Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chương III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Các đường đồng quy của tam giác - Chuyên đề 16: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

 Chuyờn đề 16. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUễNG GểC VÀ ĐƯỜNG XIấN, ĐƯỜNG XIấN VÀ 
HèNH CHIẾU
A. Kiến thức cần nhớ
• Khỏi niệm: Trong hỡnh 16.1
- Điểm H gọi là hỡnh chiếu của A trờn đường thẳng d.
- Đoạn thẳng AH gọi là đường vuụng gúc, đoạn thẳng 
 AB gọi là đường xiờn.
- Đoạn thẳng HB gọi là hỡnh chiếu của đường xiờn AB 
 trờn đường thẳng d. 
• Định lớ 1. Trong cỏc đường xiờn và đường vuụng gúc 
 kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường 
 thẳng đú, đường vuụng gúc là đường ngắn nhất.
 Trong hỡnh 16.1 ta cú AH AB.
 Bổ sung: Trong hỡnh 16.2: A d;M d; AH  d.
 Ta cú AM AH (dấu “=” xảy ra M  H ).
• Định lớ 2. Trong hai đường xiờn kẻ từ một điểm nằm 
 ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đú:
- Đường xiờn nào cú hỡnh chiếu lớn hơn thỡ lớn hơn;
- Đường xiờn nào lớn hơn thỡ cú hỡnh chiếu lớn hơn;
- Nếu hai đường xiờn bằng nhau thỡ hai hỡnh chiếu bằng 
 nhau. Ngược lại, nếu hai hỡnh chiếu bằng nhau thỡ hai 
 đường xiờn bằng nhau.
B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1: Cho hai đoạn thẳng AB và CD song song và bằng nhau. Một đường thẳng xy khụng song song, 
khụng vuụng gúc với hai đoạn thẳng đú. Hóy so sỏnh cỏc hỡnh chiếu của AB và CD trờn đường thẳng xy.
 Giải (h.16.3)
* Tỡm cỏch giải.
Muốn cú hỡnh chiếu của AB và CD trờn xy, ta vẽ 
AA , BB ,CC , DD cựng vuụng gúc với xy. Ta phải 
chứng minh A B C D . Muốn vậy ta tạo ra hai 
tam giỏc bằng nhau bằng cỏch vẽ đường phụ.
* Trỡnh bày lời giải.
Vẽ AA  xy, BB  xy, CC  xy, DD  xy. Khi đú A B và C D lần lượt là hỡnh chiếu của AB và CD 
trờn xy. Vẽ A M / / AB,C N / /CD theo tớnh chất đoạn chắn song song ta cú A M AB; C N CD. Mặt khỏc do 
AB CD nờn A M C N.
 MA B và NC D cú: Bà Dà 90o ; A M C N và Mả Nà (hai gúc cú cạnh tương ứng song song 
cựng nhọn).
Do đú MA B NC D (cạnh huyền, gúc nhọn). Suy ra A B C D .
Vớ dụ 2: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, BC a 2. Trờn cỏc cạnh AB, BC, CA 
lần lượt lấy cỏc điểm D, M, E. Chứng minh rằng MD ME a.
 Giải (h.16.4)
* Tỡm cỏch giải.
Ta thấy giữa cỏc độ dài a và a 2 cú sự liờn hệ với 
nhau: a 2 là độ dài cạnh huyền của một tam giỏc 
vuụng cõn cũn a là độ dài của cạnh gúc vuụng. Ta 
phải chứng minh MD ME AB.
Vỡ MD, ME là cỏc đường xiờn vẽ từ M đến cỏc 
cạnh gúc vuụng AB, AC nờn ta vẽ thờm cỏc đường
vuụng gúc từ M đến AB, AC để cú thể dựng định lớ về mối quan hệ giữa đường vuụng gúc và đường xiờn.
* Trỡnh bày lời giải.
