Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Chuyên đề 4: Chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN

 CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN
ĐS7. CHUYÊN ĐỀ 4 - CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
I. Số thực dương, số thực âm:
 • Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x 0 
 • Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x 0
 • Nếu x là số thực dương hoặc x 0 , ta nói x là số thực không âm, ký hiệu x 0
 • Nếu x là số thực âm hoặc x 0 , ta nói x là số thực không dương, ký hiệu x 0
 Chú ý: 
 • Phủ định của mệnh đề "a 0" là mệnh đề " a 0"
 • Phủ định của mệnh đề "a 0"là mệnh đề " a 0"
II. Khái niệm bất đẳng thức:
 1. Định nghĩa 1: Số thực agọi là lớn hơn số thực b , ký hiệu a b nếu a b là một 
 số dương, tức là a b 0 . Khi đó ta cũng ký hiệu b a
 Ta có: a b a b 0
 Nếu a b hoặc a b , ta viết a b . Ta có: a b a - b 0
2. Định nghĩa 2:
 Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số 
 Mệnh đề: " A lớn hơn B ", ký hiệu: A B
 " A nhỏ hơn B ", ký hiệu: A B
 " A lớn hơn hay bằng B ", ký hiệu A B 
 " A nhỏ hơn hay bằng B ", ký hiệu A B 
 được gọi là một bất đẳng thức
 Quy ước : 
 • Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng 
 thức đúng.
 • Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng 
III. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức :
 a b
1. Tính chất 1: a c
 b c
2. Tính chất 2: a b a c b c
Hệ quả 1: a b a c b c
Hệ quả 2: a c b a b c
 a b
3. Tính chất 3: a c b d
 c d
 ac bc neáu c > 0
4. Tính chất 4: a b 
 ac bc neáu c < 0
 Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN
Hệ quả 3: a b a b
 a b
 neáu c > 0
 c c
Hệ quả 4: a b 
 a b
 neáu c < 0
 c c
 a b 0
5. Tính chất 5: ac bd
 c d 0
 1 1
6. Tính chất 6: a b 0 0 
 a b
7. Tính chất 7: a b 0,n N * a n b n 
8. Tính chất 8: a b 0, n N * n a n b
Hệ quả 5: Nếu a và b là hai số dương thì : a b a 2 b 2
 Nếu a và b là hai số không âm thì : a b a 2 b 2
IV. Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối :
 x neáu x 0
1. Định nghĩa: x x R 
 x neáu x < 0
2. Tính chất: x 0 , x 2 x2 , x x , -x x
3. Với mọi a,b R ta có:
 • a b a b
 • a b a b
 • a b a b a.b 0
 • a b a b a.b 0
V. Bất đẳng thức trong tam giác:
 Nếu a,b,c là ba cạnh của một tam giác thì:
 • a 0, b 0, c 0
 • b c a b c
 • c a b c a
 • a b c a b
 • a b c Aµ Bµ Cµ
 Trang 2 CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI TẬP.
A. BẤT ĐẲNG THỨC 
Dạng 1: Tổng phân số tự nhiên
I.Phương pháp giải.
 Với tổng phân số tự nhiên, với chương trình lớp 6 7 ta nên cho học sinh làm theo cách 
 nhóm đầu cuối và so sánh giữa các nhóm với nhau, để tạo ra các ngoặc có cùng tử, rồi 
 so sánh bình thường
II.Bài toán.
 1 1 1 1 1 1 1 1
Bài 1: Chứng minh rằng: 
 4 16 36 64 100 144 196 2
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1
 Ta có 
 4 16 36 64 100 144 196
 1 1 1 1
 ... 
 22 42 62 142
 1 1 1 1 1 
 2 2 2 2 ... 2 
 2 1 2 3 7 
 1 1 1 1 1 
 2 2 ... 
 2 1 1.2 2.3 6.7 
 1 1 1 1 1 1 
 1 1 ... 
 4 2 2 3 6 7 
 1 1 1 1 1
 2 
 4 7 2 28 2
 1 1 1 1 1 1 1 1
 Vậy 
 4 16 36 64 100 144 196 2
 1 1 1 1 1 1 1 1
Bài 2: Chứng minh rằng: 
 5 13 25 41 61 85 113 2
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1
 Ta có 
 5 13 25 41 61 85 113
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 5 12 12 12 60 60 60 5 4 20 2
 1 1 1 1 1 1 1 1
 Vậy 
 5 13 25 41 61 85 113 2
 11 1 1 1 1 1 3
Bài 3: Chứng minh rằng: ... 
