Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chương III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Các đường đồng quy của tam giác - Chuyên đề 22: Bất đẳng thức và cực trị hình học

 Chuyên đề 22. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC
A. Kiến thức cần nhớ
 Để chứng minh hai đoạn thẳng hai góc không bằng nhau ta có thể:
1. Dùng quan hệ giữa góc và cạnh đối trong một tam giác (h.22.1)
 ABC :
AC AB Bµ Cµ.
Suy ra trong tam giác tù (hoặc tam giác vuông) thì cạnh đối với góc tù (hoặc 
góc vuông) là cạnh lớn nhất.
2. Dùng quan hệ giữa góc và cạnh đối trong hai tam giác có hai 
cặp cạnh bằng nhau (h.22.2)
 ABC và A' B 'C ' có:
 AB A' B '; AC A'C '.
 Khi đó: BC B 'C ' µA µA'
3. Dùng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, giữa đường 
xiên và hình chiếu
 AH  a, B, M a (h.22.3). Khi đó: 
  AM AH (dấu “=” xảy ra M  H ) 
  AM AB HM HB
4. Dùng bất đẳng thức tam giác (h.22.4)
 ABC :
 b c a b c
Mở rộng: Với ba điểm A, B, C bất kì bao giờ ta cũng có: AB AC CB (dấu " " xảy ra C thuộc 
đoạn thẳng AB).
 Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng AB thay đổi
Ta phải chứng minh AB a (số a không đổi) và chỉ rõ khi nào dấu " " xảy ra. Khi đó giá trị lớn nhất 
của độ dài AB là bằng a. Ta viết maxAB a. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB thay đổi
Ta phải chứng minh AB b (số b không đổi) và chỉ rõ khi nào dấu " " xảy ra. Khi đó giá trị nhỏ nhất 
của độ dài AB là bằng b. Ta viết minAB b. B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tam giác ABC có Cµ Bµ. Vẽ đường trung tuyến AM. Trên tia đổi của tia MA lấy điểm D. Chứng 
minh rằng AB CD AC BD. 
 Giải (h.22.5)
* Tìm cách giải.
Để chứng minh AB CD AC BD ta có thể chứng minh AB AC và CD BD. Sau đó cộng từng vế 
hai bất đẳng thức.
* Trình bày lời giải.
Tam giác ABC có ·ACB ·ABC suy ra AB AC. (1)
Xét AMB và AMC có: MB MC; 
AM chung; AB AC nên ·AMB ·AMC. 
Suy ra C· MD B· MD. 
Xét CMD và BMD có: MC MB; MD chung;
C· MD B· MD nên CD BD. (2)
Từ (1) và (2), suy ra: AB CD AC BD. 
* Nhận xét: Nếu a b và c d thì a c b d. 
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có Bµ 90. Gọi O là trung điểm của BC. Vẽ BD  AO; CE  AO (D, E 
 AD AE
thuộc đường thẳng AO). Chứng minh rằng AB 
 2
 Giải (h.22.6)
* Tìm cách giải.
 AD AE
Ta có AB 2AB AD AE. 
 2
Để chứng minh 2AB AD AE ta biểu diễn AB theo hai cách khác nhau rồi dùng tính chất cộng từng vế 
của hai bất đẳng thức cùng chiều sẽ có được 2AB.
* Trình bày lời giải.
Ta có BOD COE (cạnh huyền-góc nhọn) OD OE. 
Xét AOB có Bµ 90 nên OA là cạnh lớn nhất, do đó 
AB AO. (*) 
Suy ra AB AD OD. (1) 
Từ (*) ta được: AB AE OE. (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 2AB AD OD AE OE. 
Do đó 2AB AD AE (vì OD OE). AD AE
Vậy AB 
 2
Ví dụ 3. Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O của nó. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax 
và By cùng vuông góc với AB. Lấy điểm E Ax, điểm F By sao cho E· OF 90. Đặt ·AOE m. Xác 
định giá trị của m để EF có độ dài ngắn nhất. 
 Giải (h.22.7)
* Tìm cách giải.
Vẽ EH  By. Dễ thấy EF EH AB (không đổi).
Ta cần tìm giá trị của m để dấu " " xảy ra.
Khi đó minEF AB. 
* Trình bày lời giải.
Vẽ EH  By. Theo tính chất đoạn chắn song song ta được 
EH AB và AE BH. 
Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên ta có EF EH, 
do đó EF AB. Dấu " " xảy ra F  H AE BF AOE BOF 
 ·AOE B· OF 45 (vì ·AOE B· OF 90). 
Vậy EF có độ dài ngắn nhất (bằng độ dài AB) khi và chỉ khi ·AOE 45, tức là khi và chỉ khi m 45. 
Ví dụ 4. Cho góc nhọn xOy và một điểm A ở trong góc đó. Xác định điểm M trên tia Ox, điểm N trên tia 
Oy sao cho OM ON và tổng AM AN nhỏ nhất.
 Giải (h.22.8)
* Tìm cách giải.
Xét ba điểm A, M, N ta có AM AN MN nhưng độ dài MN lại thay 
đổi. Do đó không thể kết luận tổng AM AN có giá trị nhỏ nhất bằng 
độ dài MN được. Ta phải thay thế tổng AM AN bằng tổng của hai 
đoạn thẳng có tổng lớn hơn hoặc bằng độ dài của một đoạn thẳng cố 
định. Muốn vậy ta cần vẽ thêm hình phụ để tạo thêm một điểm E cố 
định.
* Trình bày lời giải.
Trên nửa mặt phẳng bờ Oy không chứa A vẽ tia Ot sao cho 
·yOt ·AOx. 
Trên tia Ot lấy điểm E sao cho OE OA. Như vậy hai điểm A và E cố định, đoạn thẳng AE có độ dài 
không đổi.
Ta có AOM EON (c.g.c) AM EN. Do đó AM AN EN AN. Gọi F là giao điểm của AE 
với tia Oy. Xét ba điểm N, A, E ta có: EN AN AE (dấu " " xảy ra N  F). 
Vậy min AM AN AE khi N  F. Điểm M Ox sao cho OM ON. 
C. Bài tập vận dụng
• Quan hệ giữa cạnh và góc đối trong tam giác
22.1. Cho tam giác ABC, µA 60. Chứng minh rằng BC3 AB3 AC3. 
22.2. Cho tam giác ABC, AB AC. Vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác vuông cân tại A là ABE và 
ACF. Gọi D là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng DE DF. 
 1 Bµ
22.3. Cho tam giác ABC, µA 90 và AB BC. Chứng minh rằng Cµ 
 2 2
22.4. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM.
 BC
Chứng minh rằng AM khi và chỉ khi góc A nhọn.
 2
22.5. Cho tam giác ABC và một điểm D nằm trong tam giác. Chứng minh rằng trong bốn điểm A, B, C, D 
tồn tại ba điểm là ba đỉnh của một tam giác có một góc lớn hơn 29. 
• Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
22.6. Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng a. Lấy điểm B a. Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với 
AB cắt đường thẳng a tại C.
Xác định vị trí của điểm B đế BC có độ dài nhỏ nhất.
22.7. Cho tam giác ABC cân tại A, BC a. Gọi O là một điểm trên đáy BC. Qua O vẽ các đường thẳng 
song song với hai cạnh bên, cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Tìm độ dài nhỏ nhất của MN.
22.8. Cho tam giác đều ABC cạnh dài 4cm. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho
AD CE. Tính độ dài nhỏ nhất của DE.
22.9. Cho tam giác ABC, Bµ 45;Cµ 30 và AC 52cm. Điểm M nằm giữa B và C. Tính giá trị lớn 
nhất của tổng các khoảng cách từ B và C đến đường thẳng AM.