 2
Ta cú: AB2 AC 2 BC 2 2AB2 a 2 AB a.
Vẽ MH  AB;MK  AC, khi đú MH∥ AC;MK∥ AB suy ra MK AH (tớnh chất đoạn chắn song 
song).
 HBM vuụng cõn MH BH.
Ta cú MD MH;ME MK (dấu “=” D  H; E  K ) (quan hệ giữa đường vuụng gúc và đường 
xiờn). Do đú:
MD ME MH MK BH AH AB a.
Vớ dụ 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AB AC. Đường trung trực của BC cắt BC tại M, cắt AC tại 
N. Lấy điểm K trờn đoạn thẳng CN. Hóy so sỏnh BK và CN.
 Giải (h.16.5)
* Tỡm cỏch giải.
Ta cú thể dễ dàng so sỏnh cỏc đường xiờn BK và BN nhờ so 
sỏnh cỏc hỡnh chiếu của chỳng. Vậy chỉ cũn phải so sỏnh BN 
với CN mà thụi.
* Trỡnh bày lời giải.
Ta cú BK và BN là cỏc đường xiờn vẽ từ B tới đường thẳng AC, cũn AK và AN là cỏc hỡnh chiếu
của chỳng trờn AC.
Vỡ AK AN nờn BK BN (quan hệ giữa đường xiờn và hỡnh chiếu) (1)
Mặt khỏc, MN  BC và MB MC nờn NB NC. (2)
Từ (1) và (2), suy ra: BK NC.
C. Bài tập vận dụng
• Đường vuụng gúc và đường xiờn
16.1. Cho tam giỏc ABC. Vẽ AD  BC, BE  AC,CF  AB D BC, E AC, F AB .Chứng minh rằng 
tổng AD BE CF nhỏ hơn chu vi tam giỏc ABC.
16.2. Cho tam giỏc ABC, gúc A tự. Qua A vẽ đường thẳng d cắt cạnh BC tại O. Chứng minh rằng tổng 
cỏc khoảng cỏch từ B và từ C đến đường thẳng d luụn nhỏ hơn hoặc bằng BC.
16.3. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh rằng trung bỡnh cộng 
cỏc hỡnh chiếu của AB và BC trờn đường thẳng BM thỡ lớn hơn AB.
16.4. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Qua A vẽ đường thẳng xy khụng cắt cạnh BC. Gọi D và E thứ 
tự là hỡnh chiếu của B và C trờn xy.
Xỏc định vị trớ của xy để BD CE BC.
16.5. Cho tam giỏc ABC và một điểm M ở trong tam giỏc. Biết đường trung trực của CM đi qua A. Hóy 
so sỏnh AB và AC.
16.6. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn cỏc tia đối của BA và CA lần lượt lấy cỏc điểm M và N sao cho 
BM CN. Chứng minh rằng:
 MN BC
a) BN ;
 2
 MN BC
b) BM .
 2
16.7. Cho đoạn thẳng BC 5cm và trung điểm M của nú. Vẽ điểm A sao cho Bã AC 90o. Qua M vẽ một 
đường thẳng vuụng gúc với AM cắt cỏc tia AB, AC lần lượt tại E và F. Xỏc định vị trớ của điểm A để EF 
cú độ dài ngắn nhất. Tớnh độ dài ngắn nhất đú.
• Đường xiờn và hỡnh chiếu
16.8. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Vẽ AH  BC H BC .
Cho biết Bã AH Cã AH. Hóy so sỏnh HB với HC.
16.9. Cho tam giỏc ABC, Bà Cà 90o. Chứng minh rằng với mọi vị trớ của điểm M nằm giữa B và C ta 
luụn cú AM AB.
