Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Chuyên đề 18: Chứng minh ba điểm thẳng hàng

 CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
 HH7. CHUYÊN ĐỀ 18
 CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
 D
1. Nếu ·ABD D·BC 1800 thì ba điểm
A, B, C thẳng hàng. 
 A B C
 ( Hình 1) hình 1 
2. Tiên đề Ơ – Clit: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với 
đường thẳng đó a
 ( Hình 2)
 A B C
 hình 2 
 3. Có một và chỉ một đường thẳng a ' đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước. 
( Hình 3)
 Nếu AB  a ; AC  A thì ba điểm A, B, C thẳng hàng. A
 Hoặc A, B, C cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng .
 B
 C
 a
4. Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác ( Hình 4) hình 3 
 Nếu tia OAvà tia OB là hai tia phân giác của góc xOy thì ba điểm O, A, B thẳng hàng. x
 O A B
 hình 4 y
 * Hoặc : Hai tia OAvà OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , x·OA x·OB thì ba điểm 
O, A, B thẳng hàng.
5. Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm
 (Nếu K là trung điểm BD, K ’ là giao điểm của BD và AC . Nếu K ’ là trung điểm BD thì K ’  K
thì A, K, C thẳng hàng.)
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Sử dụng tính chất 2 góc kề bù chứng minh 3 điểm thẳng hàng. D
I.Phương pháp giải.
Nếu ·ABD D·BC 1800 thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.
 A B C
 hình 1 
II.Bài toán.
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC . Kẻ tia Cx vuông góc CA(tia Cx và 
điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC ). Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD AB . Chứng 
minh ba điểm B, M , D thẳng hàng. 
 Gợi ý: Muốn B, M , D thẳng hàng cần chứng minh B·MC C·MD 1800
 Do ·AMB B·MC 1800 nên cần chứng minh ·AMB D·MC
 Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
LỜI GIẢI:
Xét AMB và CMD có: x C
 CD AB (gt). D
 B·AM D·CM 900
 MA MC ( M là trung điểm AC ) 
 M
Do đó: AMB = CMD (c.g.c). Suy ra: ·AMB D·MC
Mà ·AMB B·MC 1800 (kề bù) nên B·MC C·MD 1800 .
Vậy ba điểm B, M , D thẳng hàng.
 A B
Bài 2. Cho tam giác ABC . Trên tia đối của AB lấy điểm D mà AD AB , trên tia đối tia AC lấy 
điểm E mà AE AC . Gọi M , N lần lượt là các điểm trên BC và ED sao choCM EN . Chứng 
minh ba điểm M , A, N thẳng hàng. 
Gợi ý: Chứng minh C·AM C·AN 1800 từ đó suy ra ba điểm M , A, N thẳng hàng. 
 N
LỜI GIẢI E // D
Xét ABC ADE (c.g.c) Cµ Eµ
 A
Xét ACM AEN (c.g.c) M· AC N·AE
 · · 0 · · 0 //
Mà EAN CAN 180 (vì ba điểm E, A, C thẳng hàng) nên CAM CAN 180 B M C
Vậy ba điểm M , A, N thẳng hàng (đpcm) hình 6
Bài 3. Cho tam giác ABC , M là trung điểm của BC . Trên tia đối của MA lấy điểm E sao cho 
MA ME
a, Chứng minh rằng AC EB, AC / /EB
b, Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI EK.Chứng minh ba điểm 
I, M , K thẳng hàng.
