Chuyên đề ôn tập Đại số Lớp 7 - Chuyên đề 1: Số hữu tỉ. Số thực - Chủ đề 5: Lũy thừa của một số hữu tỉ

 CHỦ ĐỀ 5. LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu x”là tích của n thừa số x ( n là số 
tự nhiên lớn hơn 1)
xn = x. x...x (x Q, n N, n > 1)
 n
- Quy ước: x1 = x với  x Q; x° = 1 với  x ≠ 0.
 n
 a a an
- Khi số hữu tỉ x (a,b Z,b 0) ta có : n .
 b b b
- Chú ý: x2n ≥ 0 với  x Q;  n N.
x2n-1 cùng dấu với dấu của x;
(-x)2n = x2n và (-x)2n-1 = x2n+1
2. Các phép toán về lũy thừa
- Tích hai lũy thừa cùng cơ số:
xm . xn = xm+n (x Q, m,n N).
- Thương hai lũy thừa cùng cơ số:
xm : xn = xm-n (x Q*, m, n N, m > n).
- Lũy thừa của lũy thừa:
(xm)n = xm -n (x Q, m,n N).
- Lũy thừa của một tích:
(x.y)n = xn . yn (x, y Q, n N).
 n
 x xn
- Lũy thừa của một thương : n (x, y Q,n N)
 n n
- Lũy thừa số mũ nguyên âm:
 1
Với x Q, x ≠ 0; n N* ta có: xn 
 xn
- Hai lũy thừa bằng nhau:
1.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên * Nếu xm = xn thì m = n với (x ≠ 0; x ≠ ±1).
* Nếu xn = yn thì x = y nêu n lẻ, x = ± y nếu n chẵn.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa của lũy thừa với số mũ tự nhiên
 Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa lũy thừa của một số hữu tỉ: 
xn = x. x...x (x Q, n N, n > 1) và các quy ước
 n 
x1 = x với  x Q ; x0 =1 với  x ≠ 0
 4 3 2
 2 1 5 4 0
1A. a) Tính: ; ; 1 ;( 0,4) ;( 1,34) .
 3 3 7 
 b) Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa
 2 4 8
 i) 3.27.9. ii) 25.5.125; iii) . . .
 3 9 27
 3 3 2
 1 2 3 4 0
1B. a) Tính ; ; ; 1 ;( 0,6) ;( 1,56)
 3 3 4 
 b)Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa
 3 9 27
 i) 2.16.8 ii) 49.7.343; iii) . .
 4 16 64
Dạng 2. Tính tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số
Phương pháp giải: Ta sử dụng các công thức về tích hai lũy thừa cùng cơ số:
 xm. xn = x m+ n ( x Q, m, n N)
 xm : xn = xm - n ( x Q*, m, n N, m ≥ n)
2A. Thực hiện phép tính:
 5 2 2 2
 1 1 1 2 
 a) . ; b) . ;
 2 4 2 5 
 2 2
 5 35 
 c) : ; d) 25.5-1.50.
 4 24 
2B. Thực hiện phép tính:
 3 3 2 3
 5 4 1 1 
 a) . ; b) : ;
 2 5 9 3 
2.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 5 5
 9 27 
 c) : ; d) 33.9-1.
 5 20 
Dạng 3. Tìm số mũ, cơ số của một lũy thừa
 Phương pháp giải: Ta sử dụng các tính chất sau:
- Nếu xm = xn thì m = n với (x ≠ 0 ; x ≠ ±1).
- Nếu xn = yn thì x = y nếu n lẻ, x = ± y nếu n chẵn.
- Nếu xm 1)  m < n.
3A. Điền số thích hợp vào ô vuông :
 1 64
 a) 16 ; b) = 3; c) 0,01 = (0,1) .
 2 125 
3B. Điền số thích hợp vào ô vuông :
 27 3 
a) 64 = 3 ; b) ; c) 0,25= 2 .
 8 2 
4A. Tìm các số nguyên x, y biết:
 a) ( x -1,2)2 = 4; b) (x + l)3 = -125;
 c) 34-x = 27; d) ( x + 1,5)8 + (2,7 - y)10 = 0;
 5
 e) 3-1. 4x = .27 ; f) 9-x .27x = 243.
 3
4B. Tìm các số nguyên x, y biết:
 a) ( x - 1,5)2 = 9; b) ( x -2)3 = 64;
 c) 24-x = 32; d) ( x + 1,5)2 + ( y - 2,5)10 = 0.
 e) 2-2.2x + 2.2x = 9.26; f) 3-2 .34.3x = 37.
Dạng 4. So sánh lũy thừa
Phương pháp giải: Để so sánh lũy thừa ta thực hiện như sau:
- Biến đổi các lũy thừa cần so sánh về dạng có cùng số mũ hoặc cùng cơ số.
- Có thể sử dụng lũy thừa trung gian để so sánh.
5A. So sánh:
 a) 224 và 316; b) 2300 và 3200; c) 715 và 720;
5B. So sánh:
3.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên a) -230 và -320; b) (-5)9 và (-2)18; c) 355 và 610.