16.10. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AB 5, AC 12. Vẽ AH  BC. Gọi M là một điểm trờn đoạn 
thẳng AH. Chứng minh rằng: 13 MB MC 17. 16.11. Cho tam giỏc ABC. Vẽ AH  BC (H nằm giữa B và C). Lấy điểm M nằm trờn AH. Gọi D và E 
lần lượt là hỡnh chiếu của M trờn AB và AC. Chứng minh rằng nếu BD CE thỡ tam giỏc ABC là tam 
giỏc cõn.
 Hướng dẫn giải
16.1. (h.16.6)
Vỡ AD  BC nờn AD AB (dấu “=” xảy ra ãABC 90o ).
Vỡ BE  AC nờn BE BC (dấu “=” xảy ra ãACB 90o ).
Vỡ CF  AB nờn CF CA (dấu “=” xảy ra Bã AC 90o ).
Do cỏc dấu “=” khụng thể xảy ra đồng thời nờn 
AD BE CF AB BC CA chu vi ABC.
16.2. (h.16.7)
Vẽ BH  d;CK  d.
Theo quan hệ giữa đường vuụng gúc và đường xiờn ta cú 
BH BO;CK CO.
Do đú BH CK BO CO BC.
Dấu “=” xảy ra H  O và K  O d  BC.
Vỡ gúc A tự nờn d luụn cắt BC.
16.3. (h.16.8)
Vẽ AH  BM ,CK  BM thỡ BH và CK lần lượt là hỡnh 
chiếu của AB và BC trờn đường thẳng BM.
Ta cú HAM KCM (cạnh huyền, gúc nhọn) 
 MH MK.
Ta cú AB BM (quan hệ giữa đường vuụng gúc và đường 
xiờn).
Do đú AB BH HM. (1)
Mặt khỏc cũng do AB BM nờn AB BK MK. (2)
Từ (1) và (2), suy ra 2AB BH HM BK MK .
 BH BK
Lại do MH MK nờn 2AB BH BK hay AB . 
 2
16.4. (h.16.9) ABD và CAE cú: Dà Eà 90o , AB AC, ãABD Cã AE 
(cựng phụ với gúc BAD).
Do đú ABD CAE (cạnh huyền, gúc nhọn). Suy ra 
BD AE và AD CE.
Ta cú BD CE AE AD DE.
Vẽ BH  CE thỡ DE BH (tớnh chất đoạn chắn song song).
Vỡ BH BC (quan hệ giữa đường vuụng gúc và đường xiờn) 
nờn DE BC (dấu “=” xảy ra C  H hay xy //BC ).
Vậy khi xy //BC thỡ BD CE BC.
16.5. (h.16.10)
Gọi N là giao điểm của AB và tia CM.
Vỡ M nằm trong tam giỏc ABC nờn tia CM cắt cạnh AB tại 
điểm N nằm giữa A và B, do đú AB AN. (1)
Theo quan hệ giữa đường vuụng gúc và đường xiờn, từ 
HN HM suy ra AN AM. (2)
Từ (1) và (2), ta cú AB AM.
Mặt khỏc AM AC (vỡ HM HC ) nờn AB AC.
16.6. (h.16.11)
a) Ta cú AB AC, BM CN AM AN.
 ABC và AMN cõn tại A
 180o àA
 ãABC ãAMN 
 2
 BC // MN (vỡ cú cặp gúc đồng vị bằng nhau).
Vẽ AH  BC thỡ AH  MN (tại K).
 1 1
Ta cú BH BC; KN MN.
 2 2
Gọi O là giao điểm của BN với AK. Theo quan hệ giữa 
đường vuụng gúc và đường xiờn ta cú: 
 1 1
BO BH BC;ON KN MN.
 2 2
 BC MN MN BC
Do BN BO ON nờn BN .
 2 2 2
b) Vẽ BI  MN BI // HK. Do đú IK BH (tớnh chất đoạn 
chắn song song). 1 1 MN BC
Ta cú MI MK IK MN BC .
 2 2 2
 MN BC
Mặt khỏc BM MI nờn BM .
