Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Chuyên đề 10: Đa thức, nghiệm của đa thức, tìm hệ số và xác định đa thức

 CHUYÊN ĐỀ 10
 ĐS7.CHUYÊN ĐỀ 10 - ĐA THỨC, NGHIỆM CỦA ĐA THỨC, TÌM HỆ SỐ VÀ XÁC ĐỊNH 
 ĐA THỨC
PHẦN I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
Định lý Bơ - zu và ứng dụng
1) Định lý Bơ-zu:
 Phần dư của phép chia đa thức f (x) cho nhị thức bậc nhất x a bằng giá trị của đa thức tại 
điểm a tức là f (a) : f ( x ) ( x a )q ( x ) f (a )
Chứng minh:
 Gọi phần dư của phép chia đa thức f (x) cho nhị thức bậc nhất x a là r(x) . Do bậc của đa thức 
dư nhỏ hơn bậc của đa thức chia nên r(x) là một hằng số r và ta có:
 f (x) (x a).q(x) r
Thay x a ta được: f (a) (a a).q(a) r
 f (a) r (đpcm).
 2) Hệ quả:
 Nếu a là nghiệm của f (x) thì f (x)(x a) .
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Ứng dụng định lí Bơ-zu
I.Phương pháp giải.
 Phần dư của phép chia đa thức f (x) cho nhị thức bậc nhất x a bằng giá trị của đa thức tại điểm 
a tức là f (a) : f ( x ) ( x a )q ( x ) f (a )
II.Bài toán.
Bài 1. Tìm a , b để đa thức 2x3 ax b chia cho x 1 dư 6 và chia cho x 2 dư 21.
Lời giải:
 Đặt f (x) 2x3 ax b . Theo định lý Bơ-zu ta có:
 f (x) : (x 1) dư 6 f ( 1) 6 2.( 1)3 a.( 1) b 6 a b 4
 f (x) : (x 2) dư 21 f (2) 21 2.23 a.2 b 21 2a b 5 .
Để tìm a , b ta có:
 a b 4 a b 4 a b 4 a 3
 2a b 5 3a 9 a 3 b 1
Vậy đa thức cần tìm là f (x) 2x3 3x 1.
Bài 2. Đa thức f (x) khi chia cho x 1 dư 4 , khi chia cho x2 1 dư 2x 3. Tìm số dư khi chia f (x) 
cho (x 1).(x2 1)
Lời giải:
 Theo định lý Bơ - zu, ta có: f (x) : (x 1) dư 4 f ( 1) 4 .
TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 10
Do bậc của đa thức chia là 3 nên bậc của đa thức dư là bậc 2 . Vì thế, đa thức dư có dạng ax2 bx c . 
Theo định nghĩa phép chia còn dư ta có: 
f (x) (x 1).(x2 1).q(x) ax2 bx c
 f (x) (x 1).(x2 1).q(x) ax2 a a bx c
 f (x) (x 1).(x2 1).q(x) a(x2 1) bx c a
 f (x) (x 1).q(x) a.(x2 1) bx c a
Mà f (x) : (x2 1) dư 2x 3. Vậy ta phải có:
 b 2
 b 2 b 2 
 9
 c a 3 c a 3 c 
 2
 a b c 4 a c 6 
 3
 a 
 2
 3 9
Vậy đa thức dư cần tìm là: x2 2x 
 2 2
Bài 3. Cho đa thức A x4 ax2 b
 Hãy xác định hệ số a , b của đa thức A biết A chia hết cho đa thức B x2 3x 2
Lời giải:
a) Ta có: B x2 3x 2 (x 1).(x 2) . Theo định lý Bơ-zu, ta có:
 A(1) 0 14 a.12 b 0 a b 1 a 5
 AB 
 4 2 
 A(2) 0 2 a.2 b 0 4a b 16 b 4
 Vậy đa thức A x4 5x2 4 .