LỜI GIẢI A
a) AMC và EMB có MA ME , 
·AMC E·MC;MB MC I
 AMC EMC c.g.c 
 C
 B
 AC EB;C·AM M· EB M
 AC / /BD 
 K
b) AIM và EKM có AM EM ; 
C·AM M· EB; AI EK AIM EKM c.g.c E
 A·MI E·MK mà A·MI I·ME 1800 E·MK I·ME 1800 
 I, M , K thẳng hàng 
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A , và Bµ=60°. Vẽ C
tia Cx  BC và lấy CE CA (CE và CA cùng phía 
với BC ). Trên tia đối tia BC và lấy F sao cho
 E
BF BA . Chứng minh rằng:
a) ACE đều x
b) E, A, F thẳng hàng
 B
LỜI GIẢI: A
 Trang 2
 F CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
 )
 Tìm cách giải: Nhận thấy tam giác ABC vuông tại A , B =60° nên A·CB =30° suy ra A·CE = 60 nên 
tam giác ACE đều. Do đó muốn chứng tỏ E, A, F thẳng hàng thì ta chỉ cần chứng tỏ B·AF 30
Hướng dẫn:
 a) ABC vuông tại A , Bµ=60° nên A·CB =30° suy ra A·CE =60° nên tam giác ACE đều
 b) Ta có BA BF BFA cân A·BC 2B·AF suy ra B·AF =30°
 Vậy ba điểm E, A, F thẳng hàng
Bài 5. Cho tam giác ABC có AB AC , kẻ tia phân giác AD của góc BAC . Trên cạch AC lấy điểm E
sao cho AE AB . Trên tia AB lấy điểm F sao cho AF AC . Chứng minh rằng 
a, ADF EDC
b, F, D, E thẳng hàng
c, AD  FC
LỜI GIẢI 
a) ABD và AED có AB AE ; B·AD E·AD; AD là cạnh chung
 ABD ED c.g.c BD ED; ·ABD ·AED 
Mặt khác ·ABD D·BF 1800 ; ·AED D·EC 1800 nên 
 A
D·BF D·EC 
Ta có AF AC ; AB AE BF EC. 
 DBF và có DB DE E
 BDF EDC c.g.c 
 B
b) BDF EDC D C
 B·DF E·DC mà B·DF F·DC 1800 
 H
 E·DC F·DC 1800
 F, D, E thẳng hàng . F
c) Gọi H là giao điểm của AD và CF .
 AHE và AHC có AF AC ; F·AH C·AH ; AH chung
 AHE AHC c.g.c A·HF ·AHC mà A·HF ·AHC 1800
 A·HF ·AHC 900 
Vậy AH  FC hay AD  FC 
Bài 6. Cho tam giác ABC . vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ADB; ACE 
có AD AD; AC AE , kẻ AH vuông góc với BC ; DM vuông góc với AH và EN vuông góc AH . 
Chứng minh rằng 
a, DM AH
b, Gọi I là trung điểm của MN . Chứng minh rằng D, I, E thẳng hàng
 N E
LỜI GIẢI 
 · · 0
a) Ta có DMA vuông tại M nên MDA MAD 90 mà I
 0
B·AH M· AD 90 D M
( vì B·AD 900 ) M· DA B·AH. A
Xét DMA và AHB có D·MA ·AHB 900 ; 
M· DA B·AH; AD AB nên DMA HB 
( cạnh huyền, góc nhọn ) DM AH 
 B H C
 Trang 3 CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
b) Chứng minh tương tự câu a, ta có :
 ANE CHA , suy ra AH EN 
Xét MID và NIE có I·MD I·NE 900 , 
IM IN, DM DN AH , suy ra 
 MID NIE c.g.c M· ID N· IE 
Mặt khác M· ID N· ID 1800 N· IE N· ID 1800 
Vậy D, I, E thẳng hàng.
Dạng 2. Sử dụng tiên đề Ơ-clit chứng minh 3 điểm thẳng hàng
 a
I.Phương pháp giải.
 Nếu AB / / a , và AC / / a thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.
 A B C
 hình 2 
II.Bài toán.
Bài 1. Cho tam giác ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB . Trên các đường 
thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC . 
Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng. 
Hướng dẫn:
 E A
 Ta chứng minh AD / /BC và AE / /BC D
LỜI GIẢI. = /
 Xét BMC và DMA có: N M
MC MA (do M là trung điểm AC ) / =
· · B C
BMC DMA (hai góc đối đỉnh) Hình 7
MB MD (do M là trung điểm BD )
Vậy: BMC DMA (c.g.c)
Suy ra: A·CB D·AC , hai góc này ở vị trí so le trong nên BC / / AD (1)
Chứng minh tương tự : BC / / AE (2) 
Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC nên từ (1)và (2) và theo Tiên đề 
Ơ-Clit suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng. 