 2
16.7. (h.16.12)
Gọi N là trung điểm của EF. Cỏc tam giỏc ABC và AEF là 
những tam giỏc vuụng, M và N là trung điểm của cạnh huyền 
 1 1
nờn AM BC, AN EF. (1)
 2 2
Suy ra BC 2AM ; EF 2AN.
Theo quan hệ giữa đường vuụng gúc và đường xiờn ta cú 
AN AM. (2)
Từ (1) và (2), suy ra EF BC 5cm.
Để xỏc định khi nào dấu “=” xảy ra, ta gọi H là giao điểm 
của AN với BC. Ta cú AH  BC (bạn đọc tự chứng minh).
Ta cú EF BC AN AM N  M H  M. 
Khi đú tam giỏc ABC cú MB MC, AM  BC (vỡ M  H ) 
nờn là tam giỏc vuụng cõn. Do đú độ dài ngắn nhất của EF là 
5cm khi và chỉ khi A là đỉnh của một tam giỏc vuụng cõn cú 
cạnh huyền là BC.
16.8. (h.16.13)
 à à à à ả à
Ta cú C A1 (cựng phụ với B ); B A2 (cựng phụ với C ) 
 à ả à à
mà A1 A2 (giả thiết) nờn C B .
Xột ABC cú Cà Bà nờn AB AC (quan hệ giữa cạnh và gúc 
đối diện trong tam giỏc). Suy ra HB HC (quan hệ giữa 
đường xiờn và hỡnh chiếu).
16.9. (h.16.14)
Vẽ AH  BC.
Vỡ cỏc gúc B và C nhọn nờn H nằm giữa B và C.
Ta cú Bà Cà AC AB (quan hệ giữa cạnh và gúc đối diện 
trong tam giỏc).
• Nếu M  H thỡ AM AB (quan hệ giữa đường vuụng 
 gúc và đường xiờn).
• Nếu M nằm giữa B và H thỡ HM HB AM AB (quan hệ giữa đường xiờn và hỡnh chiếu).
• Nếu M nằm giữa H và C (h.16.15)
 Ta cú HM HC
 AM AC (quan hệ giữa đường xiờn và hỡnh chiếu)
 mà AC AB nờn AM AB.
16.10. (h.16.16)
Theo định lớ Py-ta-go ta cú:
BC 2 AB2 AC 2 52 122 169
 BC 13.
Ta cú BM BH (dấu “=” xảy ra M  H );
CM CH (dấu “=” xảy ra M  H ).
Do đú BM CM BH CH 13 (dấu “=” xảy ra
 M  H ) . (1)
Ta cú HM HA nờn BM BA (dấu “=” xảy ra M  A ).
Tương tự CM CA (dấu “=” xảy ra M  A ).
Do đú BM CM BA CA 5 12 17 (dấu “=” xảy ra 
 M  A ). (2)
Từ (1) và (2), suy ra 13 MB MC 17.
16.11. (h.16.17)
• Giả sử AB AC , theo quan hệ giữa đường xiờn và hỡnh 
 chiếu ta cú HB HC, do đú MB MC.
 Từ điều kiện AB AC và BD CE suy ra AD AE.
 Theo định lớ Py-ta-go, ta cú:
 MD2 AM 2 AD2 ;ME 2 AM 2 AE 2 
 do đú MD2 ME 2.
 Ta cú MB2 MD2 BD2 ;MC 2 ME 2 CE 2.
 Vỡ MD2 ME 2 và BD2 CE 2 nờn MB2 MC 2
 suy ra MB MC.
 Theo quan hệ giữa đường xiờn và hỡnh chiếu ta suy ra 
 HB HC, do đú AB AC (trỏi giả thiết).
 Chứng minh tương tự, nếu AB AC thỡ cũng suy ra mõu 
 thuẫn.
 Vậy AB AC hay tam giỏc ABC là tam giỏc cõn.