Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chương III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Các đường đồng quy của tam giác - Chuyên đề 20: Tính chất ba đường trung trực, ba đường cao của tam giác

 Chuyên đề 20. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
2. Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
3. Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác 
đó và là tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác (gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác) (h.20.1).
4. Trong một tam giác, đoạn vuông góc vẽ từ một đỉnh đến đường thẳng 
chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó.
5. Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm (h.20.2). Điểm 
này gọi là trực tâm của tam giác.
6. Bổ sung tính chất của tam giác cân
- Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy, đồng thời là đường phân giác, đường trung 
tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.
- Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, AB AC. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho CM AB. Vẽ đường trung 
trực của AC, cắt đường phân giác của góc A tại điểm O. Chứng minh rằng O nằm trên đường trung trực 
của BM.
 Giải (h.20.3)
* Tìm cách giải.
Muốn chứng minh điểm O nằm trên đường trung trực của BM ta cần 
chứng minh điểm O cách đều hai đầu của đoạn thẳng BM, nghĩa là 
phải chứng minh OB OM. Muốn vậy phải chứng minh 
 ABO CMO. 
Dễ thấy hai tam giác này có hai cặp cạnh bằng nhau nên chỉ cần 
chứng minh cặp góc xen giữa bằng nhau là đủ
* Trình bày lời giải
Điểm O nằm trên đường trung trực của AC nên OA OC. µ ·
Do đó OAC cân tại O, suy ra A2 OCA. 
Mặt khác µA2 µA1 nên µA1 O· CA. 
 ABO và CMO có: AB CM ; µA1 O· CA; OA OC nên ABO CMO (c.g.c). Suy ra OB OM. 
Điểm O cách đều hai đầu của đoạn thẳng BM nên O nằm trên đường trung trực của BM.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tia phân giác của góc HAB và HAC cắt BC lần 
lượt tại M và N. Các đường phân giác của góc B, góc C cắt nhau tại O. Chứng minh rằng O là tâm đường 
tròn ngoại tiếp tam giác AMN.
 Giải (h.20.4)
* Tìm cách giải.
Muốn chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN, 
ta phải chứng minh O là giao điểm các đường trung trực của các 
cạnh AM và AN.
Xét ABN có BO là đường phân giác góc B nên để chứng minh 
BO là đường trung trực của AN thì chỉ cần chứng minh ABN là 
tam giác cân tại B.
* Trình bày lời giải.
Ta có B· AN C· AN 90 (vì B· AC 90). (1) 
B· NA N· AH 90 (vì Hµ 90). (2)
Mặt khác, C· AN N· AH nên từ (1) và (2) suy ra B· AN B· NA do đó ABN cân tại B.
Xét ABN cân tại B có BO là đường phân giác của góc B nên BO cũng là đường trung trực của cạnh 
AN.
Chứng minh tương tự ta được CO là đường trung trực của cạnh AM.
Xét AMN có O là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AN và AM nên O là tâm đường tròn 
ngoại tiếp AMN
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến BM. Qua M vẽ một đường thẳng vuông góc 
với BC cắt đường thẳng AB tại D. Vẽ điểm E sao cho M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng 
AE  BM. 
 Giải (h.20.5)
* Tìm cách giải.
Xét DBC, dễ thấy M là trực tâm, suy ra BM  CD. Do đó muốn chứng minh 
BM  AE ta chỉ cần chứng minh CD / / AE. 
* Trình bày lời giải.
Xét DBC có CA và DM là hai đường cao cắt nhau tại M nên M là trực tâm. Suy 
ra BM là đường cao thứ ba, do đó BM  CD. Ta có MEA MDC (c.g.c). Suy ra M· EA M· DC. Do đó AE / /CD. 
Từ (1) và (2) ta được AE  BM. 
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC cân tại A, µA 45. Vẽ đường trung tuyến AM. Đường trung trực của cạnh 
AC cắt AB tại D. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng AM, BE, 
CD đồng quy.
 Giải (h.20.6)
* Tìm cách giải.
Vẽ hình chính xác ta dự đoán ba đường thẳng AM, BE, CD là ba đường 
cao của tam giác ABC nên chúng đồng quy. Do đó ta cần chứng minh 
AM  BC, CD  AB và BE  AC. 
* Trình bày lời giải.
Điểm D nằm trên đường trung trực của AC nên DA DC. 
Do đó DAC cân suy ra ·ACD C· AD 45. 
Xét DAC có ·ADC 180 45 45 90. Vậy CD  AB. 
Ta lại có BCD CEB (c.g.c) Eµ Dµ 90. Do đó BE  AC.
Mặt khác, AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân nên AM  BC. 
Xét ABC có AM, BE và CD là ba đường cao nên chúng đồng quy.
C. Bài tập vận dụng
• Tính chất đường trung trực
20.1. Cho tam giác ABC, góc A tù. Các đường trung trực của AB và AC cắt BC lần lượt tại D và E.
Biết góc DAE có số đo bằng 30, tính số đo của góc BAC.
20.2. Cho tam giác ABC. Trên các tia BA và CA lần lượt lấy các điểm D và E sao cho BD CE BC. 
Chứng minh rằng khi D và E di động thì đường trung trực của DE luôn đi qua một điểm cố định ở trong 
tam giác ABC.
20.3. Cho góc vuông xOy và một điểm A cố định ở trong góc đó. Vẽ góc BAC bằng 90 sao cho B Ox, 
C Oy. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng M nằm trên một đường thẳng cố định.
20.4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì. Vẽ các điểm D và E sao cho AB là 
đường trung trực của MD, AC là đường trung trực của ME.
Xác định vị trí của điểm M để cho đoạn thẳng DE có độ dài ngắn nhất.
20.5. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N 
sao cho M· HN 90. 
a) Gọi O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng khi M và N di động thì điểm O di động trên một đường 
thẳng cố định.
b) Xác định vị trí của M và N để MN có độ dài nhỏ nhất. 20.6. Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy điểm M trên tia Ox, điểm N trên tia Oy sao cho OM ON a 
không đổi. Chứng minh rằng khi M và N di động trên các tia Ox,Oy thì đường trung trực của MN luôn đi 
qua một điểm cố định.
 1
20.7. Cho tam giác ABC sao cho Bµ 90 vàCµ Bµ. . Hãy tìm điểm M trên cạnh AB, điểm N trên cạnh 
 2
BC sao cho BM MN NC. 
• Chứng minh đồng quy thẳng hàng
20.8. Cho tam giác ABC, AB AC. Trên các tia BA và CA lần lượt lấy các điểm M và N sao cho 
BM CN. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD AB. Chứng minh rằng các đường trung trực của AD, 
BC và MN cùng đi qua một điểm.
20.9. Cho các tam giác ABC vuông tại A, tam giác DBC vuông tại D trong đó A và D cùng thuộc một nửa 
mặt phẳng bờ BC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Vẽ AE  DN; DF  AN. 
Chứng minh rằng ba đường thẳng AE, DF, MN cùng đi qua một điểm.
20.10. Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD. Trên tia DA lấy điểm H sao cho DH DB. Trên tia DC 
lấy điểm K sao cho DK DA. 
Chứng minh rằng KH  AB. 
20.11. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB lấy điểm H, trên cạnh BC lấy điểm D sao cho 
·AHD ·ACD 180. Đường thẳng DH cắt đường thẳng AC tại O.
Chứng minh rằng hai đường thẳng OB và CH vuông góc với nhau.
20.12. Cho tam giác nhọn ABC, µA 60. Hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Đường trung trực của 
HB cắt AB tại M, đường trung trực của HC cắt AC tại N. Chứng minh rằng ba điểm M, H, N thẳng hàng.
20.13. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và H là trực tâm của tam 
giác.
Chứng minh rằng B· OC 2B· HC 360. 
• Tam giác cân
20.14. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Một đường thẳng song song với AD cắt các đường thẳng 
AB và AC lần lượt tại E và F.
Chứng minh rằng đường trung trực của EF luôn đi qua một điểm cố định.
20.15. Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH, đường trung tuyến BM và đường phân giác CD cắt nhau 
tại ba điểm phân biệt E, F, G.
Hỏi tam giác EFG có thể là tam giác đều không?
 Hướng dẫn giải
20.1. (h.20.7) Điểm D nằm trên đường trung trực của AB nên DA DB. 
 µ µ
Suy ra DAB cân, do đó A1 B. 
 µ µ
Chứng minh tương tự, ta được A2 C. 
 µ µ µ µ ·
Ta có A1 A2 B C 180 BAC. 
 µ · µ µ
Mặt khác, A3 BAC A1 A2 nên 
30 B· AC 180 B· AC . 
Suy ra 2B· AC 180 30 B· AC 105. 
20.2. (h.20.8)
Vẽ tia phân giác của góc B, góc C, chúng cắt nhau tại điểm O ở trong tam giác ABC. Đó là một điểm cố 
định.
Trên cạnh BC lấy một điểm M sao cho BM BD, khi đó 
CM CE. 
 BOD BOM c.g.c OD OM. (1) 
 COE COM c.g.c OE OM. (2) 
Từ (1) và (2) suy ra OD OE. 
Điểm O cách đều hai đầu đoạn thẳng DE nên O nằm trên đường 
trung trực của DE. Nói cách khác, đường trung trực của DE luôn đi qua một điểm cố định là điểm O.
20.3. (h.20.9)
Tam giác ABC vuông tại A, tam giác OBC vuông ở O có AM, OM là 
 1
các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên MA MO BC. 
 2
Điểm M cách đều hai đầu đoạn thẳng OA cố định nên M nằm trên 
đường trung trực của OA. Do đó M nằm trên một đường thẳng cố 
định.
20.4. (h.20.10)
Vì AB, AC là đường trung trực của MD, ME nên 
AD AM và AE AM. 
 AMD và AME cân tại A, suy ra
µ µ µ µ
A1 A2 , A3 A4 . 
 · µ · µ
Do đó MAD 2A2; MAE 2A3 
Ta có D· AE M· AD M· AE µ µ ·
 2 A2 A3 2BAC 2.90 180. 
Suy ra ba điểm D, A, E thẳng hàng và DE AD AE 2AM. 
DE ngắn nhất AM ngắn nhất AM  BC. 
Vậy khi M là hình chiếu của A trên BC thì DE ngắn nhất hay khi AM là đường cao xuất phát từ đỉnh A của 
 ABC thì DE ngắn nhất.
20.5. (h.20.11)
a) Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh 
huyền của tam giác vuông ta có 
 1 1
OA MN;OH MN. 
 2 2
Vậy OA OH. 
Điểm O cách đều hai đầu đoạn thẳng AH nên O di động 
trên đường trung trực xy của AH. Vì AH cố định nên xy 
cố định.
b) Ta có MN OM ON OA OH 
 AH (bất đẳng thức tam giác mở rộng) Dấu " " xảy ra
 O nằm giữa A và H và OA OH O là trung điểm 
của AH
MO là đường trung tuyến ứng
 1
với AH của AMH và MO AH. 
 2
 HM  AB;HN  AC. 
Vậy MN có độ dài nhỏ nhất là bằng AH khi M và N lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC (hình 20.12).
20.6. (h.20.13)
Trên tia Oy lấy điểm A sao cho OA a. Vì OM ON a nên OM NA. Vẽ đường phân giác Ot của 
góc xOy và vẽ đường trung trực của OA chúng cắt nhau tại K. Ta phải chứng minh K là một điểm cố định 
và đường trung trực của MN đi qua K. Ta có OA trên tia Oy mà OA a không đổi nên A là một điểm cố định, do đó đường trung trực của OA 
cũng cố định. Tia Ot là tia phân giác của góc xOy nên Ot cũng cố định. Điểm K là giao điểm của hai 
đường thẳng cố định nên K cố định.
 µ µ
Điểm K nằm trên đường trung trực của OA nên KO KA, do đó KOA cân A1 O2 . Mặt khác, 
µ µ µ µ
O1 O2 nên A1 O1 
 µ µ
 KMO và KNA có: OM NA; O1 A1 và KO KA. Do đó KMO KNA 
 KM KN. 
Vậy K nằm trên đường trung trực của MN, nói cách khác, đường trung trực của MN đi qua điểm cố định 
là điểm K.
20.7. (h.20.14)
 Tìm cách giải
Giả sử đã xác định được điểm M AB, điểm N BC sao cho 
BM MN NC. 
 µ µ
Ta có MBN cân tại M nên B N1. 
 µ µ
 MNC cân tại N nên M1 C1. 
 µ µ µ µ µ
Xét MNC có N1 là góc ngoài nên N1 C1 M1 2C1. 
 µ 1 µ 1 µ
Suy ra C1 N1 B. 
 2 2
Do đó xác định được điểm M rồi điểm N.
 Cách xác định điểm M, điểm N
 1
- Ở trong góc C, vẽ tia Cx sao cho B· Cx Bµ. Tia Cx cắt cạnh AB tại M.
 2
- Vẽ đường trung trực của MC cắt cạnh BC tại N. Khi đó ta có BM MN NC. 
• Chứng minh
Điểm N nằm trên đường trung trực của MC nên NM NC. (1)
 µ µ µ µ 1 µ µ
 MNC cân tại N M1 C1. Do đó N1 2C1 2. .B B. 
 2
Suy ra D MBN là tam giác cân MB=MN. (2)
Từ (1) và (2), suy ra MB MN NC. 
20.8. (h.20.15)
Vẽ các đường trung trực của AD và BC, chúng cắt nhau tại O. Điểm O nằm trên đường trung trực của AD 
nên OA OD. 
Điểm O nằm trên đường trung trực của BC nên OB OC. 
Ta có OBA OCD (c.c.c). Suy ra O· BA O· CD. 
Do đó OBM OCN (c.g.c)
 OM ON. Điểm O cách đều hai đầu đoạn thẳng MN nên O 
nằm trên đường trung trực của MN.
Vậy ba đường trung trực của AD, BC và MN cùng đi qua điểm 
O.
20.9. (h.20.16)
Xét ABC vuông tại A, DBC vuông tại D có AN 
và DN là các đường trung tuyến ứng với cạnh 
 1
huyền BC nên AN DN BC. 
 2
Suy ra NAD cân tại N, do đó đường trung tuyến 
NM cũng là đường cao.
Ba đường thẳng AE, DF, MN là ba đường cao của 
D NAD nên chúng cùng đi qua một điểm.
20.10. (h.20.17)
Gọi E là giao điểm của BH và AK. DBH vuông cân tại D 
nên D· BH 45. DKA vuông cân tại D nên D· AK 45. 
Xét EBK có D· BE B· KE 45 45 90 
suy ra B· EK 90, do đó BE  AK. 
Xét ABK có AD và BE là hai đường cao cắt nhau tại H
Suy ra HK là đường cao thứ ba, do đó KH  AB 
20.11. (h.20.18)
Ta có A· HD A· CD 180 (giả thiết) (1) 
và A· HD B· HD 180 (kề bù). (2) 
Từ (1) và (2), suy ra A· CD B· HD. 
Xét ABC vuông tại A có A· BC A· CB 90. 
Do đó A· BC B· HD 90. Suy ra B· DH 90. Vậy HD  BC. 
Xét OBC có OD và BA là hai đường cao cắt nhau tại H, suy 
ra CH là đường cao thứ ba. Do đó CH  OB. 20.12. (h.20.19)
Hai góc BAC và BHC là hai góc có cạnh tương ứng vuông góc, 
một góc nhọn, một góc tù nên chúng bù nhau:
Aµ B· HC 180 B· HC 180 60 120. 
Điểm M nằm trên đường trung trực của HB nên MH MB. 
Do đó MHB cân tại M M· HB M· BH 30. 
Chứng minh tương tự ta được C· HN 30. 
Vậy M· HB B· HC C· HN 30 120 30 180. 
Suy ra M· HN 180, do đó ba điểm M, H, N thẳng hàng.
20.13. (h.20.20)
Vì ABC nhọn nên O và H nằm trong tam giác. 
Điểm O cách đều ba đỉnh của ABC nên 
OA OB OC, 
do đó AOB, AOC cân tại O. 
 µ µ µ µ
Suy ra O1 2A1;O2 2A2 . 
 µ µ µ µ · ·
Do đó O1 O2 2 A1 A2 hay BOC 2BAC. 
Điểm H là trực tâm của ABC nên BH  AC, CH  AB. 
Hai góc BAC và BHC là hai góc có cạnh tương ứng vuông góc, một góc nhọn, một góc tù nên 
B· HC B· AC 180 B· HC 180 B· AC, do đó 2B· HC 360 2B· AC. 
Vậy B· OC 2B· HC 2B· AC 360 2B· AC 360 
20.14. (h.20.21)
 · µ µ µ
Ta có EF / / AD nên FEA A1;F A2 . 
 µ µ · µ
Mặt khác, A1 A2 nên FEA F. 
Suy ra AEF cân tại A.
Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là 
đường phân giác của góc ở đỉnh nên đường trung trực d của EF 
đi qua đỉnh A. Đó là một điểm cố định.
20.15. (h.20.22)
 · µ µ
Giả sử EFG là tam giác đều, suy ra CEH 60 nên C1 30,C2 30. 
Ta còn có C· GM E· GF 60. 
Do đó C· MG 180 30 60 90. Suy ra BM  AC. Xét ABC có đường trung tuyến BM đồng thời là đường cao nên 
 ABC cân.
Mặt khác, A· CB 30 30 60 nên ABC là tam giác đều.
Do đó ba đường AH, BM, CD phải đồng quy, tức là ba điểm E, F, 
G trùng nhau, trái giả thiết. Vậy EFG không thể là tam giác đều.