Nhận xét: Qua 3 bài toán ta có thể rút ra nhận xét: khi sử dụng định lý Bơ-zu giúp ta giải quyết nhanh 
việc tìm hệ số của đa thức cần tìm. Thông thường, nhờ định lý Bơ-zu đưa việc tìm hệ số của đa thức về 
việc giải hệ phương trình 2, 3 ẩn. Đối với hệ phương trình 3 ẩn trở lên cần trang bị thêm cho học sinh 
cách giải hệ bằng phương pháp Gau-xơ. 
Dạng 2. Phương pháp hệ số bất định
I.Phương pháp giải.
 Theo định nghĩa hai đa thức f x và g x bằng nhau nếu chúng nhận giá trị bằng nhau tại mọi giá 
trị của biến x . Rõ ràng nếu f x và g x có cùng bậc và với mỗi i các hệ số của xi tương ứng bằng 
nhau thì f x bằng g x . Người ta đã chứng minh điều ngược lại cũng đúng.
 n n-1 1
 Cụ thể: f x an x an-1x ..... a1x a0
 n n-1 1
 g x bn x bn-1x ..... b1x b0
 f x g x ai bi với i 0,n
TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 2 CHUYÊN ĐỀ 10
 Sau đây là một số bài toán xác định một đa thức có sử dụng định nghĩa hai đa thức bằng nhau còn 
được gọi là phương pháp dùng hệ số bất định.
II.Bài toán.
Bài 1. Xác định a , b để đa thức ax3 12x2 bx 1 là luỹ thừa bậc 3 của một đa thức khác.
Lời giải:
 Vì đa thức ax3 12x2 bx 1 là luỹ thừa bậc 3 của một đa thức khác, nên bậc của đa thức cần tìm 
phải là bậc nhất. Hay đa thức cần tìm có dạng: mx n .
 Theo bài ra ta có: 
 ax3 12x2 bx 1 mx n 3
 m3 x3 3m2 x2n 3mxn2 n3
 Theo phương pháp hệ số bất định ta phải có:
 a m3 a m3
 3m2n 12 m2 4 m 2 thì a 8;b 6
 2 
 3mn b 3m b m 2 thì a 8;b 6
 3 
 n 1 n 1
 Vậy có hai đa thức thoả mãn điều điện bài toán đó là :
 8x3 12x2 6x2 1 2x 1 3
 hoặc 8x3 12x2 6x2 1 2x 1 3
Bài 2. Tìm các số a,b,c để x3 - ax2 bx - c x - a x -b x - c 
Lời giải:
 Theo bài ra ta có: 
 x3 - ax2 bx - c x - a x -b x - c 
 x2 -bx - ax ab (x - c)
 x3 -bx2 - ax2 abx - cx2 bcx acx - abc
 x3 - a b c x2 ab bc ca x - abc.
 Dùng phương pháp hệ số bất định, ta phải có: 
 a a b c b c 0 b c 0
 b ab bc ca b a(b c) bc b bc
 c abc c abc c abc
 Do b bc nên b 1 c 0 vậy có hai trường hợp xảy ra:
 *) Nếu b 0 thì c 0 và a là tuỳ ý
TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 3 CHUYÊN ĐỀ 10
 **) Nếu b 0 thì c 1 và a 1; b 1.
Bài 3. Cho đa thức A ax3 6x2 bx -10
a) Hãy xác định hệ số a , b của đa thức A biết A chia hết cho đa thức B x2 3x 2
b) Xác định thương trong phép chia trên.
Lời giải:
 Do bậc của đa thức A là 3 và bậc của đa thức B là 2 nên bậc của đa thức thương phải là bậc 
nhất và có dạng: mx n .
 Theo bài ra ta có: 
 AB ax3 6x bx -10 x2 - 3x 2 mx n 
 mx3 - nx2 -3mx2 -3nx 2mx 2n
 mx3 -n -3m x2 2m -3n x 2n
 Dùng phương pháp hệ số bất định,ta phải có :
 11 11
 a a 
 3 3
 a m a m 
 11 11
 6 n 3m 6 5 3m m m 
 3 3
 b 2m 3n b 2m 15
 11 67
 b 2 15 b 
 10 2n n 5 
 3 3
 n 5 n 5
 11 67
 Vậy đa thức cần tìm là: A x3 6x2 x 10
 3 3
 11
 **) Đa thức thương trong phép chia A cho B là: x 5
 3
Dạng 3. Phương pháp nội suy Niu-tơn
I.Phương pháp giải.
 Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của đa thức tại n + 1 điểm C1 ,C2 ,C3 ,,Cn 1 
ta có thể biểu diễn P(x) dưới dạng:
P(x) b0 b1 (x C1 ) b2 (x C1 )(x C2 )  bn (x C1 )(x C2 )(x Cn )
 Bằng cách thay thế x lần lượt bằng cỏc giỏ trị C1 ,C2 ,C3 ,,Cn 1 vào biểu thức P(x) ta lần lượt tính 
được các hệ số b0 ,b1 ,b2 ,,bn .
II.Bài toán.
Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x) biết: P (0) 25 , P (1) 7, P (2) 9 .
Lời giải
Đặt P(1)(x) b0 b1 x b2 x(x 1)
TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 4 CHUYÊN ĐỀ 10
Thay x lần lượt bằng 0 ; 1; 2 vào (1) ta được: 
 b0 25
 7 25 b1 b1 18
 9 25 18.2 b2 .2.1 b2 1
Vậy, đa thức cần tìm có dạng:
P(x) 25 18x x(x 1) P(x) x 2 19x 25 .
Bài 2: Tìm đa thức bậc 3 P(x) , biết: P (0) 10 , P (1) 12 , P (2) 4, P (3) 1
Lời giải
 Đặt: P x d cx bx x -1 ax x -1 x - 2 
 Cho x 0 , P 0 d , suy ra d 10 . 
 P x 10 cx bx x -1 ax x -1 x - 2 
 Cho x 1, P 1 10 c , suy ra c 2 . 
 P x 10 2x bx x -1 ax x -1 x - 2 
 Cho x 2 , P 2 10 4 2b , suy ra b 5 . 
 P x 10 2x -5x x -1 ax x -1 x - 2 
 5
 Cho x 3, P 3 10 6 30 6a , suy ra a . 
 2
 5
 P x 10 2x -5x x -1 .x x -1 x - 2 
 2
 Rút gọn ta được đa thức cần tìm là:
 5 25
 P(x) x3 x2 12x 10
 2 2
Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x) , biết khi chia P(x) cho ( x 1), ( x 2), ( x 3) đều được dư bằng 6 và 
P( 1) 18.
Hướng dẫn: Đặt P(1)(x) b0 b1 (x 1) b2 (x 1)(x 2) b3 (x 1)(x 2)(x 3)
Bài 4: Cho đa thức P(x) bậc 4 thoả mãn:
 P -1 0 và P x - P x -1 x x 1 2x 1 
 1. Xác định P(x) .
 2. Suy ra giá trị của tổng sau đây ( n là số nguyên dương).
 S 1.2.3 2.3.4 ... n n 1 2n 1 
Lời giải:
Cho x 0 , suy ra P 0 P 1 0 mà P 1 0 , vậy P 0 0 .
TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 5 CHUYÊN ĐỀ 10
Cho x lần lượt các giá trị x 1; x 1; x 2 , ta nhận được 
 P -2 0; P 1 6; P 2 36
Đặt P x e d x 2 c x 2 x 1 b x 2 x 1 x a x 2 x 1 x x -1 
 Cho x 2 , P 2 e , suy ra e 0 .
 Cho x 1, P 2 d , suy ra d 0 .
 Cho x 0 , P 0 2c , suy ra c 0 .
Vậy P x b x 2 x 1 x a x 2 x 1 x x -1 
 Cho x 1, P 1 6b , vậy b 1.
 1
 Cho x 2 , P 2 24 24a 36 vậy a .
 2
 1 2
 Đa thức cần tìm là: P x x x 1 x 2 
 2
**) Theo bài ra: P x - P x -1 x x 1 2x 1 
Cho x 1;2;...;n ta có : P 1 - P 0 1.2.3
 P 2 - P 1 2.3.4
 ............................
