Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Chuyên đề 15: Cực trị hình học

 CHUYấN ĐỀ 15: CỰC TRỊ HèNH HỌC
 CHỦ ĐỀ 2. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUễNG GểC
 VÀ ĐƯỜNG XIấN, ĐƯỜNG XIấN VÀ HèNH CHIẾU
I. TểM TẮT Lí THUYẾT
1. Quan hệ giữa đường vuụng gúc và đường xiờn 
Định lý 1. Trong cỏc đường xiờn và đường vuụng gúc kẻ từ một điểm A
ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đú, đường vuụng gúc là 
đường ngắn nhất
 a
 AH ⊥ a AH AC , AH AD
 H C
 D B
(C, D a)
2. Quan hệ giữa đường xiờn và hỡnh chiếu
Định lý 2. Trong hai đường xiờn kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng 
đú: A
• Đường xiờn nào cú hỡnh chiếu lớn hơn thỡ lớn hơn.
 AH ⊥ a, HD HC AD AC
 • Đường xiờn nào lớn hơn thỡ cú hỡnh chiếu lớn hơn. a
 H C
 AH ⊥ a , AD AC HD HC D B
• Nếu hai đường xiờn bằng nhau thỡ hai hỡnh chiếu bằng nhau và ngược lại, nếu hai hỡnh chiếu 
 A
bằng nhau thỡ hai đường xiờn bằng nhau. 
 AB AC HB HC
 B H C
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
 Bài 1: Cho ABC vuụng tại A . Trờn cỏc cạnh AB, AC lần lượt lấy cỏc điểm M , N .
 a. Chứng minh MN BN BC . 
 b. Cú thể núi BN cú hỡnh chiếu xuống AC là AN cũn CM cú hỡnh chiếu xuống AC là 
 AC nờn CM BN được khụng?
 Lời giải: 
 B
 a) Hỡnh chiếu AM AB nờn đường xiờn MN BN . 
 Hỡnh chiếu AN AC nờn đường xiờn BN BC . M
 Bởi vậy MN BN BC .
 b) Khụng được vỡ M và B khỏc nhau.
 A N C
 TÀI LIỆU NHểM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 1 CHUYấN ĐỀ 15: CỰC TRỊ HèNH HỌC
Bài 2. 
Cho ABC cú AB AC . Kẻ AH ⊥ BC tại H , điểm D thuộc đoạn AH . So sỏnh: 
 a. DB và DC ; b. DB và AB .
 Lời giải: 
 a) Đường xiờn AB AC nờn hỡnh chiếu HB HC . A
 Hỡnh chiếu HB HC nờn đường xiờn DB DC .
 D
 b) BA và BD cú hỡnh chiếu lần lượt là AH và DH
 Mà AH BH BA BD
 B H C
Bài 3. Cho ABC cõn tại A . Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A đến BC , điểm D thuộc 
 A
cạnh BC (D H ) Chứng minh AH AD AB .
 Lời giải: 
 Ta cú AH AD (quan hệ đường vuụng gúc, đường xiờn).
 Nếu D HC HD HC AD AC AB .
 Nếu D HB HD HB AD AB AC B H D C
 Bởi vậy AH AD AB .
Bài 4: Cho ABC cú Bà và Cà là cỏc gúc nhọn. Gọi D là điểm bất kỡ thuộc cạnh BC , gọi H 
và K là chõn cỏc đường vuụng gúc kẻ từ B và C đến đường thẳng AD . So sỏnh:
 a. BH và BD . Cú khi nào BH bằng BD khụng?
 BC
 b. HC và BK khi BD 
 2
 Lời giải:
 a) Ta cú BH BD (đường vuụng gúc ngắn hơn mọi đường xiờn).
 BH BD H  D AD  BC
 b) Xột MPQ cú BK 2 BH 2 HK 2 BK2 
 BC
 Xột CHK cú CH 2 CK 2 HK 2 .Mà BD nờn BH CK . Vậy BK HC .
 2
Bài 5: Cho ABC cõn tại A . Trờn tia đối của tia CB lấy điểm D .
 a. So sỏnh AD và AB . 
 b. Vẽ BE  AC và DF  AB . So sỏnh BE và DF
 Lời giải: 
 a. Kẻ AH  BC tại H .Ta cú AB AC HB HC .
 Lại cú D thuộc tia đối của tia CB
 Vậy HD HC HB AD AB .
 TÀI LIỆU NHểM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 2 CHUYấN ĐỀ 15: CỰC TRỊ HèNH HỌC
 1
 b. Diện tớch S AH.BC ; A
 ABC 2
 1
 Diện tớch S AH.BD
 ABD 2 F
 E
 Mà BC BD . Suy ra S ABC S ABD
 1 1
 Lại cú: S ABC AC.BE ; S ABD AB.DF B D
 2 2 H C
 1 1
 Suy ra AC.BE AB.DF . Mà AB AC nờn BE DF .