 15 21 22 23 59 60 2
 Trang 3 CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
 Ta có ... ... = 40. 
 21 22 23 59 60 202020 20 2
 40sè h¹ng
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Ta có ... ... ... 
 21 22 23 59 60 404040 606060
 20sè h¹ng 20sè h¹ng
 1 1 1 1 5 25 22 11
 20. 20. 
 40 60 2 3 6 30 30 15
 11 1 1 1 1 1 3
 Vậy ... 
 15 21 22 23 59 60 2
 1 1 1 1 1 7
Bài 4: Chứng minh rằng: ... 
 41 42 43 79 80 12
 Lời giải
 Nhóm thành hai ngoặc: Khi đó ta có
 1 1 1 1 1 1 1 1 
 VT ... ... 
 41 42 43 60 61 62 63 80 
 1 1 1 1 1 1 20 20 1 1 7
 VT ... ... 
 606060 808080 60 80 3 4 12
 20sè h¹ng 20sè h¹ng 
 2010 2011 2012 1 1 1 1
Bài 5: So sánh A và B biết : A và B ... 
 2011 2012 2010 3 4 5 17
 Lời giải
 1 1 2 1 1 1 1 
 A 1 1 1 3 3 
 2011 2012 2010 2010 2011 2010 2012 
 Tổng B có 15 số
 1 1 1 1 1 1 5 5 5 67 72
 B ... ... ... 3 
 3 7 8 12 13 17 3 8 10 24 24
 Vậy A B
 1 1 1 1
Bài 6: Cho M ... . Chứng minh rằng: M 2
 5 6 7 17
 Lời giải
 Tổng M có 13 số
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Ta có: .5 1 và ... .8 1 
 5 6 7 8 9 5 10 11 17 8
 Trang 4 CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN
 1 1 1 1
 Vậy M ... 1 1 2
 5 6 7 17
 3 3 3 3 3
Bài 7: Cho S . Chứng minh rằng: 1 S 2 
 10 11 12 13 14
 Lời giải
 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15
 Ta có S 1 S 1 
 10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 15
 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15
 Ta có S 1,5 2 S 2 
 10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 10
 Vậy 1 S 2
 5 5 5 5
Bài 8: Cho S ... . Chứng minh rằng: 3< S < 8
 20 21 22 49
 Lời giải
 Tổng trên có 30 số hạng:
 5 5 5 5
 Ta có: S ... 30. 3 S 3 
 50 50 50 50
 5 5 5 5 5
 Ta có S ... 30. S 8
 20 20 20 20 20
 Vậy3< S < 8
 1 1 1 1 5 3
Bài 9: Chứng minh rằng: A .. thì A 
 101 102 103 200 8 4
 Lời giải
 Ta thấy tổng A có 100 số, như vậy ta sẽ nhóm thành 50 ngoặc, mỗi ngoặc sẽ có hai 
 phân số, gồm một phân số đứng đầu và một phân số đứng cuối, cứ như vậy dồn sâu vào 
 trong tổng
 1 1 1 1 1 1 
 A ... 
 101200  102199  150151 
 50 ngoÆc
 301 301 301
 ... 
 101.200102.199150.151
 50 sè h¹ng
 1 1 1 
 301 ... , 
 101.200102.199150.151 
 50 sè h¹ng 
 Lúc này ta sẽ so sánh tất cả với chung một phân số đầu hoặc cuối,
 5
 TH1: Ta chứng minh A thì ta có: 
 8
 Trang 5 CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN
 1 1 1 
 A 301. ... 
 150.151 150.151 150.151 
 50 301 300 300 5
 301. 1 
 150.151 453 453 480 8
 3
 TH2: Ta chứng minh A ta có:
 4
 1 1 1 
 A 301. ... 
 101.200 101.200 101.200 
 50 301 303 3
 301. 2 
 101.200 404 404 4
 5 3
 Từ 1 và 2 A 
 8 4
 7 1 1 1 1
Bài 10: Chứng minh rằng: ... 
 12 101 102 103 200
 Lời giải
 1 1 1 1
 Đặt A ... 