22.10. Chứng minh rằng trong các tam giác có một góc bằng và tổng hai cạnh kề góc ấy bằng 2a thì 
tam giác cân có góc ở đỉnh bằng là tam giác có chu vi nhỏ nhất. 
• Bất đẳng thức tam giác
22.11. Cho tam giác ABC. Gọi xy là đường phân giác góc ngoài tại đỉnh C. Tìm trên xy một điểm M sao 
cho tổng MA MB ngắn nhất.
22.12. Cho tam giác ABC có AB 12; AC 16. Gọi M là một điểm trong mặt phẳng. Tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức S 7MA 3MB 4MC. 
 2
22.13. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Chứng minh rằng tổng HA HB HC nhỏ hơn chu vi 
 3
của tam giác ABC. 22.14. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB a. Tìm một điểm M sao cho tam giác MAC cân tại M, 
đồng thời tổng MA MB nhỏ nhất.
Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
22.15. Cho đường thẳng xy và tam giác ABC có cạnh AB nằm trên một nửa mặt phẳng bờ xy còn đỉnh C di 
động trên xy. Biết AB 13cm, khoảng cách từ A và B đến xy lần lượt bằng 2cm và 7cm.
Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABC.
22.16. Một hộp gỗ hình lập phương mỗi cạnh dài 20cm. Đáy ABCD đặt áp sát mặt bàn. Nắp hộp 
A' B 'C ' D ' có thể mở dựng đứng lên trên (h.22.9). Một con kiến ở đỉnh A muốn bò tới đỉnh C ' bằng cách 
vượt qua cạnh A' B ' thì phải bò một quãng đường ngắn nhất là bao nhiêu?
 Hướng dẫn giải
22.1. (h.22.10)
 Nếu Bµ Cµ thì ABC cân, Aµ 60 nên ABC đều. 
Do đó AB BC CA. 
Suy ra AB3 BC3 CA3. Vậy BC3 AB3 CA3. 
 Nếu Bµ Cµ thì Bµ 60 (vì Bµ Cµ 120). 
Do đó Aµ Bµ BC AC. 
Suy ra BC3 AB3 CA3. 
 Nếu Bµ Cµ, cũng chứng minh tương tự, ta được: BC3 AB3 CA3.
22.2. (h.22.11)
Theo định lí Py-ta-go ta có BE2 2AB2 ,CF2 2AC2 mà AB AC nên BE CF. 
Dễ thấy ABF AEC (c.g.c).
Suy ra BF CE. Xét CBE và BCF có: BC chung,
CE BF,BE CF nên E· CB F· BC hay E· CD F· BD. 
Xét ECD và FBD có: CE BF, DC DB và E· CD F· BD. 
Do đó DE DF (định lí hai tam giác có hai cặp cạnh bằng nhau).
22.3. (h.22.12)
Vẽ đường trung trực của BC cắt BC tại M, cắt AC tại N.
Ta có NB NC; NBC cân Cµ N· BC. 
 1 
 BAM có BA BM BC nên là tam giác cân.
 2 
 µ µ · · · ·
Suy ra A1 M1, mà BAN 90,BMN 90 nên MAN AMN 
 MN AN (quan hệ giữa cạnh đối trong một tam giác). 
 MBN và ABN có BM BA, BN chung và MN AN. 
Do đó M· BN ·ABN (định lí hai tam giác có hai cặp cạnh bằng nhau). 
Suy ra M· BN M· BN ·ABN M· BN. 
 Bµ
Do đó 2M· BN A· BC 2Cµ Bµ (vì C M· BN) Cµ 
 2
22.4. (h.22.13) 
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD MA. 
 µ µ
 ABM DCM (c.g.c) AB CD và A1 D. 
Do đó AB / /CD 
 B· AC D· CA 180 (cặp góc trong cùng phía). (*)
 BC
• Chứng minh mệnh đề: “Nếu góc A nhọn thì AM " 
 2
 BC
Nếu AM thì 2AM BC do đó AD BC. 
 2
 BAC DCA (c.c.c) B· AC D· CA 180 : 2 90, trái giả 
thiết.
 BC
Nếu AM thì 2AM BC do đó AD BC. 
 2
 BAC và DCA có: AB CD; AC chung và BC AD. 
Do đó B· AC D· CA 
Từ (*) suy ra B· AC 90, trái giả thiết. BC
Vậy nếu A nhọn thì AM 
 2
 BC
• Chứng minh mệnh đề: "Nếu AM thì góc A nhọn."
 2
Nếu Aµ 90 thì từ (*) suy ra D· CA 90. 
 BC
 BAC DCA (c.g.c) BC AD hay AM , trái giả thiết.
 2
Nếu Aµ 90 thì từ (*) suy ra D· CA 90. Vậy B· AC D· CA. 
 BAC và DCA có: AB CD; AC chung và B· AC D· CA.
 BC
Do đó BC AD hay BC 2AM tức là AM , trái giả thiết.
 2
 BC
Vậy nếu AM thì góc A nhọn.
 2
22.5. (h.22.14)
Vẽ các đoạn thẳng DA, DB, DC. Ta có A· DB B· DC C· DA 360. 
Suy ra tồn tại ít nhất một góc có số đo nhỏ hơn hoặc bằng 120 (vì 
nếu cả ba góc này đều lớn hơn 120 thì tổng của chúng lớn hơn 
360, vô lí).
Giả sử góc đó là góc BDC.
Xét BDC có B· DC 120, suy ra
D· BC D· CB 60. 
Do đó tồn tại ít nhất một góc lớn hơn hoặc bằng 30 29. 
Vậy ba điểm cần tìm là B, C, D.
22.6. (h.22.15)
Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu của A trên đường 
thẳng a.
Khi đó AH có độ dài không đổi.
 1
Ta có ABC vuông tại A nên AM BC 
 2
hay BC 2AM 2AH (quan hệ giữa đường vuông góc với đường 
xiên)
Do đó BC có độ dài nhỏ nhất là 2AH M  H ABH vuông 
cân.
Ta xác định điểm B như sau: - Dựng AH  BC; 
- Trên đường thẳng a đặt HB HA (h.22.16)
22.7. (h.22.17)
Vẽ MH  BC, NK  BC, NI  MH. 
Khi đó IN HK và IH NK (tính chất đoạn chắn song song).
Ta có OM / / AC B· OM Cµ Bµ. 
Do đó MBO cân tại M, từ đó ta được HB HO. 
 1 a
Tương tự ta có KC KO. Suy ra HK BC 
 2 2
Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên ta có 
 a
MN IN HK . 
 2
Dấu " " xảy ra M  I (h.21.18)
 MH NK MHB NKC BH CK 
 OH OK OB OC O là trung điểm của BC.
 a
Vậy min MN khi O là trung điểm của BC.
 2
22.8. (h.22.19)
Vẽ DH  BC, EK  BC,DF  EK. 
Ta có DF HK (tính chất đoạn chắn song song). Các tam giác vuông 
HBD và KCE có
 1 1
Dµ Eµ 30 nên BH BD;CK CE. 
 2 2
 1 1 1
Do đó BH CK BD CE BD AD AB 2cm. 
 2 2 2
Suy ra HK 2cm. 
Ta có DE DF HK 2cm. 
Dấu " " xảy ra E  F DH EK HBD KCE BD CE 
 BD AD D là trung điểm của AB (khi đó E là trung điểm của AC). 
Vậy độ dài nhỏ nhất của DE là 2cm khi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC. 
22.9. (h.22.20)
Vẽ BD  AM, CE  AM D, E AM . 
Ta có BD BM, CE CM (quan hệ giữa đường vuông góc và đường 
xiên). Do đó BD CE BM CM BC (dấu " " xảy ra D và E trùng với M AM  BC). 
Vậy tổng BD CE có giá trị lớn nhất là bằng độ dài BC 
• Tính độ dài BC (h.22.21)
Vẽ AH  BC. 
 1
 AHC vuông tại H có Cµ 30 nên AH AC 52 : 2 26 cm . 
 2
Ta có HC2 AC2 AH 2 522 262 2028 
 HC 45 cm .
Xét ABH vuông tại H, có Bµ 45 nên là tam giác vuông cân 
 BH AH 26cm. Do đó BC 26 45 71 cm . 
Vậy giá trị lớn nhất của tổng BD CE là 71cm khi M là hình chiếu của A trên BC.
22.10. (h.22.22)
Xét ABC có Aµ và AB AC 2a. 
Ta phải chứng minh rằng khi AB AC a 
thì chu vi ABC sẽ nhỏ nhất.
Thật vậy, giả sử AB AC. 
Trên tia AB lấy điểm B', trên tia AC lấy điểm C ' sao cho 
AB' AC ' a. 
Khi đó B' và C ' là các điểm cố định và B'C ' có độ dài không đổi.
Ta có AB AC AB' AC ' 2a. 
Do đó AB AC ' C 'C AB BB' AC ' CC ' BB'. 
Vẽ BH  B'C ' và CK  B'C '. 
 BB'H CC 'H (cạnh huyền, góc nhọn) HB' KC ' do đó HK B'C '. (1) 
Gọi M là giao điểm của BC và B'C '. 
Ta có MH MB; MK MC MH MK MB MC hay HK BC. (2) 
Từ (1) và (2) suy ra BC B'C '. 
Ta có chu vi ABC AB BC CA 2a B'C ' (không đổi).
Dấu " " xảy ra B'  B và C '  C. 
Vậy chu vi ABC nhỏ nhất khi AB AC a, tức là khi ABC cân tại A.
22.11. (h.22.23)
Vẽ AH  xy, tia AH cắt đường thẳng BC tại D. Khi đó BD không đổi.
 CHA CHD (g.c.g) HA HD xy là đường trung trực của AD.
Gọi M là một điểm bất kì trên xy. Ta có MA MD (tính chất điểm nằm trên đường trung trực).
Do đó MA MB MD MB BD (dấu " " xảy ra M  C). 
Vậy tổng MA MB ngắn nhất là bằng BD khi và chỉ khi M  C 
22.12. (h.22.24)
Ta có S 7MA 3MB 4MC 
 3 MA MB 4 MA MC 
 3AB 4AC 3.12 4.16 100.
Dấu " " xảy ra
 M thuộc đoạn thẳng AB và AC M  A. 
Vậy minS 100 khi M  A. 
22.13. (h.22.25)
Từ H vẽ đường thẳng song song với AB cắt AC tại D; đường thẳng song song với AC cắt AB tại E. Theo 
tính chất đoạn thẳng song song ta có
AD HE, AE HD. 
Vì HB  AC nên HB  HE 
 HB BE (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).
Chứng minh tương tự ta được HC CD. 
Xét AHD có HA AD DH (bất đẳng thức tam giác). Suy ra 
HA HB HC AD DH BE CD AD AE BE CD 
 AD CD AE BE AC AB. (1)
Chứng minh tương tự, ta được:
HA HB HC AB BC. (2)
HA HB HC BC CA. (3)
Cộng từng vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được:
3 HA HB HC 2 AB BC CA . 
 2
Do đó HA HB HC AB BC CA . 
 3
22.14. (h.22.26)
Tam giác ABC vuông cân tại A nên theo định lí Py-ta-go ta tính được BC a 2. 
Tam giác MAC cân tại M MA MC do đó M nằm trên đường trung trực d của AC.
Xét tổng MA MB MC MB BC a 2