 Bài 2. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia AB lấy 
điểm M sao cho B là trung điểm AM , trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN . Chứng 
minh ba điểm M , C, N thẳng hàng.
Hướng dẫn: Chứng minh: CM / /BD và CN / /BD từ đó suy ra M , C, N thẳng hàng.
LỜI GIẢI
 Xét AOD và COB có: 
 OA OC (vì O là trung điểm AC )
 A
 ·AOD C·OB (hai góc đối đỉnh)
 x
 OD OB (vì O là trung điểm BD ) = *
 X
Vậy AOD = COB (c.g.c) O
 B / / D
Suy ra: D·AO O·CB . 
 =
 *
Do đó: AD / /BC . Nên D· AB C·BM (ở vị trí đồng vị) X 
 DAB và CBM có : M C N
 AD BC (do AOD = COB ), 
D· AB C·BM
 Trang 4 CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
 AB BM ( B là trung điểm AM )
Vậy DAB CBM (c.g.c). Suy ra ·ABD B·MC . Do đó BD / /CM.(1)
 Lập luận tương tự ta được BD / /CN. (2)
 Từ (1) và (2), theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M ,C, N thẳng hàng. 
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A . Trên cạnh AB lấy điểm M , trên tia đối CAlấy điểm N sao cho
MB CN . Gọi K là trung điểm MN . Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng
LỜI GIẢI 
Cách 1: Kẻ ME  BC , NF  BC tam giác BME và CNF A
vuông tai E và F có BM CN , M· BE N·CF . Do đó 
 BME CNF suy ra ME MF . Gọi K là giao điểm BC 
và BN.
Xét MEK và NFK vuông góc ở E và F có ME NF , 
 M
E· MK '=E· NK ' ( so le trong). Vậy MEK = NEK do đó
MK NK . Vậy K ' là trung điểm MN nên K  K ' . F
 B E K C
 Do đó ba điểm B, K, C thẳng hàng 
 N
Cách 2: kẻ ME / / AC (E BC)
 A·CB M· EB ( hai góc đồng vị)
Mà A·BC A·CB nên B·ME M· EB
Vậy tam giác MBE cân tại M
Do đó MB ME kết hợp với giả tiết MB NC ta được ME CN. Gọi K là giao điểm của 
BC và MN
 MEK và NCK có K·ME K·NC ( so le trong do ME / / AC )
ME CN ( chứng minh trên), M· EK = N·CK
Do đó NCK = MEK NK MK
Vậy K ' là trung điểm MN nên K  K ' . Do đó ba điểm B, K, C thẳng hàng.
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A . Kẻ AH  BC tại H , A·CB 30 . Dựng tam giác ACD đều 
( D và B nằm khác phía đối với cạnh AC ). Kẻ HK  AC tại K . Đường thẳng qua H và song song với 
AD cắt AB kéo dài tại M . Chứng minh 3 điểm M , K, D thẳng hàng.
LỜI GIẢI
Gọi F là trung điểm của AC D
 AC
 AH AHF đều
 2
 HF / / AD M , H, F thẳng hàng 
Mà AK KF; AMF FDA(g.c.g) A
 K
 AM DF
 AMK FDK c.g.c F
 · · B
 AKM DKF H C
 M , K, D thẳng hàng. M
 Trang 5 CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
 A
Dạng 3. Sử dụng tính chất vuông góc chứng minh 3 điểm thẳng hàng
I.Phương pháp giải. B
 Nếu AB  a ; AC  A thì ba điểm A, B, C thẳng hàng. C
 a
II.Bài toán. hình 3 
Bài 1. Cho tam giác ABC có AB AC . Gọi M là trung điểm BC .
 a) Chứng minh AM  BC .
 b) Vẽ hai đườn tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai
 điểm P và Q . Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng. 
Gợi ý: - Chứng minh AM , PM , QM cùng vuông góc BC A
 - Hoặc AP, AQ là tia phân giác của góc BAC.
LỜI GIẢI. = =
a) Chứng minh AM  BC .
 P
 ABM và ACM có: 
 / /
 AB AC (gt) B M C
 AM chung 
 MB MC MB MC ( M là trung điểm BC ) Q
Vậy ABM ACM (c.c.c). Hình 9
Suy ra: ·AMB ·AMC (hai góc tương ứng)
Mà ·AMB ·AMC 1800 (hai góc kề bù) nên ·AMB ·AMC 900
Do đó: AM  BC (đpcm)
b) Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng.
Chứng minh tương tự ta được: BPM CPM (c.c.c).
 Suy ra: P·MB P·MC (hai góc tương ứng), mà P·MB P·MC 1800 nên P·MB P·MC = 900
 Do đó: PM  BC . 
 Lập luận tương tự QM  BC
 Từ điểm M trên BC có AM  BC, PM  BC, QM  BC nên ba điểm A, P, Q thẳng hàng (đpcm)
 1
Bài 2. Cho ABC vuông tại A ,BC 2AB gọi D là điểm nằm trên cạnh AC sao cho ·ADB A·BC . 
 3
 1
Lấy E là một điểm nằm trên cạnh AB sao cho A·CE , BD cắt CEtại F , I và K theo thứ tự lần 
 3
lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ F đến BC và AC . Vẽ các điểm G và H sao cho I là trung 
điểm của FG , K là trung điểm của FH . Chứng minh rằng 3 điểm H, D,G thẳng hàng .
LỜI GIẢI. G
 B
Theo đề bài ABC vuông tại A có BC 2AB nên 
A·BC 600 ; A·CB 300. I
 1
·ABD A·BC 200 D·BC 400 
 3 E
 1 F
·ABD A·BC 100 D·BC 200
 3 A K D C
 CIF và CIG có IF IG(gt) 
 H
C·IF C·IG 900 ; IC cạnh chung
 Trang 6 CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
 CIF CIG c.g.c 
 CG CF và K·CH K·CF 100 
Từ đó suy ra CG CH và G·CF F·CH 2A·CB 600 , do đó C·HG 600 (1)
 DKF DKH vì có KF KH ( giả thiết ), D·KF D·KH 900 , KD cạnh chung, do đó DF DH 
, vì thế CDF CDH c.c.c 
Suy ra C·HD C·FD 
 ABD vuông tại A có ·ABD 200 D· B 70o C·DF 1100 
 C·FD 1800 C·DF F·CD 1800 1100 100 600 vì thế C·HD 600 (2)
Từ (1) và (2) suy ra C·HD 600 C·HG mà hai tia HD, HG cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ là 
đường thẳng HC nên HD trùng với HG, nghĩa là ba điểm H, D,G thẳng hàng. 
Dạng 4: Sử dụng tính chất tia phân giác chứng minh 3 điểm thẳng hàng
I.Phương pháp giải.
- Nếu tia OAvà tia OB là hai tia phân giác của góc xOy thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.
- Hai tia OAvà OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , x·OA x·OB thì ba điểm O, A, B
thẳng hàng.
II.Bài toán.
Bài 1. Cho góc xOy .Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B và C sao choOB OC . Vẽ 
đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm A và D nằm trong 
góc xOy . Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng.
Gợi ý: Chứng minh OD và OA là tia phân giác của góc xOy . x
LỜI GIẢI: B
 =
Xét BOD và COD có: / =
 A
OB OC (gt) O D
 / = =
OD chung C
BD CD ( D là giao điểm của hai đường tròn tâm B và tâm C cùng bán kính). y
Vậy BOD = COD (c.c.c). 
 Hình 10
Suy ra : B·OD C·OD . 
Điểm D nằm trong góc xOy nên tia OD nằm giữa hai tia Ox vàOy .
Do đó OD là tia phân giác của x·Oy .
Chứng minh tương tự ta được OA là tia phân giác của x·Oy .
Góc xOy chỉ có một tia phân giác nên hai tia OD và OA trùng nhau. 
 Vậy ba điểm O, A, D thẳng hàng.
Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A , có Aµ 90.Kẻ BD vuông góc với AC , kẻ CEvuông góc với AB
, gọi K là giao điểm của BD vàCE. Chứng minh rằng
a, BCE CBD
b, BEK CDK
c, AK là phân giác góc BAC
d, Ba điểm A, K, I thẳng hàng ( với I là trung điểm BC )
LỜI GIẢI 
a) Xét BCE và CBD có:
 Trang 7 CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
· · 0
BEC CDB 90 
E·BC D·CB
BC là cạnh chung A
 BCE CBD ( cạnh huyền , góc nhọn )
b) BCE CBD BE CD 
 BKE và CDK có: 
B·EK C·DK 900 ; BE CD; B·KE C·KD 
 BKE CDK (góc nhọn, canh góc vuông ) E D
c) BKE CKD KE KD. K
 AEK và ADK có ·AEK ·ADK 900 ; 
 B I C
AI chung; KE KD AED ADK E·AK D·AK 
Hay AK là tia phân giác B·AC (1)
d) ABI và ACI có AB AC là cạnh chung ; BI CD 
 ABI ACI(c.c.c) 
 B·AI C·AI hay AI là tia phân giác của B·AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, K, I thẳng hàng.
Bài 3. Cho góc xOy . Trên hai cạnh Ox và Oy lần lượt là hai điểm B và C sao choOB OC . Vẽ 
đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm A và D
Nằm trong góc xOy . Chứng minh rằng ba điểm O, A, D thẳng hàng
LỜI GIẢI 
 x
Xét BOD và COD có:
 B
OB OC(gt); OD cạnh chung.
BD CD ( D là giao điểm của hai đường tròn tâm B và tâm C A
cùng bán kính). 
Vậy BOD COD (c.c.c), suy ra B·OD C·OD .
 D
Điểm D nằm trong góc x·Oy nên tia OD nằm giữa hai tia Ox và y
 O
Oy . C
Do đó OD là tia phân giác của x·Oy .
Chứng minh tương tự ta được OA là tia phân giác của x·Oy .
Góc xOy chỉ có một tia phân giác nên hai tia OD và OA trùng nhau.
Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng.
 Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A . Vẽ các 
điểm D và E sao cho BD vuông góc và bằng BA , vuông góc và bằng BC . Gọi M là trung điểm của 
đoạn thẳng CE. Chứng minh A, D, M thẳng hàng .
LỜI GIẢI
Kẻ MK  AB;MH  AC; 
Ta có M là trung điểm của CE nên BME BMC(c.c.c) 
 E·BM C·BM 450 
Mặt khác E·BC 900 K·BE A·BC 900. 
 Trang 8 CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
 0
Mà A·CB A·BC 90 , suy ra E
K·BE A·CB K·BM H·CM. 
Lại có BM MC KBM HCM 
( cạnh huyền, góc nhọn ) MK MH 
 K M
 AKM AHM (cạnh huyền, cạnh góc vuông) 
 B
 D
 K·AM H·AM AM là tia phân giác của góc A .
Mặt khác, BAD vuông cân tại A B·AD 450 AD là 
 C
tia phân giác của góc A A H
 A; D; M thẳng hàng ( vì A; D; M cùng thuộc tia phân 
giác của góc A )
Dạng 5: Sử dụng tính chất trung điểm đoạn thẳng chứng minh 3 điểm thẳng hàng
I.Phương pháp giải.
 Nếu K là trung điểm BD, K ’ là giao điểm của BD và AC . Nếu K ’ là trung điểm BD thì K ’  K thì 
A, K, C thẳng hàng.
II.Bài toán.
Bài 1. Cho tam giác ABC cân ở A . Trên cạnh AB lấy điểm M , trên tia đối tia CAlấy điểm N sao cho 
 BM CN . Gọi K là trung điểm MN . Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng
LỜI GIẢI 
 A
Cách 1: 
 M
Kẻ ME  BC ; NF  BC ( E ; F BC)
 =
 BME và CNF vuông tại E và F có: K' C F
 B E K
 · · · =
 BM CN (gt), MBE NCF ( cùng bằng ACB ) hình 11
 N
 Do đó: BME = CNF (Trường hợp cạnh huyền- góc nhọn)
Suy ra: ME NF .