 101 102 103 200
 Ta thấy tổng A có 100 số, như vậy ta sẽ nhóm thành 50 ngoặc, mỗi ngoặc sẽ có hai 
 phân số, gốm một phân số đứng đầu và một phân số đứng cuối, cứ như vậy dồn sâu vào 
 trong tổng
 1 1 1 1 1 1 301 301 301
 A ... ... 
 101200  102199  150151 101.200102.199150.151
 50 ngoÆc 50 sè h¹ng
 1 1 1 
 A 301 ... , 
 101.200102.199150.151 
 50 sè h¹ng 
 1 1 1 
 A 301. ... 
 150.151 150.151 150.151 
 50 301 300 300 5
 301. 1 
 150.151 453 453 480 8
 5 15 14 7
 Mà 2 
 8 24 24 12
 7 1 1 1 1
 Từ 1 và 2 ... 
 12 101 102 103 200
 1 1 1 1 4 5
Bài 11: Cho A ... Chứng minh rằng: A 
 11 12 13 70 3 2
 Lời giải
 Thấy rằng tổng A có 60 số hạng 
 Trang 6 CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN
 4
 TH1: Ta chứng minh A bằng cách nhóm hai số một ngoặc thông thường
 3
 1 1 1 1 1 1 81 81 81
 Ta có: A ... ... 
 1170  1269  4041 11.7012.6940.41
 30 ngoÆc 30 sè h¹ng
 81 81 81 81.30 243 240 240 4
 A ... 
 40.41 40.41 40.41 40.41 164 164 180 3
 5
 TH2: Tuy nhiên để chứng minh A , nếu chúng ta làm như trên thì sẽ không chứng 
 2
 minh được
 Lý do: vì việc chứng minh nhỏ hơn mà chúng ta so sánh lớn hơn lượng dư thừa, dẫn 
 5
 đến tổng A lớn hơn , do đó để giảm bớt lượng dư, tùy vào bài toán, chúng ta nên 
 2
 nhóm thành 6 ngoặc
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 A ... ... ... ... ... ... 
 11 20 21 30 31 40 41 50 51 60 61 70 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 A ... ... ... ... ... ... 
 11 11 21 21 31 31 41 41 51 51 61 61 
 10 10 10 10 10 10 1 1 1 1 1
 A 1 
 11 21 31 41 51 61 2 3 4 5 6
 1 1 1 1 1 5
 = 1 = 2 0,5 
 2 3 6 4 5 2
 4 5
 Vậy A 
 3 2
 1 1 1 1 3 4
Bài 12: Cho S ... , Chứng minh rằng: S 
 31 32 33 60 5 5
 Lời giải
 Nhóm tổng S thành 3 ngoặc
 1 1 1 1 1 1 10 10 10
 S ... ... ... 
 31 40 41 50 51 60 31 41 51
 10 10 10 1 1 1 4
 30 40 50 3 4 5 5
 10 10 10 1 1 1 3
 Mặt khác: S 
 40 50 60 4 5 6 5
 3 4
 Vậy S 
 5 5
 1 1 1 1 1 1
Bài 13: Cho A ... , Chứng minh rằng: 0,2 < A < 0,4
 2 3 4 5 98 99
 Lời giải
 Trang 7 CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN
 Tách tổng A thành:
 1 1 1 1 1 1 1 1 13 12 1
 Ta có A ... ... 0,2
 2 3 4 5 6 7 98 99 60 60 5
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
 Ta có A ... 0,4
 2 3 4 5 6 7 8 9 10 97 98 99 5
 Vậy 0,2 < A < 0,4
 3 1 1 1 3
Bài 14: Chứng minh rằng: ... 
 5 2004 2005 4006 4
 Lời giải
 1
 Thấy rằng tổng A có 2003 số hạng, số hạng ở giữa là 
 3005
 1 1 1 1 1 1 1
 TH1: A ... 
 2004 4006 2005 4005 3004 3006 3005
 1 1 1 1
 6010 ... 
 2004.4006 2005.4005 3004.3006 3005
 1 1 6010.1001 1 2002 1803 3
 A 6010. .1001 
 3004.3006 3005 3005.3005 3005 3005 3005 5
 1 1 6012.1001 3003 3003 3
 TH2: A 6010. .1001 =
 2004.4006 3005 2004.4006 4006 4004 4
 3 1 1 1 3
 Vậy ... 
 5 2004 2005 4006 4
 1 1 1 1 3 31
Bài 15: Cho A ... , Chứng minh rằng A 
 51 52 53 100 5 40
 Lời giải
 Tổng A có 50 số hạng 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 Ta có A ... 151 ... 
