỡnh bày lời giải.
 AOC và BOC cú OA=OB; OC chung;
AC BC
suy ra ãAOC Bã OC (định lớ 2).
Do đú Bã OD ãAOD.
 BOD và AOD cú OB OA,OD chung, 
Bã OD ãAOD.suy ra BD AD (định lớ 2). 1
Vớ dụ 4: Tam giỏc ABC cú Bà 90o và AB AC. Hóy sắp xếp ba cạnh của tam giỏc theo thứ tự tăng 
 2
dần.
 Giải (h.15.5)
* Tỡm cỏch giải.
Vỡ gúc B là gúc tự nờn cạnh AC là cạnh lớn nhất. Khai 
 1
thỏc điều kiện AB AC ta làm xuất hiện yếu tố 
 2
1
 AC bằng cỏch vẽ trung điểm M của AC. Khi đú AB 
2
và BC là hai cạnh của hai tam giỏc cú hai cặp cạnh bằng 
nhau, do đú ta cú thể dựng định lớ 2.
* Trỡnh bày lời giải.
Xột ABC cú Bà 90o nờn cạnh AC là cạnh lớn nhất, do đú BC AC 1 
 1 à ả o
Gọi M là trung điểm của AC. Xột ABM cú AB AM AC nờn ABM cõn B1 M1 90 ,do 
 2 
 ả o ả ả
đú M 2 90 . Vậy M1 M 2 .
 ả ả
 AMB và CMB cú: MA MC, MB chung và M1 M 2 nờn AB BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB BC CA.
C. Bài tập vận dụng
 Quan hệ giữa cạnh và gúc đối diện trong một tam giỏc
15.1. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Gọi M là một điểm trờn đường thẳng BC. Hóy so sỏnh AM với AB.
15.2. Cho tam giỏc ABC, tia phõn giỏc của gúc A cắt BC tại D. Cho biết gúc ADB là gúc nhọn, hóy so 
sỏnh AB và AC.
15.3. Tam giỏc ABC cú AB AC.Trờn cạnh AB lấy điểm M M B .Trờn nửa mặt phẳng bờ AB 
khụng chứa C vẽ tia Mx//AC và trờn tia này lấy điểm N sao cho MN MB. Chứng minh rằng BC NC.
15.4. Cho tam giỏc ABC, àA 60o ;Bà 75o.Trong tam giỏc lấy điểm O sao cho Oã AC Oã CA 15o. 
Chứng minh rằng OA  OB.
15.5. Cho tam giỏc ABC. Vẽ AH  BC H BC và BK  AC K AC . Biết rằng 
AH BC;BK AC. Tớnh số đo cỏc gúc của tam giỏc ABC.
15.6. Trong tam giỏc ABC cú AB AC. Tia phõn giỏc của gúc A cắt BC tại D. Gọi M là một điểm trờn 
đoạn thẳng AD. Hóy so sỏnh MB với MC.
15.7. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn BC lấy E và F sao cho Bã AE Eã AF Fã AC.Chứng minh rằng 
đoạn thẳng EF cú độ dài nhỏ nhất trong ba đoạn thẳng BE, EF và FC. 15.8. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn BC lấy M và N sao cho BM MN NC .Chứng minh rằng gúc 
MAN là gúc lớn nhất trong ba gúc Bã AM ,Mã AN và Nã AC.
15.9. Chứng minh rằng nếu một tam giỏc cú một gúc lớn hơn 60o thỡ cạnh đối diện với gúc ấy lớn hơn 
trung bỡnh cộng của hai cạnh cũn lại.
15.10. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại B. Gọi M là một điểm nằm trong tam giỏc sao cho Bã MC 105o. 
 MB MC
Chứng minh rằng MA .
 2
 Hai tam giỏc cú hai cạnh bằng nhau
15.11. Tam giỏc ABC cú AB AC .Trờn tia đối của tia BA lấy điểm E E B ,trờn tia đối của tia CA 
lấy điểm F F C sao cho BE CF. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng Dã EF Dã FE.
15.12. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Gọi M là một điểm nằm trong tam giỏc sao cho ãABM ãACM . Hóy 
so sỏnh cỏc gúc ãAMB và ãAMC.
15.13. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Lấy điểm M nằm giữa A và B. Gọi O là trung điểm của CM. Tia AO 
cắt BC tại D. Chứng minh rằng BD CD.
15.14. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Lấy điểm M nằm trong tam giỏc sao cho ãAMB ãAMC. Tia AM cắt 
BC tại D. Chứng minh rằng BD CD.
15.15. Cho tam giỏc ABC, AB AC. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D nằm giữa A và C sao 
cho ãAMD 90o. Chứng minh rằng MD MB.
15.16. Cho tam giỏc ABC, àA 60o ,tổng AB AC 10cm.
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của chu vi tam giỏc ABC.
 Hướng dẫn giải
15.1.
 Trường hợp M  B hoặc M  C :Khi đú AM AB.
 Trường hợp M nằm giữa B và C (h.15.6)
 Ta cú ãAMB ãACB (tớnh chất gúc ngoài của tam giỏc).
 Do đú ãAMB ãABC (vỡ ãACB ãABC ).
 Xột ABM cú ãABM ãAMB.
 Suy ra AM AB (quan hệ giữa gúc và cạnh đối diện). Trường hợp M tia Bx là tia đối của tia BC và M B (h.15.7)
 Ta cú ãABC ãACB 90o (tớnh chất của tam giỏc cõn). Do đú ãABM 90o. 
 Xột ABM cú ãABM là gúc tự nờn AM là cạnh lớn nhất.
 Vậy AM AB.
 Chứng minh tương tự, nếu M tia Cy là tia đối của tia CB và M C thỡ AM AB.
15.2. (h.15.8)
Gúc ADB là gúc nhọn nờn gúc ADC là gúc tự.
 à ả ả ả
 ABD và ACD cú A1 A2 ; D1 D2 
nờn Bà Cà.
 ABC cú Bà Cà AC AB (định lớ 1).
15.3. (h.15.9)
Ta cú MN //AC Mã NC ãACN (so le trong).
Mặt khỏc, ãACN ãACB nờn Mã NC ãACB.
 ABC cú AB AC nờn ãACB ãABC.
Từ (1) và (2), suy ra Mã NC ãABC. (3)
Tam giỏc MNB cõn Mã NB Mã BN. 4 
Từ (3) và (4), suy ra Mã NC Mã NB ãABC Mã BN.
Do đú Bã NC Nã BC BC NC (định lớ 1). 15.4. (h.15.10)
Ta cú ãACB 180o Bã AC ãABC 180o 60o 75o 45o.
 à à o
Mặt khỏc, A1 C1 15 (giả thiết) nờn 
ả o o o ả o o o
A2 60 15 45 ,C2 45 15 30 .
Giả sử OA và OB khụng vuụng gúc với nhau,
Tức là ãAOB 90o.
 Xột trường hợp ãAOB 90o
 Ta cú 
 ả o ã ả o ã o o
 B2 180 AOB A2 180 AOB 45 45 .
 ả ả
 Vậy B2 A2 OA OB (định lớ 1).
 à ả
 Mặt khỏc, AOC cõn nờn OA OC suy ra OC OB B1 C2 (định lớ 1).
 ả à ả ả o o ã o
 Từ đú ta được B2 B1 A2 C2 45 30 hay ABC 75 (trỏi giả thiết).
 Xột trường hợp ãAOB 90o , chứng minh tương tự ta được ãABC 75o (trỏi giả thiết). 
 Vậy ãAOB 90o OA  OB.
15.5. (h.15.11)
Xột AHC vuụng tại H, BKC vuụng tại K,
Ta cú: AH AC; BK BC (1)
Mặt khỏc BC AH; AC BK (giả thiết). (2)
Từ (1) và (2), suy ra BC AH AC BK BC.
Do đú BC AH AC BK.
Vậy ABC phải là tam giỏc vuụng cõn tại C.
Suy ra Cà 90o , àA Bà 45o.
15.6. (h.15.12)
Trờn cạnh AC lấy điểm E sao cho AE AB.
Vỡ AE AC nờn điểm E nằm giữa A và C.
 ABM AEM c.g.c 
 ả ả
 MB ME và M 2 M1.
 ã ã ả
Xột AME cú MEC là gúc ngoài nờn MEC M1
 ã ả ả ả ả ã ã ã
Do đú MEC M 2 ;M 2 D1; D1 ACD; ACD ECM. Xột MEC cú Mã EC Eã CM MC ME (định lớ 1).
Do đú MC MB (vỡ MB ME ).
15.7. (h.15.13)
 ABE ACF c.g.c 
 AE AF và BE CF. (1)
 AEF cõn ãAEF 90o ãAEB 90o.
Xột AEB cú ãAEB 90o nờn AB AE.
Trờn cạnh AB lấy điểm D sao cho AD AE.
 ADE AFE c.g.c ED EF.
 ADE cõn ãADE là gúc nhọn Bã DE là gúc tự.
Xột BDE cú Bã DE là gúc tự BE là cạnh lớn nhất.
Do đú BE DE BE EF. (2)
Từ (1) và (2) suy ra EF cú độ dài nhỏ nhất trong ba đoạn thẳng BE, EF và FC.
15.8. (h.15.14)
Trờn tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD MA.
 ả à
 AMN DMB c.g.c A2 D và AN BD.
Ta cú ãANC ãABC ãANC Cà.
Do đú AC AN (định lớ 1). Suy ra 
 à à ả à
AB BD D A1 A2 A1.
 à à ả
Dễ thấy A1 A3 do đú A2 là gúc lớn nhất trong ba 
 à ả à
gúc A1, A2 , A3.
15.9. (h.15.15)
 AB BC
Giả sử tam giỏc ABC cú ãABC 60o , ta phải chứng minh AC .
 2
Trờn tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD BA.Vẽ CH  AD. 
 ãABC
Tam giỏc ABD cõn tại B ãABC 2Dà Dà .
 2 Vỡ ãABC 60o nờn Dà 30o.
Xột HCD vuụng tại H,
 1
cú Dà 30o nờn CH CD
 2
(xem vớ dụ 1).
Mặt khỏc AC CH nờn 
 1 1 1
AC CD DB BC AB BC .
 2 2 2
15.10. (h.15.16)
Trờn nửa mặt phẳng bờ MB khụng chứa C, vẽ tam giỏc BDM vuụng cõn tại B.
 ABD CBM c.g.c 
 AD CM và ãADB Bã MC 105o.
 BDM vuụng cõn tại B Bã DM 45o
 ãADM 60o.
Xột ADM cú ãADM 60o nờn
 AD DM
MA (xem bài 15.9).
 2
Mặt khỏc, DM MB (vỡ BDM vuụng) suy ra 
 MC MB
MA .
 2
15.11. (h.15.17)
 ABC cú AB AC ãACB ãABC.
Do đú Fã CB Eã BC.
 FCD và EBD cú:
CF BE,CD BD và Fã CB Eã BC
nờn DF DE (định lớ 2).
Xột DEF cú DF DE nờn Dã EF Dã FE (định lớ 1).
15.12. (h.15.18) Tam giỏc ABC cõn tại A ãABC ãACB.
 à à ả ả
Ta cú B1 C1 (giả thiết) B2 C2
 MC MB (định lớ 1).
Xột ABM và ACM cú: AB AC;
AM chung; MB MC
 Mã AB Mã AC (định lớ 2).
 à à ã à ã à
Mặt khỏc B1 C1 nờn MAB B1 MAC C1.
 ả ả
Do đú M1 M 2.
15.13. (h.15.19)
Trờn tia đối của tia OA lấy điểm N sao cho ON OA.
 à ả
 AMO NCO c.g.c AM NC và A1 N1.
Ta cú AB AM AC NC.
 ả ả à ả
Xột ACN cú AC NC N1 A2 A1 A2.
 à ả
 ABD và ACD cú: AB AC; AD chung và A1 A2 
nờn BD CD (định lớ 2).
15.14. (h.15.20)
Trờn nửa mặt phẳng bờ AC khụng chứa B, vẽ tia Ax sao 
cho Cã Ax Bã AM.
Trờn tia Ax lấy điểm N sao cho AN AM.
 AMB ANC c.g.c BM CN và ãAMB ãANC.
Mặt khỏc, ãAMB ãAMC nờn ãANC ãAMC. (1)
 AMN cõn tại A nờn ãANM ãAMN. (2)
Từ (1) và (2), suy ra Mã NC Nã MC
 MC NC.
 AMC và ANC cú: AM AN, AC chung và MC NC nờn Mã AC Nã AC (định lớ 2) do đú Mã AC Mã AB.
 DAC và DAB cú AC AB, AD chung, Dã AC Dã AB nờn DC DB (định lớ 2).
15.15. (h.15.21)
 AMB và AMC cú: MB MC; MA chung và AB AC
 ã ã ả
nờn AMB AMC (định lớ 2) M 2 là gúc nhọn 
 ả ã
 M 2 AMD.
Theo tớnh chất gúc ngoài của tam giỏc ta cú:
ã ả
MDC M1.
 ả ả ả à ã à
Mặt khỏc, M1 M 2 ;M 2 C nờn MDC C.
Xột MDC cú Mã DC Cà MC MD (định lớ 1).
Lại do MC MB nờn MB MD hay MD MB.
15.16.
 Xột trường hợp AB AC
 ABC là tam giỏc cõn, cú àA 60o nờn là tam giỏc 
 đều.
 Suy ra AB BC CA 5cm.
 Chu vi tam giỏc ABC là 5 3 15 (cm). (1)
 Xột trường hợp AB AC
 Khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử AB AC (h.15.22).
 Trờn cỏc tia AB, AC lần lượt lấy cỏc điểm
 M và N sao cho AM AN 5cm.
 Khi đú AMN là tam giỏc đều MN 5cm.
 Vỡ AM AN AB AC (= 10 cm) nờn
 AB BM AN AB AN CN BM CN.
 Ta cú Bã MC Bã MN; Bã MN ãANM ; ãANM Nã CM (tớnh chất gúc ngoài của tam giỏc) suy ra 
 Bã MC Nã CM.
 BMC và NCM cú: BM CN, MC chung và Bã MC Nã CM suy ra BC MN (định lớ 2).
 Chu vi ABC AB BC CA 10 BC 10 MN 15 (cm). (2)
 Từ (1) và (2), suy ra chu vi ABC nhỏ nhất là 15cm, khi AB AC 5cm.