 P n - P n -1 n n 1 2n 1 
Cộng vế với vế ta được: P n - P 0 1.2.3 2.3.4 .... n n 1 2n 1 
 1
Do đó: S P(n) n(n 1) 2 (2n 1)
 2
Bài 5. Xác định đa thức bậc 3 , f (x) thoả mãn f x - f x -1 x2
 Từ đó suy ra công thức tính tổng S 12 22 ... n2
Lời giải:
*) Đặt f x d cx bx x 1 ax x 1 x 2 
Cho x 0 , suy ra f (0) d
Cho x 1, suy ra f (1) d c vì f 1 f 0 1 nên d c - d 1 c 1
TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 6 CHUYÊN ĐỀ 10
 Khi đó f x d x bx x 1 ax x 1 x 2 
Cho x 2 , suy ra f 2 d 2 2b vì f 2 f 1 4 nên 
 3
 d 2 2b d 1 4 b 
 2
 3
Khi đó f x d x . x x 1 ax x 1 x 2 
 2
Cho x 3, suy ra f 3 d 3 9 6a d 12 6a vì f 3 f 2 9 nên 
 1
 d 12 6a d 5 9 a 
 3
 3 1
Khi đó: f (x) d x x(x 1) x(x 1)(x 2)
 2 3
 1 1 1
Vậy f (x) x3 x2 x d (d ¡ )
 3 2 6
**) Theo bài ra ta có: f x f x 1 n2
Cho x 1;2;...;n ta được f 1 - f 0 12
 f 2 f 1 22
 .....................................
 f x f x 1 n2
 Cộng vế với vế ta sẽ được: f n f 0 12 22 .... n2
 3 2
 1 3 1 2 1 2n 3n n
Suy ra S n n n d d 
 3 2 6 6
 n n 1 2n 1 
Vậy S 
 6
TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 7 CHUYÊN ĐỀ 10
 DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
I. Phương pháp giải
1. BTĐS là biểu thức trong đó chứa các số hoặc các chữ và các phép toán giữa các số ,các chữ đó.
2. Những chữ trong BTĐS có thể là hằng số ( thường dùng các chữ a, b, c,...) có thể là biến số ( thường 
dùng các chữ x, y, z...).
3. Biểu thức không chứa biến ở mẫu gọi là biểu thức nguyên. Nếu biểu thức có chứa biến ở mẫu gọi là 
biểu thức phân .
4. Muốn tìm giá trị của BTĐS khi biết giá trị của các biến trong biểu thức đã cho ta thực hiện các bước 
sau :
 - Thu gọn biểu thức đã cho ( nếu được )
 - Thay giá trị các biến bằng các số đã cho ; Rồi thực hiện các phép tính .
 - Trả lời .
5. Nâng cao:
- Các hằng đẳng thức đáng nhớ : a b 2 ; a 2 b 2 ; a b 3 ;a 3 b3
 Qui ước đọc và viết một BTĐS có nhiều phép tính: Phép tính nào làm sau cùng thì đọc trước tiên ; 
Phép tính nào lam trước thì đọc sau.
- Xác định giá trị của biến để biểu thức có nghĩa ( ĐKXĐ ):
 A
 PTĐS có nghĩa Mẫu thức B 0
 B
- Ta có : A.B 0 A 0 hoặc B = 0
II. Bài toán
 Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau :
 6x2 x 3 1
A. A tại x 
 2x 1 2
b. B = x 2 2xy 2y 2 * Biết x y 0 và x y 4
 5x2 3y2 x y
c. C với 
 10x2 3y2 3 5
 2005x 2006y x y
d. D Biết 
 2005x 2006y 2 3
e. E x4 y4 x5 y5 x6 y6 x7 y7 x8 y8 x9 y9 x10 y10 tại: x 1; y 1
f. F x5 y5 z5 x6 y6 z6 .... x10 y10 z10 tại x 1; y 1; z 1
g. G(x) x17 12x16 12x15 12x14 ..... 12x 1 tại x 11
h. H 6x 6y 10 3ax 3ay 15a tại x y 5
i. I x2 xy x x2 xy y 25y tại x y 5
TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 8 CHUYÊN ĐỀ 10
 x y
k. K ( x y; x 6) tại x 2y 6
 x 6
 2x 6 2y 6
l. L tại x 2y 6
 3x 2y 4y x
 z y y 
m. M 1 1 1 (x, y, z 0) tại x y z 0 .