Gọi K ’ là giao điểm của BC và MN .
 MEK ’ và NFK’ vuông ở E, F có: ME NF (cmt), E·MK ' F·NK ' ( so le trong của ME / / FN ) . 
Vậy MEK ’ = NFK’ (g-c-g). Do đó: MK ’ NK ’.
Vậy K ' là trung điểm MN , mà K là trung điểm MN nên K  K ’
 A
Do đó ba điểm B, K, C thẳng hàng.
Cách 2. 
Kẻ ME / / AC (E BC) A·CB M· EB (hai góc đồng vị)
 M
 Mà A·CB A·BC nên M· BE M· EB . Vậy MBE cân ở M.
 =
 Do đó: MB ME kết hợp với giả thiết MB NC ta được ME CN . K' C
 B
 Gọi K ' là giao điểm của BC và MN . E K
 Hình 12 =
 ’ ’
 MEK và NCK có: N
 K· 'ME K· ' NC (so le trong của ME / / AC ) ME CN (chứng minh trên)
 M·EK ' N·CK ' (so le trong của ME / / AC )
Do đó : MEK ’ = NCK ’ (g.c.g) MK ’ NK ’ . 
Vậy K ' là trung điểm MN , mà K là trung điểm MN nên K  K ’
 Trang 9 CHUYÊN ĐỀ 18: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
 Do đó ba điểm B, K,C thẳng hàng.
Lưu ý: Cả hai cách giải trên đa số học sinh chứng minh MEK NCK vô tình thừa nhận
 B, K,C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý lắm nhưng không biết là sai.
Bài 2. Cho tam giác ABC cân ở A , B·AC 1080 , Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc 
C sao cho C·BO 120 . Vẽ tam giác đều BOM ( M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO ). 
Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng.
Hướng dẫn: Chứng minh O·CA O·CM từ đó suy ra tia CAvà tia CM trùng nhau.
LỜI GIẢI
Tam giác ABC cân ở A nên 
 180° 108° M
A·BC A·CB
 = 2 36 ( tính chất tam giác cân )
 ·
Mà CO là tia phân giác ACB A
 =
Nên ·ACO B·CO =18°. Do đó B·CO =150° = 108
 / /
 BOM đều nên B·OM =60° O
 //
 · 12 C
Vậy MOC 360 150 60 150 B
 Hình 13
 BOC và MOC có OB OM (vì BOC đều) B·OC = M· OC =150°
OC chung , do đó BOC = MOC
Suy ra O·CB O·CM mà O·CB O·CA nên O·CM O·CA
Hai tia CA và CM cung nằm trên nửa mặt phẳng bờ OC và O·CM O·CA nên tia CA và CM là 
hai tia trùng nhau. Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng
Bài 3. Cho tam giác ABC , trung tuyến AM , gọi N là trug điểm của CA. Trên AM lấy điểm I sao 
cho AI 2MI . Chứng minh: B, I, N thẳng hàng.
HD: Ta có BN là trung tuyến của tam giác ABC , A
ta chỉ cần chỉ ra I là trọng tâm ABC
LỜI GIẢI
Vì N là trung điểm của CA N
  BN là trung tuyến của ABC I
 Gọi G là trọng tâm của ABC G
Theo tính chất trung tuyến tam giác ta có AG 2GM B C
Mà theo giả thiết I AM AI 2IM I trùng với G . M
Vậy B, I, N thẳng hàng.
 BÀI TẬP THỰC HÀNH CUỐI CHUYÊN ĐỀ
 B
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông cân tai A . vẽ ra phía ngoài tam giác 
ABC tam giác BCM cân tại M có góc ở đáy là 15°. Trên nửa mặt 
phẳng AB chứ điểmC , vẽ tam giác đều ABN . Chứng minh ba điểm M
B, M , N thẳng hàng
 N
HD : Tính góc ·ABN 600 
 A C
 ·ABM A·BC C·BM 600 mà BN; BM thuộc cùng một nửa mặt 
phẳng bờ AB nên tia BM trùng với tia BN Vậy B, M , N thẳng hàng.
 Trang 10