 2 2
Bài 6: Cho ABC vuụng tại A, K là trung điểm của BC , qua K kẻ đường thẳng vuụng gúc với 
 AK , đường thẳng này cắt cỏc đường thẳng AB, AC lần lượt ở D và E , Gọi I là trung điểm 
của DE
 a. CMR : AI  BC A
 b. Cú thể núi DE BC được khụng?
 Lời giải: D
 ADE A AI C
 a, vuụng tại cú đường trung tuyến B
 H
 => AIE cõn tại I K
 à à à ã I
 và ACK cõn tại K A1 E ,C1 CAK
 à ã 0 à à 0
 mà E CAK 90 A1 C1 90 AH  CK
 E
 b, Để so sỏnh DE với BC ta so sỏnh IE với CK và AI với AK
 AKI vuụng AI AK DE BC khi K trựng với I hay ABC vuụng cõn tại A
Bài 7: Cho ABC cõn tại A , gúc A tự, trờn cạnh BC lấy điểm D , trờn tia đối của tia CB lấy 
điểm E sao cho BD CE , trờn tia đối của tia CA lấy điểm I sao cho CI CA 
 a. CMR: ABD ICE và AB AC AD AE 
 b. Từ D và E kẻ cỏc đường thẳng cựng vuụng gúc với BC cắt AB , AI lần lượt tại 
 M và N , CMR: BM CN 
 c. CMR: Chu vi ABC nhỏ hơn chu vi AMN
 Lời giải:
 a. CM: ABD ICE c.g.c .Ta cú :
 AB AC AI , Vỡ ABD ICE AD EI
 Áp dụng BĐT trong AEI : AE EI AI
 hay AB AC AD AE A
 b. CM: BDM CEN g.c.g BM CN M
 c. Vỡ BM CN AB AC AM AN (1)
 C E
 B
 cú BD CE (gt), BC DE D O
 Gọi O là giao của MN và BC
 N
 I
 TÀI LIỆU NHểM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 3 CHUYấN ĐỀ 15: CỰC TRỊ HèNH HỌC
 OM OD
 MO ON OD OE MN DE MN BC (2)
 ON OE
 từ (1) và (2) ta cú: Chu vi ABC nhỏ hơn chu vi AMN
Bài 8: Cho ABC vuụng tại C , kẻ CH vuụng gúc vúi AB , trờn cỏc cạnh AB , AC lấy tương 
 ứng hai điểm M , N sao cho BM BC và CN CH . CMR:
 a. MN ⊥ AC
 b. AC BC AB CH 
 Lời giải:
 a. Cú BM BC (gt) CBM cõn tại B
 A
 Mã CB ãACM 900
 Mã CB Cã MB ãACM Mã CH
 ã ã 0
 CMB MCH 90
 MNC MHC c.g.c Mã NC Mã CH M
 N
 mà Mã CH 900 Mã NC 900 hay MN, AC vuụng gúc với nhau
 H
 b. Ta cú: BM BC , CN CH
 AMN cú Nà 900 suy ra AM là cạnh lớn nhất
 MB MA CH BC NC BA CH BC CA.
 C B
Bài 9: Cho ABC vuụng tại A , gúc Bà 540 , trờn cạnh AC lấy điểm D sao cho à BD 360 , 
 BE là tia phõn giỏc à BD, trờn đoạn BD lấy điểm F sao cho BF BA 
 A
 a. Tớnh Eã FD
 E
 b. BEC cõn
 c. FD AE D
 d. BD AC F
 B C
 Lời giải:
 a. Vỡ à BD 360 Dã BC 180 , mà là phõn giỏc à BD
 Ã BE 180 Eã BD Dã BC
 ABE FBE (c.g.c) => Fà À 900 Eã FD 900
 b. ABC vuụng tại A cú Bà 540 Cà 900 540 360
 ã ã ã ã 0 0 0 ã ã 0
 Mà EBC ABC ABE EBC 54 18 36 EBC cú EBC ECB 36 
 EBC cõn tại E
 ã à à ã 0 0 0
 c. EFD vuụng tại F cú EDF B1 C (gúc ngoài của DBC EDF 18 36 54
 Fã ED 900 540 360 .Vậy EFD cú Eà Dà FD EF AE 1 
 d. Ta cú: AC AE EC FE BE 
 Và BD BF FD , lại cú EF FD chứng minh ở 1 BE BF vỡ BEF vuụng tại 
 F suy ra BE là cạnh huyền. Nờn BE BF , vậy AC BD .