 x z z 
 1 1
Lời giải: A. x x 
 2 2
 1 1
 * Với x thì Mẫu 2x-1=2. -1=0=>A không có nghĩa
 2 2
 1
 * Với x Thì A = 1
 2
 x y 0 x y x 2
 b. 
 x y 4 2x 4 y 2
 Thay x=2 và y =2 vào biểu thức B = 4 
 x y 3y
 c. với x thay vào biểu thức ta được:
 3 5 5
 2
 2 2
 3y 2 9y 15y
 5 3y 2
 5 5 24y
 C 2 2 2 2 8
 3y 2 18y 15y 3y
 10 3y
 5 5
 x y
 d. Ta có 
 2 3
 2005x 2006y 2005x 2006y 2005x 2006y 2005x 2006y 4010 6018
 2.2005 3.2006 4010 6018 4010 6018 2005x 2006y 4010 6018
 10028 499
 D 4
 2008 502
 e. Với x 1; y 1 x.y 1 
 Biến đổi: E x4 y4 x5 y5 x6 y6 x7 y7 x8 y8 x9 y9 x10 y10 
 E xy 4 xy 5 .... xy 10
 Thay x.y 1 E 1 ( 1) 1 ( 1) .... 1 1
 f. Với x 1; y 1; z 1 x.y.z 1
 Biến đổi và thay x.y.z 1ta được F = 0
 g. *Cách 1: x 11 x 1 12 
 G(x) x17 x16 (x 1) x15 (x 1) x14 (x 1) ... x(x 1) 1
 x17 x17 x16 x16 x15 x15 x14 ..... x2 x 1 x 1 10
TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 9 CHUYÊN ĐỀ 10
 *Cách 2: 
 G(x) x17 12x16 12x15 12x14 ..... 12x 1 
 x17 (11x16 x16 ) (11x15 x15 ) (11x14 x14 ) ... (11x x) 1
 x17 11x16 x16 11x15 x15 11x14 x14 .... 11x x 1
 x16 (x 11) x15 (x 11) x14 (x 11) x13 (x 11) ... x(x 11) x 1 x 1 10
 h. H 6x 6y 10 3ax 3ay 15a
 H 6(x y) 10 3a(x y) 15a
 H 6.5 10 3a.5 15a 30 10 40
 i. I x2 xy x x2 xy y 25y
 I x y x2 x y xy 25y
 I x(x y)(x y) 25y
 I x.5.5 25y
 I 25x 25y 25(x y) 25.5 125
 x y x y x y 1
 k. K 
 x 6 x x 2y 2(x y) 2
 2x 6 2y 6
 l. L 
 3x 2y 4y x
 2x x 2y 2y (x 2y)
 L 
 3x 2y 4y x
 3x 2y 4y x
 L 1 1 2
 3x 2y 4y x
 z y y x z y x z y
 m. Ta có M 1 1 1 . . 
 x z z x y z
 Mà : x y z 0 x z y; y x z; z y x 
 y z x
 Nên: M . . 1
 x y z
 x y z
Bài 2: Cho biết x.y.z 1. Tính giá trị: A 
 xy x 1 yz y 1 xz z 1
 x y z xz xyz z
 Lời giải: Ta có: =
 xy x 1 yz y 1 xz z 1 xyz xz z xyz2 xyz xz xz z 1
 x z x y z z x y z x z 1
 1 
 1 x z z z 1 x z x z z 1 x y z x z 1
 a b b c c a a a b b
Bài 3: Cho: . Tính giá trị của biểu thức A .
 c a b b c c c a
 Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 
10