 51 100  5299  7576 51.10052.9975.76 
 25 ngoÆc 25 sè h¹ng 
 151.25 151 155 155 31
 A 1 
 51.100 204 204 200 40
 25 151 150 150 3
 Mặt khác: A 151. 2 
 75.76 228 228 250 5
 3 31
 Từ 1 và 1 ta có A 
 5 40
 1 1 1 1
Bài 16: Cho A ... , Chứng minh rằng: 1 < A < 2
 21 22 23 80
 Trang 8 CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 
 Tổng A có 60 số hạng: A ... 
 21 80  2279  5051 
 30 ngoÆc
 1 1 1 30 303 101 112
 A 101 ... 101. 2
 21.8022.7950.51 21.80 168 56 56
 30 sè h¹ng 
 30 303
 Mặt khác: A 101. 1
 50.51 255
 Vậy1 < A < 2
 3 8 15 2499
Bài 17: Chứng minh rằng: A ... 48
 4 9 16 2500
 Lời giải
 Nhận thấy các mẫu của tổng A là bình phương cảu các số tự nhiên liên tiếp, còn tử số 
 kém mẫu số là 1 nên ta tách A như sau:
 1 1 1 1 1 1 1 
 A 1 1 ... 1 49 2 2 2 ... 2 
 4 9 2500 2 3 4 50 
 1 1 1 
 Mà B 2 2 ... 2 1 B 1 A 49 B 49 1 48
 2 3 50 
 3 8 15 2499
 Vậy A ... 48
 4 9 16 2500
 1 1 1 1 2016
Bài 18: Chứng minh rằng: A 1 ... 
 2 3 4 22016 1 2
 Lời giải
 1
 Nhận thấy tổng A có phân số cuối có dạng , nên muốn Chứng minh tổng A lớn hơn 
 2n
 1
 1 số ta nhóm sao cho phân số có dạng ở cuối ngoặc :
 2n
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Ta có : A 1 ... 2005 ... 2006 2006
 2 3 4 5 6 7 8 2 1 2 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 A 1 2 2 3 3 3 3 ... 2006 ... 2006 
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22006
 1 1 1 1 1
 A 1 2. 22. ... 22005. 
 2 22 23 22006 22006
 1 1 1 1 1 1 2016 1 2016
 A 1 ... 2006 1 2016. 2016 1 2016 
 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 Trang 9 CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN
 1 1 1 1 2016
 Vậy A 1 ... 
 2 3 4 22016 1 2
 1 1 1 1
Bài 19: Cho : A 1 ... , chứng minh rằng 50 < A < 100
 2 3 4 2100 1
 Lời giải
 1
 Nhận thấy tổng A giống với bài 18, muốn chứng minh lớn hơn ta để phân số dạng 
 2n
 ở cuối ngoặc :
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 A 1 ... 99 ... 100 100
 2 3 4 5 6 7 8 2 1 2 2
 1 1 1 1 1
 A 1 2. 22. ... 299. 
 2 22 23 2100 2100
 1 1 1 1 100 1 
 1 ... 100 1 100 50
 2 2 2 2 2 2 
 1
 Mặt khác muốn chứng minh A < 100, ta nhóm sao cho phân số có dạng nằm ở đầu 
 2n
 ngoặc:
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 A 1 ... ... 99 100 
 2 3 4 5 6 7 8 15 2 2 1 
 1 1 1 1
 A 1 2. 22. 23. ... 299. 1 1 1 ... 1 100 
 2 22 23 299
 Vậy 50 < A < 100
 1 1 1 1
Bài 20: Chứng minh rằng: 1 ... 4
 2 3 4 64
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 A 1 ... 5 ... 6 
 2 3 4 5 6 7 8 2 1 2 
 1 1 1 1 1 1 1
 1 2. 22. ... 25. 1 ... 4
 2 22 23 26 2 2 2
 1 1 1 1
 Vậy 1 ... 4
 2 3 4 64
 455 454 453 2 1
Bài 21: Cho A ... , So sánh A với 2007
 1 2 3 454 455
 Lời giải
 454 453 1 
 Ta có: A 1 1 ... 1 1 
 2 3 455 
 456 456 456 456 1 1 1 
 ... 456 ... 456.B 
 2 3 455 456 2 3 456 
 Trang 10