 TÀI LIỆU NHểM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 4 CHUYấN ĐỀ 15: CỰC TRỊ HèNH HỌC
Bài 10: Cho ABC vuụng tại B , phõn giỏc AD , từ D kẻ DH vuụng gúc với AC H AC , 
 HD và AB kộo dài cắt nhau tại I , CMR:
 a. ABD AHD 
 b. AD là trung trực của BH
 c. DIC cõn
 d. BH / /IC
 e. AD  IC 
 g. BC AC AD 2AB 
 Lời giải:
 a. ABD AHD ( cạnh huyền- gúc nhọn) I
 b. AB AH ( hai cạnh tương ứng)
 suy ra A nằm trờn đường trung trực của BH
 B
 BH HD ( hai cạnh tương ứng). 
 1
 Suy ra D nằm trờn đường trung trực của BH . D
 Vậy AD là đường trung trực của BH 2
 1
 c. BDI HDC (cạnh gúc vuụng- gúc nhọn kề) 2
 A C
 DI DC DIC là tam giỏc cõn H
 d. Vỡ BDI HDC (cmt) BI HC AI AC
 0 ã 0 ã
 ã 180 IAC ã 180 IAC
 AIC cõn tại A suy ra AIC , ABH cõn tại A ABH 
 2 2
 Mà Ã IC, Ã BH là hai gúc so le trong BH / /IC
 e. AIC cõn tại A , cú AD là tia phõn giỏc IãAC suy ra AD là đường trung trực của IC
 g. Ta cú : 
 AC AD 2AB (AH HC) AD AH AB
 AC AD 2AB HC AD AB AD AB HC
 AD AH HC HD HC 
 Lại cú: BC BD DC HD DC HD HC vỡ DC HC 
Bài 11: Cho ABC vuụng tại A , đường phõn giỏc BD , kẻ DE vuụng gúc với BC E BC , 
 trờn tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF CE , CM:
 a. ABD EBD 
 b. BD là đường trung trực của AE F
 c. AD DC 
 d. BA điểm E, D, F thẳng hàng và BD  CF 
 2 AD AF CF A
 Lời giải: 1 D
 a. ABD EBD ( cạnh huyền- gúc nhọn) 2
 b. AB BE (hai cạnh tương ứng)
 1
 2
 suy ra B thuộc đường trung trực của AE C
 B E
 Và DA DE ( hai cạnh tương ứng) 
 D thuộc đường trung trực của AE
 TÀI LIỆU NHểM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 5 CHUYấN ĐỀ 15: CỰC TRỊ HèNH HỌC
 Vậy BD là đường trung trực của AE
 c. Ta cú: DEC vuụng tại E DC DE 
 mà DE DA DC DA 
 d. Ta cú: DAF DEC (hai cạnh gúc vuụng)
 ả ả ả ã 0 ả ã 0 ã 0
 D1 D2 , mà D2 ADE 180 D1 ADE 180 FDE 180 , hay E, D, F thẳng hàng
 ABE cú AB EB AF EC BF BC BFC cõn tại B
 BD là tia phõn giỏc Fã BC BD là đường trung trực BD  FC
 e. Ta cú : AD AF> DF 2(AD+AF)>2DF =DF+DC>FC
Bài 12: Cho ABC vuụng cõn tại A , lấy điểm M bất kỳ trờn cạnh BC , kẻ MH , MK lần lượt 
vuụng gúc với AB , AC , Gọi O là giao điểm của AM và HK
 a, CMR: AM HK và O là trung điểm của AM và HK
 b. Lấy trung điểm D của BC ,CM : DHK vuụng cõn tại D
 c. Điểm M ở vị trớ nào trờn BC thỡ HK cú độ dài nhỏ nhất
 d. So sỏnh HK và AB
 Lời giải: A
 1 2 K
 a. Cần chứng minh HM  MK
 AHM MKA ( cạnh huyền- gúc nhọn) 1
 O
 HM AK (hai cạnh tương ứng) H 1
 AHM HAK
 (hai cạnh gúc vuụng) 1 2
 AM HK 1 1 45
 B
 à ả ả ả M D C
 A1 H1 OA OH, M1 K1 OM OK
 b. AD  BC AD BD , BHM vuụng cõn tại H
 à o à ả
 Vỡ B 45 ,B1 A2 
 và BH HM AK BHD AKD (c.g.c)
 ả ả
 HD KD và D1 D2 HDK vuụng cõn
 c. HK AM để HK đạt GTNN thỡ AM đạt GTNN khi AM AD suy ra M là trung 
 điểm của BC
 d. HK AM AB 
Bài 13: Cho ABC cú gúc B và gúc C là hai gúc nhọn, trờn tia đối của tia AB lấy điểm D sao 
cho AD AB , trờn tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE AC 
 a. CMR: BE CD 
 b. Gọi M là trung điểm của BE, N là trung điểm của CD , CMR: A, M , N thẳng hàng
 c. Ax là tia bất kỡ nằm giữa 2 tia AB và AC , gọi H và K lần lượt là hỡnh chiếu của B 
 và C trờn Ax , CMR: BH CK BC 
 d. Xỏc định vị trớ của Ax để BH CK cú GTLN
 Lời giải:
 a. ABE ACD (c.g,c)
 TÀI LIỆU NHểM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 6 CHUYấN ĐỀ 15: CỰC TRỊ HèNH HỌC
 b. Chứng minh ABM ADN
 E D
 AM AN, Mã AB Nã AD
 ã ã 0
 mà BAN NAD 180 A
 N
 nờn M , A, N thẳng hàng M
 K
 c. Gọi I là giao BC và Ax , ta cú : 
 BH BI,CK CI BH CK BI CI BC B C
 d. Theo cõu c. BH CK BC H
 nờn BH CK lớn nhất khi bằng BC , hay BH BI x
 và CK CI H trựng I và K trựng I . Hay Ax ⊥ BC .
Bài 14: Cho O nằm trong ABC , Gọi E, F, D lần lượt là hỡnh chiếu của O trờn AB, BC,CA
 CMR:
 a. AE 2 BF 2 CP2 AP2 BE 2 CF 2 A
 AB BC CA
 b. OA OB OC AB BC CA
 2 E P
 Lời giải: O
 a, Ta cú:
 2 2 2
 AE AO EO B F C
 BF 2 OB2 FO2
 CP2 OC 2 PO2
 AE 2 BF 2 CP2 AO2 BO2 CO2 OE 2 OF 2 OP2 
 Và AP2 AO2 OP2 ; BE 2 BO2 OE 2 ; CF 2 CO2 OF 2
 AP2 BE 2 CF 2 AO2 BO2 CO2 OP2 OE 2 FO2 
 Từ đú suy ra điều phải chứng minh :
Bài 15: Gọi H là trực tõm của ABC , CMR: 
 a. HA HB HC AB AC A
 2
 b. HA HB HC AB BC CA M
 3
 Lời giải:
 N
 H
 a. Kẻ NH / / AC;MH / / AB
 ta cú: HA AM MH AM AN (1)
 do BH  AC mà HN / / AC BH  HN
 Do đú: BH BN (2) B C
 Chứng minh tương tự: HC CM (3)
 Cộng (1), (2) và (3) ta cú: HA HB HC AM AN BN CM AB AC
 b. Ta cú: HA HB HC AB AC (theo cõu a)
 Tương tự ta cũng cú: HA HB HC BC AC
 HA HB HC AB BC
 Cộng theo vế ta được đpcm
 TÀI LIỆU NHểM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 7 CHUYấN ĐỀ 15: CỰC TRỊ HèNH HỌC
Bài 16: Cho ABC nhọn cú AB AC , trờn tia AC lấy điểm D sao cho CD AB , hai đường 
 trung trực của BD và AC cắt nhau tại E
 a. CMR: AEB CED 
 HA HB HC AB BC
 b. AE là phõn giỏc trong tại đỉnh A của ABC 
 c. Gọi M là 1 điểm bất kỡ nằm trong tam giỏc, xỏc định vị trớ của M để biểu thức: 
 MA.BC MB.AC MC.AB đạt giỏ trị nhỏ nhất
 Lời giải:
 c, Kẻ BH và CK cựng vuụng gúc với AM , ta cú: A
 AM AM
 SMAB SMAC BD CE . BC.
 2 2 D
 ( Đường vuụng gúc nhỏ hơn hoặc bằng đường xiờn) (1)
 Dấu “=” xảy ra khi AM  BC
 Tương tự
 AC.BM
 S S (2)
 MBC MAB 2 E
 B C
 AB.MC
 S S (3)
 MBC MAC 2
 Cộng (1), (2) và (3) ta được:
 BC.AM AC.BM AB.MC
 2 S S S MA.BC MB.CA MC.AB 4.S
 MAB MBC MAC 2 2 2 ABC
 Vậy min MA.BC MB.AC MC.AB 4SABC
 Xảy ra khi: AM  BC,BM  AC,CM  AB Hay M là trực tõm của ABC 
 TÀI LIỆU NHểM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 8 CHUYấN ĐỀ 15: CỰC TRỊ HèNH HỌC
TÀI LIỆU NHểM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 9