6A. Tìm số nguyên dương n, biết:
 a) 25 3n ≥ 9; c) 16 ≤ 8n ≤ 64.
6B. Tìm n Z, biết:
 a) 49 < 7n < 343; b) 9 < 9n ≤ 243; c) 121 ≥ 11n ≥ 1.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ 
7. Tính giá trị biểu thức:
 10 5 0
 ( 3) .15 3 1 2 2 1 
 a) 3 7 ; b) 2 3 2 .4 ( 2) : .8 .
 25 .( 9) 9 2 
8. Tìm x, y, biết
 3 6
 36 2 2 
a) ( 5x+ 1)2 = ; b) x ;
 49 9 3 
 4
 1 
c) (8x-1)2x+1 = 52x+1 ; d) ( x - 3,5)2 + y 0 .
 10 
 81
9. Viết số hữu tỉ dưới dạng một lũy thừa. Nêu tất cả các cách viết.
 625
10. So sánh các số sau:
a) 335 và 520; b) 378 và 232.
11*. a) Cho biết l2 + 22 +32 + ... + 102 =385.
Tính A = 32 + 62 + 92+ + 302.
b) Cho biết l3 + 23 + 33 + +103 = 3025
Tính B = 23 + 43 + 63 +... + 203.
12.*. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:
a) A = 3n+3 + 3n+1 + 2n+2 + 2n+1 chia hết cho 6;
b) B = 3n+3 - 2n+3 + 3n+2 - 2n+1 chia hết cho 10;
 HƯỚNG DẪN
 4 3
 2 ( 2)4 16 1 ( 1)3 1
1A. a) 4 ; 3 ;
 3 3 81 3 3 27
4.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 2 2 5
 5 12 144 4 2 16 0
 1 ;( 0,4) ;( 1,34) 1
 7 7 49 5 625
b) i) 3.27.9 = 36 ii) 25. 5. 125 = 56
 6
 2 4 8 2 
iii) . . 
 3 9 27 3 
1B. Tương tự 1A. 
 3 3 2
 1 1 2 8 3 49
a) ; ; 1 
 3 27 3 27 4 16
 81
(-0,6)4 = ( 1,56)0 = 1
 625
 6
 3 9 27 3 
b) i)2.16.8 = 28 ii) 49.7.343 = 76 iii) . . 
 4 16 64 4 
 1 1 36
2A. a) b) c) d) 5
 512 25 49
2B. Tương tự 2A
 1 1024
a) 8 b) c) d) 3
 3 243
 4 3
 1 64 4 
3A. a) 16 b) c) 0,01= (0,1)2 3B. Tương tự 
 2 125 5 
3A
4A. a) Từ đề bài suy ra x - 1,2 = 2 hoặc x - 1,2= -2. Tìm được 
x {-0,8;3,2}
b) Từ đề bài ta có x = 1 = -5, tìm được x = -6
c) Từ đè bai ta có 34- x = 33
d) ta chứng minh được ( x + 1,5)8 + (2,7 - y)10 0  x, y vì vậy để
( x + 1,5)8 + ( 2,7 - y)10 = 0 thì x + 1,5 = 0 và 2,7 - y = ). Từ đó tìm được
 x = -1,5; y = 2,7.
 4B. Tương tự 4A
 a) x {- 1,5; 4,5} b) x = 6
 c) x = - 1 d) x = -1,5 ; y = 2,5
 5A. a) Ta có 224 = 22.8 và 316 = 32.8 = 98 nên 224 < 316;
5.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên b) 2300 = (23)100 = 8100 và 3200 = (32)100 = 9100 nên 2300 < 3200;
 c) Ta có 715 < 815 mà 815 = (34)5 = 320 < 720 nên 715 < 720;
 5B. Tương tự 5A
a) -230 > -320 b) (-5)9 < 0 < (-2)18 c) 355 < 610 
 6A. a) Từ đề bài suy ra 52 < 5n < 54, tìm được n = 3
 b) Từ đề bài suy ra 34 > 3n 32, tìm được n {2; 3}
 c) Từ đề bài suy ra 24 23n 26, tìm được n = 2
6B. Tương tự 6A
 a) n  b) n = 2 c) n {0; 1; 2}
 3
7. a) b) 74
 5
 13 1 2
8. a) x ;  b) x = 
 35 35 3
 1 3 7 1
 c) x ;  d) x= ; y= 
 2 4 2 10
 2 2 4 4
 81 9 9 3 3 
9. 
 625 25 25 5 5 
10. Tương tự 5A
11*. a) Ta có 12 + 22 + 32 + 102 = 385
Suy ra ( 12 +22 + 32 + +102 ) .32 = 385.32
Do đó ta tính được A = 32 + 62 + 92 + +302 = 3465.
b) Tương tự ý a) tính được B = 24200
12*. a) Từ đề bài ta có A= 3n+1 (32 + 1) + 2n+1 (2 +1) = 3n .3.2.5 + 2n .2.3
=> ĐPCM;
b) Từ đề bài ta có B = 3n+1 (32 + 1) - 2n+1 (22 +1) = 3n+1 .10 - 2n .2.5
=> ĐPCM;
6.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên